第七章 度量空間

1、1 度量空間的進(jìn)一步例子2 度量空間中的極限、稠密集、可分空間3 連續(xù)映射4 柯西點(diǎn)列和完備度量空間6 壓縮映射原理及其應(yīng)用8 賦范線(xiàn)性空間和巴拿赫空間 泛函分析：是20世紀(jì)發(fā)展起來(lái)的一門(mén)新的學(xué)科，德國(guó)數(shù)學(xué)家希爾伯特，波蘭數(shù)學(xué)家巴拿赫，匈牙利美國(guó)數(shù)學(xué)家馮.諾依曼，為此做出了主要貢獻(xiàn)。 泛函分析研究?jī)?nèi)容：是函數(shù)與數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系；例如：定積分就是一個(gè)泛函。算子：函數(shù)空間和函數(shù)空間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。例如：微分就是一個(gè)算子。引言：1 度量空間的進(jìn)一步例子度量空間（距離空間）：把距離概念抽象化，對(duì)某些一般的集合引進(jìn)點(diǎn)和點(diǎn)之間的距把距離概念抽象化，對(duì)某些一般的集合引進(jìn)點(diǎn)和點(diǎn)之間的距離，使之成為距離空間，這將是

2、深入研究極限過(guò)程的一個(gè)有離，使之成為距離空間，這將是深入研究極限過(guò)程的一個(gè)有效步驟效步驟。泛函分析中的度量空間（距離空間）：泛函分析中要處理的度量空間，是帶有某些泛函分析中要處理的度量空間，是帶有某些代數(shù)結(jié)構(gòu)代數(shù)結(jié)構(gòu)的度量的度量空間，例如賦范線(xiàn)性空間，就是一種帶有線(xiàn)性結(jié)構(gòu)的度量空空間，例如賦范線(xiàn)性空間，就是一種帶有線(xiàn)性結(jié)構(gòu)的度量空間間。1、度量空間 設(shè)設(shè) 是一個(gè)集合，若對(duì)于是一個(gè)集合，若對(duì)于 中任意兩個(gè)元素中任意兩個(gè)元素 ,都有唯一確都有唯一確定的實(shí)數(shù)定的實(shí)數(shù) 與之對(duì)應(yīng)，而且這一對(duì)應(yīng)關(guān)系滿(mǎn)足下列條件：與之對(duì)應(yīng)，而且這一對(duì)應(yīng)關(guān)系滿(mǎn)足下列條件： 1 的充要條件為2 對(duì)任意的 都成立，則稱(chēng)則稱(chēng) 是是

3、 之間的距離，稱(chēng)之間的距離，稱(chēng) 為為度量空間度量空間或或距離空距離空間間。 中的元素稱(chēng)為點(diǎn)。中的元素稱(chēng)為點(diǎn)。X, x yX( , )d x y( , )0,( , )0d x yd x yxy( , )( , )( , )d x yd x zd y zz( , )d x y, x y(, )X dX 稱(chēng)為點(diǎn)稱(chēng)為點(diǎn) 的的 鄰域鄰域， 稱(chēng)為鄰域的中心，稱(chēng)為鄰域的中心， 稱(chēng)為鄰域的半徑稱(chēng)為鄰域的半徑。00,|,U PP d P P0P0P2、常見(jiàn)的度量空間（1）n維歐式度量空間（2）離散的度量空間 設(shè)設(shè) 是任意的非空集合，對(duì)是任意的非空集合，對(duì) 中的任意兩點(diǎn)中的任意兩點(diǎn) ，令，令XX, x yX1,

4、( , )0,if xyd x yif xy 稱(chēng)稱(chēng) 為離散的度量空間。為離散的度量空間。(, )X d（3）序列空間S 令令S S表示實(shí)數(shù)列（或復(fù)數(shù)列）的全體，對(duì)表示實(shí)數(shù)列（或復(fù)數(shù)列）的全體，對(duì)S S中的任意兩點(diǎn)中的任意兩點(diǎn)1|1( , )2 1 |iiiiiid x y1212( ,.,.),(,.,.),nnxy 令 稱(chēng) 為序列空間。( , )S d 設(shè)設(shè)A A是一個(gè)給定的集合，令是一個(gè)給定的集合，令B(A)B(A)表示表示A A上有界實(shí)值（或復(fù)值）上有界實(shí)值（或復(fù)值）函數(shù)全體，對(duì)函數(shù)全體，對(duì)B(A)B(A)中任意兩點(diǎn)中任意兩點(diǎn) ，定義，定義, x y( , )sup| ( )( )|t

5、Ad x yx ty t 設(shè)設(shè) 為為X上實(shí)值（或復(fù)值）的勒貝格可測(cè)函數(shù)全體，上實(shí)值（或復(fù)值）的勒貝格可測(cè)函數(shù)全體，m為勒貝格測(cè)度，若為勒貝格測(cè)度，若 ，對(duì)任意兩個(gè)可測(cè)函數(shù)，對(duì)任意兩個(gè)可測(cè)函數(shù) 及及（4）有界函數(shù)空間B(A）（5）可測(cè)函數(shù)空間()m X ( )f t( )g t由于由于 ，所以這是，所以這是X上的可積函數(shù)。令上的可積函數(shù)。令|( )( ) |11 |( )( ) |f tg tf tg t|( )( ) |( ,)1 |( )( ) |Xf tg td f gdtf tg t（4）有界函數(shù)空間B(A）()XM()XM 令令 表示閉區(qū)間表示閉區(qū)間a,b上實(shí)值（或復(fù)值）連續(xù)函數(shù)全體，

6、上實(shí)值（或復(fù)值）連續(xù)函數(shù)全體，對(duì)對(duì) 中任意兩點(diǎn)中任意兩點(diǎn) ，定義，定義, x y( , )max | ( )( )|a t bd x yx ty t （6） 空間 , C a b , C a b , C a b（6） 空間pl1|ppkkklxxx 設(shè) ，定義,pkxxlpkyyl11( , )()ppkkkd x yyx 設(shè)設(shè) 是是 中點(diǎn)列，如果存在中點(diǎn)列，如果存在 ，使，使則稱(chēng)點(diǎn)列則稱(chēng)點(diǎn)列 是是 中的中的收斂點(diǎn)列收斂點(diǎn)列， 是點(diǎn)列是點(diǎn)列 的極限的極限。2 度量空間中的極限、稠密集、可分空間(, )X d1、收斂點(diǎn)列nxxXlim (, )0nnd xxnx(, )X dnxx收斂點(diǎn)列性質(zhì)：

7、 （1）在度量空間中，任何一個(gè)點(diǎn)列最多只有一個(gè)極限，即收）在度量空間中，任何一個(gè)點(diǎn)列最多只有一個(gè)極限，即收斂點(diǎn)列的極限是唯一的。斂點(diǎn)列的極限是唯一的。2、收斂點(diǎn)列在具體空間中的意義 （2）M是閉集的充要條件是是閉集的充要條件是M中任何收斂點(diǎn)列的極限都在中任何收斂點(diǎn)列的極限都在M中中。（1）n 維歐式空間中：()()()12(,.,),1,2,.,mmmmnxm為 中的點(diǎn)列，nR12(,.,)nnxR()lim(, )0, ()1mmiimd xxmin 即：即： 按歐式距離收斂于按歐式距離收斂于 的充要條件是的充要條件是 依坐標(biāo)收斂于依坐標(biāo)收斂于mxmxxx（2）序列空間S中：()()()12

8、(,.,.),1,2,.,mmmmnxm為 中的點(diǎn)列，12(,.,.)nxS()lim(, )0(),mmiimd xxm S設(shè) 及 分別為 中的點(diǎn)列及點(diǎn)，(, )max |( )( )|nna t bd xxx tx t （3） 空間 , C a b , C a blim (, )0 , nnnd xxxa bx在上一致收斂于 nxx（4）可測(cè)函數(shù)空間設(shè) 及 分別為可測(cè)函數(shù)空間中的點(diǎn)列及點(diǎn)，nfflim (,)0( )nnnd fff tf(t)3、有界集 設(shè)設(shè)M是度量空間是度量空間 中點(diǎn)集，定義中點(diǎn)集，定義為點(diǎn)集為點(diǎn)集M的的直徑直徑，若若 ，則稱(chēng)，則稱(chēng)M為為 中的中的有界集有界集。(, )

9、X d,()sup( , )x y MMd x y()M (, )X d常用結(jié)論：度量空間中的收斂點(diǎn)列是有界點(diǎn)集。()XM4、稠密集，可分空間 （1）設(shè)）設(shè)X是度量空間，是度量空間，E和和M是是X中的兩個(gè)子集，令中的兩個(gè)子集，令 表示表示M的閉包，如果的閉包，如果 ，那么稱(chēng)集，那么稱(chēng)集M在集在集E中中稠密稠密。MEM等價(jià)定義： 如果如果E 中任何一點(diǎn)中任何一點(diǎn)x 的任何鄰域都含有集的任何鄰域都含有集M中的點(diǎn)，就稱(chēng)中的點(diǎn)，就稱(chēng)M在在E中中稠密稠密。 （2）當(dāng)）當(dāng)E=X時(shí)，稱(chēng)集時(shí)，稱(chēng)集M為為X的一個(gè)的一個(gè)稠密子集稠密子集。 （3）如果）如果X有一個(gè)有一個(gè)可數(shù)的稠密子集可數(shù)的稠密子集時(shí)，稱(chēng)時(shí)，稱(chēng)X為

10、為可分空間可分空間。 對(duì)任一對(duì)任一 ，有，有M中的點(diǎn)列中的點(diǎn)列 ，使得，使得xEnx()nxx n 例題 1：（1）多項(xiàng)式全體所成的線(xiàn)性空間）多項(xiàng)式全體所成的線(xiàn)性空間P是度量空間是度量空間 的子集，則的子集，則P在在 中是稠密的。其中，以有理數(shù)為系數(shù)中是稠密的。其中，以有理數(shù)為系數(shù)的多項(xiàng)式全體是一個(gè)可數(shù)集，所以的多項(xiàng)式全體是一個(gè)可數(shù)集，所以 是可分空間是可分空間。 , C a b , C a b , C a b（2）n 維歐式空間維歐式空間 是可分空間，因?yàn)樽鴺?biāo)為有理數(shù)的全是可分空間，因?yàn)樽鴺?biāo)為有理數(shù)的全體是一個(gè)可數(shù)集，是體是一個(gè)可數(shù)集，是 中的稠密子集中的稠密子集。nRnR(3) 為可分空間

11、。為可分空間。pl(4) 為不可分空間。為不可分空間。l 表示有界實(shí)（或復(fù)）數(shù)列全體，對(duì)表示有界實(shí)（或復(fù)）數(shù)列全體，對(duì) 中任意兩點(diǎn)中任意兩點(diǎn) 定義定義則則 按按 成為度量空間成為度量空間。plplpl12( ,.)x 12(,.)y ( , )sup|iiid x y( , )d x y3 連續(xù)映射回憶函數(shù)的連續(xù)性？1、度量空間中的連續(xù)性 設(shè)設(shè) ， 是兩個(gè)度量空間是兩個(gè)度量空間，T是是X到到Y(jié)中的映射中的映射, 如果對(duì)于任意給定如果對(duì)于任意給定 ，存在，存在 ，使對(duì)，使對(duì)X中一切滿(mǎn)足中一切滿(mǎn)足 的的 ，成立，成立則稱(chēng)則稱(chēng)T在在 連續(xù)連續(xù)。(, )XX d( , )YY d0,xX000( ,)

12、d x xx0(,)d Tx Tx0 x000(, )(, )TxU TxV xTVU 語(yǔ)言： 在 連續(xù)必有，使描述 設(shè)設(shè)T是度量空間是度量空間 到到 中的映射，那么中的映射，那么T在在連續(xù)的連續(xù)的充要條件充要條件為當(dāng)為當(dāng) 時(shí)，必有時(shí)，必有連續(xù)性的極限定義(, )X d( , )Y d0,xX0()nxx n 0()nTxTx n 2、連續(xù)映射 如果映射如果映射T在在X的每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱(chēng)的每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱(chēng)T是是X上的上的連續(xù)映射連續(xù)映射。稱(chēng)集合稱(chēng)集合 為集合為集合M在映射在映射T下的下的原原像。 |,x xX TxMY 定理：定理： 度量空間度量空間X到到Y(jié)的映射的映射T是是X上的上的連續(xù)

13、映射的充要條件連續(xù)映射的充要條件為為Y中任意開(kāi)集中任意開(kāi)集M的原像的原像 是是X中的開(kāi)集中的開(kāi)集。1T M4 柯西點(diǎn)列和完備度量空間1、柯西點(diǎn)列 設(shè)設(shè) 是度量空間，是度量空間， 是是X中點(diǎn)列，如果對(duì)任何事先給中點(diǎn)列，如果對(duì)任何事先給定的定的 ，存在正整數(shù)，存在正整數(shù) ，使當(dāng)，使當(dāng) 時(shí)，必有時(shí)，必有(, )XX d0(,)nmd xxnx( )NN, n mN則稱(chēng) 是X中的柯西點(diǎn)列或基本點(diǎn)列。nx 在實(shí)數(shù)空間當(dāng)中，柯西點(diǎn)列一定是收斂點(diǎn)列；但是在一般的度量空間當(dāng)中，柯西點(diǎn)列不一定收斂，但是每一個(gè)收斂點(diǎn)列一定是柯西點(diǎn)列。2、完備的度量空間 如果度量空間如果度量空間 中每一個(gè)柯西點(diǎn)列都在中每一個(gè)柯西點(diǎn)

14、列都在 中收斂，中收斂，則稱(chēng)則稱(chēng) 是是完備的度量空間。完備的度量空間。(, )X d(, )X d(, )X d子空間完備性定理 完備度量空間完備度量空間X的的子空間子空間M M，是完備空間的充要條件，是完備空間的充要條件是：是：M是是X中的閉子空間。中的閉子空間。例題 1： 及 是完備度量空間l(1)plp 例題 2：n維歐幾里的空間是完備度量空間例題 3： 是完備度量空間 , C a b等距同構(gòu)映射設(shè)設(shè) 是兩個(gè)度量空間，如果存在是兩個(gè)度量空間，如果存在 到到 的的保距映射保距映射 ，即，即 ，則稱(chēng)，則稱(chēng) 和和 等距同構(gòu)等距同構(gòu)，此時(shí)，此時(shí) 稱(chēng)為稱(chēng)為 到到 上的上的等距同構(gòu)映射等距同構(gòu)映射。

15、(, ),X d(, ),X d(, ),X d(, ),X d(,)( , )d Tx Tyd x yXXXXTT6 壓縮映射原理及其應(yīng)用1、壓縮映射 設(shè)設(shè)X是度量空間，是度量空間，T是是X到到X中的映射，如果存在一個(gè)數(shù)中的映射，如果存在一個(gè)數(shù) ， ，使得對(duì)所有的，使得對(duì)所有的 ，成立，成立則稱(chēng)則稱(chēng)T是是壓縮映射壓縮映射。01, x yX(,)( , )d Tx Tyd x y幾何意義：壓縮映射就是使映射后距離縮短壓縮映射就是使映射后距離縮短 倍的映射倍的映射。2、不動(dòng)點(diǎn) 設(shè)設(shè)X為一個(gè)集合，為一個(gè)集合，T是是X到到X的一個(gè)映射，如果的一個(gè)映射，如果 ，使，使得得 ，則稱(chēng)，則稱(chēng) 為映射為映射T

16、的的不動(dòng)點(diǎn)不動(dòng)點(diǎn)。*xX*Txx*x 設(shè)設(shè)X是完備的度量空間，是完備的度量空間，T是是X上的壓縮映射，那么上的壓縮映射，那么T有有且且只有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)只有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。3、壓縮映射定理完備度量空間中的壓縮映射必有唯一的不動(dòng)點(diǎn)。注： 定理中的度量空間的完備條件不能去掉。 完備性是保證映射的不動(dòng)點(diǎn)的存在，至于不動(dòng)點(diǎn)的唯一性，并不依賴(lài)于X的完備性。壓縮映射具有連續(xù)性，即對(duì)任何收斂點(diǎn)列壓縮映射具有連續(xù)性，即對(duì)任何收斂點(diǎn)列 必有必有0()nxx n 0()nTxTx n 8 賦范線(xiàn)性空間和巴拿赫空間 設(shè)設(shè)X是是實(shí)（或復(fù)）的線(xiàn)性空間，如果對(duì)于每個(gè)向量實(shí)（或復(fù)）的線(xiàn)性空間，如果對(duì)于每個(gè)向量 ，有一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，

17、記為有一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，記為 與之對(duì)應(yīng)，并且滿(mǎn)足與之對(duì)應(yīng)，并且滿(mǎn)足：1、賦范線(xiàn)性空間1 且 等價(jià)于2 其中 為任意實(shí)（或復(fù)）數(shù)；3 則稱(chēng)則稱(chēng) 為向量為向量 的的范數(shù)范數(shù)，稱(chēng)稱(chēng)X按范數(shù)成為按范數(shù)成為賦范線(xiàn)性空間賦范線(xiàn)性空間。 xXx0 x 0 x 0 x xx,xyxyx yXxx類(lèi)似于普通向量的長(zhǎng)度 依范數(shù)收斂于依范數(shù)收斂于 等價(jià)于等價(jià)于 按距離收斂于按距離收斂于2、關(guān)于極限的定義（依范數(shù)收斂） 設(shè)設(shè) 是是X中一點(diǎn)列，如果存在中一點(diǎn)列，如果存在 ，使，使則稱(chēng)則稱(chēng) 依范數(shù)收斂于依范數(shù)收斂于 ，記為，記為 或或nxxX|0()nxxn nxx()nxx n limnnxx3、賦范線(xiàn)性空間的性質(zhì)1賦范線(xiàn)性空間不僅是線(xiàn)性空間，也是一個(gè)度量空間。如果令如果令 可以驗(yàn)證可以驗(yàn)證 是是X上的距離。上的距離。( , )d x y( , ) |, ( ,),d x yxyx yXnxxnxx 稱(chēng)稱(chēng) 為由范數(shù)為由范數(shù) 導(dǎo)出的距離。導(dǎo)出的距離。( , )d x y|x度量和線(xiàn)性結(jié)構(gòu)之間的協(xié)調(diào)性：(,0)( , )(,0) |( ,0)d xyd x ydxd x歐式空間歐式空間 按上述范數(shù)成按上述范數(shù)成Banach空間空間。（1）歐式空間）歐式空間 ，對(duì)每個(gè)，對(duì)每個(gè) ，