2.7二次根式例題與講解(2021

1、7二次根式1二次根式的定義一般地，我們把形如(a0)的式子叫做二次根式，“稱為二次根號(hào)，a叫做被開方數(shù)【例11】 以下式子中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？，.解：二次根式有：，；不是二次根式的有：，.析規(guī)律 二次根式的條件二次根式應(yīng)滿足兩個(gè)條件：第一，有二次根號(hào)“；第二，被開方數(shù)是正數(shù)或0.【例12】 當(dāng)x是多少時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？分析：由二次根式的定義可知，被開方數(shù)一定要大于或等于0，所以3x10時(shí)，才有意義解：由3x10，得x.因此當(dāng)x時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義點(diǎn)技巧 二次根式有意義的條件二次根式有意義的條件是，被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，即被開方數(shù)一定要大于或等于0.2積的算術(shù)平方根用“，或

2、填空_，_，_.根據(jù)上面的計(jì)算我們可得出：即：積的算術(shù)平方根，等于各算術(shù)平方根的積【例2】 化簡(jiǎn)：(1)；(2)；(3)；(4).分析：利用(a0，b0)直接化簡(jiǎn)即可解：(1)3412.(2)4936.(3)91090.(4)3.點(diǎn)評(píng)：利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)可對(duì)二次根式進(jìn)行化簡(jiǎn)，使其不含能開得盡方的因數(shù)或因式3商的算術(shù)平方根填空：(1)_，_；(2)_，_；(3)_，_；(4)_，_.規(guī)律：_；_；_；_.通過計(jì)算容易得出上面的式子都是相等的因此，即：商的算術(shù)平方根等于各算術(shù)平方根的商【例3】 化簡(jiǎn)：(1)；(2)；(3)；(4).分析：直接利用(a0，b0)就可以到達(dá)化簡(jiǎn)之目的解：(1).

3、(2).(3).(4).4最簡(jiǎn)二次根式最簡(jiǎn)二次根式應(yīng)滿足以下兩個(gè)條件：(1)被開方數(shù)不含分母；(2)被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式所以，化簡(jiǎn)二次根式時(shí)，要求最終結(jié)果中分母不含有根號(hào)，而且各個(gè)二次根式是最簡(jiǎn)二次根式【例4】 把以下根式化成最簡(jiǎn)二次根式：(1)，(2)，(3)，(4).解：(1)2.(2)2.(3).(4).點(diǎn)評(píng)：化簡(jiǎn)二次根式時(shí)，要求最終結(jié)果中分母不含有根號(hào)，應(yīng)利用二次根式的有關(guān)性質(zhì)化掉分母中的根號(hào)5二次根式的乘除二次根式的乘法：二次根式的除法：即：二次根式相乘除，只把被開方數(shù)相乘除，結(jié)果仍然作為被開方數(shù)【例5】 計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4).分析：直接利用(a0，b

4、0)和(a0，b0)計(jì)算即可解：(1).(2).(3)2.(4)2.6二次根式的加減計(jì)算以下各式：(1)2x3x；(2)2x23x25x2；(3)x2x3y；(4)3a22a2a3.上面的題目，實(shí)際上為同類項(xiàng)合并同類項(xiàng)合并就是字母不變，系數(shù)相加減計(jì)算以下各式：(1)23；(2)235；(3)2；(4)32.分析：(1)如果我們把當(dāng)成x，不就轉(zhuǎn)化為上面的問題了嗎？23(23)5.(2)把當(dāng)成y；235(235)48.(3)把當(dāng)成z；223(123)6.(4)把看為x，看為y.32(32).因此，二次根式的被開方數(shù)相同的話是可以合并的二次根式加減時(shí)，可以先將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再將被開方數(shù)相

5、同的二次根式進(jìn)行合并【例6】 計(jì)算：(1)；(2)；(3)393；(4)()()分析：第一步，將不是最簡(jiǎn)二次根式的項(xiàng)化為最簡(jiǎn)二次根式；第二步，將相同的最簡(jiǎn)二次根式進(jìn)行合并解：(1)23(23)5.(2)48(48)12.(3)3931236(1236)15.(4)()()4226.7化簡(jiǎn)(1)計(jì)算：4，0.2，20，觀察其結(jié)果與根號(hào)內(nèi)冪底數(shù)的關(guān)系，歸納得到：當(dāng)a0時(shí)，a.(2)計(jì)算：4，0.2，20，觀察其結(jié)果與根號(hào)內(nèi)冪底數(shù)的關(guān)系，歸納得到：當(dāng)a0時(shí)，a.(3)計(jì)算：0，當(dāng)a0時(shí)，0.(4)將上面做題過程中得到的結(jié)論綜合起來，得到二次根式的又一條非常重要的性質(zhì)：|a|【例71】 化簡(jiǎn)：(1)；

6、(2)；(3)；(4).分析：因?yàn)?1)932，(2)(4)242，(3)2552，(4)(3)232，所以都可運(yùn)用a(a0)去化簡(jiǎn)解：(1)3.(2)4.(3)5.(4)3.【例72】 先化簡(jiǎn)再求值：當(dāng)a9時(shí)，求a的值，甲、乙兩人的解答如下：甲的解答為：原式aa(1a)1；乙的解答為：原式aa(a1)2a117.兩種解答中，_的解答是錯(cuò)誤的，錯(cuò)誤的原因是_答案：甲甲沒有先判定1a是正數(shù)還是負(fù)數(shù)8二次根式的混合運(yùn)算計(jì)算：(1)6x3y；(2)(2xy)zx；(3)(2x2y3xy2)xy.(4)(2x3y)(2x3y)；(5)(2x1)2(2x1)2.如果把上面的x，y，z改寫成二次根式，以上的運(yùn)算規(guī)律是否仍成立？仍成立整式運(yùn)算中的x，y，z是一種字母，它的意義十分廣泛，可以代表所有一切，當(dāng)然也可以代表二次根式，所以，整式中的運(yùn)算規(guī)律也適用于二次根式【例8】 計(jì)算：(1)()；(2)(43)2；(3)(6)(3)；(4)