第八知識(shí)塊平面解析幾何初步、圓錐曲線與方程(第1課時(shí)-第5課時(shí)) (1)

1、第第1 1課時(shí)課時(shí) 直線的斜率、直線的方直線的斜率、直線的方程程1理解直線傾斜角和斜率的概念，掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式理解直線傾斜角和斜率的概念，掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式2掌握直線方程的幾種形式，體會(huì)斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系掌握直線方程的幾種形式，體會(huì)斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系 第八知識(shí)塊第八知識(shí)塊 平面解析幾何平面解析幾何 初步、圓錐曲線與方程初步、圓錐曲線與方程【命題預(yù)測(cè)】【命題預(yù)測(cè)】 在高考中主要考查基本概念和求在不同條件下的直線方程，此類(lèi)題大在高考中主要考查基本概念和求在不同條件下的直線方程，此類(lèi)題大都屬中、低檔題，以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，每年必考，直線的都屬中、低檔題，以選

2、擇題和填空題的形式出現(xiàn)，每年必考，直線的傾斜角確定直線的方向，斜率是傾斜角傾斜角確定直線的方向，斜率是傾斜角的正切值，對(duì)直線斜率的考的正切值，對(duì)直線斜率的考查也包含了對(duì)傾斜角及其取值范圍的考查，主要從求直線的斜率、求查也包含了對(duì)傾斜角及其取值范圍的考查，主要從求直線的斜率、求直線方程以及直線方程的綜合應(yīng)用三方面進(jìn)行考查直線方程以及直線方程的綜合應(yīng)用三方面進(jìn)行考查【應(yīng)試對(duì)策】【應(yīng)試對(duì)策】 1直線的傾斜角與斜率都是表示直線方向的幾何量，研究斜率的變化要與直線的傾斜角與斜率都是表示直線方向的幾何量，研究斜率的變化要與傾斜角的變化結(jié)合起來(lái)考慮，因?yàn)閮A斜角的范圍是傾斜角的變化結(jié)合起來(lái)考慮，因?yàn)閮A斜角的范

3、圍是00， ) )，它不是正切函，它不是正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，往往要進(jìn)行分段討論數(shù)的單調(diào)區(qū)間，往往要進(jìn)行分段討論2由于直線方程有多種形式，各種形式適用的條件、范圍不同，在具體求由于直線方程有多種形式，各種形式適用的條件、范圍不同，在具體求直線方程時(shí)，由于所給的條件和采用的直線形式所限，可能會(huì)產(chǎn)生遺漏的直線方程時(shí)，由于所給的條件和采用的直線形式所限，可能會(huì)產(chǎn)生遺漏的情況，尤其在選擇點(diǎn)斜式、斜截式時(shí)，要注意斜率不存在的情況情況，尤其在選擇點(diǎn)斜式、斜截式時(shí)，要注意斜率不存在的情況【知識(shí)拓展】【知識(shí)拓展】求直線的斜率及傾斜角的范圍求直線的斜率及傾斜角的范圍(1)斜率斜率k k是一個(gè)實(shí)數(shù)，每條直線都存在唯

4、一的傾斜角，但并不是每條直線都是一個(gè)實(shí)數(shù)，每條直線都存在唯一的傾斜角，但并不是每條直線都存在斜率傾斜角為存在斜率傾斜角為90的直線無(wú)斜率的直線無(wú)斜率(2)在分析直線的傾斜角和斜率的關(guān)系時(shí)，要根據(jù)正切函數(shù)在分析直線的傾斜角和斜率的關(guān)系時(shí)，要根據(jù)正切函數(shù)k ktan 是單調(diào)函數(shù)，是單調(diào)函數(shù)，當(dāng)當(dāng) 由由0增大到增大到 時(shí)，時(shí)，k k由由0增大到增大到；當(dāng)；當(dāng) 時(shí)，時(shí)，k k也是也是關(guān)于關(guān)于的單調(diào)函數(shù)，當(dāng)?shù)膯握{(diào)函數(shù)，當(dāng)在此區(qū)間內(nèi)由在此區(qū)間內(nèi)由 增大到增大到()時(shí)，時(shí)，k k由由趨近于趨近于0(k k0)，當(dāng)然解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，也可采用數(shù)形結(jié)合思想，借助圖形直觀地作出判，當(dāng)然解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，也可采用數(shù)形結(jié)

5、合思想，借助圖形直觀地作出判斷斷1直線的斜率與傾斜角直線的斜率與傾斜角(1)直線的斜率直線的斜率已知兩點(diǎn)已知兩點(diǎn)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，如果如果x1x2，那么直線那么直線PQ的斜率的斜率k k (x1x2 )。斜率斜率 不存在不存在(2)直線的傾斜角直線的傾斜角在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于一條與在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于一條與x軸相交的直線，把軸相交的直線，把x軸所在的直線繞著軸所在的直線繞著交點(diǎn)按交點(diǎn)按 方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時(shí)所轉(zhuǎn)過(guò)的最小正角稱(chēng)為這條直線的傾斜角方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時(shí)所轉(zhuǎn)過(guò)的最小正角稱(chēng)為這條直線的傾斜角對(duì)于平行于對(duì)于平行于x軸或與軸或與x軸重合的直線，規(guī)定其傾斜角為軸重

6、合的直線，規(guī)定其傾斜角為 .逆時(shí)針逆時(shí)針02直線方程的五種形式直線方程的五種形式名稱(chēng)名稱(chēng)方程方程適用范圍適用范圍點(diǎn)斜式點(diǎn)斜式不含直線不含直線xx0斜截式斜截式不含垂直于不含垂直于x軸的直線軸的直線兩點(diǎn)式兩點(diǎn)式 不含直線不含直線xx1(x1x2)和直線和直線yy1(y1y2)截距式截距式 不含垂直于坐標(biāo)軸和過(guò)原點(diǎn)的直線不含垂直于坐標(biāo)軸和過(guò)原點(diǎn)的直線一般式一般式AxByC0平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用yy0k k(xx0)yk kxb(A2B20)探究：探究：過(guò)兩點(diǎn)過(guò)兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線是否一定可用兩點(diǎn)式方程表示？的直線是否一定可用兩點(diǎn)式方程

7、表示？提示：提示：不一定不一定(1)若若x1x2且且y1y2，直線垂直，直線垂直x軸，方程為軸，方程為xx1.(2)若若x1x2，且，且y1y2，直線垂直于，直線垂直于y軸，方程為軸，方程為yy1.(3)若若x1x2且且y1y2，直線方程可用兩點(diǎn)式表示，直線方程可用兩點(diǎn)式表示1已知直線已知直線l的傾斜角為的傾斜角為，且，且00， 0.即即A、B、C同號(hào)同號(hào)答案：答案：A、B、C同號(hào)同號(hào)4已知直線已知直線 l 的方程為的方程為3x5y4，則，則 l 在在y軸上的截距為軸上的截距為_(kāi)解析：解析：解法一解法一：將直線方程將直線方程3x5y4變形為直線方程的斜截式，即變形為直線方程的斜截式，即y x

8、，l在在y軸上的截距為軸上的截距為 . 解法二解法二： 令令x0代入直線代入直線l方程，得方程，得y ，l在在y軸上的截距為軸上的截距為 .答案：答案：5直線直線 yax1與直線與直線 y x2平行，則平行，則a_.解析：解析：由由a 得得a1或或2.答案：答案：1或或21直線的傾斜角與斜率的關(guān)系直線的傾斜角與斜率的關(guān)系傾斜角傾斜角0斜斜率率取值取值0(0，)不存在不存在(，0)增減性增減性遞增遞增遞增遞增2. 斜率公式：斜率公式：k k 與兩點(diǎn)順序無(wú)關(guān)與兩點(diǎn)順序無(wú)關(guān)3利用斜率證明三點(diǎn)共線的方法：利用斜率證明三點(diǎn)共線的方法：已知已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，若，若x

9、1x2x3或或k kABk kAC，則有，則有A、B、C三點(diǎn)共線三點(diǎn)共線【例【例1】 已知直線已知直線l經(jīng)過(guò)經(jīng)過(guò)A(2,1)、B(1，m2)(mR)兩點(diǎn)，那么直線兩點(diǎn)，那么直線l的傾斜角的的傾斜角的取值范圍是取值范圍是_思路點(diǎn)撥：思路點(diǎn)撥：求出求出l的斜率的斜率k k，根據(jù)，根據(jù)k的范圍確定傾斜角的范圍的范圍確定傾斜角的范圍解析：解析：l的斜率的斜率k k 1m2，mR，k k1.當(dāng)當(dāng)0k k1時(shí)，時(shí)，傾斜角的范圍是傾斜角的范圍是 ，當(dāng)，當(dāng)k k0，傾斜角的范圍是，傾斜角的范圍是 ，l傾斜角的范圍是傾斜角的范圍是 答案：答案： 變式變式1：若直線若直線l的斜率的斜率k k的變化范圍是的變化范圍

10、是1， ，則它的傾斜角的變化范圍則它的傾斜角的變化范圍 是是 _ 解析：解析：當(dāng)當(dāng)1k k0時(shí)，傾斜角的范圍是時(shí)，傾斜角的范圍是 ，當(dāng)當(dāng)0k k 時(shí)，時(shí)， 傾斜角的范圍是傾斜角的范圍是 . 答案：答案： 1求直線方程應(yīng)先選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程形式并注意各種形式的適用條求直線方程應(yīng)先選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程形式并注意各種形式的適用條件基本方法包括利用條件直接求直線的基本量和利用待定系數(shù)法求直線件基本方法包括利用條件直接求直線的基本量和利用待定系數(shù)法求直線的基本量的基本量用待定系數(shù)法求直線方程的步驟：用待定系數(shù)法求直線方程的步驟：(1)設(shè)所求直線方程的某種形式設(shè)所求直線方程的某種形式(2)由條由條件建立所求

11、參數(shù)的方程件建立所求參數(shù)的方程(組組)(3)解這個(gè)方程解這個(gè)方程(組組)求參數(shù)求參數(shù)(4)把所求的參數(shù)值把所求的參數(shù)值代入所設(shè)直線方程代入所設(shè)直線方程2求直線方程時(shí)，首先分析具備什么樣的條件；然后恰當(dāng)?shù)剡x用直線方程的形求直線方程時(shí)，首先分析具備什么樣的條件；然后恰當(dāng)?shù)剡x用直線方程的形式準(zhǔn)確寫(xiě)出直線方程要注意若不能斷定直線具有斜率時(shí)，應(yīng)對(duì)斜率存在與式準(zhǔn)確寫(xiě)出直線方程要注意若不能斷定直線具有斜率時(shí)，應(yīng)對(duì)斜率存在與不存在加以討論在用截距式時(shí)，應(yīng)先判斷截距是否為不存在加以討論在用截距式時(shí)，應(yīng)先判斷截距是否為0.若不確定，則需分若不確定，則需分類(lèi)討論類(lèi)討論【例【例2】 直線直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3,2)

12、且與且與x、y軸的正半軸分別交于軸的正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)兩點(diǎn)，OAB的面積為的面積為12，求直線求直線l的方程的方程思路點(diǎn)撥：思路點(diǎn)撥：題中題中OAB的面積與截距有關(guān)，自然聯(lián)想到直線方程的截距式的面積與截距有關(guān)，自然聯(lián)想到直線方程的截距式解：解法一解：解法一 ：設(shè)直線設(shè)直線l的方程為的方程為 1(a0，b0)A(a , 0)，B(0，b)，.解解 得得 .所求的直線方程為所求的直線方程為 1，即即2x3y120.解法二解法二 ：設(shè)直線設(shè)直線l l 的方程為的方程為y2k k(x3)(k k0)，令，令y0，得直線，得直線l在在x軸上的截軸上的截距距a3 ，令，令x0，得直線，得直線l在在y

13、軸上的截距軸上的截距b23k k.(3 )(23k k)24.解得解得k k .所求直線方程為所求直線方程為y2 (x3)，即，即2x3y120.變式變式2：一一條直線條直線l過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)P(1,4)，分別交，分別交x軸，軸，y軸的正半軸于軸的正半軸于A，B兩點(diǎn)，兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，求為原點(diǎn)，求AOB的面積最小時(shí)直線的面積最小時(shí)直線l的方程的方程解：解：設(shè)設(shè)l： (a，b0)因?yàn)辄c(diǎn)因?yàn)辄c(diǎn)P(1,4)在在l上，所以上，所以 .由由 .所以所以SAOB ab8.當(dāng)當(dāng) ，即，即a2，b8時(shí)取等號(hào)故時(shí)取等號(hào)故4xy80為所求為所求【例【例3】 求經(jīng)過(guò)點(diǎn)求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(5,2)，且在且在x軸上的截距等于在軸上的截距

14、等于在y軸上截距的軸上截距的2倍的直線倍的直線方程方程思路點(diǎn)撥：思路點(diǎn)撥：注意分兩種情形討論注意分兩種情形討論解：解：(1)當(dāng)橫截距、縱截距都是零時(shí)，設(shè)所求的直線方程為當(dāng)橫截距、縱截距都是零時(shí)，設(shè)所求的直線方程為yk kx，將將(5,2) 代入代入yk kx中，中，得得k k ，此時(shí)，直線方程為，此時(shí)，直線方程為y x，即，即2x5y0.(2)當(dāng)橫截距、縱截距都不是零時(shí)，設(shè)所求直線方程為當(dāng)橫截距、縱截距都不是零時(shí)，設(shè)所求直線方程為 ，將將(5,2)代入所設(shè)方程，解得代入所設(shè)方程，解得a ，此時(shí)，直線方程為，此時(shí)，直線方程為x2y10.綜上所述，所求直線方程為綜上所述，所求直線方程為x2y10或

15、或2x5y0. 變式變式3：求經(jīng)過(guò)點(diǎn)求經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，1)，傾斜角為直線傾斜角為直線4x3y40的傾斜角一半的直的傾斜角一半的直線方程線方程解：解：設(shè)所求直線的傾斜角為設(shè)所求直線的傾斜角為，則直線，則直線4x3y40的傾斜角為的傾斜角為2.tan 2 ， ，解得解得tan 2或或tan .02，0 ，tan 0，即，即tan 2.所求直線方程為所求直線方程為y12(x2)，即，即2xy50.利用直線方程解決問(wèn)題，可靈活選用直線方程的形式，以便簡(jiǎn)化運(yùn)算一利用直線方程解決問(wèn)題，可靈活選用直線方程的形式，以便簡(jiǎn)化運(yùn)算一般地，已知一點(diǎn)通常選擇點(diǎn)斜式；已知斜率選擇斜截式或點(diǎn)斜式；已知截般地，已知一點(diǎn)通常選擇

16、點(diǎn)斜式；已知斜率選擇斜截式或點(diǎn)斜式；已知截距或兩點(diǎn)選擇截距式或兩點(diǎn)式距或兩點(diǎn)選擇截距式或兩點(diǎn)式另外，從所求的結(jié)論來(lái)看，若求直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積或周長(zhǎng)，另外，從所求的結(jié)論來(lái)看，若求直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積或周長(zhǎng)，常選用截距式或點(diǎn)斜式常選用截距式或點(diǎn)斜式【例【例4】如圖，過(guò)點(diǎn)如圖，過(guò)點(diǎn)P(2,1)作直線作直線l，分別交分別交x、y軸正半軸于軸正半軸于A、B兩點(diǎn)兩點(diǎn)(1)當(dāng)當(dāng)AOB的面積最小時(shí)，求直線的面積最小時(shí)，求直線l的方程的方程；(2)當(dāng)當(dāng)|PA|PB|取最小值時(shí)，求直線取最小值時(shí)，求直線l的方程的方程思路點(diǎn)撥：思路點(diǎn)撥：求直線方程時(shí)，要善于根據(jù)已知條件，選取適當(dāng)?shù)男问接捎谇笾本€方

17、程時(shí)，要善于根據(jù)已知條件，選取適當(dāng)?shù)男问接捎诒绢}中給出了一點(diǎn)，且直線與本題中給出了一點(diǎn)，且直線與x、y軸在正方向上分別相交，故有如下常見(jiàn)思路：軸在正方向上分別相交，故有如下常見(jiàn)思路：點(diǎn)斜式：設(shè)點(diǎn)斜式：設(shè)l的方程為的方程為y1k k(x2)，分別求出，分別求出A、B的坐標(biāo)，根據(jù)題目要的坐標(biāo)，根據(jù)題目要求建立目標(biāo)函數(shù)，求出最小值并確立最值成立的條件；求建立目標(biāo)函數(shù)，求出最小值并確立最值成立的條件；截距式：設(shè)截距式：設(shè)l的方程為的方程為 ，將點(diǎn)，將點(diǎn)(2,1)代入得出代入得出a與與b的關(guān)系，建立目的關(guān)系，建立目標(biāo)函數(shù)，求最小值及最值成立的條件標(biāo)函數(shù)，求最小值及最值成立的條件根據(jù)題意，設(shè)出一個(gè)角，建立

18、目標(biāo)函數(shù)，利用三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)解決根據(jù)題意，設(shè)出一個(gè)角，建立目標(biāo)函數(shù)，利用三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)解決(2)設(shè)直線設(shè)直線l：y1k k(x2)(k k0)，分別令，分別令y0，x0，得，得A ，B(0,12k k)由由|PA|PB| 4.當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)k k2 ，即，即k k1時(shí)，時(shí)，|PA|PB|取最小值取最小值又又k k0，k k1，這時(shí)，這時(shí)l的方程是的方程是xy30.變式變式4：(經(jīng)典題經(jīng)典題)為了綠化城市，擬在矩形區(qū)域?yàn)榱司G化城市，擬在矩形區(qū)域ABCD內(nèi)建一個(gè)矩形草坪內(nèi)建一個(gè)矩形草坪(如圖如圖)，另外另外EFA內(nèi)部有一文物保護(hù)區(qū)不能占用內(nèi)部有一文物保護(hù)區(qū)不能占用，經(jīng)測(cè)量經(jīng)測(cè)量AB100

19、 m，BC80 m，AE30 m，AF20 m，應(yīng)如何設(shè)計(jì)才能使草坪面積最大應(yīng)如何設(shè)計(jì)才能使草坪面積最大？ 解：解：如圖所示建立直角坐標(biāo)系，則如圖所示建立直角坐標(biāo)系，則E(30,0)，F(xiàn)(0，20)線段線段EF的方程為的方程為 1(0 x30)在線段在線段EF上取點(diǎn)上取點(diǎn)P(m，n)，作作PQBC于點(diǎn)于點(diǎn)Q，PRCD于點(diǎn)于點(diǎn)R，設(shè)矩形設(shè)矩形PQCR的面積為的面積為S， 則則S|PQ|PR|(100m)(80n)又又 1(0m30) n20(1 )S(100m) (m5)2 (0m30)當(dāng)當(dāng)m5時(shí)，時(shí)，S有最大值，這時(shí)有最大值，這時(shí) 5 1.所以當(dāng)矩形草坪的兩邊在所以當(dāng)矩形草坪的兩邊在BC、CD

20、上，一個(gè)頂點(diǎn)在線段上，一個(gè)頂點(diǎn)在線段EF上，且這個(gè)頂點(diǎn)上，且這個(gè)頂點(diǎn) 分分EF成成5 1時(shí)，草坪面積最大時(shí)，草坪面積最大【規(guī)律方法總結(jié)規(guī)律方法總結(jié)】1要正確理解傾斜角的定義，明確傾斜角的取值范圍，熟記斜率公式：要正確理解傾斜角的定義，明確傾斜角的取值范圍，熟記斜率公式：k k ，該公式與兩點(diǎn)順序無(wú)關(guān)，已知兩點(diǎn)坐標(biāo)，該公式與兩點(diǎn)順序無(wú)關(guān)，已知兩點(diǎn)坐標(biāo)(x1x2)時(shí)，根時(shí)，根據(jù)該公式可求出經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率當(dāng)據(jù)該公式可求出經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率當(dāng)x1x2，y1y2時(shí)，直線的時(shí)，直線的斜率不存在，此時(shí)直線的傾斜角為斜率不存在，此時(shí)直線的傾斜角為90.2直線方程的三類(lèi)、五種形式，要合理選用直線方程的三

21、類(lèi)、五種形式，要合理選用 要深刻理要深刻理解每種直線方程形式的適用范圍，此時(shí)多涉及分類(lèi)討論的思想，如點(diǎn)斜式及解每種直線方程形式的適用范圍，此時(shí)多涉及分類(lèi)討論的思想，如點(diǎn)斜式及斜截式的使用條件是直線斜率必須存在；兩點(diǎn)式使用條件是直線既不與斜截式的使用條件是直線斜率必須存在；兩點(diǎn)式使用條件是直線既不與x軸軸垂直，也不與垂直，也不與y軸垂直；截距式使用條件是兩截距都存在，且均不為零軸垂直；截距式使用條件是兩截距都存在，且均不為零3求直線的方程時(shí)，要認(rèn)清題目的條件，選擇合適的方程類(lèi)型；另外，也可采求直線的方程時(shí)，要認(rèn)清題目的條件，選擇合適的方程類(lèi)型；另外，也可采用待定系數(shù)法或以方程的定義求解；最后，要

22、把直線方程化成一般式用待定系數(shù)法或以方程的定義求解；最后，要把直線方程化成一般式4判斷兩直線平行、垂直時(shí)，要注意斜率不存在時(shí)的解判斷兩直線平行、垂直時(shí)，要注意斜率不存在時(shí)的解. 【例【例5】 已知直線已知直線2xsin 2y50，則該直線的傾斜角的變化范圍是則該直線的傾斜角的變化范圍是_【錯(cuò)因分析錯(cuò)因分析】解答本題容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是認(rèn)為直線斜率解答本題容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是認(rèn)為直線斜率k ktan 在在0，)上是單調(diào)函數(shù)當(dāng)上是單調(diào)函數(shù)當(dāng)已知直線斜率已知直線斜率k的取值范圍求直線傾斜角的取值范圍時(shí)，一定要正確利用正切的取值范圍求直線傾斜角的取值范圍時(shí)，一定要正確利用正切函數(shù)的單調(diào)性正切函數(shù)函數(shù)的單調(diào)性正切函數(shù)k ktan 在在0，)上并不是單調(diào)函數(shù)，因此當(dāng)上并不是單調(diào)函數(shù)，因此當(dāng)k k的取的取值連續(xù)時(shí)，直線傾斜角的取值范圍有時(shí)卻是斷開(kāi)的，如本題就是值連續(xù)時(shí)，直線傾斜角的取值范圍有時(shí)卻是斷開(kāi)的，如本題就是 【答題模板答題模板】解：解：由題意，得直線由題意，得直線2xsin 2y50的斜率為的斜率為k ksin .又又1sin 1，所以所以1k k1.當(dāng)當(dāng)1k k0時(shí)，傾斜角的變化范圍是時(shí)，傾斜角的變化范圍是 ；當(dāng)當(dāng)0k k1時(shí)，傾斜角的變化范圍是時(shí)，傾斜角的