江蘇省常州市2020-2021學年高二上學期期末數(shù)學試題

1、江蘇省常州市2020.2021學年高二上學期期末數(shù)學試題學校;姓名:班級:考號:一、單選題1 .如果av0B. acbcC. a1 0)的左，右頂點分別是A,8,左，右焦點分別是1,凡, cr b-若卜耳|,用號底叫成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為1A.-4C.D. /5-26.在下列函數(shù)中，最小值為2的是（x 5A. y = - + - (xeR且xwO) 5 xB.y = Isx + !(1 x0, y0,且x+y = S,沖=p，則下列說法中正確的是（）人.當且僅當工=）時5取得最小值25/?s8 .當且僅當x =），時夕取得最大值一4C.當且僅當夕為定值時S取得最小值Q2d.當且僅當s為

2、定值且x = y時p取得最大值一49 .周髀算經(jīng)中一個問題：從冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、 清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣的日影子長依次成等差數(shù)列，若冬至、立 春、春分的日影子長的和是37.5尺，芒種的日影子長為4.5尺，則冬至的日影子長為：（）A. 15.5尺B. 12.5尺C. 10.5尺D. 9.5 尺10 .已知離心率為應的雙曲線C： 一/=1（40,/,0）的右焦點為八。為坐標原點，以OF為直徑的圓與雙曲線C的一條漸近線相交于。、A兩點.若AA。廠的 面積為2,則實數(shù)的值為（）A. 2B. 2、/JC. 4D. 811 .如圖，在三棱錐C O46中，OA

3、OB, OC_L平面O4B,。4 = 6, OB = OC = 8,3點。、E分別為AC，A8的中點，點尸在線段8C上.若BF =BC ,則異面直線 4族與8所成角的余弦值為（）12 .已知尸為橢圓M：、+ y2=i的右焦點，點A，B, C為橢圓M上三點，當丘5 +福+%=。時，稱A43C為“和諧三角形”，則和諧三角形”有（）A. 0個B.1個C. 3個D,無數(shù)個二、填空題?r-113 .不等式三一1的解集是3x + l14 .已知正數(shù)。，滿足+, + /7 = 1，則 （加+-的最小值為ab15 .若數(shù)列也的通項公式為% = 2，數(shù)列低滿足勾=1強2% +log2%+log2 ag2（eN）

4、則數(shù)列a的前10項和為16.點。為橢圓三+二 25 16=1上一點，M、N分別是圓（x+3+y2=4和（X3+），2=i上的動點，則尸M + 0V的取值范圍是 三、解答題17 .已知 ：x2-7x + 100.夕：/一4吠 + 3/0.（1）求使得為真命題的實數(shù)十的取值范圍；（2）若是4的充分不必要條件，求實數(shù)？的取值范圍.18 .己知數(shù)列q的前項和為S“，且%是5與2的等差中項.數(shù)列色中，4 = 2 ,點P（4，%）在直線,/x + 2上.（1）求和%的值：（2）求數(shù)列4,也的通項公式；（3）設q =冊- bn,求數(shù)列% 的前項和4 .19 .如圖，兩鐵路線垂直相交于站4,若已知A3 = 1

5、00千米，甲火車從A站出發(fā)，沿 AC方向以50千米/小時的速度行駛，同時乙火車從3站出發(fā)，沿BA方向,以u千米 /小時的速度行駛，至A站即停止前行（甲車扔繼續(xù)行駛）（兩車的車長忽略不計）.（1）求甲、乙兩車的最近距離（用含N的式子表示）：（2）若甲、乙兩車開始行駛到甲，乙兩車相距最近時所用時間為小時，問口為何值時最大？20 .如圖，在四棱柱48co- A用GA中，側棱A4 _L底面ABC。，AB1AC,AB = AC =2，AD = CD = 5（1）求二面角2-AC -4的正弦值:（2）點N是線段2。的中點，點為線段4月上點，若直線NE與平面A5CD所成 角的正弦值為上?，求線段4E的長.2

6、1 .已知橢圓C:三十/=1卜/人）的離心率為E，左、右焦點分別為月，F(xiàn)焦距為6.（1）求橢圓C的方程.（2）過橢圓左頂點的兩條斜率之積為一;的直線分別與橢圓交于M,N點.試問直線MN是否過某定點？若過，求出該點的坐標：若不過，請說明理由.222 .已知數(shù)列也）中，為 。，S ,是數(shù)列,的前項和，且4+/ = 2S”.（1）求S2, S3,并求數(shù)列4的通項公式明;（2）設2= - ：一,數(shù)列色的前項和為7；,若2何20對任意的正整數(shù)都成立，求實數(shù)k的取值范圍.參考答案1. D【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，對四個選項進行判斷，從而得到答案.【詳解】因為。所以一 0,故A錯誤：因為。bc,故B錯誤；因

7、為avvO,所以/，故C錯誤：因為 !，故D正確. a b故選：D.【點睛】本題考查不等式的性質(zhì)，屬于簡單題.2. C【分析】設等差數(shù)列%的公差為4,根據(jù)條件，得到4的值，求出答案.【詳解】設等差數(shù)列q的公差為4,因為4=1, 6 +“5=8,所以 1 + 24 + 1+4d = 8,解得4 = 1所以% =%+6d = 7故選：C.【點睛】本題考查等差數(shù)列通項中的基本量計算，屬于簡單題.3. C【分析】分情況設出拋物線的方程，代入已知點即可得到具體方程.【詳解】 由題設知拋物線開口向右或開口向上，設其方程為：/ =2px(0)或2 =2處，(。), 將點（2,4）代入可得 =4或 =|,所以

8、所求拋物線的標準方程為y2 = 8x或V =），.故選C.【點睛】這個題目考查了拋物線方程的求法，可稱為待定系數(shù)法，較為基礎.4. C【解析】試題分析：特稱命題的否定是全稱命題，并將結論加以否定，所以命題的否定為：Vxe（0,+oo）, lnxwx-1考點：全稱命題與特稱命題5. B【解析】：4=a-cFF21= 2c,|K目=a+c由,耳耳6|,|百目成等比數(shù)列得（2c）2 =（a-c）（a + c）即/ =5c =e = 4【考點定位】本題主要考查橢圓的定義和高心率的概念.屬基礎題6. C【分析】根據(jù)基本不等式的使用條件，對四個選項分別進行判斷，得到答案.【詳解】選項A,當x0時，）0,所

9、以、=3+3-22,當且僅當3、=3-3即x = 0時，等號成立, 所以正確：選項D,因為工 0,g ,所以sinxe（O,l）,所以），= sinx + 2,當且僅當 2sin x1sin x =sinx即X = 時，等號成立，而xw 0,-,所以不正確.22故選：C.【點睛】本題考查基本不等式求和的最小值，基本不等式的使用條件，屬于簡單題.7. B【分析】根據(jù)向量垂直的點積運算得到x的值，進而得到結果.【詳解】.,.、+ 2x-3 = O,1或-3.故x=l是萬JL/的充分不必要條件.故答案為B.【點睛】這個題目考查了向量垂直的坐標表示，也考查了充分必要條件的判斷，題目基礎.判斷充要 條件

10、的方法是:若P= q為真命題且q= P為假命題，則命題P是命題q的充分不必要條件： 若pnq為假命題且q=p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件：若p=q為 真命題且q=p為真命題，則命題p是命題q的充要條件：若pnq為假命題且q=p為假 命題，則命題p是命題q的即不充分也不必要條件.判斷命題p與命題q所表示的范圍， 再根據(jù)“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關系.8. D【分析】根據(jù)基本不等式的求積的最大值，以及基本不等式的使用條件，得到答案.【詳解】因為x0, y 0,且x+) = S, xy = P,根據(jù)基本不等式使用條件“一正二定三相等”當且僅當S為定值，產(chǎn)一小

11、6+功1 - AV -， 2 )4當且僅當x=y時，等號成立.,2即當且僅當S為定值且X =)時P取得最大值4故選：D.【點睛】本題考查基本不等式求積的最大值，基本不等式的使用條件，屬于簡單題.9. A【分析】利用等差數(shù)列通項公式和前項和公式列方程組，求出首項和公差，由此能求出結果.【詳解】從冬至起，日影長依次記為，的，%，2，根據(jù)題意，有/+%+%= 37.5,根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，有 = 12.5,而2=4.5,設其公差為，則有q +31 = 12.5q +1 d =4.5ax解得d= 15.5=-1所以冬至的日影子長為15.5尺，故選A.【點睛】該題考查的是有關應用等差數(shù)列解決實際生活中的

12、問題，涉及到的知識點有等差數(shù)列的通項 公式以及前項和的有關量的計算，屬于簡單題目.10. A【分析】根據(jù)題意，根據(jù)離心率為、份，求出雙曲線C的漸近線，然后得到/為等腰直角三角形，根據(jù)其面積為2,得到。的值，再得到。的值.【詳解】因為雙曲線的離心率為JI，所以C = JZ/，所以得到/ =2/=/,所以=。所以雙曲線C： 一二=1的漸近線為y = x 幻 lr取)=X，傾斜角為45, 為直徑，所以NO4E = 90,所以公。尸為等腰直角三角形所以 Smop = 5L5C = 2 , 解得c = 2j所以4 = 2.故選:A.【點睛】本題考查根據(jù)雙曲線的離心率求漸近線方程，雙曲線的幾何性質(zhì)，屬于簡

13、單題.11. B【分析】以。為原點建立空間直角坐標系，得到各點的坐標，然后得到育和麗的坐標，根據(jù)向量的夾角公式，得到異面直線石尸與8所成角的余弦值.【詳解】因為OA_LO3，。_1平面。48,所以。為原點，04為大軸，08為y軸，0C為Z軸建立空間直角坐標系，0A = 6, OB = OC = S所以 A(6,0,0), 8(0,8,0), C(0,0,8),點D、E分別為AC, A3的中點所以 0(3,0,4),七(3,4,0)因為BF = jBC,所以尸(0,2,6)所以爐=(3,-2,6), dD = (3,0,4)所以異而直線EF與OD所成角的余弦值為cos | =EFODef-od-

14、9 + 24j9 + 4 + 36xj9 + 16故選：B.【點睛】本題考查利用空間向量求異而直線所成的角，屬于中檔題.12. D【分析】 根據(jù)4 +方+尸4=6得到尸（1，）為白48。的重心,設A（%x）,則得到8c邊中點。的坐標，要求。在橢圓內(nèi)，且為8C弦中點，即存在滿足要求的“和諧三角形”，從而得到答案.【詳解】 因為尸為橢圓M：、+ V=l的右焦點所以尸（L0） 因為+而+k=6，所以F（1,0）為AABC的重心,設邊8c的中點為。，則標=2的所以J=2（坳-1）,所以, W = 2切3-玉）2-y（）2設C(x29y2)所以Aj + 4 = 3 _ x0Ai21將4,。代入橢圓方程得

15、+X = i 2亍+ 為 =1兩式相減，得至ij（ L中 士+（y-力）（x + y2） = o 2整理得到噎=忘=瞪所以尤方程為尸條爰（370F/a , 當。三卜，二在橢圓內(nèi)時，22 ）得（3-電. 十日1，而y02=l工842所以得到所以當時，直線y +普=X -三1）與橢圓M ：1+ / = 1 一定有兩個交點4和C , 2 2yo 1212滿足尸（1,0）為AA3C的重心，即滿足中+而+元=6，使得AABC為和諧三角形”,因此滿足要求的情況有無數(shù)種，所以“和諧三角形”有無數(shù)個.故選：D.【點睛】本題考查三角形重心的性質(zhì)，點差法求弦中點所在的直線，點與橢圓的位置關系，屬于中檔 題.13,

16、 aI-2x【分析】首先將所給的不等式轉化為分式不等式，然后再轉化為二次不等式求解其解集即可.【詳解】9 r 1 r 2題中所給的不等式即：-10,一0,該不等式等價于：（t-2）（3x+1）0,求解二次不等式可得：2vxg,則不等式的解集為川-故答案為卜I-【點睛】本題主要考查分式不等式的解法，二次不等式的解法，等價轉化的數(shù)學思想等知識，意在 考查學生的轉化能力和計算求解能力.14.空16【分析】根據(jù)4a + = l,利用基本不等式得到的范圍，再根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)，得到（山+二的 ab最小值.【詳解】 因為正數(shù)。，Z?滿足而+0 = 1,根據(jù)基本不等式得l=4a + bN 2屈萬=4 而 所

17、以他0,5,上單調(diào)遞減1257所以最小值為一 + 16 = 1616257 故答案為：16【點睛】 本題考查基本不等式求積的最大值，對勾函數(shù)的性質(zhì)，屬于簡單題.15.逆11【分析】 根據(jù)4的通項，得到4的通項，利用分組求和和裂項相消法，求出的前10項和.【詳解】所以a = log? / +-( e )log2 az .log24+2=log2 2”，log2 2/?.log22z,+,= /?-! + = /?-! +n + 1所以的前10項和.又）=0 + 1 + 2 + + 9 + !-1 + 1-1 + + -!- 101 2 2 310 10 + 1= 45 + -=些II 11一、，

18、505故答案為：11【點睛】本題考查求數(shù)列的通項，分組求和法和裂項相消求和，屬于簡單題.16. 7,13【分析】 根據(jù)橢圓方程，得到焦點耳(-3,0),尸(3,0),所以0到兩圓的圓心距離之和為10,從而 得到，最小值為10-4一=7,最大值為10 + 4+4=13.【詳解】 橢圓套+卷=1,焦點”(一3,0),尸(3,0),而圓(x+3+V=4和(工一3)2 +,，2 = 1的圓心為(_3,0), (3,0)所以P到兩圓圓心的距離之和為10， 而M、N分別是圓(x+3)2 + y2 =4和(x-3)+y2 =1上的動點所以（月3 + PN ）niin=10-?;-/; =7 （PA/ + P

19、NL=10+4+g =13.所以PM + PN的取值范闈是7,13.【點睛】本題考查橢圓的定義，點到圓的距離的范圍，屬于簡單題.17. (1) xl2x5 (2) 11- m - 2j【分析】(1)根據(jù)為真命題，解不等式x2_7x+10v0,得到%的取值范圍；(2)根據(jù)是q的 充分不必要條件，得到關于?的不等式組，解得力的取值范圍.【詳解】解：(1)因為為真命題，所以小一7工+100，解得：xl2x5.(2)由(1)得：2cx5,(1 ： x2 -4mx + 3m2 0解得：mx3/7?所以9： mvxv3？，因為是夕的充分不必要條件，m 5解得：-/? 2+2m27；,=lx23+2 x 24 + 3 x 25+-+(n-l)-2,+,+n-2,+2上式減下式得-7；=1x22+23+24+- + 27f 2*2W - 2”)* 1-2= 22_4_.2+2所以(=(-1)2 什 2+4.【點睛】本題考查由4“和S”的關系求數(shù)列通項，等差數(shù)列基本量計算，錯位相減法求和，屬于中檔 題.500019. (1) /，: (2) u = 50 時