2021-2021版高中數(shù)學(xué)第三章變化率與導(dǎo)數(shù)疑難規(guī)律方法學(xué)案北師大版選修1-1

1、重點(diǎn)深化第三章變化率與導(dǎo)數(shù)1利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題1 求參數(shù) 例1設(shè)曲線y = f (x) = ax2在點(diǎn)(1 , a)處的切線與直線 2x y 6= 0平行，那么a=& “ & 2 y a 1 + x a解析 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義， Y= X X2aA x+ a x TX2-=2a+沁x,當(dāng) x無限趨近于0時(shí)，2a+沁x無限趨近于2a,即f2=2a.又由曲線f(x) = ax在點(diǎn)(1 , a)處的切線與直線2x y 6 = 0平行，得2a = 2,即 1.答案 12 求傾斜角132例2 求曲線y = f (x) = 3X x + 5在x = 1處的切線的傾斜角.分析 要求切線的傾斜角 a ,先要求

2、切線的斜率k,再根據(jù)斜率k = tan a ,求出傾斜角1解 設(shè)曲線y = f (x) = 3X3 x2+ 5在x = 1處的切線的傾斜角為a .ff31+t x 31 + x 2+ 5 11 + 5f1 + x f133133 x Tx 12=-( x) 1 , x3、丿1 2當(dāng) x無限趨近于0時(shí)，3( x) 1無限趨近于一1,3即 tan a = f (1) = 1.3 n3 n因?yàn)閍 0 ,n )，所以a = .故切線的傾斜角為.評(píng)注 切線的傾斜角 a能通過求切線的斜率得到，在解題過程中，一定要注意切線的傾斜角a的取值范圍.3. 求曲線的切線8 1 3例3求在點(diǎn)P2, 3處與曲線y= 3

3、X3相切的切線方程.分析 要求直線在點(diǎn)P處的切線方程，需求得過點(diǎn) P的切線的斜率k,然后根據(jù)點(diǎn)斜式可求 得切線方程.8 1 3 1 3 1 3 2 1 3解 因?yàn)辄c(diǎn) P 2, 3 在曲線 y = 3X 上， y= 3(2 + x) 3X2 = 4A x + 2( x) + 3( X), y12所以 AX = 4 + 2A X + 3( x),當(dāng)A x無限趨近于0時(shí)，A y無限趨近于4，即k = 4.A x8故所求的切線方程為 y 3= 4( x 2)，即12x 3y 16= 0.評(píng)注求在點(diǎn)P處與曲線相切的切線方程時(shí)，可求出切線的斜率，然后再根據(jù)點(diǎn)斜式求切線 方程.4. 求切點(diǎn)的坐標(biāo)例4假設(shè)曲線

4、y = f(x) = x3+ 1在點(diǎn)P處的切線的斜率為 3，求點(diǎn)P的坐標(biāo).分析 要求點(diǎn)P的坐標(biāo)，可設(shè)點(diǎn) P的坐標(biāo)為(xo, x3 + 1)，然后由切線的斜率為 3，解方程求得.解 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(xo, x0+ 1),Xo+A x fA xxo2 23xo A x + 3xoA x +A x322 = 3xo + 3xoA x + ( A x),A x無限趨近于o時(shí)，上式無限趨近于3xo,所以3xo= 3.解得xo= 1.故點(diǎn)P的坐標(biāo)是(1,2)或(1,o).思維廣角*評(píng)注值得注意的是切點(diǎn)P的坐標(biāo)有兩個(gè)，局部同學(xué)誤認(rèn)為只有一個(gè)而出錯(cuò)2利用導(dǎo)數(shù)求切線方程曲線的切線問題是高考的常見題型之一而導(dǎo)數(shù)f

5、 (xo)的幾何意義為曲線y = f(x)在點(diǎn)Rxo, f(x。)處的切線的斜率，所以利用導(dǎo)數(shù)解決相切問題是常用的方法下面對(duì)“求過一點(diǎn)的切線方程的題型做以下歸納.1切點(diǎn)，求曲線的切線方程此類題只需求出曲線的導(dǎo)數(shù)f(x)，并代入點(diǎn)斜式方程即可.32例1曲線f (x) = x 3x + 1在點(diǎn)(1 , 1)處的切線方程為()A. y = 3x 4B. y= 3x + 2C. y = 4x+ 3D. y= 4x 5解析 由f (x) = 3x2 6x，知在點(diǎn)(1 , 1)處的斜率k = f (1) = 3.所以切線方程為 y (1) =- 3(x 1)，即 y = 3x+ 2.應(yīng)選 B.答案 B2.

6、 過曲線上一點(diǎn)，求切線方程過曲線上一點(diǎn)的切線，該點(diǎn)未必是切點(diǎn)，故應(yīng)先設(shè)切點(diǎn)，再求切點(diǎn)，即用待定切點(diǎn)法.例2求過曲線f(x) = x3 2x上的點(diǎn)(1 , 1)的切線方程.解 設(shè)P(xo, yo)為切點(diǎn)，那么切線的斜率為f (xo) = 3x0 2.所以切線方程為 y yo= (3 x0 2)( x xo),即 y (Xo 2xo) = (3 Xo 2)( x Xo).又知切線過點(diǎn)(1 , 1),所以一1 (x3 2xo) = (3x解得 xo = 1, yo = = 1, 即卩 x+ y 2= o. Xo點(diǎn)評(píng) 點(diǎn)(2,o)實(shí)際上是曲線外的一點(diǎn)，但在解答過程中卻無需判斷它確實(shí)切位置，這充分 反映

7、出待定切點(diǎn)法的高效性.4. 求兩條曲線的公切線 2)(1 xo).1解得xo = 1 ,或xo=?故所求切線方程為 y (1 2) = (3 2)( x 1),131或 y( 8+1) =(4 2)( x+刁,即 x y 2= 0,或 5x+ 4y 1 = 0.點(diǎn)評(píng) 可以發(fā)現(xiàn)直線5x+ 4y 1 = O并不以(1 , 1)為切點(diǎn)，實(shí)際上是經(jīng)過點(diǎn)(1 , 1)，且1 7以(一，)為切點(diǎn)的直線.這說明過曲線上一點(diǎn)的切線，該點(diǎn)未必是切點(diǎn).2 83. 過曲線外一點(diǎn)，求切線方程此類題可先設(shè)切點(diǎn)，再求切點(diǎn)，即用待定切點(diǎn)法來求解.1例3求過點(diǎn)(2,O)且與曲線f(x)=-相切的直線方程.x1解 設(shè)P(xo,

8、 yo)為切點(diǎn)，那么切線的斜率為f (xo) = 二.xo1所以切線方程為 yyo= x2(x xo),11即 y = p(x xo).xoxo又切線過點(diǎn)(2,o)，把它代入上述方程，e 11得一_ =二(2 xo).xoxo例4曲線C: y = X與C2: y = X + 4x 4,直線I與C, C2都相切，求直線l的方程. 分析設(shè)出直線與兩條曲線的切點(diǎn)坐標(biāo)， 分別求出曲線在切點(diǎn)處的切線方程， 再利用兩個(gè)方 程所表示的直線重合，建立方程組求解.解 設(shè)I與C相切于點(diǎn)P(xi, x 對(duì)f (xo)與f(x)理解有誤例i函數(shù)f (x) = x2 + 2xf (i)，貝U f (0)的值為()A.

9、0 B . 4 C . 2 D . 2錯(cuò)解由 f(x) = x2 + 2xf (i)得 f(0) = 0.所以f (0) = 0.應(yīng)選A.錯(cuò)因分析解題時(shí)沒有弄清導(dǎo)函數(shù)和其在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)時(shí)， 應(yīng)先求導(dǎo)再求函數(shù)值，同時(shí)要注意f (i)是常數(shù).正解 由 f(x) = x + 2xf (i)得，f (x) = 2x+ 2f (i).所以 f (i) = 2x i+ 2f (i).所以 f (i) = 2.從而 f (x) = 2x 4.所以 f (0) = 4.應(yīng)選 B. 切點(diǎn)位置確實(shí)定有誤例2求過點(diǎn)P(i,0)且與曲線f(x) = x3x相切的直線的方程.錯(cuò)解由題意知點(diǎn)F

10、(i,0)在曲線上.因?yàn)?f ( x) = 3x2 i，所以 f =2.所以切線方程為y 0 = 2(x i)，即2x y 2= 0.)，與C2相切于點(diǎn) QX2, x2+ 4X2 4).由C： y = x2，得y =2x,那么與C相切于點(diǎn)P的切線方程為y x2= 2xi(x xi),22即 y= 2xix xi,由 G: y= x + 4x 4，得 y= 2x + 4,那么與C2相切于點(diǎn)Q的切線方程為2y= 2(X2 2)x + X2 4.因?yàn)閮汕芯€重合，所以 2xi = 2(X2 2)且 x2= x2 4,解得 Xi = 0, X2 = 2 或 Xi = 2, X2 = 0.所以直線I的方程

11、為y= 0或y= 4x 4.點(diǎn)評(píng)公切線問題的一般解法是分別求出曲線在切點(diǎn)處的切線方程，再利用兩直線重合的條易錯(cuò)警示件建立方程組求解3導(dǎo)數(shù)運(yùn)算中的常見錯(cuò)誤 錯(cuò)誤的.求曲線的切線方程時(shí)， 應(yīng)注意兩種“說法：(1)曲線在點(diǎn)P處的切線方程(一定是 以點(diǎn)P為切點(diǎn))；2)曲線過點(diǎn)P的切線方程(無論點(diǎn)P是否在曲線上，點(diǎn)P都不一定是切點(diǎn)). 正解 設(shè)切點(diǎn)為(Xo, x0 X0),那么過該點(diǎn)的切線方程為 y (x2x 12x + 16 = o，即(x 2)( x + 2x 8) = o.所以(X 2)2(x+ 4) = o,解得 x = 2 或 x = 4.所以交點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,4) , ( 4, 2o),所以該切線與曲線的公共點(diǎn)除了切點(diǎn)(2,4)外還有點(diǎn)(一4, 2o). xo) = (3 x0 1)( x xo).由切線過點(diǎn) P(1,0)得：0 (x0 xo) = (3 x0 1)(1 xo),整理得 2xo 3xo + 1 = o.2 1即(Xo 1) (2 Xo + 1) = o，解得 xo= 1 或 xo= 2*所以切線方程為 2x y 2= o或x+ 4y 1 = o.3對(duì)切線定義的理解有誤1 3 4例3曲線C：y = f (x) = 3X+ 3,曲線C在點(diǎn)P(2,4)處的切線方程為y=4x 4,試分析該切線與曲線 C是否還有其他公共點(diǎn)？假設(shè)有，求