行列式的性質.doc

1、教學單元教案設計授課周次第 2 周授課時間計劃學時數(shù)2教學單元1-3 行列式的性質授課方式理論課實驗（實訓）課上機課其他教學目標教學重點及難點教學方法與手段教學過程掌握對換的概念；掌握 n 階行列式的性質；會利用 n 階行列式的性質計算n 階行列式的值；行列式的性質；1. 教學方法：講授與討論相結合；2. 教學手段：黑板講解與多媒體演示 . 1.對換的概念及對換如何改變排列的奇偶性2. 簡單推導行列式的 6 條性質以及性質的應用思考題：1.把排列 54132 作一次對換變?yōu)?4135,問相當于作幾次相鄰對換把排列12345 作偶數(shù)次對換后得到的新排列是奇排列還是偶排列課外安排2.計算：0aba

2、a0ab .Da0ababa0作業(yè)題：?習題二： P23T1(3) 7(2)(5)教研室主任審批意見1.通過學習學員掌握了n 階行列式的定義和對換的概念；教學反思2.對利用 n 階行列式的定義和對換等方面的應用有待加強.教學單元講稿一、復習提問與上次課作業(yè)典型問題答疑1. 二、三階行列式的定義及計算法則2. n 階行列式的定義，并講解P23T1(1)(2)P23T2T3二、教學單元名稱第三節(jié)行列式的性質三、課程導入復習導入四、分析思路首先給出對換的概念及對換如何改變排列的奇偶性，再推導出出行列式的 6 條性質，最后通過講解幾個例題讓學生掌握行列式的性質。五、講授內容第三節(jié)行列式的性質對換對換的

3、定義：在排列中 ,將任意兩個元素對調 ,其余元素不動 ,這種作出新排列的手續(xù)叫做對換將相鄰兩個元素對調 ,叫做相鄰對換 例： a1al a b b1b 1l1b.aab a b定理 1一個排列中的任意兩個元素對換,排列改變奇偶性 .推論奇排列調成標準排列的對換次數(shù)為奇數(shù),偶排列調成標準排列的對換次數(shù)為偶數(shù).證明 ：由定理 1 知對換的次數(shù)就是排列奇偶性的變化次數(shù) ,而標準排列是偶排列 (逆序數(shù)為 0),因此知推論成立定理 2 ： n 階行列式為：a11a12a13a21a22a23( 1) t ap 1 ap 2apn .12nan1an 2an1其中 t 為 p1 p2pn 的逆序數(shù) .（以

4、 4 階行列式為例 ,對證明過程作以說明）（補充）定理 3 n階行列式也可定義為a11a12a13a21a22a23( 1)t ap qap qap q n .1 12 12n 1an1an 2an 1其中 p1 p2pn 和q1q2qn 是兩個 n級排列 ,t 為行標排列逆序數(shù)與列標排列逆序數(shù)的和 .練習：試判斷 a14 a23a31 a42 a56a65 和a32a43a14 a51a25 a66 是否都是六階行列式中的項 .行列式的性質轉置行列式的定義a11a21a1na11aa21a22a2n記D T = a12aDan1an 2anna1na21222 naaan1n 2nn( D

5、)行列式 DT 稱為行列式 D 的轉置行列式（依次將行換成列）一、 n階行列式的性質性質 1：行列式與它的轉置行列式相等.由此知，行與列具有同等地位.關于行的性質，對列也同樣成立，反之亦然 .如:DabD Taccdbd以 r i表示第 i 行， c j 表示第 j 列.交換 i, j 兩行記為 rir j ,交換 i,j兩列記作 cicj .性質2： 行列式互換兩行（列），行列式變號 .推論：行列式有兩行（列）相同，則此行列式為零.性質 3： 行列式的某一行（列）的所有元素乘以數(shù)k ,等于用數(shù)k 乘以該行列式 .推論：行列式的某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符號外 .性質 4：行列

6、式中有兩行（列）的元素對應成比例，則此行列式為零 .性質 5：若行列式中某一行（列）的元素都是兩數(shù)之和，則此行列式等于兩個行列式之和.a11a12(a1ia1i )a1n即若 Da21a22a2ia2ia2nan1an2anianianna11a12a1ia1na11a12a1ia1n則 Da21a22a2ia2n + a21a22a2 ia2 n .an1an 2aniannan1an 2aniann性質6：把行列式某一行（列）的元素乘以數(shù)k 再加到另一行（列）上，則該行列式不變.二、 n階行列式的計算：2512例1. 計算37145927 .D461225121522解：3 714 c1c

7、31 734D9272957546121642r 2 r1r32r1r4r1152202160113012015221522r22r4r2r400360120r3r49 .0033003001200003abbba 3b a3b a3b a3b例 2.ba b b r1 r2 r3 r4babbDbabbbabbbbbabbba1r1 a 3b1 111ri br1ababb3bbab i2,3,4bbbba11110a b00a 3b0a b00000a b( a3b)( a b)3 .(推廣至 n階，總結一般方法 )pqqrrppqr例 3.證明： p1q1q1r1r1p12 p1q1r1 .p2q2q2r2r2p2p2q2r2pqrrpqqrrp第一列證明：左端p1q1r1r1p1q1q1r1r1p1性質 5p2q2r2r2p2q2q2r2r2p2pqrrqrrppqrqrpq1r1r1p1p1q1r1q1r1p1p1q1r1r1p2q2r2r2q2r2r2p2p2q2r2q2r2p2pqr2