極限分析與滑移線理論

1、極限分析與滑移線理論河海大學巖土工程研究所盧廷浩概 述 對于土體，滑移線理論、極限分析理論與力的極限平衡理論同屬極限狀態(tài)理論的范疇，都是求土體達到極限狀態(tài)時解答的理論方法。這些理論方法都是假定分析對象服從庫侖材料破壞準則，求解時不考慮材料到達極限狀態(tài)的過程，即不考慮材料的具體應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，從而求得土體達到極限狀態(tài)時的解答，但他們各自求解問題的視角和方法不同。關(guān)于力的極限平衡理論 力的極限平衡理論假定土體為理想剛塑性體，依據(jù)于經(jīng)典靜力學中剛體平衡理論推求極限狀態(tài)解答，簡稱為極限平衡法。該方法最為人們所熟悉，其突出優(yōu)點是簡單，應(yīng)用廣泛。例如，經(jīng)典土壓力計算理論，假定滑動面的土坡穩(wěn)定安全系數(shù)計算，地

2、基極限承載力計算等。 關(guān)于極限分析理論 極限分析理論假定土體為彈性理想塑性體或剛塑性體，強度包線為直線且服從正交流動規(guī)則的標準庫侖材料。當作用于土體上的荷載達到某一數(shù)值并保持不變時，土體會發(fā)生“無限”塑性流動，則認為土體處于極限狀態(tài)，所對應(yīng)的荷載稱為極限荷載。極限分析理論就是應(yīng)用彈性理想塑性體或剛塑性體的普遍定理上限定理（求極限荷載的上限解）和下限定理（求極限荷載的下限解）求解極限荷載的一種分析方法，稱為極限分析法。關(guān)于滑移線理論 土力學中的滑移線理論是從經(jīng)典塑性力學的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。假定土體為理想剛塑性體，強度包線為直線且服從正交流動規(guī)則的標準庫侖材料。滑移線理論是基于平面應(yīng)變狀態(tài)的土體內(nèi)

3、當達到“無限”塑性流動時，塑性區(qū)內(nèi)的應(yīng)力和應(yīng)變速度的偏微分方程是雙曲線這一事實，應(yīng)用特征線理論求解平面應(yīng)變問題極限解的一種方法，稱為滑移線法。 正交流動規(guī)則正交流動規(guī)則 塑性應(yīng)變率之間的關(guān)系（圖）.1FppnnFtg 3131FFpp0cos2)sin1 ()sin1 (31CF或0tgCFn屈服函數(shù)屈服函數(shù).ppntg 1 sin()1 sin42tg 兩種表達同單剪中能量耗散率ppnnD fnctg代入.pDc得單元體能量耗散率單元體pn總能量耗散率.intcospDD l hcl hclv .cospvh是A點的速度v在剪切面上的速度分量材料總能量耗散率能量耗散率計算 薄變形層上的剛體滑

4、動能量耗散率 以對數(shù)螺線為周界的變形鍥體的能量耗散率 （推導(dǎo)）上、下限定理靜力容許的應(yīng)力場靜力容許的應(yīng)力場 設(shè)有物體V，其表面A，面力 和體力 已知。若在此物體上，設(shè)定一組應(yīng)力場，滿足下列條件，則稱為靜力容許應(yīng)力場。 在體積V內(nèi)滿足平衡方程，即 在邊界上滿足邊界條件，即 在體積V內(nèi)不違反屈服條件，即 由定義可知，物體處于極限狀態(tài)時，其真實的應(yīng)力場必定是靜力容許的應(yīng)力場；但靜力容許應(yīng)力場不一定是極限狀態(tài)時真實的應(yīng)力場。iif上、下限定理機動容許的位移速率場機動容許的位移速率場 ui ui 在物體V上，若設(shè)定一組位移速率場，滿足以下條件，為機動容許的位移速率場。 在體積V內(nèi)滿足幾何方程，即 則稱)

5、(21*,*,*ijjiijuu在邊界Su上滿足位移邊界條件，或速度邊界條件，并使外力做正功。由上述定義可知，物體于極限狀態(tài)時，其真實的位移速率場必定是機動容許的位移速率場；但機動容許的位移速率場不一定是極限狀態(tài)時真實的位移速率場。上、下限定理虛功方程與虛功率方程虛功方程與虛功率方程 虛功原理表明：對于一個連續(xù)的變形體，任意一組靜力容許的應(yīng)力場和任意一組機動容許位移場，外力的虛功等于內(nèi)力的虛功。 同理虛功率原理可表示為：對于任意一組靜力容許應(yīng)力場和任意一組機動容許的位移速率場，外力的功率等于物體內(nèi)虛變形功率。 如果物體內(nèi)部存在速度間斷時，其虛功率方程可表示為： 以上幾個定理的證明可參考土力學有

6、關(guān)書本，這里從略。根據(jù)虛功率方程可以證明極限分析中兩個重要的定理，即上下限定理。dvdAuFdAuTijAvijViiii*0*dsvtgdvdvuFdAuTtsnijAvijviiii )(*0*vtdvdvuFdAuTijAvijViiii*0*式中，S速度間斷面； 速度間斷面兩側(cè)切向 速度的變化。上、下限定理上、下限定理下限定理下限定理： 在所有與靜力容許的應(yīng)力場滿足 相對應(yīng)的荷載中，極限荷載最大。 （證明） Fij（） 0上、下限定理上、下限定理上限定理： 在所有的機動容許的塑性變形位移速率場相對應(yīng)的荷載中，外功功率等于物體內(nèi)能耗散率所對應(yīng)的極限荷載為最小。 （證明）下限定理證明下限定

7、理證明 證：設(shè) 為真實的應(yīng)力場，對應(yīng)的表面力為Ti， 為真實的位移速率場，由幾何方程求得真實應(yīng)變率為 ，真實速度場中可能存在速度間斷面SL，其上的切向速度躍度為 ；在Su上給定速度為 ，在ST上給定表面力為 ，給定的體力為Fi。 ij uiijvtiu iT下限定理證明下限定理證明由虛功率方程得 又設(shè)另一靜力容許的應(yīng)力場，對應(yīng)的表面力為，由虛功率方程得 LtsLnijvijisiviidsvtgtdvdsuTdvuF )(00LsLtvijijsiiviidsvCdvdsuTdvuF下限定理證明下限定理證明上述兩式相減得 0()iiisTT u dsLtsLnjivijijisiidsvtgC

8、dvdsuTT )()()(00由Drucker公式得到ijijij)(00 由于Ctgn )(tnvtgC同時 0，即剪應(yīng)力做正功率知0， 得證。0()iiisTT u ds上限定理證明上限定理證明 上限定理：在所有的機動容許的塑性變形位移速率場相對應(yīng)的荷載中，極限荷載為最小。 證：設(shè) 為物體達到極限狀態(tài)的真實應(yīng)力場，其對應(yīng)的表面力為Ti， 為真實位移速率場，由幾何方程求得的應(yīng)變率為 ，真實速度場中可能有速度間斷面SL，其上的速度切向躍值為 ；體力為Fi。 ij uiijvt上限定理證明上限定理證明 另設(shè)一機動容許的位移速率場 ，對應(yīng)的應(yīng)變率為 ，應(yīng)變速度場可能有間斷面，其上的切向速度為 。

9、虛功率方程得*ui*ij*vt* )(LvtvSLnijijsiiiidsvtgdvdsuTdvuF()*ijijvij由于由于0 上限定理證明上限定理證明又tgnC，則有* )(*LtLtSndsvCdsvtgLvLStijijsiiiidsvCdsuTdvuFL*后兩式代入第一式，有顯然只有當*uuii時，上式等號成立。上限定理得到證明。Fij（）0事實上，不妨設(shè)Fi,Ti 就是真正的極限荷載，對應(yīng)的靜力許可應(yīng)力場 滿足左邊是外功功率，右邊是能量耗散率，這就證明滿足外功功率能量耗散率塑性變形時的荷載最小。上、下限定理應(yīng)用舉例 地基極限承載力 下限解 上限解上、下限定理應(yīng)用舉例 垂直邊坡臨界

10、高度 （無裂縫的垂直邊坡） 已知上限解外功功率 B C H 剛體 剛體 v t A 圖75 豎直邊坡平動機制 )cos(tan212tvHw外內(nèi)能消散率 ttvHCwcoscos內(nèi),ttc垂直邊坡臨界高度根據(jù)內(nèi)外ww)cos(sincos2tttCH根據(jù)求導(dǎo) 0/ddH2/4/tcr有得上限解)245tan(4ttCH垂直邊坡臨界高度根據(jù) 下限解 x 0 x H yy )(Hyx )(Hyyx y yy 圖79 豎直邊坡靜力場 區(qū)域的莫爾圓 n 區(qū)域坡底處的莫爾圓 圖710 靜力場中的莫爾圓 有裂縫的垂直邊坡 上限解 H 剛體 剛體 nH t B A 圖77 不能抗拉的豎直邊坡 )cos()1

11、 (tan5 . 022tvnHw外ttvnHCwcos)1 (cos內(nèi))cos(sincos)1 (2tttnCH)245tan(4)1 (ttCnH上、下限定理應(yīng)用舉例地基承載力（下限界）zz1區(qū)2區(qū)3區(qū)zzHHHHq1、3區(qū)2區(qū)uczHzq上、下限定理應(yīng)用舉例地基承載力（上限界）機動許可速度場（附圖：幾種情況討論） 圓弧滑動面45o斜面斜面60o滑移線概念 基本假定 基本方程 平衡方程為 sinyxxxycosxyzxz22sin22xxxz22zz（）（+c ctg ）土體屈服條件為土體屈服條件為水平線滑移線概念 應(yīng)力分量表達 當土體達到塑性極限平衡時（達到塑性屈服），土體單元將一對剪

12、破面，剪破面與大主應(yīng)力的夾角為 。設(shè)大主應(yīng)力 與 軸的夾角為 ，則三個應(yīng)力分量 可分別表達為 式中 稱為平均法向引用應(yīng)力 421x,xzxz (1 sincos2 )xc ctg (1 sincos2 )zc ctg sinsin2xz2xz（)+c ctg滑移線在平面應(yīng)變問題中，平面上任一點度有兩個正交主應(yīng)力，將各點主應(yīng)力方向連續(xù)地連接起來就是主應(yīng)力跡線。當土體處于屈服狀態(tài)時，每一點都存在一對剪破面，即面和面，將平面上各點剪破面連續(xù)地連接起來就可以得到兩族曲線，稱為滑移線（或滑動線。滑移線上一點的切線就是該點的滑動面方向。 圖 6.2 族 曲 線133 族 曲 線 -1滑移線與滑移線方程 線

13、和 線的微分方程為 ()dztgdx()dztgdx圖6.2族曲線133族曲線- 1應(yīng)力平衡方程的特征線方程 特征線方程 推導(dǎo) 特征線方程組 極限平衡方程改寫 (1 sincos2 )sinsin22sin (sin2cos2)sinxzxzsinsin2(1 sincos2 )2sin (cos2sin2)cosxzxz特征線方程推導(dǎo) 上式是關(guān)于 、 的一階擬線形偏微分方程組，直接求解這個偏微分方程組極其困難。由于兩族滑移線自己的夾角是 為此可以將方程改寫：以 乘第一個方程；以 乘第二個方程，然后相加，得22()422sin()-cos()特征線方程推導(dǎo)空間曲面方程以 為變量空間曲面方程 s

14、in()cos()2cos()2xcoscoscos()0tgtgxzz , x z， 特征線方程推導(dǎo) 在xoz平面內(nèi)一定存在某曲線 ，該曲線上 和 正好滿足方程；沿該線 、 可以表達為( , )( , )x zx zz=z(x)求全微分（過程略）特征線方程推導(dǎo)空間曲面方程 sin()sin()2xcossin()cos()cos()cos()2cossin()cos()tgxdxdztgzzdxdz2sin()cos()cosdtgddxdz 應(yīng)力間斷線應(yīng)力間斷線推導(dǎo)t1t212tttn1n2n切向正應(yīng)力間斷應(yīng)力間斷線應(yīng)力間斷線推導(dǎo)2221zc22( ,)21( ,) 圖7.2特征線方程推導(dǎo)

15、 當右端項分子分母同時為0，左端的導(dǎo)數(shù)值不定， 稱為特征線。特征線方程組如下z=z(x)()dztgdx2sin()cos()cosdtgddxdz特征線方程組的差分解法差分方程組111222()()()()mmmmzztgxxzztgxx11111222222()sin()()cos()()cos2()sin()()cos()()cosmmmmmmmmtgxxzztgxxzz 提高差分解精度 依據(jù)問題定性作出較密的滑移線網(wǎng)格；逐點進行一次差分計算后，再在前一次差分計算結(jié)果的基礎(chǔ)上進行逐次迭代計算 ，以1212121211111111(),(),(),(),(),(),(),()2222222

16、2mimimimimimimimixxxxzzzz12121212,x x z z 分別代替 進行下一次迭代 差分計算看似繁瑣，但應(yīng)用計算機采取編程計算就極簡單而且快捷 邊界已知值換算 由 換算成p,， 221()sinnttpc ctgp 圖8.1c ctg 1土體單元極限平衡狀態(tài) 土體單元極限平衡狀態(tài) （推導(dǎo)） c ctg 圖8.22 222邊界已知值換算推導(dǎo)推導(dǎo)1()pO NO N或NO Q O Q2()O QN -或 OQN1邊界上M點的應(yīng)力狀態(tài)用莫爾圓表示，由圖可見（引用應(yīng)力）（引用應(yīng)力對法線的傾角）（平均法向引用應(yīng)力）（方向?qū)吔鐑A角的2倍） 邊界已知值換算推導(dǎo)點 和點 對應(yīng)著兩種

17、應(yīng)力狀態(tài)，即被動狀態(tài)和主動狀態(tài)。 在上式分別合成一個式子，有（ ）NNN22m 1()2msinsin()sin2sin()pp N2(21)m 1()22msinsinsin2sin()pp 1(1)()42mKK1K 處，或按正弦定律 在處， 或按正弦定律 圖8.3邊界已知值換算由 換算成p, 或,nt 當差分計算到未知邊界后，一般應(yīng)完成這種換算，以便于設(shè)計使用。換算可采用如下兩種方法之一進行。 p,nt(1 sincos2 )nc ctg sinsin2tp,方法1：利用式，反求，方法2：先由莫爾圓上直接求出然后求出再求求出邊值問題 第一種邊值問題（柯西問題） 第二種邊值問題（古爾斯問題

18、，黎曼問題）圖8.5圖8.4特征曲線A zxoooA zx光滑邊界o 1A 2o 2A 2邊值問題 第三種邊值問題（混合問題） 第四種邊值問題圖8.7圖8.6o光滑邊界光滑邊界zxoA a1zxA o 特征線光滑邊界A 3地基極限承載力 邊界條件 已知條件有：地基土性參數(shù) ； 邊荷載 ；以及基底荷載之傾角 （由上部結(jié)構(gòu)荷載水平與垂直分量確定）。 目的是：求基底面極限承載力及其分布 , , cqdc ctg 地基極限承載力 滑移線網(wǎng)格與節(jié)點圖10.1112 12A地基極限承載力 計算表格（步驟） 分區(qū)解答 極限荷載、實際荷載土坡穩(wěn)定 坡頂極限承載力A圖 11.1土坡穩(wěn)定 極限邊坡輪廓線01族族設(shè)計A圖1