第4節(jié) 純彎曲時橫截面的正應力

1、第七章第七章 直梁彎曲時的內(nèi)力和應力直梁彎曲時的內(nèi)力和應力一、截面的慣性矩一、截面的慣性矩 如圖所示，取截面上任一點如圖所示，取截面上任一點K的鄰域的鄰域dA，K點到點到 z 軸、軸、y 軸軸的距離分別為的距離分別為y、z，定義：，定義：第四節(jié)第四節(jié) 純彎曲時橫截面的正應力純彎曲時橫截面的正應力 慣性矩的計算慣性矩的計算AyIzdd2微元對微元對z軸的慣性矩軸的慣性矩AzIydd2微元對微元對y軸的慣性矩軸的慣性矩第七章第七章 直梁彎曲時的內(nèi)力和應力直梁彎曲時的內(nèi)力和應力上式對整個截面積分，得截面對上式對整個截面積分，得截面對z軸、軸、y軸的慣性矩。軸的慣性矩。 AyIzdd2微元對微元對z軸

2、的慣性矩軸的慣性矩AzIydd2微元對微元對y軸的慣性矩軸的慣性矩AyAzAzIAyId d22 工程中常見的工程中常見的矩形矩形、圓形圓形等簡單截面對其形等簡單截面對其形心主軸的慣性矩可在心主軸的慣性矩可在表表7-1中查到。中查到。 第七章第七章 直梁彎曲時的內(nèi)力和應力直梁彎曲時的內(nèi)力和應力表表7-1 簡單截面對形心主軸的慣性矩和抗彎截面模量簡單截面對形心主軸的慣性矩和抗彎截面模量 圖圖 形形形心主軸慣性矩形心主軸慣性矩抗彎截面模量抗彎截面模量，62bhWz123hbIy123bhIz644DIz323DWz)1 (6444DIzDd)1 (3243DWzDd第七章第七章 直梁彎曲時的內(nèi)力和

3、應力直梁彎曲時的內(nèi)力和應力結(jié)結(jié) 論論 截面對任一軸截面對任一軸 z 的慣性矩等于該截面對過的慣性矩等于該截面對過形心形心而而平行于平行于 z 軸的軸的 zC 軸的慣性矩軸的慣性矩加上加上兩軸之間的兩軸之間的距離距離的平方的平方與與截面面積截面面積的的乘積乘積。此結(jié)論對任一。此結(jié)論對任一 y 軸也同軸也同樣成立。樣成立。 慣性矩的平行移軸公式慣性矩的平行移軸公式AaIICzz2AbIICyy2第七章第七章 直梁彎曲時的內(nèi)力和應力直梁彎曲時的內(nèi)力和應力三、純彎曲時橫截面的正應力三、純彎曲時橫截面的正應力 1、幾何關系、幾何關系 二、純彎曲的概念二、純彎曲的概念 純彎曲純彎曲：剪力剪力值為值為零零，

4、彎矩值是一常數(shù)，內(nèi)力只，彎矩值是一常數(shù)，內(nèi)力只有彎矩，而無剪力的彎曲變形稱作有彎矩，而無剪力的彎曲變形稱作純彎曲純彎曲。剪切彎曲剪切彎曲：彎曲內(nèi)力既有彎矩、又有剪力的彎曲：彎曲內(nèi)力既有彎矩、又有剪力的彎曲變形稱變形稱剪切彎曲剪切彎曲（或（或橫力彎曲橫力彎曲）。）。 觀察梁的變形：取一觀察梁的變形：取一對對稱稱截面梁，在其表面上畫上截面梁，在其表面上畫上橫向線橫向線m-m和和n-n以及縱向線以及縱向線ab和和cd，在梁的縱向?qū)ΨQ面，在梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)施加一對等值、反向的力內(nèi)施加一對等值、反向的力偶，梁處于純彎曲狀態(tài)。偶，梁處于純彎曲狀態(tài)。第七章第七章 直梁彎曲時的內(nèi)力和應力直梁彎曲時的內(nèi)力和應力

5、 結(jié)論結(jié)論：梁變形后，橫向線依然保持直線，且與：梁變形后，橫向線依然保持直線，且與梁變形后的軸線垂直。縱向線變?yōu)榍€，靠近梁頂梁變形后的軸線垂直?？v向線變?yōu)榍€，靠近梁頂面的縱向線縮短，靠近梁底面的縱向線伸長。面的縱向線縮短，靠近梁底面的縱向線伸長。 平面假設平面假設：梁變形后橫截面依然保持平面，且與梁：梁變形后橫截面依然保持平面，且與梁變形后的軸線垂直，橫截面繞自身某軸作了轉(zhuǎn)動。變形后的軸線垂直，橫截面繞自身某軸作了轉(zhuǎn)動?？v向纖維單向受力假設縱向纖維單向受力假設：梁內(nèi)各縱向纖維只產(chǎn)生軸：梁內(nèi)各縱向纖維只產(chǎn)生軸向拉伸或壓縮變形。向拉伸或壓縮變形。中性層中性層：梁在彎曲變形時，：梁在彎曲變形時，

6、一部分纖維伸長，一部分纖一部分纖維伸長，一部分纖維縮短，必然有一部分纖維維縮短，必然有一部分纖維既不伸長也不縮短的層。既不伸長也不縮短的層。中性軸中性軸：中性層與橫截面的交線。：中性層與橫截面的交線。第七章第七章 直梁彎曲時的內(nèi)力和應力直梁彎曲時的內(nèi)力和應力 梁的縱向纖維只受到軸向拉伸或壓縮，當正應力梁的縱向纖維只受到軸向拉伸或壓縮，當正應力不超過材料的比例極限時可應用胡克定律，因此可得不超過材料的比例極限時可應用胡克定律，因此可得cd處的正應力為處的正應力為 2、物理關系、物理關系 yEE 縱向纖維線應變變化規(guī)律縱向纖維線應變變化規(guī)律ydddycdcdcd)( 第七章第七章 直梁彎曲時的內(nèi)力

7、和應力直梁彎曲時的內(nèi)力和應力結(jié)結(jié) 論論3、靜力平衡關系、靜力平衡關系 niixF10中性軸中性軸必必過過截面的截面的形心形心。 如圖所示，在截面上任如圖所示，在截面上任取一微面積取一微面積dA，作用于該微，作用于該微面積上的軸向力為面積上的軸向力為dA。因因為截面上所有軸向力的合力為截面上所有軸向力的合力為零，則有為零，則有：AA0dAAyE0dAZAySd0Sz第七章第七章 直梁彎曲時的內(nèi)力和應力直梁彎曲時的內(nèi)力和應力AAyEyMd截面所有微面積上的力截面所有微面積上的力對對 z軸的合力矩軸的合力矩即即為作用在該截為作用在該截面上的面上的彎矩彎矩：zEIM1AAyMdyEAAyEd2zEI截

8、面對截面對z軸的慣性矩；軸的慣性矩； zI梁截面的曲率；梁截面的曲率； 1抗彎曲剛度抗彎曲剛度。zEI第七章第七章 直梁彎曲時的內(nèi)力和應力直梁彎曲時的內(nèi)力和應力yEzEIM1zIMy注意注意此公式雖然在純彎曲情況下推導出來的，但對于此公式雖然在純彎曲情況下推導出來的，但對于工程中許多工程中許多剪切彎曲剪切彎曲的情況的情況也適用也適用；分析表明，對于梁的長度分析表明，對于梁的長度l 遠大于其截面高度遠大于其截面高度h的的細長梁細長梁，該式計算，該式計算彎曲正應力彎曲正應力是是相當精確相當精確的。工的。工程中對于程中對于l 5h 的情形，往往采用該式計算的情形，往往采用該式計算剪切彎剪切彎曲曲時的

9、時的正應力正應力。彎曲正應力的彎曲正應力的一般計算公式一般計算公式第七章第七章 直梁彎曲時的內(nèi)力和應力直梁彎曲時的內(nèi)力和應力 例例7-7 簡支梁受均布載荷簡支梁受均布載荷q作用如圖所示，已知作用如圖所示，已知q=2kN/m，梁跨度，梁跨度l=3m，截面為矩形，截面為矩形，b=80mm，h=100mm。求：。求：（1）C截面上截面上a、b、c三點處的正應三點處的正應力；（力；（2）梁的最大正應力值及其位置。）梁的最大正應力值及其位置。 解：解：求支座反力求支座反力 kN321RqlFAkN3RBF1）計算）計算C截面的彎矩截面的彎矩 mkN2mkN12112）（qFMRACRAFRBF第七章第七章 直梁彎曲時的內(nèi)力和應力直梁彎曲時的內(nèi)力和應力 計算截面對中性軸計算截面對中性軸z的慣性矩的慣性矩 46433m1067. 6mm1008012112bhIz 計算各點的正應力計算各點的正應力MPa0 .15Pa101067. 6105010212633zaCaIyMMPa97. 8Pa101067. 6103010212633zbCbIyMMPa0 .15Pa101067. 6)1050(10212633zcCcIyM第七章第七章 直梁彎曲時的內(nèi)力和應力直梁彎曲時的內(nèi)力和應力2）作彎矩圖）作彎矩圖 彎矩最大值發(fā)生在彎矩最大值發(fā)生在跨中跨中截面處，