材料力學(xué)公式

1、附錄I：截面的幾何性質(zhì) AFN EALFlNPIT PGITL 一、截面的靜矩和形心AyxdASAyXyXdAOAxydASAxdAxAAydAyAASxyASyxxASyyASx當(dāng)截面由若干簡(jiǎn)單圖形組成niiiyxAS1niiixyAS1xyxASyyASxv2、截面對(duì)形心軸的靜矩為零v3、若截面對(duì)某軸的靜矩為零，則該軸必為形心軸v1、 截面圖形的靜矩是對(duì)某一坐標(biāo)軸定義的，故靜矩與坐標(biāo)軸有關(guān) 如圖所示將截面任意分為兩部分A1與A2，證明這兩部分面積對(duì)整個(gè)截面形心軸xc的面積矩絕對(duì)值相等。1A2ACcx設(shè)：A1，A2對(duì)xc軸的靜矩分別為Sxc1和Sxc221xcxcxcSSS021xcxcSS

2、21xcxcSS證畢 試確定圖示梯形面積的形心位置，及其對(duì)底邊的靜矩。解：圖形對(duì)底邊的靜矩2211yAyASx3213221hahhbhbah262形心位置abhxyOC1xC2x0 xASyxbahbah2262babah23yxyxdAO二、極慣性矩.慣性矩.慣性積dAIAP2dAxIAy2dAyIAx2dAxyIAxy性 質(zhì)：1、慣性矩和慣性積是對(duì)一定軸而定義的，慣性矩和慣性積是對(duì)一定軸而定義的，而極慣矩，是對(duì)點(diǎn)定義的。而極慣矩，是對(duì)點(diǎn)定義的。2、慣性矩和極慣矩永遠(yuǎn)為正，慣性矩和極慣矩永遠(yuǎn)為正，慣性積可能為正、為負(fù)、為零。慣性積可能為正、為負(fù)、為零。3、任何平面圖形對(duì)于通過(guò)其形任何平面圖

3、形對(duì)于通過(guò)其形心的對(duì)稱(chēng)軸和與此對(duì)稱(chēng)軸垂直的軸心的對(duì)稱(chēng)軸和與此對(duì)稱(chēng)軸垂直的軸的慣性積為零。的慣性積為零。o)(12xx1xydAdAyyxAxyxydAIdAxyxydAAA2204、對(duì)于面積相等的截面，截面相對(duì)于坐標(biāo)軸對(duì)于面積相等的截面，截面相對(duì)于坐標(biāo)軸分布的越遠(yuǎn)，其慣性矩越大。分布的越遠(yuǎn)，其慣性矩越大。xdAyxdAy5、組合圖形對(duì)某一點(diǎn)的極慣性矩或?qū)δ骋惠S的慣性矩、慣性積組合圖形對(duì)某一點(diǎn)的極慣性矩或?qū)δ骋惠S的慣性矩、慣性積niPiPII1niyiyII1nixixII1nixyixyII1慣性半徑：dAxyOxy 任意形狀的截面圖形的面積為A，則圖形對(duì)y軸和x軸的慣性半徑分別定義為AIiy

4、yAIixx慣性半徑的特征： 1.慣性半徑是對(duì)某一坐標(biāo)軸定義的。 2.慣性半徑的單位為m。 3.慣性半徑的數(shù)值恒取正值。AaIIxcx2abAIIxcycxy三、慣性矩.慣性積的平行移軸公式CxcycyxObadAcycxAxdAyI2ACdAay2AcdAy2AcdAya2AdAa2xcIAa2AccyAdAyAbIIycy2在所有相互平行的坐標(biāo)軸中，圖形對(duì)形心軸的慣性矩為最小，但圖形對(duì)形心軸的慣性積不一定是最小 試求圖示三角形：（1）對(duì)x軸靜矩；（2）對(duì)x軸的慣性矩；（3）對(duì)x1軸的慣性矩。cxAyS xb/2b/2h/2h/2Oyx1322hhbh122bhydyAxdAyI2222hh

5、bdyy123bh12213bhIx243bh23221bhhIIxcxxc2322bhhhIIxcx262423bhhbhIxc363bhIxc9236331bhbhIx43bh 圖示為三個(gè)等直徑圓相切的組合問(wèn)題,求對(duì)形心軸x的慣性矩.O1O2O3xcO2、O3到xc軸的距離dd632331O1到xc軸的距離dd33233222422433464634642ddddddIx 64114d 四、慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸公式.截面的主慣性軸和主慣性矩XyOx1y1 2sincos221xyyxyxxIIIIII 2sincos221xyyxyxyIIIIII 2cos2sin211xyyxyxIII

6、I 圖形對(duì)通過(guò)同一坐標(biāo)原點(diǎn)任意一對(duì)相互垂直坐標(biāo)軸的兩個(gè)軸慣性矩之和為常量,等于圖形對(duì)原點(diǎn)的極慣性矩PyxyxIIIII11主慣性軸:圖形對(duì)某對(duì)坐標(biāo)軸慣性積為零,這對(duì)坐標(biāo)軸稱(chēng)為該圖形的主慣性軸主慣性矩:圖形對(duì)主軸的慣性矩,稱(chēng)主慣性矩形心主軸:過(guò)形心的主軸稱(chēng)為主形心軸形心主矩:圖形對(duì)形心主軸的慣性矩稱(chēng)為形心主矩在下列關(guān)于平面圖形的結(jié)論中，（ ）是錯(cuò)誤的。A.圖形的對(duì)稱(chēng)軸必定通過(guò)形心；B.圖形兩個(gè)對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)必為形心；D.使靜矩為零的軸必為對(duì)稱(chēng)軸。C.圖形對(duì)對(duì)稱(chēng)軸的靜矩為零；D在平面圖形的幾何性質(zhì)中，（ ）的值可正、可負(fù)、也可為零。A.靜矩和慣性矩；B.極慣性矩和慣性矩；C.慣性矩和慣性積；D.靜矩

7、和慣性積。D 圖示任意形狀截面，它的一個(gè)形心軸zc把截面分成和兩部分，在以下各式中，（ ）一定成立。0;.0;.CCCCZZZZIIBIIAZC。AADSSC.0;.CCZZC 圖a、b所示的矩形截面和正方形截面具有相同面積。設(shè)它們對(duì)對(duì)稱(chēng)軸x的慣性矩分別為 對(duì)對(duì)稱(chēng)軸y的慣性矩分別為 ，則（ ）。axIbxIayIbyIoxy)(aoxy)(b。，；，；，；，babababababababaIIIIDIIIICIIIIBIIIIAxxyyxxyyxxyyxxyy.C圖示半圓形，若圓心位于坐標(biāo)原點(diǎn)，則（ ）。，；，；，；，yxyxyxyxII.II.II.II.yxyxyxyxSSDSSCSSBS

8、SAxyD 任意圖形的面積為A，x0軸通過(guò)形心C， x1 軸和x0軸平行，并相距a，已知圖形對(duì)x1 軸的慣性矩是I1，則對(duì)x0 軸的慣性矩為（ ）。；AaDAaCAaBA1x021x021x0 x0II.II.II.0I.Ca1x0 xB 設(shè)圖示截面對(duì)y軸和x軸的慣性矩分別為Iy、Ix，則二者的大小關(guān)系是（ ）。不確定。；.DIICIIBIIAxyxyxyyRRR2OxB 圖示任意形狀截面，若Oxy軸為一對(duì)主形心軸，則（ ）不是一對(duì)主軸。；yxODyxOCxyOBOxyA1311211.1O2OO3O1yyx1xCA. 形心軸； B. 主軸 C. 主形心軸 D. 對(duì)稱(chēng)軸 在圖示開(kāi)口薄壁截面圖形中，當(dāng)（ ）時(shí)，y-z軸始終保持為一對(duì)主軸。