2001考研數(shù)學(xué)一試題及答案解析

1、安慶師范學(xué)院09計(jì)1班2001年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上.)(1)設(shè)(為任意常數(shù)）為某二階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解,則該方程為_.(2)設(shè),則div(gradr)=_.(3)交換二次積分的積分次序:_.(4)設(shè)矩陣滿足,其中為單位矩陣,則=_.(5)設(shè)隨機(jī)變量的方差是,則根據(jù)切比雪夫不等式有估計(jì)_.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.)(1)設(shè)函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo),的圖形如右圖所示,則的圖形為(2)設(shè)在點(diǎn)附近有定義,且,則(a).(b)曲面在處的法向量為3,1,1.(c)曲線在處的切向量為1,0,

2、3.(d)曲線在處的切向量為3,0,1.(3)設(shè),則在=0處可導(dǎo)的充要條件為(a)存在.(b)存在.(c)存在.(d)存在.(4)設(shè)則與(a)合同且相似.(b)合同但不相似.(c)不合同但相似.(d)不合同且不相似.(5)將一枚硬幣重復(fù)擲n次,以x和y分別表示正面向上和反面向上的次數(shù), 則x和y的相關(guān)系數(shù)等于(a)-1.(b)0.(c).(d)1.三、(本題滿分6分)求.四、(本題滿分6分)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可微,且,.求.五、(本題滿分8分)設(shè)=將展開成的冪級數(shù),并求級數(shù)的和.六、(本題滿分7分)計(jì)算,其中是平面與柱面的交線,從軸正向看去,為逆時(shí)針方向.七、(本題滿分7分)設(shè)在內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且

3、,試證:(1)對于內(nèi)的任一,存在惟一的,使=+成立;(2).八、(本題滿分8分)設(shè)有一高度為(為時(shí)間)的雪堆在融化過程,其側(cè)面滿足方程(設(shè)長度單位為厘米,時(shí)間單位為小時(shí)),已知體積減少的速率與側(cè)面積成正比(比例系數(shù)為0.9),問高度為130(厘米)的雪堆全部融化需多少小時(shí)?九、(本題滿分6分)設(shè)為線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系,其中為實(shí)常數(shù).試問滿足什么條件時(shí),也為的一個(gè)基礎(chǔ)解系.十、(本題滿分8分)已知3階矩陣與三維向量,使得向量組線性無關(guān),且滿足.(1)記=（）,求3階矩陣,使;(2)計(jì)算行列式.十一、(本題滿分7分)設(shè)某班車起點(diǎn)站上客人數(shù)服從參數(shù)為()的泊松分布,每位乘客在中途下車的概率為()

4、,且中途下車與否相互獨(dú)立.以表示在中途下車的人數(shù),求:(1)在發(fā)車時(shí)有個(gè)乘客的條件下,中途有人下車的概率;(2)二維隨機(jī)變量的概率分布.十二、(本題滿分7分)設(shè)總體服從正態(tài)分布(),從該總體中抽取簡單隨機(jī)樣本,(),其樣本均值為,求統(tǒng)計(jì)量的數(shù)學(xué)期望.2001年考研數(shù)學(xué)一試題答案與解析一、填空題(1)【分析】由通解的形式可知特征方程的兩個(gè)根是,從而得知特征方程為.由此,所求微分方程為.(2)【分析】先求gradr.gradr=.再求divgradr=.于是divgradr|=.(3)【分析】這個(gè)二次積分不是二重積分的累次積分,因?yàn)闀r(shí).由此看出二次積分是二重積分的一個(gè)累次積分,它與原式只差一個(gè)符號

5、.先把此累次積分表為.由累次積分的內(nèi)外層積分限可確定積分區(qū)域:.見圖.現(xiàn)可交換積分次序原式=.(4)【分析】矩陣的元素沒有給出,因此用伴隨矩陣、用初等行變換求逆的路均堵塞.應(yīng)當(dāng)考慮用定義法.因?yàn)?故,即.按定義知.(5)【分析】根據(jù)切比雪夫不等式,于是.二、選擇題(1)【分析】當(dāng)時(shí),單調(diào)增,(a),(c)不對;當(dāng)時(shí),:增減增:正負(fù)正,(b)不對,(d)對.應(yīng)選(d).(2)【分析】我們逐一分析.關(guān)于(a),涉及可微與可偏導(dǎo)的關(guān)系.由在(0,0)存在兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)在(0,0)處可微.因此(a)不一定成立.關(guān)于(b)只能假設(shè)在(0,0)存在偏導(dǎo)數(shù),不保證曲面在存在切平面.若存在時(shí),法向量n=3,1,-

6、1與3,1,1不共線,因而(b)不成立.關(guān)于(c),該曲線的參數(shù)方程為它在點(diǎn)處的切向量為.因此,(c)成立.(3)【分析】當(dāng)時(shí),.關(guān)于(a):,由此可知.若在可導(dǎo)(a)成立,反之若(a)成立.如滿足(a),但不.關(guān)于(d):若在可導(dǎo),.(d)成立.反之(d)成立在連續(xù),在可導(dǎo).如滿足(d),但在處不連續(xù),因而也不.再看(c):(當(dāng)它們都時(shí)).注意,易求得.因而,若(c)成立.反之若(c)成立(即).因?yàn)橹灰薪?任有(c)成立,如滿足(c),但不.因此,只能選(b).(4)【分析】由,知矩陣的特征值是4,0,0,0.又因是實(shí)對稱矩陣,必能相似對角化,所以與對角矩陣相似.作為實(shí)對稱矩陣,當(dāng)時(shí),知

7、與有相同的特征值,從而二次型與有相同的正負(fù)慣性指數(shù),因此與合同.所以本題應(yīng)當(dāng)選(a).注意,實(shí)對稱矩陣合同時(shí),它們不一定相似,但相似時(shí)一定合同.例如與,它們的特征值不同,故與不相似,但它們的正慣性指數(shù)均為2,負(fù)慣性指數(shù)均為0.所以與合同.(5)【分析】解本題的關(guān)鍵是明確和的關(guān)系:,即,在此基礎(chǔ)上利用性質(zhì):相關(guān)系數(shù)的絕對值等于1的充要條件是隨機(jī)變量與之間存在線性關(guān)系,即(其中是常數(shù)),且當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),由此便知,應(yīng)選(a).事實(shí)上,由此由相關(guān)系數(shù)的定義式有.三、【解】原式=.四、【解】先求.求,歸結(jié)為求.由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法,.注意,.因此,.五、【分析與求解】關(guān)鍵是將展成冪級數(shù),然后約去因子,再乘上

8、并化簡即可.直接將展開辦不到,但易展開,即,積分得,.因?yàn)橛叶朔e分在時(shí)均收斂,又在連續(xù),所以展開式在收斂區(qū)間端點(diǎn)成立.現(xiàn)將式兩邊同乘以得 = = ,上式右端當(dāng)時(shí)取值為1,于是.上式中令.六、【解】用斯托克斯公式來計(jì)算.記為平面上所為圍部分.由的定向,按右手法則取上側(cè),的單位法向量.于是由斯托克斯公式得 = =.于是.按第一類曲面積分化為二重積分得,其中圍在平面上的投影區(qū)域(圖）.由關(guān)于軸的對稱性及被積函數(shù)的奇偶性得.七、【證明】(1)由拉格朗日中值定理,使(與有關(guān));又由連續(xù)而,在不變號,在嚴(yán)格單調(diào),唯一.(2)對使用的定義.由題(1)中的式子先解出,則有.再改寫成.,解出,令取極限得.八、【

9、解】(1)設(shè)時(shí)刻雪堆的體積為,側(cè)面積為.時(shí)刻雪堆形狀如圖所示先求與.側(cè)面方程是.作極坐標(biāo)變換:,則.用先二后一的積分順序求三重積分,其中,即.(2)按題意列出微分方程與初始條件.體積減少的速度是,它與側(cè)面積成正比(比例系數(shù)0.9),即將與的表達(dá)式代入得,即.(3)解得.由得,即.令,得.因此,高度為130厘米的雪堆全部融化所需時(shí)間為100小時(shí).九、【解】由于是線性組合,又是的解,所以根據(jù)齊次線性方程組解的性質(zhì)知均為的解.從是的基礎(chǔ)解系,知.下面來分析線性無關(guān)的條件.設(shè),即.由于線性無關(guān),因此有(*)因?yàn)橄禂?shù)行列式,所以當(dāng)時(shí),方程組(*)只有零解.從而線性無關(guān).十、【解】(1)由于,即,所以.(

10、2)由(1)知,那么,從而.十一、【解】(1).(2)= =十二、【解】易見隨機(jī)變量,相互獨(dú)立都服從正態(tài)分布.因此可以將它們看作是取自總體的一個(gè)容量為的簡單隨機(jī)樣本.其樣本均值為,樣本方差為.因樣本方差是總體方差的無偏估計(jì),故,即.2002年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上.)(1)=.(2)已知函數(shù)由方程確定,則=.(3)微分方程滿足初始條件的特解是.(4)已知實(shí)二次型經(jīng)正交變換可化成標(biāo)準(zhǔn)型,則=.(5)設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,且二次方程無實(shí)根的概率為,則.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的

11、四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi).)(1)考慮二元函數(shù)的下面4條性質(zhì):在點(diǎn)處連續(xù);在點(diǎn)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù);在點(diǎn)處可微;在點(diǎn)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在若用“”表示可由性質(zhì)推出性質(zhì),則有(a).(b).(c).(d).(2)設(shè),且,則級數(shù)(a)發(fā)散.(b)絕對收斂.(c)條件收斂.(d)收斂性根據(jù)所給條件不能判定.(3)設(shè)函數(shù)在內(nèi)有界且可導(dǎo),則(a)當(dāng)時(shí),必有.(b)當(dāng)存在時(shí),必有.(c)當(dāng)時(shí),必有.(d)當(dāng)存在時(shí),必有.(4)設(shè)有三張不同平面的方程,它們所組成的線性方程組的系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩都為,則這三張平面可能的位置關(guān)系為(5)設(shè)和是任意兩個(gè)相互獨(dú)立的連續(xù)型隨機(jī)變

12、量,它們的概率密度分別為和,分布函數(shù)分別為和,則(a)必為某一隨機(jī)變量的概率密度.(b)必為某一隨機(jī)變量的概率密度.(c)必為某一隨機(jī)變量的分布函數(shù).(d)必為某一隨機(jī)變量的分布函數(shù).三、(本題滿分6分)設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且,若在時(shí)是比高階的無窮小,試確定的值.四、(本題滿分7分)已知兩曲線與在點(diǎn)處的切線相同,寫出此切線方程,并求極限.五、(本題滿分7分)計(jì)算二重積分,其中.六、(本題滿分8分)設(shè)函數(shù)在內(nèi)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),是上半平面(0)內(nèi)的有向分段光滑曲線,其起點(diǎn)為(),終點(diǎn)為().記(1)證明曲線積分與路徑無關(guān);(2)當(dāng)時(shí),求的值.七、(本題滿分7分)(1)驗(yàn)證函數(shù)滿足微

13、分方程;(2)利用(1)的結(jié)果求冪級數(shù)的和函數(shù).八、(本題滿分7分)設(shè)有一小山,取它的底面所在的平面為坐標(biāo)面,其底部所占的區(qū)域?yàn)?小山的高度函數(shù)為.(1)設(shè)為區(qū)域上一點(diǎn),問在該點(diǎn)沿平面上什么方向的方向?qū)?shù)最大?若記此方向?qū)?shù)的最大值為,試寫出的表達(dá)式.(2)現(xiàn)欲利用此小山開展攀巖活動,為此需要在山腳下尋找一上山坡最大的點(diǎn)作為攀登的起點(diǎn).也就是說,要在的邊界線上找出使(1)中達(dá)到最大值的點(diǎn).試確定攀登起點(diǎn)的位置.九、(本題滿分6分)已知四階方陣,均為維列向量,其中線性無關(guān),如果,求線性方程組的通解.十、(本題滿分8分)設(shè)為同階方陣,(1)若相似,證明的特征多項(xiàng)式相等.(2)舉一個(gè)二階方陣的例子說

14、明(1)的逆命題不成立.(3)當(dāng)均為實(shí)對稱矩陣時(shí),證明(1)的逆命題成立.十一、(本題滿分7分)設(shè)維隨機(jī)變量的概率密度為對獨(dú)立地重復(fù)觀察次,用表示觀察值大于的次數(shù),求的數(shù)學(xué)期望.十二、(本題滿分7分)設(shè)總體的概率分布為0123其中是未知參數(shù),利用總體的如下樣本值求的矩估計(jì)值和最大似然估計(jì)值.2002年考研數(shù)學(xué)一試題答案與解析一、填空題(1)【分析】原式(2)【分析】方程兩邊對兩次求導(dǎo)得以代入原方程得,以代入得,再以代入得(3)【分析】這是二階的可降階微分方程.令(以為自變量),則代入方程得,即(或,但其不滿足初始條件).分離變量得積分得即(對應(yīng));由時(shí)得于是積分得.又由得所求特解為(4)【分析

15、】因?yàn)槎涡徒?jīng)正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)型時(shí),標(biāo)準(zhǔn)形中平方項(xiàng)的系數(shù)就是二次型矩陣的特征值,所以是的特征值.又因,故(5)【分析】設(shè)事件表示“二次方程無實(shí)根”,則依題意,有而即二、選擇題(1)【分析】這是討論函數(shù)的連續(xù)性,可偏導(dǎo)性,可微性及偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性之間的關(guān)系.我們知道,的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)是可微的充分條件,若可微則必連續(xù),故選(a).(2)【分析】由充分大時(shí)即時(shí),且不妨認(rèn)為因而所考慮級數(shù)是交錯(cuò)級數(shù),但不能保證的單調(diào)性.按定義考察部分和原級數(shù)收斂.再考察取絕對值后的級數(shù).注意發(fā)散發(fā)散.因此選(c).(3)【分析】證明(b)對:反證法.假設(shè),則由拉格朗日中值定理,(當(dāng)時(shí),因?yàn)?;但這與矛盾(4)【分析】因?yàn)?/p>

16、,說明方程組有無窮多解,所以三個(gè)平面有公共交點(diǎn)且不唯一,因此應(yīng)選(b).(a)表示方程組有唯一解,其充要條件是(c)中三個(gè)平面沒有公共交點(diǎn),即方程組無解,又因三個(gè)平面中任兩個(gè)都不行,故和,且中任兩個(gè)平行向量都線性無關(guān).類似地,(d)中有兩個(gè)平面平行,故,且中有兩個(gè)平行向量共線.(5)【分析】首先可以否定選項(xiàng)(a)與(c),因?qū)τ谶x項(xiàng)(b),若則對任何,因此也應(yīng)否定(c),綜上分析,用排除法應(yīng)選(d).進(jìn)一步分析可知,若令,而則的分布函數(shù)恰是三、【解】用洛必達(dá)法則.由題設(shè)條件知由于,故必有又由洛必達(dá)法則及,則有.綜上,得四、【解】由已知條件得故所求切線方程為.由導(dǎo)數(shù)定義及數(shù)列極限與函數(shù)極限的關(guān)系

17、可得五、【分析與求解】是正方形區(qū)域如圖.因在上被積函數(shù)分塊表示于是要用分塊積分法,用將分成兩塊:(關(guān)于對稱)(選擇積分順序)六、【分析與求解】(1)易知原函數(shù),在上原函數(shù),即.積分在與路徑無關(guān).(2)因找到了原函數(shù),立即可得七、【證明】與書上解答略有不同,參見數(shù)三2002第七題(1)因?yàn)閮缂墧?shù)的收斂域是,因而可在上逐項(xiàng)求導(dǎo)數(shù),得,所以.(2)與相應(yīng)的齊次微分方程為,其特征方程為,特征根為.因此齊次微分方程的通解為.設(shè)非齊次微分方程的特解為,將代入方程可得,即有.于是,方程通解為.當(dāng)時(shí),有于是冪級數(shù)的和函數(shù)為八、【分析與求解】(1)由梯度向量的重要性質(zhì):函數(shù)在點(diǎn)處沿該點(diǎn)的梯度方向方向?qū)?shù)取最大值

18、即的模,(2)按題意,即求求在條件下的最大值點(diǎn)在條件下的最大值點(diǎn).這是求解條件最值問題,用拉格朗日乘子法.令拉格朗日函數(shù)則有解此方程組:將式與式相加得或若,則由式得即若由或均得,代入式得即于是得可能的條件極值點(diǎn)現(xiàn)比較在這些點(diǎn)的函數(shù)值:因?yàn)閷?shí)際問題存在最大值,而最大值又只可能在中取到.因此在取到在的邊界上的最大值,即可作為攀登的起點(diǎn).九、【解】由線性無關(guān)及知,向量組的秩,即矩陣的秩為因此的基礎(chǔ)解系中只包含一個(gè)向量.那么由知,的基礎(chǔ)解系是再由知,是的一個(gè)特解.故的通解是其中為任意常數(shù).十、【解】(1)若相似,那么存在可逆矩陣,使故(2)令那么但不相似.否則,存在可逆矩陣,使.從而,矛盾,亦可從而知

19、與不相似.(3)由均為實(shí)對稱矩陣知,均相似于對角陣,若的特征多項(xiàng)式相等,記特征多項(xiàng)式的根為則有相似于也相似于即存在可逆矩陣,使于是由為可逆矩陣知,與相似.十一、【解】由于依題意,服從二項(xiàng)分布,則有十二、【解】的矩估計(jì)量為根據(jù)給定的樣本觀察值計(jì)算因此的矩估計(jì)值對于給定的樣本值似然函數(shù)為令,得方程,解得(不合題意).于是的最大似然估計(jì)值為2003年碩士研究生入學(xué)考試（數(shù)學(xué)一）試題一、 填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）（1） =_ .（2） 曲面與平面平行的切平面的方程是_.（3） 設(shè)，則= .（4）從的基到基的過渡矩陣為 _ .（5）設(shè)二維隨機(jī)變量(x,y)的

20、概率密度為 則 _ .（6）已知一批零件的長度x (單位：cm)服從正態(tài)分布，從中隨機(jī)地抽取16個(gè)零件，得到長度的平均值為40 (cm)，則的置信度為0.95的置信區(qū)間是_ .(注：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)值二、選擇題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi)）（1）設(shè)函數(shù)f(x)在內(nèi)連續(xù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖形如圖所示，則f(x)有(a) 一個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn). (b) 兩個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn). (c) 兩個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn). (d) 三個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn). y o x （2）設(shè)均為非負(fù)數(shù)列，且,則必有(a)

21、 對任意n成立. (b) 對任意n成立.(c) 極限不存在. (d) 極限不存在. （3）已知函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(0,0)的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)，且，則(a) 點(diǎn)(0,0)不是f(x,y)的極值點(diǎn). (b) 點(diǎn)(0,0)是f(x,y)的極大值點(diǎn). (c) 點(diǎn)(0,0)是f(x,y)的極小值點(diǎn). (d) 根據(jù)所給條件無法判斷點(diǎn)(0,0)是否為f(x,y)的極值點(diǎn). （4）設(shè)向量組i：可由向量組ii：線性表示，則 (a) 當(dāng)時(shí)，向量組ii必線性相關(guān). (b) 當(dāng)時(shí)，向量組ii必線性相關(guān). (c) 當(dāng)時(shí)，向量組i必線性相關(guān). (d) 當(dāng)時(shí)，向量組i必線性相關(guān). （5）設(shè)有齊次線性方程組ax=0和bx=0

22、, 其中a,b均為矩陣，現(xiàn)有4個(gè)命題： 若ax=0的解均是bx=0的解，則秩(a)秩(b)； 若秩(a)秩(b)，則ax=0的解均是bx=0的解； 若ax=0與bx=0同解，則秩(a)=秩(b)； 若秩(a)=秩(b)， 則ax=0與bx=0同解.以上命題中正確的是 (a) . (b) .(c) . (d) . （6）設(shè)隨機(jī)變量，則 (a) . (b) . (c) . (d) . 三 、（本題滿分10分）過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線y=lnx的切線，該切線與曲線y=lnx及x軸圍成平面圖形d.(1) 求d的面積a;(2) 求d繞直線x=e旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積v.四 、（本題滿分12分）將函數(shù)展開成x的

23、冪級數(shù)，并求級數(shù)的和.五 、（本題滿分10分）已知平面區(qū)域，l為d的正向邊界. 試證：(1) ;(2) 六 、（本題滿分10分）某建筑工程打地基時(shí)，需用汽錘將樁打進(jìn)土層. 汽錘每次擊打，都將克服土層對樁的阻力而作功. 設(shè)土層對樁的阻力的大小與樁被打進(jìn)地下的深度成正比（比例系數(shù)為k,k0）.汽錘第一次擊打?qū)洞蜻M(jìn)地下a m. 根據(jù)設(shè)計(jì)方案，要求汽錘每次擊打樁時(shí)所作的功與前一次擊打時(shí)所作的功之比為常數(shù)r(0r0時(shí)，九 、（本題滿分10分）設(shè)矩陣，求b+2e的特征值與特征向量，其中為a的伴隨矩陣，e為3階單位矩陣.十 、（本題滿分8分）已知平面上三條不同直線的方程分別為 ， ， .試證這三條直線交于

24、一點(diǎn)的充分必要條件為十一 、（本題滿分10分）已知甲、乙兩箱中裝有同種產(chǎn)品，其中甲箱中裝有3件合格品和3件次品，乙箱中僅裝有3件合格品. 從甲箱中任取3件產(chǎn)品放入乙箱后，求：(1) 乙箱中次品件數(shù)的數(shù)學(xué)期望；(2) 從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品的概率.十二 、（本題滿分8分）設(shè)總體x的概率密度為 其中是未知參數(shù). 從總體x中抽取簡單隨機(jī)樣本，記(1) 求總體x的分布函數(shù)f(x);(2) 求統(tǒng)計(jì)量的分布函數(shù)；(3) 如果用作為的估計(jì)量，討論它是否具有無偏性.2003年碩士研究生入學(xué)考試（數(shù)學(xué)一）試題答案一、1、2、3、 14、5、6、二、cdadbc三、【詳解】 (1) 設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則曲線y

25、=lnx在點(diǎn)處的切線方程是 由該切線過原點(diǎn)知 ，從而 所以該切線的方程為 平面圖形d的面積 （2） 切線與x軸及直線x=e所圍成的三角形繞直線x=e旋轉(zhuǎn)所得的圓錐體積為 曲線y=lnx與x軸及直線x=e所圍成的圖形繞直線x=e旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體體積為 ，因此所求旋轉(zhuǎn)體的體積為 y 1 d o 1 e x四、【詳解】 因?yàn)橛謋(0)=, 所以 =因?yàn)榧墧?shù)收斂，函數(shù)f(x)在處連續(xù)，所以 令，得 ,再由，得 五、【詳解】 方法一：(1) 左邊= =， 右邊= =，所以 .(2) 由于，故由（1）得 方法二：（1） 根據(jù)格林公式，得，.因?yàn)閐 具有輪換對稱性，所以 =，故 . (2) 由(1)知 =

26、= （利用輪換對稱性） =六、【詳解】 (1) 設(shè)第n次擊打后，樁被打進(jìn)地下，第n次擊打時(shí)，汽錘所作的功為. 由題設(shè)，當(dāng)樁被打進(jìn)地下的深度為x時(shí)，土層對樁的阻力的大小為，所以 ， 由可得 即 由可得 ，從而 ，即汽錘擊打3次后，可將樁打進(jìn)地下.（2） 由歸納法，設(shè)，則 =由于，故得 ,從而 于是 ，即若擊打次數(shù)不限，汽錘至多能將樁打進(jìn)地下 m.七、【詳解】 (1) 由反函數(shù)的求導(dǎo)公式知 ，于是有=.代入原微分方程得 ( * )(2) 方程( * )所對應(yīng)的齊次方程的通解為 設(shè)方程( * )的特解為 ，代入方程( * )，求得，故，從而的通解是 由，得. 故所求初值問題的解為 八、【詳解】 (1

27、) 因?yàn)?， ，所以在上，故f(t) 在內(nèi)單調(diào)增加.（2） 因 ，要證明t0時(shí)，只需證明t0時(shí)，即 令 ，則 ，故g(t)在內(nèi)單調(diào)增加.因?yàn)間(t)在t=0處連續(xù)，所以當(dāng)t0時(shí)，有g(shù)(t)g(0).又g(0)=0, 故當(dāng)t0時(shí)，g(t)0,因此，當(dāng)t0時(shí)，九、【詳解】 方法一：經(jīng)計(jì)算可得 ， ， =.從而 ，故b+2e的特征值為當(dāng)時(shí)，解，得線性無關(guān)的特征向量為 所以屬于特征值的所有特征向量為 ，其中是不全為零的任意常數(shù).當(dāng)時(shí)，解，得線性無關(guān)的特征向量為 ，所以屬于特征值的所有特征向量為，其中為任意常數(shù).方法二：設(shè)a的特征值為，對應(yīng)特征向量為，即 . 由于，所以 又因 ，故有 于是有 ， 因此，

28、為b+2e的特征值，對應(yīng)的特征向量為由于 ，故a的特征值為當(dāng)時(shí)，對應(yīng)的線性無關(guān)特征向量可取為， 當(dāng)時(shí)，對應(yīng)的一個(gè)特征向量為 由 ，得，.因此，b+2e的三個(gè)特征值分別為9，9，3.對應(yīng)于特征值9的全部特征向量為 ，其中是不全為零的任意常數(shù)；對應(yīng)于特征值3的全部特征向量為 ，其中是不為零的任意常數(shù).十、【詳解】 方法一：必要性設(shè)三條直線交于一點(diǎn)，則線性方程組 (*)有唯一解，故系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩均為2，于是由于 =,但根據(jù)題設(shè) ，故 充分性：由，則從必要性的證明可知，故秩由于 =，故秩(a)=2. 于是， 秩(a)=秩=2. 因此方程組(*)有唯一解，即三直線交于一點(diǎn).方法二：必要性設(shè)三直線

29、交于一點(diǎn)，則為ax=0的非零解，其中 于是 . 而 =,但根據(jù)題設(shè) ，故 充分性：考慮線性方程組 (*)將方程組(*)的三個(gè)方程相加，并由a+b+c=0可知，方程組(*)等價(jià)于方程組 (* *)因?yàn)?=-,故方程組(* *)有唯一解，所以方程組(*)有唯一解，即三直線交于一點(diǎn).十一、【詳解】 (1) x的可能取值為0，1，2，3，x的概率分布為 ， k=0,1,2,3.即 x 0 1 2 3 p 因此 (2) 設(shè)a表示事件“從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品”，由于，構(gòu)成完備事件組，因此根據(jù)全概率公式，有 = =【評注】本題對數(shù)學(xué)期望的計(jì)算也可用分解法： 設(shè) 則的概率分布為 0 1 p 因?yàn)椋?十

30、二、【詳解】 (1) (2) = = = =(3) 概率密度為 因?yàn)?=，所以作為的估計(jì)量不具有無偏性.2004年數(shù)學(xué)一試題一、 填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）（1）曲線y=lnx上與直線垂直的切線方程為 _.（2）已知，且f(1)=0, 則f(x)= _ .（3）設(shè)為正向圓周在第一象限中的部分，則曲線積分的值為 _ .（4）歐拉方程的通解為 _.（5）設(shè)矩陣，矩陣b滿足，其中為a的伴隨矩陣，e是單位矩陣，則 _ . （6）設(shè)隨機(jī)變量x服從參數(shù)為的指數(shù)分布，則= _ .二、選擇題（本題共8小題，每小題4分，滿分32分. 每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符

31、合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi)）（7）把時(shí)的無窮小量，使排在后面的是前一個(gè)的高階無窮小，則正確的排列次序是(a) . (b) . (c) . (d) . （8）設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，且則存在，使得 (a) f(x)在（0，內(nèi)單調(diào)增加. （b）f(x)在內(nèi)單調(diào)減少.(c) 對任意的有f(x)f(0) . (d) 對任意的有f(x)f(0) . （9）設(shè)為正項(xiàng)級數(shù)，下列結(jié)論中正確的是 (a) 若=0，則級數(shù)收斂.（b） 若存在非零常數(shù)，使得，則級數(shù)發(fā)散.(c) 若級數(shù)收斂，則. (d) 若級數(shù)發(fā)散, 則存在非零常數(shù)，使得. （10）設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，則等于 (a) 2f(2). (

32、b) f(2). (c) f(2). (d) 0. （11）設(shè)a是3階方陣，將a的第1列與第2列交換得b,再把b的第2列加到第3列得c, 則滿足aq=c的可逆矩陣q為(a) . (b) . (c) . (d) . （12）設(shè)a,b為滿足ab=o的任意兩個(gè)非零矩陣，則必有(a) a的列向量組線性相關(guān)，b的行向量組線性相關(guān). (b) a的列向量組線性相關(guān)，b的列向量組線性相關(guān). (c) a的行向量組線性相關(guān)，b的行向量組線性相關(guān). (d) a的行向量組線性相關(guān)，b的列向量組線性相關(guān). （13）設(shè)隨機(jī)變量x服從正態(tài)分布n(0,1)，對給定的，數(shù)滿足，若，則等于(a) . (b) . (c) . (d

33、) . （14）設(shè)隨機(jī)變量獨(dú)立同分布，且其方差為 令，則(a) cov( (b) . (c) . (d) . 三解答題（15）（本題滿分12分）設(shè), 證明.（16）（本題滿分11分）某種飛機(jī)在機(jī)場降落時(shí)，為了減少滑行距離，在觸地的瞬間，飛機(jī)尾部張開減速傘，以增大阻力，使飛機(jī)迅速減速并停下.現(xiàn)有一質(zhì)量為9000kg的飛機(jī)，著陸時(shí)的水平速度為700km/h. 經(jīng)測試，減速傘打開后，飛機(jī)所受的總阻力與飛機(jī)的速度成正比（比例系數(shù)為 問從著陸點(diǎn)算起，飛機(jī)滑行的最長距離是多少？注kg表示千克，km/h表示千米/小時(shí).（17）（本題滿分12分）計(jì)算曲面積分 其中是曲面的上側(cè).（18）（本題滿分11分）設(shè)有方

34、程，其中n為正整數(shù). 證明此方程存在惟一正實(shí)根，并證明當(dāng)時(shí)，級數(shù)收斂.（19）（本題滿分12分）設(shè)z=z(x,y)是由確定的函數(shù)，求的極值點(diǎn)和極值.（20）（本題滿分9分）設(shè)有齊次線性方程組試問a取何值時(shí)，該方程組有非零解，并求出其通解.（21）（本題滿分9分） 設(shè)矩陣的特征方程有一個(gè)二重根，求a的值，并討論a是否可相似對角化.(22)（本題滿分9分）設(shè)a,b為隨機(jī)事件，且，令 求：（i）二維隨機(jī)變量(x,y)的概率分布； （ii）x和y的相關(guān)系數(shù)（23）（本題滿分9分）設(shè)總體x的分布函數(shù)為 其中未知參數(shù)為來自總體x的簡單隨機(jī)樣本，求：（i） 的矩估計(jì)量；（ii） 的最大似然估計(jì)量.2004年數(shù)學(xué)一試題答案一、1. y=x-12.3.4.5.6.二、7.b 8.c 9.b 10.b 11.d 12.a 13.c 14.a 三、15.【證法1】 對函數(shù)在a,b上應(yīng)用拉格朗日中值定理，得 設(shè)，則， 當(dāng)te時(shí)， 所以單調(diào)減少，從而，即 ，故 .【證法2】 設(shè)，則 ， ,所以當(dāng)xe時(shí)， 故單調(diào)減少，從而當(dāng)時(shí)， ，即當(dāng)時(shí)，單調(diào)增加.因此