振動理論基礎(chǔ)PPT學(xué)習教案

1、會計學(xué)1振動理論基礎(chǔ)振動理論基礎(chǔ)機械系統(tǒng)在其平衡位置附近所作的往復(fù)運動稱為振動振動。振動現(xiàn)象普遍存在于自然界和工程技術(shù)中，如地震。本章僅研究單自由度系統(tǒng)的微振動，討論振動的基本特征。 談?wù)劚緦I(yè)內(nèi)有關(guān)振動問題！？第1頁/共71頁系統(tǒng)偏離平衡位置后，僅在恢復(fù)力作用下維持的振動稱為自由振動自由振動。 16-1 單自由度系統(tǒng)的自由振動圖示為單自由度系統(tǒng)自由振動的簡化模型，它是從實際振動系統(tǒng)中抽象出的簡圖。設(shè)彈簧原長為lo ，剛度為k ，物塊質(zhì)量為m ，靜平衡時，彈簧變形為st（稱靜變形），有第2頁/共71頁以平衡位置為原點，建立圖示坐標。物塊在一般位置的受力如圖示，則其振動微分方程為 令 ，代入上式

2、，得單自由度系統(tǒng)自由振動微分方程的標準形式 第3頁/共71頁其通解 頻率周期積分常數(shù)A 和分別為振幅和初位相。它們由運動的初始條件決定。 圓頻率（或固有圓頻率、固有頻率） 第4頁/共71頁頻率頻率和周期周期只與系統(tǒng)本身所固有的慣性和彈性有關(guān)，而與運動的初始條件無關(guān)，是描述振動系統(tǒng)基本性質(zhì)的重要物理量。 第5頁/共71頁質(zhì)量m=0.5kg的物塊，沿光滑斜面無初速滑下，如圖所示。當物塊下落高度h=0.1m時撞于無質(zhì)量的彈簧上并不再分離。彈簧剛度k=0.8kN/m，傾角300，求系統(tǒng)振動的固有頻率和振幅，并寫出物塊的運動方程。 例16-1第6頁/共71頁解：解：物塊在平衡位置時，彈簧靜變形 以此位置

3、為原點以此位置為原點O，建立圖示，建立圖示坐標。坐標。物塊受力如圖，其運動微分方程為 化簡后得 系統(tǒng)的固有頻率 第7頁/共71頁當物塊碰上彈簧時，取時間t=0，作為振動的起點。則運動的初始條件：初位移 初速度 得振幅及初位相 mm物塊的運動方程 第8頁/共71頁如圖所示。在無重彈性梁的中部放置質(zhì)量為如圖所示。在無重彈性梁的中部放置質(zhì)量為m的物塊，其的物塊，其靜撓度（靜變形）為靜撓度（靜變形）為2mm。若將物塊在梁未變形位置處無。若將物塊在梁未變形位置處無初速釋放，求系統(tǒng)的振動規(guī)律。初速釋放，求系統(tǒng)的振動規(guī)律。 例16-2第9頁/共71頁解：解：此無重彈性梁相當于彈簧，其剛性系數(shù) 取重物平衡位置

4、為坐標原點，x軸方向鉛直向下，運動微分方程為: 式中圓頻率 第10頁/共71頁在初瞬時t0，物塊位于未變形的梁上，其坐標x0st= 2mm，初速v0=0，則初位相 振幅系統(tǒng)的振動規(guī)律 mmmm第11頁/共71頁等效彈簧并聯(lián)和串聯(lián)彈簧等效彈簧并聯(lián)和串聯(lián)彈簧 并聯(lián)彈簧 下圖表示剛度分別為k1和k2的兩個彈簧并聯(lián)的兩種形式，其分析方法相同。 由平衡方程得 式中為并聯(lián)彈簧的等效彈簧剛度。n個并聯(lián)彈簧的等效剛度 第12頁/共71頁 串聯(lián)彈簧 圖示為串聯(lián)彈簧。靜平衡時，變形分別為 和 。 彈簧總伸長 等效彈簧剛度 n個彈簧串聯(lián)，則有 第13頁/共71頁圖為一擺振系統(tǒng)。桿重不計，球質(zhì)量為m ，擺對軸O的轉(zhuǎn)動

5、慣量為J，彈簧剛度為k，桿于水平位置平衡，尺寸如圖。求系統(tǒng)微小振動的運動微分方程及振動頻率。 例16-3第14頁/共71頁解：解：擺處于平衡位置時，彈簧已壓縮 由平衡方程 有 以平衡位置為角坐標原點，擺繞軸O的轉(zhuǎn)動微分方程 得系統(tǒng)自由振動微分方程 固有頻率 可見，只要以平衡位置為坐標原點，系統(tǒng)的運動微分方程具有標準形式。 第15頁/共71頁16-2 計算系統(tǒng)固有頻率的能量法 對于單自由度的保守系統(tǒng)，固有頻率可簡便地由機械能守恒定律求出，稱為能量法。 設(shè)圖示系統(tǒng)作簡諧振動，則有 若以平衡位置為勢能零點，則系統(tǒng)勢能 第16頁/共71頁系統(tǒng)動能 由機械能守恒，即T+V常數(shù)，則 系統(tǒng)固有頻率 表明；如

6、取平衡位置為勢能零點，則可以彈簧在平衡位置的長度為原長計算彈性勢能，而不考慮重力勢能。只要寫出系統(tǒng)的只要寫出系統(tǒng)的動能和以平衡位置為零點的勢能，即可確定系統(tǒng)的固有頻率動能和以平衡位置為零點的勢能，即可確定系統(tǒng)的固有頻率，而不必列寫系統(tǒng)的微分方程。，而不必列寫系統(tǒng)的微分方程。 第17頁/共71頁圖示為兩個相同的塔輪。齒輪半徑皆為R，半徑為r 的鼓輪上繞有細繩，輪上連一鉛直彈簧，輪上掛一重物。塔輪對軸的轉(zhuǎn)動慣量皆為J ，彈簧剛度為k ，重物質(zhì)量為m 。求系統(tǒng)振動的固有頻率。 例16-4第18頁/共71頁解：解：以系統(tǒng)平衡時重物的位置為原點，取 x 為廣義坐標。 設(shè)系統(tǒng)振動的規(guī)律為 則 塔輪角速度

7、系統(tǒng)動能 第19頁/共71頁取平衡位置為勢能零點，系統(tǒng)的勢能為 由 得系統(tǒng)的固有頻率 第20頁/共71頁在如圖示的振動系統(tǒng)中，擺桿AO對鉸鏈O的轉(zhuǎn)動慣量為J，在A水平位置處于平衡，求系統(tǒng)微振動的固有頻率。 例16-5第21頁/共71頁解：解：取擺角 為廣義坐標，設(shè)其變化規(guī)律為 系統(tǒng)動能 以平衡位置為勢能零點，系統(tǒng)勢能 由 得固有頻率 2222122)(2121dklkJn第22頁/共71頁如圖所示，質(zhì)量為m ，半徑為r 的圓柱體，在半徑為R 的圓弧槽上作無滑動的滾動。求圓柱體在平衡位置附近作微小振動的固有頻率。 例16-6第23頁/共71頁解：解：取擺角 為廣義坐標，設(shè)其微振動規(guī)律為 圓柱體中

8、心O1的速度 由運動學(xué)知，當圓柱體作純滾動時，角速度 系統(tǒng)動能 第24頁/共71頁整理后得 系統(tǒng)的勢能為重力勢能，取圓柱在最低處時的圓心位置C 為勢能零點，則系統(tǒng)勢能 圓柱體作微振動 第25頁/共71頁由 得 2222)(21)(43rRmgrRmn第26頁/共71頁16-3 單自由度系統(tǒng)有阻尼的自由振動 由于阻力作用，自由振動的振幅將逐漸衰減，最后趨于靜止。產(chǎn)生阻尼的原因很多，不同的阻尼具有不同的性質(zhì)。以下僅討論阻力與速度成正比的粘性阻尼或稱線性阻尼線性阻尼。即 式中負號表明阻力與速度方向相反，阻尼系數(shù)c 取決于阻尼介質(zhì)的性質(zhì)和物體的形狀。 第27頁/共71頁1、有阻尼自由振動微分方程的標準

9、形式圖（a）為一有阻尼的質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)。取平衡位置為坐標原點，受力如圖（b）。 阻力 微分方程為 或化簡得 代入上式得衰減振動微分方程的標準形式 令第28頁/共71頁2、微分方程的解 設(shè) ，代入式中，得特征方程 方程的兩個根 通解 有三種可能情形： 第29頁/共71頁 小阻尼情形 當 或 時，稱為小阻尼小阻尼。 此時 令 則 得運動方程 如圖所示。由于振幅隨時間不斷衰減，故稱為衰減振動衰減振動。第30頁/共71頁衰減振動的周期 令 稱為阻尼比阻尼比。 周期Td較無阻尼自由振動的周期T 略有增加。阻尼對周期的阻尼對周期的影響很小影響很小，可忽略不計，取TdT。 則 第31頁/共71頁阻尼對振幅的

10、影響 為描述振幅 Ai 的衰減，引入減幅系數(shù)（或稱振幅縮減率振幅縮減率）。由圖示得 上式表明：衰減振動的振幅按幾何級數(shù)遞減。阻尼阻尼對自由振動的振幅影響較對自由振動的振幅影響較大大。 例如：0.05時，Td1.00125T而經(jīng)過10個周期后，振幅只及原振幅的4.3%。第32頁/共71頁初始幅值 A 和初位相取決于初始條件。 對上式兩邊取對數(shù)得對數(shù)縮減率對數(shù)縮減率所以設(shè)t0時， ， ，則有 第33頁/共71頁 臨界阻尼情形 當 或 時，稱為臨界阻尼臨界阻尼。 此時， 。微分方程的解為 不具有振動的特點不具有振動的特點，積分常數(shù)C1、C2由初始條件定。運動圖如圖所示。 第34頁/共71頁 大阻尼情

11、形 當 或 時，稱為大阻尼大阻尼。 此時微分方程的解為 積分常數(shù)C1、C2由初始條件定。運動圖如圖所示。 第35頁/共71頁圖為一彈性桿支持的圓盤，彈性桿扭轉(zhuǎn)剛度為k1，圓盤對桿軸的轉(zhuǎn)動慣量為J。如圓盤外緣受到與轉(zhuǎn)動速度成正比的切向阻力，其衰減扭振的周期為Td。求圓盤所受阻力偶的矩與轉(zhuǎn)動角速度的關(guān)系。 例16-7第36頁/共71頁解：解：盤外緣切向阻力與轉(zhuǎn)動速度成正比，則此阻力偶矩M 與角速度成正比，且轉(zhuǎn)向相反。 設(shè) ，為阻力偶系數(shù)，則圓盤繞桿軸轉(zhuǎn)動的微分方程為 或 由此得衰減振動周期 第37頁/共71頁則阻力偶系數(shù) 得 第38頁/共71頁16-4 單自由度系統(tǒng)的受迫振動 振動系統(tǒng)在外加持續(xù)激

12、勵下的振動稱為受迫振動受迫振動。下面僅討論簡諧激勵情形。圖示為三種類型的簡諧激勵，分別是：激勵力直接作用；彈簧端點運動引起的激勵和偏心轉(zhuǎn)子引起的激勵。 第39頁/共71頁1、激振力直接作用下的受迫振動 振動微分方程 圖為受迫振動系統(tǒng)的簡化模型。激振力 其中，H為最大激振力，為激振力的圓頻率。 以平衡位置為坐標原點，則 ： 令 整理化簡后，得單自由度系統(tǒng)受迫振動微分方程的標準形式 第40頁/共71頁 微分方程的解 方程的通解由兩部分構(gòu)成：對應(yīng)的齊次方程的通解和該方程的一個特解。 上式右端第一項為衰減振動，經(jīng)過短暫時間，即趨于衰減，稱瞬態(tài)響應(yīng)瞬態(tài)響應(yīng)。最后得到持續(xù)的等幅振動，稱穩(wěn)態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，即

13、系統(tǒng)的受迫振動 由式可知，受迫振動的頻率等于激振力的頻率受迫振動的頻率等于激振力的頻率。 將上式代入微分方程式，化簡后得到受迫振動的振幅振幅和位相差位相差 第41頁/共71頁式中 分別稱為頻率比頻率比、阻尼比阻尼比和由最大激振力引起的彈簧的靜變形。 第42頁/共71頁受迫振動的振幅與靜變形之比稱放大系數(shù)放大系數(shù)，即 當一定，與間的關(guān)系如圖所示，稱為幅頻特性曲線幅頻特性曲線。由圖可知： 幅頻特性當1時，阻尼對振幅的影響很小，可忽略不計。共振區(qū)共振區(qū) =0.751.25。在此區(qū)域內(nèi)阻尼對振幅有顯著影響，1時，振幅急劇增加出現(xiàn)峰值的現(xiàn)象，稱為共振共振。對應(yīng)曲線峰值的頻率，稱為系統(tǒng)的共振頻率。第43頁

14、/共71頁 當 1時，阻尼對振幅影響可忽略不計。 小阻尼時，共振頻率近似等于固有頻率，共振振幅近似與阻尼比成反比，即 第44頁/共71頁相頻特性曲線如圖所示。由圖可知，當有阻尼時，隨頻率比/n連續(xù)變化。當1時，0，受迫振動位移與激振力接近同位相。當 1時，受迫振動與激振力接近反位相。當1時， ，與阻尼大小無關(guān)，這是共振時的一個重要特征。2 相頻特性工程上利用此特點，通過實驗測定系統(tǒng)固有頻率n。第45頁/共71頁2、彈簧端點作簡諧運動引起的受迫振動 振動系統(tǒng)的簡化模型如圖所示。設(shè)臺面光滑，端點A 的運動規(guī)律 則彈簧恢復(fù)力 微分方程 令 得 與激振力直接作用下的受迫振動形式相同。前述有關(guān)受迫振動的

15、討論適用于此。 第46頁/共71頁3、偏心轉(zhuǎn)子引起的受迫振動 電機安裝在基礎(chǔ)上，如圖所示，彈性地基簡化為剛度為k的彈簧。設(shè)基礎(chǔ)質(zhì)量為m1，電機定子質(zhì)量為m2，轉(zhuǎn)子質(zhì)量為m ，偏心距e 。轉(zhuǎn)子以勻角速度轉(zhuǎn)動。由于偏心，系統(tǒng)將沿鉛垂方向作受迫振動。建立圖示坐標軸Ox 。系統(tǒng)在平衡位置時，有 轉(zhuǎn)子質(zhì)心的加速度 第47頁/共71頁由質(zhì)心運動定理，得 得 令 得微分方程的標準形式 與激振力直接作用下的受迫振動微分形式相同。第48頁/共71頁令 則 代入 注意到激振力幅值與其頻率有關(guān)，得系統(tǒng)受迫振動的振幅 放大系數(shù) 第49頁/共71頁幅頻特性曲線如圖所示 當0時，b 0 ， 0 ；當1時， 又逐漸減少，當

16、很大時，1；當=1時發(fā)生共振，此時轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速稱為臨界轉(zhuǎn)速臨界轉(zhuǎn)速。 第50頁/共71頁圖示為一測振儀的簡圖，其中物塊質(zhì)量為m ，彈簧剛度為k 。測振儀放在振動物體表面，并隨物體而運動。設(shè)物體的振動規(guī)律為求測振儀中物塊的運動微分方程及其受迫振動規(guī)律。 例16-8第51頁/共71頁解：解：測振儀隨物體振動，則其彈簧懸掛點的運動規(guī)律為 取 t=0 時物塊的平衡位置為坐標原點，取x 軸如圖。在任一瞬時t ，彈簧的變形為 物塊的運動微分方程注意到 ， ，上式整理后，得 第52頁/共71頁受迫振動規(guī)律為 此時激振力的力幅為H=ke，由式得 由于測振儀殼體也在運動，其振幅為e ，因而圖中記錄紙上畫出的振幅為

17、物塊相對于測振儀的振幅 。由式可知，當 時， ，有 ，物塊幾乎不動，記錄紙上畫出的振幅也就接近于被測物體的振幅。 第53頁/共71頁例16-9圖為一無重剛桿。一端鉸支，距鉸支端 l 處有一質(zhì)量為m 的質(zhì)點，距 2l 處有一阻尼器，其阻尼系數(shù)為c，A 端有一剛度為k 的彈簧，并作用一簡諧激振力 。剛桿在水平位置平衡，試列出系統(tǒng)的振動微分方程，并求系統(tǒng)的固有頻率n，以及當激振力頻率 等于n 時質(zhì)點的振幅。 第54頁/共71頁解：解：取擺角為廣義坐標，系統(tǒng)平衡位置為坐標原點。整理后得 令 當 時，得振幅（最大擺角） 質(zhì)點的振幅 受力如圖示。由剛體轉(zhuǎn)動微分方程得第55頁/共71頁57 電動機安裝在基礎(chǔ)

18、上，基礎(chǔ)下面是彈性基地，如圖所示。已知地基的彈性系數(shù)為k，基礎(chǔ)質(zhì)量為m1，電動機定子質(zhì)量為m2，轉(zhuǎn)子質(zhì)量為m，轉(zhuǎn)子有偏心距e，轉(zhuǎn)子以勻角速度轉(zhuǎn)動。求：（1）基礎(chǔ)的強迫振動的振幅；（2）基礎(chǔ)對電動機的鉛直動約束力。例16-10第56頁/共71頁581. 將電動機和基礎(chǔ)看成一質(zhì)點系分析它的運動和受力情況彈性力(a)(b)(c)應(yīng)用得因為平衡時則有第57頁/共71頁59 （2） (d)根據(jù)振動理論，系統(tǒng)的固有頻率為強迫振動的規(guī)律為其振幅為(e)(f)(g)或第58頁/共71頁602. 求地基對電動機的鉛直動約束力。由此求出動約束力(h)將式(f)對t微分兩次，并將式(g)代入后，有(f)(g)取電動

19、機為研究對象，由質(zhì)心運動定理得第59頁/共71頁16-5 隔振的概念減輕振動的危害，在工程上是一個重要的研究課題。通常有以下的減振措施： 抑制振源強度例如，對高速轉(zhuǎn)子進行靜平衡和動平衡試驗，以消除不平衡的慣性力；為減小車輛振動提高路面或軌道的質(zhì)量；減小高層建筑的迎風面積以降低風載等。 消振采用多種形式的消振器，如動力消振器，阻尼消振器等。 隔振將振源與減振體隔開，隔斷振動的傳播，降低振源的影響。 本節(jié)只討論隔振的理論基礎(chǔ)。按照研究對象的不同，分為主動隔振和被動隔振。其隔振效果均以隔振系數(shù)表示。第60頁/共71頁主動隔振主動隔振 主動隔振是將振源與支承它的基礎(chǔ)隔開。研究的對象是振源本研究的對象是振源本身身。如電機、水泵、鑄壓機械等。為減小機器的振動對周圍環(huán)境的影響，墊上橡膠、枕木等彈性支承，以降低振動傳到基礎(chǔ)上的強度。 圖為主動隔振的簡化模型，激振力 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)受迫振動規(guī)律 振幅 第61頁/共71頁物塊振動時，通過彈簧和阻尼器傳到地基上的力分別為 它們以相同的頻率作簡諧變化，但相位差。用旋轉(zhuǎn)矢量表示如圖所示。 隔振之后傳給地基的力的最大值 和主動隔振系數(shù)（力的傳遞率） 第62頁/共71頁圖是在不同阻尼