《DSP第十一講》ppt課件

1、3.2.5 DFT的共軛對稱性的共軛對稱性3.3頻域抽樣實際頻域抽樣實際-抽樣抽樣Z變換變換3.4.1 用用DFT計算線性卷積計算線性卷積 為什么要定義圓周對稱？為什么要定義圓周對稱？ DFT對稱性的特點？對稱性的特點？ 頻域抽樣提出的背景？頻域抽樣提出的背景？與DTFT對稱性的區(qū)別DTFT以(-,+)為變換空間，所以在討論對稱性質(zhì)中，以原點為對稱中心，序列的移位范圍無任何限制，由于無論如何不會移出變換區(qū)間；DFT以(0,N-1)為變換空間，所以在討論對稱性質(zhì)中，序列的移位會移出變換區(qū)間，所以要在區(qū)間(0,N-1)上定義有限長序列的共軛對稱序列和反對稱序列；DFT以(0,N-1)為變換空間，所

2、以在討論對稱性質(zhì)中，將會得出其對稱中心為n=N/2。1.有限長序列的共軛對稱分量有限長序列的共軛對稱分量與共軛反對稱分量與共軛反對稱分量 有限長序列的共軛對稱分量與共軛反對稱分有限長序列的共軛對稱分量與共軛反對稱分量分別定義為：量分別定義為：)()()(21)()()()()()(21)()()(*nRnNxnxnRnxnxnRnNxnxnRnxnxNNNNoopNNNNeep由于)()()()()()()()()()(nRnxnRnxnRnxnxnRnxnxNoNeNoeN所以)()()(nxnxnxopep 這闡明長為N的有限長序列可分解為兩個長度一樣的兩個分量。( )() 01( )()

3、 01epepopopxnxNnnNxnxNnnN *1( ) ( )()21( ) ( )()2epopxnx nxNnxnx nxNn 上式已給出有限長共軛序列對稱共軛反對稱序列的對稱中心為n=N/2，恣意有限長序列其圓周共軛對稱分量與圓周共軛反對稱分量可簡寫為：()(),01222()(),01222epepopopNNNxnxnnNNNxnxnn : ( )( ) ( ) DFT ( )( )( )( )1 ( ) ( )( )21DFT( )( )()( )21 ( ) ( )( )21DFT ( )( )()( )2riepoprrepiiopx nx njx nx nX kXkX

4、kx nx nx nx nX kXNkXkx nx nx nx nX kXNkXk若有那么有：證明：2.DFT的共軛對稱性的共軛對稱性圓周共軛對稱分量。的該序列復數(shù)序列實部的DFTDFT *圓周共軛反對稱分量。的該序列的復數(shù)序列虛部乘以DFTDFTj*)(Im)()(21 )(DFT)()(21)( )(Re)()(21)(DFT)()(21)( :)()()()(DFT:)( )()( :kXjkXkXnxnNxnxnxkXkXkXnxnNxnxnxkjXkXkXnxnxnxnxopopepepIRopep證明則有若有參見式參見式3.2.12 實、純虛序列的對稱特性實、純虛序列的對稱特性 當

5、x(n)為實序列時，那么 X(k)=Xep(k)又據(jù)Xep(k)的對稱性：)()()(*kRkNXkXNNepep 當x(n)為純虛序列時，那么 X(k)=Xop(k)又據(jù)Xop(k)的對稱性：)()()(*kRkXkXNNopop)()()(*kRkNXkXNN)()()(*kRkXkXNN (1) X(k)共軛對稱，即X(k)=X*(N-k) k=0, 1, , N-1 (2) 假設x(n)是實偶對稱序列，即x(n)=x(Nn)，那么X(k)實偶對稱，即X(k)=X(Nk) (3) 假設是奇對稱序列，即x(n)=x(Nn)，那么X(k)純虛奇對稱，即 X(k)=X(Nk) 實序列的對稱特性

6、小結實序列的對稱特性小結 序列 DFT( )( )x nX kRe ( )( )epx nXkIm ( )( )opjx nXk( )Re( )epxnX k( )Im( )opxnjX k 序列 DFTRe ( )( )( )epx nXkX kIm ( )0( )0opjx nXk( )Re( )epxnX k( )Im( )opxnjX k 序列 DFTRe ( )0( )0epx nXkIm ( )( )( )opjx nXkX k( )Re( )epxnX k( )Im( )opxnjX k 例3.2.2 假設 x1(n)和x2(n)都是N點的實數(shù)序列，想象用一次N點DFT運算來計算

7、它們各自的DFT: 利用兩序列構成一個復序列12( )( )( )x nx njx n12( ) ( )( )( )X kDFT x nDFT x njx n則12 ( )( )DFT x nDFT jx n( )( )epopXkXk 共軛對稱性的運用共軛對稱性的運用解：解：由(3.2.17)、(3.2.18)和(3.2.19)式得到：所以，由X(k)可以求得兩個實序列x1(n)和x2(n)的N點DFT：epop( )DFT ( )( )( )X kx nXkXk*ep11( )DFT( )( )()2Xkx nX kXNk*op21( )DFTj( )( )()2Xkx nX kXNk)(

8、)(21)()(*11kNXkXnxDFTkX*221( )DFT( )j ( )()2Xkx nX kXNk 3.3 頻率域采樣 頻域采樣定理討論： 時域采樣: 對一個頻帶有限的信號,根據(jù)抽樣定理對其進展抽樣,所得抽樣信號的頻譜是原帶限信號頻譜的周期延拓,因此,完全可以由抽樣信號恢復原信號。 頻域采樣: 對一有限序列(時間有限序列)進展N點DFT所得x(k)就是序列傅氏變換的采樣.所以DFT是頻域N點抽樣的結果。 能否由頻域抽樣X(k)恢復序列x(n) 能否由頻域抽樣X(k)恢復x(z)或 假設能恢復其條件是什么？如何推導頻域內(nèi)插恢復公式?()jX e回想時域內(nèi)插恢復公式回想時域內(nèi)插恢復公式

9、!X(n)為為M點的點的有限長序列。有限長序列。IDFTX(k)=XN(n)FTDTFTDFS討論之討論之前先明前先明確一些確一些概念概念x(n) ( )( )( )NNNxnxn Rn ( )= ( )( )NX kX k Rk2 ( )()( ) jnkNknNX kX ex n Wk ( )( )() )(kNnkNz WnX kX zx n WkX zN 對在單位圓上 點等間隔抽樣，得周期序列：( )z( )( )nnx nX zx n z任意絕對可和的非周期序列，其 變換： 一一.由頻域抽樣恢復原序列由頻域抽樣恢復原序列( )=IDFS ( )NxnX k則：( )( )Nxnx n

10、我們的目的是分析：與的關系( )= ( )( ) ( )( )( )NNNNX kX k Rkxnxn Rn如令：頻域抽樣時域頻域抽樣時域以以N點為周期點為周期進展延拓的主進展延拓的主值區(qū)間值區(qū)間原序列原序列 ( )( )Nxnx n問題：是否等于，二者之間是什么關系？( )( )NxnX kIDFS令為的：101( )( )( )NnkNNkxnIDFS X kX k WN101( )NmknkNNkmx m WWN 1()01( )Nm n kNmkx mWN()rx nrN1()0110Nm n kNkmnrNWmN其它r為任意整數(shù)X(z)在單位圓上在單位圓上的的N點等間隔采點等間隔采樣

11、所得到的周期樣所得到的周期序列序列X(k)的的IDFS是原序列是原序列x(n)以以N為周期為周期進展延拓的周期進展延拓的周期序列。序列。的關系與)()(nxnxN x(n)為無限長序列混疊失真 x(n)為有限長序列，長度為M 由于時域抽樣呵斥頻域周期延拓，同樣，頻域抽樣呵斥時域周期延拓。1 NM），不失真2NM），混疊失真分兩種情況討論周期延拓能否呵斥混疊失真：分兩種情況討論周期延拓能否呵斥混疊失真：假設序列長度為M，那么只需當頻域采樣點數(shù):時，才有即可由頻域采樣 不失真地恢復原信號 ，否那么產(chǎn)生時域混疊景象。NM( )( )( )NxnIDFT X kx n( )X k( )x n1101(

12、 )1N NkkNzX kNW z( )Mx nNNM對點有限長序列，頻域 點等間隔抽樣，且 1100( )( )( )MNnnnnX zx n zx n z11001( )NNnknNnkX k WzN11001( )NNnknNknX kWzN11011( )1NkNNNkkNWzX kNWz)X(e和X(Z)內(nèi)插恢 復X(k)由j二、1.由由X(k)恢復恢復X(Z)那么：11011( )( )1NNkkNzX zX kNWz內(nèi)插公式：111( )1NkkNzzNWz內(nèi)插函數(shù)：10( )( )( )NkkX zX kz則內(nèi)插公式簡化為： 內(nèi)插公式與內(nèi)插函數(shù)內(nèi)插公式與內(nèi)插函數(shù)2()( )()

13、jjkkz eezkN ()jX e用頻域采樣用頻域采樣 恢復恢復 的內(nèi)插公式的內(nèi)插公式( )X k10()( )( )()jNjjkz ekX eX zX ke12sin12 ( )sin2NjNeN 內(nèi)插函數(shù)：2.記住此公式，第七記住此公式，第七章數(shù)字濾波器的設章數(shù)字濾波器的設計中，我們將會看計中，我們將會看到，該公式提供了到，該公式提供了一種有用的濾波器一種有用的濾波器構造和濾波器設計構造和濾波器設計途徑。途徑。102 ()( ) ()NjkX eX kkN 內(nèi)插恢復過程描述：212 ()20kikNkNiikN 【例3.3.1】 長度為26的三角形序列x(n)如圖3.3.1(a)所示。

14、編寫MATLAB程序驗證頻域采樣實際。解 解題思想： 先計算x(n)的32點DFT，得到其頻譜函數(shù)X(ej)在頻率區(qū)間0，2 上等間隔32點采樣X32(k)，再對X32(k)隔點抽取，得到X(ej)在頻率區(qū)間0，2 上等間隔16點采樣X16(k)。最后分別對X16(k)和X32(k)求IDFT, 得到：繪制x16(n)和x32(n)波形圖驗證頻域采樣實際。161616( )IDFT( )xnXk323232( )IDFT( )xnXkMATLAB求解程序ep331.m如下：%第3章例3.3.1程序ep331.% 頻域采樣實際驗證M=26; N=32; n=0:M; xa=0:M/2; xb=

15、ceil(M/2)-1:-1:0; xn=xa, xb; %產(chǎn)生M長三角波序列x(n)Xk=fft(xn, 512); %512點FFTx(n)X32k=fft(xn, 32); %32點FFTx(n)x32n=ifft(X32k); %32點IFFTX32(k)得到x32(n)X16k=X32k(1:2:N); %隔點抽取X32k得到X16(k)x16n=ifft(X16k, N/2); %16點IFFTX16(k)得到x16(n)以下繪圖部分省略。圖3.3.1 頻域采樣定理驗證 3.4.1 用用DFT計算線性卷積計算線性卷積 3.4.2 用用DFT進展信號的譜分析進展信號的譜分析3.4.1

16、 用用DFT計算線性卷積計算線性卷積 10( )( )( )( )()( )LcLLmy nh nx nh m xnmR n( ) ( )( ) ( )H kDFT h nX kDFT x n0kL-1那么由時域循環(huán)卷積定理有 Y ( k ) = D F T y ( n ) = H ( k ) X ( k ) , 0kL-1假設1.用DFT計算循環(huán)卷積 由此可見， 循環(huán)卷積既可在時域直接計算，也可在頻域計算。 由于DFT有快速算法FFT， 當N很大時， 在頻域計算的速度快得多， 因此常用DFT(FFT)計算循環(huán)卷積。 圖3.4.1 用DFT計算循環(huán)卷積的原理框圖 背景及意義：在實踐運用中，背景

17、及意義：在實踐運用中， 為了分析為了分析LSI系統(tǒng)或者系統(tǒng)或者對序列進展濾波處置時，對序列進展濾波處置時， 需求計算兩個序列的線性卷積。需求計算兩個序列的線性卷積。為了提高運算速度，也希望用為了提高運算速度，也希望用DFT(FFT)計算線性卷積。而計算線性卷積。而與與DFT對應的是循環(huán)卷積，為此需導出線性卷積和循環(huán)卷對應的是循環(huán)卷積，為此需導出線性卷積和循環(huán)卷積之間的關系以及循環(huán)卷積與線性卷積相等的條件。積之間的關系以及循環(huán)卷積與線性卷積相等的條件。 假設假設h(n)和和x(n)都是有限長序列，長度分別是都是有限長序列，長度分別是N和和M。 它們的線性卷積和循環(huán)卷積分別表示如下：它們的線性卷積

18、和循環(huán)卷積分別表示如下： 1010( )( )( )( ) ()( )( )( )( ) ()( )NlmLcLLmy nh nx nh m x nmy nh nx nh m x nmRn2.循環(huán)卷積與線性卷積循環(huán)卷積與線性卷積長度為長度為N+M-1長度為長度為L 其中， LmaxN, M 1010( )( )()( )( ) ()( )NcLmiNLimy nh mx niLm R nh m x niLm R n ( )(), ()() LiLix nx niLx nmx niLm若 則可以看出， 上式中 )()()()()()(10nRiLnynyiLnymiLnxmhLilcNml yc

19、(n)等于yl(n)以L為周期的周期延拓序列的主值序列。假設yl(n)的長度為NM1，那么只需當循環(huán)卷積長度LNM1時，yl(n)以L為周期進展周期延拓時才無時域混疊景象。此時取其主值序列顯然滿足yc(n)=yl(n)。由此證明了循環(huán)卷積等于線性卷積的條件是： LNM1線性卷積與循環(huán)卷積的關系線性卷積與循環(huán)卷積的關系)()()(nRiLnynyLilc圖 3.4.2 線性卷積與循環(huán)卷積 0123451234h(n) x(n)nL 60123451234nL 867h(n) x(n)0123451234nL 1067h(n) x(n)（ d ）（ e ）( f )0123451234nN M1

20、867h(n) x(n)*nM 5012341x(n)nN 401231h(n)（ a ）（ b ）（ c ）89* * 189 10線性卷積與循環(huán)卷積圖示線性卷積與循環(huán)卷積圖示x(n)=1，1，1，1h(n)=1，1，1，1，1線性卷積線性卷積y(n)=1，2，3，4，4，3，2，16點圓周卷積點圓周卷積 X(n)=1，1，1，1，0，0h(0-m)=1，0，1，1，1，1 y(0)=3h(1-m)=1，1，0，1，1，1 y(1)=3h(2-m)=1，1，1，0，1，1 y(2)=3h(3-m)=1，1，1，1，0，1 y(3)=4h(4-m)=1，1，1，1，1，0 y(4)=4h(5-

21、m)=0，1，1，1，1，1 y(5)=3 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 1，2，3，4，4，3，2，1 1，2，3，4，4，3， 2，1 3，3，3，4，4，3直接做圓直接做圓周卷積周卷積利用圓利用圓周卷積周卷積與線性與線性卷積的卷積的關系關系圖 3.4.3 用DFT計算線性卷積框圖 補L N個零點L點DFT補L M個零點L點DFTL點IDFTy(n)h(n)x(n) MN。假設仍選取LNM1，以L為循環(huán)卷積區(qū)間，并用上述快速卷積法計算線性卷積，那么要求對短序列補很多零點，而且長序列必需全部輸入后才干進展快速計算。因此要求存儲容量大，運算時間長，并使處置

22、延時很大，不能實現(xiàn)實時處置。通常采用分段卷積。假設將x(n)均勻分段， 每段長度取 M， 那么0( )( )( )( )()kkkMx nxnxnx nRnkM于是，于是， h(n)與與x(n)的線性卷積可表示為的線性卷積可表示為000( )( )( )( )( ) ( )( )( )kkkkkkky nh nx nh nx nh nx ny n3.3.長序列的分段卷積長序列的分段卷積圖 3.4.4 重疊相加法卷積表示圖 M0NMMx1(n)x0(n)x2(n)N M 1N M 1y0(n)y1(n)N M 1y2(n)2MM3M N 10N 1y(n) y0(n) y1(n) y2(n) n

23、nnnnnh(n)用用DFT計算分段卷積計算分段卷積yk (n)的方法：的方法：1 i=0；L=NM1；計算并保管H(k)=DFTh(n) L; 2 讀入x i(n)=x(n)R M(nkM)，構造變換區(qū)間0，L-1上的序列，實踐中就是將x i (n)的M個值存放在長度為M的數(shù)組中, 并計算3；4 ，n = 0,1,2,L1；5計算： 6 i =i1，前往(2)。該當闡明，普通x(n)是因果序列，假設初始條件y-1(n)=0。 ( )()( )iiMx nx nkM Rn( )DFT ( )iiLX kx n( )( )( )iiY kH k X k ( )()( )IDFT ( )iiLiLy ny nkM R nY k1()( ),02 ()() ( ),11 ()