工程電磁場-靜電場1

1、1第一章 靜電場(一)2第一章靜電場(一)1-1 電場與電場強(qiáng)度1-2 電場的疊加原理1-3 電場的圖示1-4 真空中的高斯通量定理1-5 電介質(zhì)中的高斯通量定理1-6 電場強(qiáng)度 的環(huán)路定理與電位函數(shù)1-7 電位梯度1-8 靜電場的邊界條件1-9 微分形式的高斯定理1-10 微分形式的電場強(qiáng)度環(huán)路定理1-11 泊松方程與拉普拉斯方程1-12 靜電場的邊值問題 E31-1 電場與電場強(qiáng)度電場的物質(zhì)性與電場強(qiáng)度電場的物質(zhì)性與電場強(qiáng)度 摩擦生電(或接觸起電)這一現(xiàn)象的最古老的發(fā)現(xiàn)者是我們的祖先和古希臘人。在我國古代的書籍中，曾有“玳瑁拾芥”的記載。 帶電體周圍的空間，存在著一種特殊運(yùn)動形態(tài)的物質(zhì)電場

2、電場。 當(dāng)電荷(或帶電體)進(jìn)入電場時(shí)，電荷將受到電場給予的力。這種力，人們通常稱之為電場力電場力。電場能對電荷施力作功，說明電場具有能量，這是電場物質(zhì)性的重要表現(xiàn)。兩點(diǎn)電荷間(或兩帶電體間)的力，正是通過電場而進(jìn)行傳遞的。4 微小正點(diǎn)電荷在電場中任一點(diǎn)所受電場力與此微小正點(diǎn)電荷電量之比的極限，通常以 表示 式中：q為正的試驗(yàn)點(diǎn)電荷的電量，在國際單位制(SI)中，電量的單位為庫侖(C)； 為正的試驗(yàn)點(diǎn)電荷所受的電場力，單位為牛頓(N)。 電場強(qiáng)度的單位為牛頓每庫侖(N/C)，在國際單位制(SI)中場強(qiáng)的單位為伏特每米(V/m) 。試證明： 1V/m=1N/CqFE0qlim電場強(qiáng)度的定義電場強(qiáng)度

3、的定義(1-1)EF5點(diǎn)電荷的電場強(qiáng)度點(diǎn)電荷的電場強(qiáng)度 根據(jù)庫倫定律，導(dǎo)出點(diǎn)電荷電場強(qiáng)度的普遍表達(dá)式 (12)式中： 為從點(diǎn)電荷q指向場中任意被研究點(diǎn)A的單位矢量。 注意：(1)這一表達(dá)式只適用于點(diǎn)電荷的情況。 (2)在數(shù)學(xué)中的“點(diǎn)”沒有大小而僅有幾何位置。在實(shí)際問題中，只要判定帶電體的幾何尺寸遠(yuǎn)小于帶電體至被研究點(diǎn)的距離時(shí)，不管帶電體的形狀如何，均可認(rèn)為式(12)成立。物理意義下的“點(diǎn)”是相對而言的。0204RRqE0R61-2 電 場 的 疊 加 原 理電場的疊加原理電場的疊加原理 “力”服從疊加原理。電場強(qiáng)度是單位正點(diǎn)電荷所受的電場力。顯然，在媒質(zhì)電容率與場強(qiáng)無關(guān)的情況下(稱這種媒質(zhì)為線

4、性的)，電場強(qiáng)度亦服從疊加原理。 因而在由若干個(gè)點(diǎn)電荷共同激發(fā)的電場中，任一點(diǎn)的電場強(qiáng)度，等于每一個(gè)點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時(shí)，該點(diǎn)所具有的電場強(qiáng)度的矢量和(矢量疊加)。這一結(jié)論稱之為場的疊加原理。7 圖1-1 分布電荷的線電荷元在空間點(diǎn)A產(chǎn)生的場強(qiáng)電荷作任意分布時(shí)電場強(qiáng)度的計(jì)算電荷作任意分布時(shí)電場強(qiáng)度的計(jì)算式中：dq為線元dl上所具有的電量。因而的單位為庫侖每米(C/m)。 當(dāng)電荷沿空間曲線 連續(xù)分布時(shí)，空間任一點(diǎn)的場強(qiáng)式中：R為線元 至被研究點(diǎn)的距離； 為線元 指向被研究點(diǎn)方向上的單位矢量。dldqlql0lim0204dRRlEl(1-3)(1-4)當(dāng)電荷作線狀分布時(shí)，電荷線密度的定義為0Rldl

5、dl8圖1-2 面分布電荷的面電荷元在空間點(diǎn)A產(chǎn)生的場強(qiáng) 當(dāng)電荷沿空間曲面作面分布時(shí)，引入電荷面密度式中：dq為面元 上所具有的電荷量。因而，的單位為庫侖每平方米(C/m2)。當(dāng)電荷沿空間曲面S S連續(xù)分布時(shí)，空間任一點(diǎn)的電場強(qiáng)度為 式中：R為面元 至研究點(diǎn)的距離； 為面元 指向研究點(diǎn)方向上的單位矢量。0204dRRSESdSdqSqS0lim(1-6)(1-5)0RSdSdSd9圖1-3 體分布電荷的體電荷元在空間點(diǎn)A產(chǎn)生的場強(qiáng) (1-7)(1-8)當(dāng)電荷在空間作體積分布時(shí)，引入電荷體密度式中：的單位為庫倫每立方米(C/m3)。當(dāng)電荷在空間作體積分布時(shí)，空間任一點(diǎn)的電場強(qiáng)度為 式中：R為體積

6、元dV至研究點(diǎn)的距離； 為體積元dV指向研究點(diǎn)方向上之單位矢量。dVdqVqV0lim0V204dVRRE0R10解：解：建立一直角坐標(biāo)系，令z軸通過帶電直線，坐標(biāo)原點(diǎn)o重合于帶電直線的中點(diǎn)，如圖1-4所示。由于電場對帶電直線作軸對稱分布，因此研究坐標(biāo)平面xoz上的電場分布具有普遍性。取圓柱坐標(biāo)系0的半平面上任一點(diǎn)P，令其圓柱坐標(biāo)為(r，0，z)，此點(diǎn)即在平面xoz上。 圖1-4 例1-1圖例例1-11-1真空中長度為2L的均勻帶電直線，它所帶的電荷量為q，試確定直線外任一點(diǎn)處的電場強(qiáng)度。11 帶電直線的電荷量q在長度2L上均勻分布，線電荷密度為 注意到各線電荷元dq=dl在場點(diǎn)P處場強(qiáng) 的方

7、向是不同的。因此，一般總是先求出每一矢量 在各坐標(biāo)軸上的分量，把矢量之和轉(zhuǎn)化為各坐標(biāo)分量的代數(shù)和，或是把矢量積分轉(zhuǎn)化為標(biāo)量積分。 設(shè)場強(qiáng) 的z軸分量為dEz，徑向分量為dEr，則有式中的l、R、對于不同的線電荷元都是變量，但它們是有聯(lián)系的，可統(tǒng)一用一個(gè)變量來表示Lq2sin4sin,cos4cos2020RdldEdERdldEdErzdrdlrctgzlrR2csc,cscEdEdEd12因而點(diǎn)P處場強(qiáng)的z軸分量Ez為 (1-9)場強(qiáng)的徑向分量Er為 (1-10) 式中：r為場點(diǎn)到帶電直線的距離；1和2分別是帶電直線的兩端點(diǎn)到場點(diǎn)的矢徑方向與正z軸方向之間的夾角。)cos(cos4sincs

8、c4csc21020221rdrrdEELLrr)sin(sin4coscsc4csc12020221rdrrdEELLzz13 可以進(jìn)一步看到，當(dāng)L，即帶電直線為無限長直線時(shí)，有10,2。這時(shí)，由式(1-9)和式(1-10)可得到即電場強(qiáng)度只有徑向分量。 經(jīng)過計(jì)算，當(dāng)場點(diǎn)到帶電直線的距離較之到直線兩端的距離小得多時(shí)( )，運(yùn)用無限長帶電直線的場強(qiáng)計(jì)算公式求解該點(diǎn)場強(qiáng)，可以獲得足夠精確的結(jié)果。同樣，經(jīng)過計(jì)算，在遠(yuǎn)離長度為2L的帶電直線處( )的電場強(qiáng)度，相當(dāng)于全部電荷量q集中在直線中點(diǎn)處的點(diǎn)電荷所產(chǎn)生的電場強(qiáng)度。rEErz02, 0LzLr,1/, 1/zLrL141-3 電場的圖示電力線電力

9、線 法拉第提出以電力線或場強(qiáng)線來描繪場的圖形，其作法有兩點(diǎn)： 一、電力線是空間有向曲線。曲線上每點(diǎn)的切線方向，應(yīng)該代表該點(diǎn)處的電場強(qiáng)度方向?？梢婋娏€在空間是不能彼此相交的。電力線只能起自正電荷而止于負(fù)電荷，它不能中斷于無電荷處，也不能自行閉合。 二、通過垂直于力線的微小面元單位面積上的力線數(shù)等于該面元上的電場強(qiáng)度的數(shù)值。這樣各點(diǎn)電場強(qiáng)度的大小，就能以電力線分布的疏密程度來表示。15+-16電場的形象化電場的形象化 引入電力線后，觀察場所具有的規(guī)律： 其一，電力線(場強(qiáng)矢量 線)是有源頭的，電荷就是它的源頭,確切地說正電荷是其正源頭，負(fù)電荷是其負(fù)源頭，因此，靜電場(即電場強(qiáng)度矢量 場)為有源場

10、； 其二，電力線(場強(qiáng)矢量 線)不能自行閉合，它不是旋渦矢量線，因而靜電場中既沒有旋渦線，也沒有旋渦點(diǎn)，靜電場為無旋渦場，或者是無旋場。 這是靜電場自身所具有的區(qū)別于其它場(例如磁場、流速場等等)的特點(diǎn)。EEE17圖1-5 曲面法線與場強(qiáng)方向夾角SESdE1-4 真空中的高斯通量定理(1-11)電場強(qiáng)度通量電場強(qiáng)度通量 電場強(qiáng)度 (矢量)沿任一有向曲面S S的曲面積分，以 表示 場強(qiáng)通量的單位為伏特米(Vm)， 為通過面元 的電力線數(shù)，因而通過曲面S S的場強(qiáng)通量，即為通過曲面S S上每一面元 的電力線的代數(shù)和。閉合曲面S的場強(qiáng)通量SESdE(1-12)EESdESdSd18 靜電場中，當(dāng)媒質(zhì)

11、為真空時(shí)，通過任一閉合曲面S的電場強(qiáng)度通量，等于該曲面所包含的電荷量的代數(shù)和與真空電容率0之比。 式中： 為相應(yīng)面元 上的電場強(qiáng)度，它由空間所有電荷所共同激發(fā)；q為閉合曲面S內(nèi)電荷量的代數(shù)和。 0qSdES 高斯通量定理用數(shù)學(xué)語言定量揭示了穿過任意閉合曲面的場強(qiáng)通量與曲面內(nèi)電荷(源)的關(guān)系。在大的空間范圍內(nèi)描述了靜電場的性質(zhì)。它說明靜電場是一個(gè)有源場。(1-13)真空中的高斯通量定理真空中的高斯通量定理ESd19高斯定理的應(yīng)用高斯定理的應(yīng)用-求對稱電荷分布的場強(qiáng)分布 球、面、軸對稱的電場分布以及球、面、軸對稱的電場的疊加。 利用高斯定理的解題步驟：、對稱分析；、選擇合適的高斯面，求高斯定理等式

12、左端的通量；求高斯定理等式右端的面內(nèi)總電荷；（要求面上場強(qiáng)處處相等或分片相等或與面垂直，以便將 提到積分號外； 要求場強(qiáng)與面的法線的夾角處處相等或分片相等，以便將cos提到積分號外； 要求高斯面應(yīng)是簡單的幾何面，以便計(jì)算面積）、利用高斯定理求電場分布。E20例例1-21-2真空中同心球面內(nèi)均勻分布著體積電荷，電荷體密度為，同心球面內(nèi)外半徑分別為R1和R2。試求球?qū)觾?nèi)外的電場強(qiáng)度。解解 電荷分布為球?qū)ΨQ， （RR1 ） R1RR2即球?qū)右酝?，?可以看出球?qū)右酝獾碾妶龇植?，同全部電荷量q集中于球心的點(diǎn)電荷的情形一樣。2034RqEqRRqr3132342034RqEr22圖1-6 例1-3圖證證

13、 若將球形空腔填滿體電荷，則可得出半徑為R2的球體內(nèi)各點(diǎn)的場強(qiáng) 為球心02至場點(diǎn)P的矢徑。要保證電荷分布的實(shí)際情況不變，可以單獨(dú)在半徑為R1的球體內(nèi)再填充體密度為-的體積電荷，兩種電荷分布的疊加可使該球體內(nèi)不帶電荷。0223rE例例1-31-3真空中有一球形體積分布的電荷，球的半徑為R2，電荷體密度為常數(shù)，球內(nèi)存在一個(gè)半徑為R1的球形空腔，兩球心距離為 ，且 +R1R2時(shí)，就不能運(yùn)用高斯定理計(jì)算。03aE1raaarr12241-5 電介質(zhì)中的高斯通量定理 一般情況下，電場并不總是處在真空中，可能存在于各種不同媒質(zhì)中。此時(shí)，靜電場是有源場這一特性不會改變，只是當(dāng)外界媒質(zhì)條件改變時(shí)，高斯定理應(yīng)作

14、量方面的修改。 若在電容率為0的真空媒質(zhì)中，放入其它電介質(zhì)，在電場的作用下，電介質(zhì)將受到極化，其分子的正、負(fù)電荷等效中心將受到電場力的影響而產(chǎn)生一微小位移，亦即形成電偶極子。在均勻介質(zhì)內(nèi)部仍然呈現(xiàn)中性，但在不同介質(zhì)的左、右兩側(cè)邊緣處，則附著了過剩的或正或負(fù)的束縛電荷。25圖1-7 束縛電荷對電場的影響(a)分子極化示意； (b)介質(zhì)極化示意 電介質(zhì)邊緣束縛電荷對電場的影響電介質(zhì)邊緣束縛電荷對電場的影響26 考慮了介質(zhì)邊緣處的束縛電荷，可認(rèn)為場中介質(zhì)的電容率為0，或者考慮了介質(zhì)邊緣所出現(xiàn)的束縛電荷之后，可認(rèn)為電場處在真空媒質(zhì)之中。 高斯定理修改如下 (1-14)0qqSdES圖1-8 束縛電荷示

15、意圖式中：q為閉合曲面S內(nèi)存在于介質(zhì)交界面上的所有束縛電荷量。270SSSdPqSdE電介質(zhì)中的高斯定理電介質(zhì)中的高斯定理 當(dāng)介質(zhì)受到極化時(shí)，不同介質(zhì)交界邊緣處的束縛電荷，是介質(zhì)內(nèi)分子束縛電荷微觀位移的結(jié)果。引入電極化強(qiáng)度矢量 來描述(1-16)(1-15)SSdPq(1-17)(1-18)(1-19)qSdPES0qSdDSEPe0EEEEEDree00001整理后或在各向同性線性介質(zhì)中，由于P28 為包括束縛電荷在內(nèi)的全部電荷所激發(fā)的電場的場強(qiáng)；r=/o稱為電介質(zhì)的相對電容率；e=r-1稱做電極化率； 稱之為電位移矢量，在國際單位制中，其單位為(C/m2)，其所包含的第二項(xiàng) 0e 為介質(zhì)極

16、化時(shí)由束縛電量位移所引起的效應(yīng)，故得名為電位移矢量 . 式(1-18)就是靜電場中基本定理的積分形式電介質(zhì)中的高斯定理，表明：電場中，通過某閉合曲面S的電位移矢量D的通量(電通量)，等于該閉合曲面內(nèi)所包含的自由電荷量的代數(shù)和。 類比電力線，可引入電位移矢量 的通量概念，稱之為電通量。應(yīng)當(dāng)特別注意， 線必發(fā)自正的自由電荷，而止于負(fù)自由電荷。EDEDDD29 在引入電位移矢量 后，高斯定理在形式上撇開了電介質(zhì)影響。但這并不是說 的分布與無關(guān)。如圖1-19(a)、(b)所示這樣兩個(gè)電場，場中導(dǎo)體形狀相同，所帶電荷量亦完全相同，但介質(zhì)分布狀況彼此不同。此時(shí)它們的電位移矢量 的分布則完全不同，其電場強(qiáng)度

17、 的分布也完全不同。但是，通過包圍導(dǎo)體高斯面S的 的通量卻是完全相同的。圖1-9 線的分布(a)同一介質(zhì)內(nèi)的 線分布；(b)穿過兩不同介質(zhì)的 線分布DDDDDDDE301-10 例1-4圖例例1-41-4一單芯電纜其芯線半徑R1=0.5cm，外面金屬包皮的內(nèi)半徑R2=2cm，在外加電壓的作用下，芯線表面單位長度上的電荷量為= 5.5610-7C/m。若芯線外面緊包一層相對電容率r1=5的固體電介質(zhì)，其外半徑為R0=1.25cm；而固體介質(zhì)之外充滿相對電容率r2=2.5的絕緣油。求電纜內(nèi)電場強(qiáng)度 的分布以及介質(zhì)交界面上的極化電荷面密度。E31解解 根據(jù)問題的對稱性，在距離芯線軸線為R的各點(diǎn)上電位

18、移矢量 的大小相等，方向?yàn)閺较颉Ｒ虼?，選擇與軸線垂直的上下底面S1、S2與半徑為R的圓柱面S3共同組成高斯面S，設(shè)S1與S2之間距離為單位長度，則根據(jù)高斯定理RDERRRRDRDSdDsssS2,21210021321)/(102,);/(102 . 3,)/(1042,)/(106 . 1,);/(104,)/(1022,522520302220510511301101mVERRmVERRmVRRERRRmVERRmVERRmVRRERRRrrD32 設(shè) 為交界面上自介質(zhì)r1的指向介質(zhì)r2的單位矢量，則 為介質(zhì)r1因極化而進(jìn)入交界面的極化電荷面密度； 為介質(zhì)r2因極化而留在交界面上的極化電荷

19、面密度，交界面上極化電荷面密度為 芯線表面R=R+1處的極化電荷面密度為 如果內(nèi)層介質(zhì)也采用相對電容率為2.5的介質(zhì)，則運(yùn)用上述方法，可求得1將由-1.4210-5C/m2改變?yōu)?1.06210-5C/m2。 26202101212121/1042. 1mCEDEDPPnPnPPPnnnn2510111/1042. 1mCEDPnPnnPPn11nPPn22n331-6 電場強(qiáng)度E E的環(huán)路定理與電位函數(shù)靜電場中電場強(qiáng)度靜電場中電場強(qiáng)度E E的環(huán)路定理的環(huán)路定理 靜電場中，電場強(qiáng)度 沿任意閉合環(huán)路l的有向曲線積分恒等于零，(1-20)0ll dE 這一積分形式定理說明，靜電場是無旋場，靜電場中

20、場強(qiáng)矢量線(電力線)不可能是閉合曲線或旋渦線。E34圖1-11 電場力作功路徑圖 上式說明，當(dāng)將單位正點(diǎn)電荷由點(diǎn)A搬移至點(diǎn)B時(shí)，其所作之功與作功選取的路徑無關(guān)，而僅決定于A、B兩點(diǎn)的位置。 1.A、B兩點(diǎn)間兩點(diǎn)間電位差或電壓電位差或電壓 其值為將單位正點(diǎn)電荷從點(diǎn)A搬移至點(diǎn)B時(shí)，電場力所作之功。在國際單位制中，其單位為伏特(V)。靜電場中的電位函數(shù)靜電場中的電位函數(shù)取任意閉合路徑AmBnA有(1-22)AnBAmBBnAAmBAmBnAl dE00BAABl dE(1-23)352.2.點(diǎn)點(diǎn)A的電位的電位單位正點(diǎn)電荷從點(diǎn)A搬移至參考點(diǎn)P時(shí)，電場力所作之功，即場中任意點(diǎn)A（零電位點(diǎn)）對參考點(diǎn)的電位

21、差值。 在電荷分布于有限區(qū)域的情況下，一般選擇無限遠(yuǎn)處為參考點(diǎn)，此時(shí)PAAl dE(1-24)(1-25) 場中某點(diǎn)的電位亦是表征該點(diǎn)電位能的物理量，它表示單位正點(diǎn)電荷在電場中該點(diǎn)所具有的位能。RqRdRRql dEAAq020044AAl dE3.3.點(diǎn)電荷電場的電位點(diǎn)電荷電場的電位364.4.等位線等位線 由電位差的表達(dá)式可知，等位線或等位面恒與電場強(qiáng)度E E線(電力線)垂直。5.5.電位的相對性與絕對性電位的相對性與絕對性 電位是一個(gè)相對量。場中任一點(diǎn)的電位數(shù)值，隨參考點(diǎn)選取不同而不同，但場中任意兩點(diǎn)間電位差或電壓卻是固定的，它們與參考點(diǎn)的選擇無關(guān)。的點(diǎn)的集合常數(shù))(CA37例例1-51

22、-5長直電纜的纜芯與金屬外皮為同軸圓柱面。長度L遠(yuǎn)大于截面尺寸，若纜芯的外半徑為R1，外皮的內(nèi)半徑為R2，其間絕緣介質(zhì)的電容率為，試確定其中電場強(qiáng)度與電壓的關(guān)系。解解 作半徑為R的同軸圓柱面，R1RR2。設(shè)纜芯單位長度上的電荷量為，由高斯定理，121212121212ln21ln2,ln2RRRURRRUERRU1212222121RRlnRdRRdEURRRRRERD22兩柱面間的電壓38RRRERRRESdEl22212212(1-26)例例1-61-6 圓柱形電容器的柱面之間充滿了體密度為的均勻體積電荷，電容率為0,內(nèi)、外柱面的半徑分別為R1和R2，施加電壓U12。求電容器內(nèi)電場強(qiáng)度和電

23、位函數(shù)的分布。解解 設(shè)其單位長度柱頂?shù)碾姾闪繛?，取半徑為R (R1RR2)，高度為1個(gè)單位的同軸圓柱面，則其所包圍的電荷為+(R2-R21)。根據(jù)高斯定理12212121212ln24ln221RRRRRRRRdEURR392112212122ln42RRRRRU(1-27)將式(1-27)代入式(1-26)中，得21122122122ln4)(RRRRRRRRURE2222122122124lnln4)(2RRRRRRRRURdERRR40圖1-13把單位正點(diǎn)電荷從點(diǎn)A沿l搬至點(diǎn)B1-7 1-7 電位梯度電位梯度電場強(qiáng)度電場強(qiáng)度E與電位函數(shù)與電位函數(shù) 的微分關(guān)系表達(dá)式的微分關(guān)系表達(dá)式 電位為

24、一空間點(diǎn)坐標(biāo)的函數(shù)，在直角坐標(biāo)系中表為 。現(xiàn)若將點(diǎn)A沿x方向，移動單位正點(diǎn)電荷，行經(jīng)距離x至點(diǎn)P，則有 (1-28)zyxxzyxxExExEPAx,cos xzyxzyxxxEAPxxx,limlim 00(1-29)1.1.推導(dǎo)推導(dǎo)zyx,41xExyEyzEz即(1-30)(1-31)(1-32)同理場中任意一點(diǎn)A的電場強(qiáng)度 (1-33)zeyexeEeEeEeEzyxzzyyxxzeyexegradzyx記 (1-34)稱之為函數(shù) 的梯度。梯度的方向是標(biāo)量函數(shù)增加率最大的方向。 (1-35)電場強(qiáng)度亦可以用電位梯度表示gradEzyx,422.2.梯度的物理意義梯度的物理意義： 空間任

25、意一點(diǎn)的電場強(qiáng)度，等于該點(diǎn)電位(函數(shù))梯度的負(fù)值。電場強(qiáng)度 的方向總是由高電位指向低電位，而電位梯度的方向則是和電位函數(shù)增加率最快的方向一致，它總的方向是由低電位指向高電位，亦即指向電位升高的方向，故兩者恰好反向，因而在表達(dá)式上相差一負(fù)號。E43例例1-71-7利用點(diǎn)電荷的電位公式，求解三點(diǎn)電荷q1(4,0,0), q2(0,3,0), q3(4,3,0)在坐標(biāo)原點(diǎn)的電場強(qiáng)度。解解 空間點(diǎn)P(x，y，z)的電位函數(shù) 為一般可得因此332211041,rqrqrqzyx3331,1,1rczrzrbyryraxrx332211041rqgradrqgradrqgradgradE44zyxerzq

26、rzqrzqeryqryqryqerxqrxqrxqgradE3333223113333223113333223110434441即451-8 靜電場的邊界條件 靜電場的邊界，指的是界定場域的周界，如導(dǎo)體與介質(zhì)的交界面，介質(zhì)與介質(zhì)的交界面。導(dǎo)體表面的邊界條件導(dǎo)體表面的邊界條件 1.1.靜電平衡靜電平衡 導(dǎo)體處于靜電平衡狀態(tài)下，導(dǎo)體內(nèi)部和導(dǎo)體表面上任何部分都沒有自由電荷運(yùn)動，它具有兩個(gè)明顯的特征： （1）導(dǎo)體內(nèi)部任何一點(diǎn)的場強(qiáng)為零，電荷只能分布于導(dǎo)體表面，導(dǎo)體為等電位體； （2）導(dǎo)體表面場強(qiáng)只具有法線分量，其電位移矢量 亦只具有法線分量 。D46圖1-14 在導(dǎo)體與介質(zhì)的交界面上Dn的邊界條件

27、在導(dǎo)體與介質(zhì)的交界面上截取一微小面元 。另作一上、下底面積分別為dS2與dS1的微小扁平圓柱體包圍此面元 ，扁平圓柱體的上、下底與面元 平行，且面積相等，即(1-36)dSdSdS21 由高斯定理可知，通過此扁平圓柱體表面 的 的通量等于面內(nèi)所包圍的自由電荷量，即有SqSdDS(1-37)2. 2. 的邊界條件的邊界條件DSdSdSdD47 當(dāng)微小柱體之高h(yuǎn)0，僅只上底有 線通過，其通量為 ，而扁平圓柱體側(cè)面及下底的 通量為零，故有 亦即 (1-38) 其中方向 為導(dǎo)體表面的外法線方向。dSdSDSdDn2nnEDD 式(1-38) 說明，導(dǎo)體表面任一點(diǎn)的電位移矢量 的法線分量等于該點(diǎn)的自由電

28、荷面密度。DD1SdDnD48圖1-15 在導(dǎo)體與介質(zhì)交界面上Et的邊界條件 在導(dǎo)體與介質(zhì)交界處作一微小矩形 ，使兩長邊dl1、dl2,分別跨于介質(zhì)與導(dǎo)體之中，且dl1=dl2=dl，若令其兩長邊無限緊貼導(dǎo)體表面(此時(shí)矩形的短邊趨于零)，沿此微小矩形 ，取場強(qiáng)E的環(huán)路積分，有l(wèi)l0, 0tlEl dE 上式說明，導(dǎo)體表面任一點(diǎn)電場強(qiáng)度 的切線分量恒為零；導(dǎo)體表面為等位面，電場強(qiáng)度與導(dǎo)體表面垂直。3. 3. 的邊界條件的邊界條件EE49nnEDD0tEnC4.4.小結(jié)小結(jié)：導(dǎo)體表面的邊界條件為事實(shí)上，上述邊界條件是導(dǎo)體靜電平衡的表現(xiàn)。(1-41)50圖1-16 高斯定理運(yùn)用于不同媒質(zhì)交界處 不同

29、介質(zhì)交界面的邊界條件不同介質(zhì)交界面的邊界條件1. 1. 的邊界條件的邊界條件 先作扁平圓柱體，其上、下底面積相等，dS1dS2dS，分別位于1及2的電介質(zhì)中，當(dāng)上、下底無限緊靠時(shí)，圓柱體的高度趨于零。若在介質(zhì)交界面有自由電荷面密度存在，運(yùn)用高斯定理于此圓柱體表面有 (1-42)dSSdDSnnnnDDdSdSDdSDdSSdDSdD1211221122(1-43)nnDD12, 0則若 (1-44)D51 當(dāng)邊界面存在自由電荷面密度時(shí)，邊界兩側(cè)無限靠近的兩點(diǎn) 的法線分量不連續(xù)，其差值應(yīng)為該點(diǎn)處的自由電荷面密度。圖1-17 交界面電荷不為零， 線不連續(xù) 若介質(zhì)交界面無自由面電荷，則邊界兩側(cè)無限靠

30、近的兩點(diǎn)僅有 的法線分量連續(xù)。一般地，此時(shí)雖然 并不連續(xù)，但 線總是連續(xù)的。圖1-18 兩不同媒質(zhì)交界面電荷不為零， 線連續(xù)DDDDDD52圖1-19 環(huán)路定理用于不同媒質(zhì)交界處作微小矩形積分路徑 ，其長邊相等， dl1=dl2=dl ，并分別位于1及2的電介質(zhì)中，矩形短邊趨于零。運(yùn)用E的環(huán)路定理，有 此式說明，在不同介質(zhì)交界面兩側(cè)無限緊靠的兩點(diǎn)，僅有其電場強(qiáng)度E的切線分量連續(xù)。l0ll dEttEEl dEl dE2122110 邊界面無限靠近的兩點(diǎn)的電位相等( )與無限靠近的兩點(diǎn)的電場強(qiáng)度切線分量相等是互為因果關(guān)系的，兩者具有等效關(guān)系。1221212. 2. E E的邊界條件的邊界條件(1

31、-46)(1-47) (1-45)53圖1-20 與兩不同媒質(zhì)交界面平行， 線連續(xù)圖1-21 與兩不同媒質(zhì)交界面不平行， 線不連續(xù) 除電場方向與介質(zhì)交界面平行外，一般說來電場強(qiáng)度 在介質(zhì)交界面上是不連續(xù)的。因?yàn)樵诮橘|(zhì)交界面附有束縛電荷。EEEEE54nnDD12nnDD12ttEE2112212112221211nn121122nn 3. 3.小結(jié)小結(jié) 兩個(gè)不同介質(zhì)交界面處的邊界條件為 (當(dāng)交界面存在自由面電荷時(shí)) (當(dāng)交界面不存在自由面電荷時(shí)) 12表示不同介質(zhì)的交界面； 分別表示邊界面兩側(cè)的電位函數(shù)。(1-52)(1-51) (1-50)(1-49)ttnnnnEEDDDD211212用電

32、位函數(shù)表示即21,55212122222111112211cossincossin,tgtgEEEEDEDEntnt 4.4.結(jié)論結(jié)論 無論導(dǎo)體與介質(zhì)交界面，或介質(zhì)與介質(zhì)交界面，在交界面兩側(cè)，除特殊情況外，電場強(qiáng)度 與電位移矢量 均將發(fā)生突變。因而場的邊界處(邊界面)，可視為場量 、 的突變處(突變面)。 5.5.折射定理折射定理 將式(1-50)、式(1-51)綜合得 (1-53) 不同介質(zhì)交界處電場的折射定理從數(shù)量上描述了不同介質(zhì)電容率對電場折射角的影響。EEDD56例例1-8 1-8 如圖所示，由x=0，x=3的兩平面所分隔開的區(qū)域,中，分別填充相對電容率為r1，r2，r3的三種介質(zhì)，其

33、中r3=2r2=4r1。已知區(qū)域(x0)中均勻電場的場強(qiáng)為V/m6581111zyxzzyyxxeeeeEeEeEE求區(qū)域、中的場強(qiáng) 。圖1-22 例1-8圖解解 設(shè)zzyyxxzzyyxxeEeEeEEeEeEeEE3333222232,EE572, 432xxEE65123123 zzzyyyEEEEEE,mVeeeEmVeeeEzyxzyx/652,/65432于是得又根據(jù)介質(zhì)分界面上電場強(qiáng)度的切向分量連續(xù)，有21021010230220110321428xrxrrxrxrxrxxxEEEEEDDD 581-9 1-9 微分形式的高斯定理微分形式的高斯定理 設(shè)有 場，在場中作一含有任意點(diǎn)

34、A的任意閉合高斯面S，其體積為V，令曲面S以任意方式圍繞點(diǎn)A無限緊縮，使曲面S所包圍的體積V趨于零，定義下述比值的極限為點(diǎn)A的電位移矢量 的散度,記為1.1.推導(dǎo)推導(dǎo)vSdDDSv0limdiv(1-54)圖1-23 直角坐標(biāo)下的體積元 以點(diǎn)A(x，y，z)為中心，作無限小正六面體積元，其邊長分別為dx、dy、dz，且各自平行于坐標(biāo)軸。DD59 設(shè)點(diǎn)A處電位移矢量為 ，則其三個(gè)分量分別為Dx、Dy、Dz，沿x、y、z方向上的變化率分別為 電位移矢量的x方向分量分別為zDyDxDzyx,2,2dxxDDdxxDDxxxx故通過面元dS1的電位移矢量 的通量(1-55)dxdydzxDdydzDd

35、SdxxDDxxxx2121通過面元dS2的電位移矢量 的通量為dxdydzxDdydzDdSdxxDDxxxx2121(1-56)DDD60 通過微小正面體的左、右兩面元dS1與dS2的電位移矢量通量之和為(1-58)(1-59)(1-57) 同理dxdydzxDxdxdydzyDydxdydzzDzdxdydzzDyDxDSdDzyxS(1-60) 若此時(shí)微小正六面體內(nèi)含有體密度為的體積電荷，由高斯定理，則有(1-61)dxdydzSdDSzDyDxDzyx(1-62)DDdiv(1-63)上式為直角坐標(biāo)系中微分形式的高斯方程。610Ddiv0zDyDxDzyx對無自由電荷體密度點(diǎn)有(1-

36、65)(1-64) 或 說明，場中任一點(diǎn) 的散度，等于該點(diǎn)處的自由電荷體密度。當(dāng)電荷體密度0時(shí)， 線自該點(diǎn)發(fā)出。若0時(shí)， 線匯集于該點(diǎn)。若該點(diǎn)無自由體積電荷時(shí)，該點(diǎn)的散度為零，無自由電荷源。 每點(diǎn)散度恒為零的場，稱之為無散場或無源場； 散度不恒為零的場，稱之為有源場。 有源場不一定處處有源，此時(shí)，源存在的區(qū)域，0，稱之為有源區(qū)；源不存在的區(qū)域，0，稱之為無源區(qū)。靜電場是有源場。2.2.物理意義物理意義DDD62例例1-91-9 若空氣中電位函數(shù)其中,為已知，試問電荷按什么規(guī)律分布？解解 場強(qiáng)的分布再利用 ，可得電荷分布規(guī)律zyxzyxcoscoscos,0)sincoscoscossincos

37、coscossin(0zyxezyxezyxezyxgradEDdivzyxzEyExEzyxcoscoscos2220631-10 微分形式的電場強(qiáng)度環(huán)路定理 設(shè)空間有 場，在平面yoz上以任意點(diǎn)A(x，y，z)為中心作一微小閉合矩形回路 ，其繞行方向?yàn)閍bcda，長邊長為dy，短邊長為dz。l圖1-24 直角坐標(biāo)系下選取的矩形回路1.1.推導(dǎo)推導(dǎo)設(shè)點(diǎn)A的場強(qiáng)矢量為 ，其三個(gè)分量分別為Ex，Ey，Ez，若以 表示Ez沿y方向的變化率，則在ab線段中點(diǎn)處，電場強(qiáng)度z方向分量為yEz2dyyEEzz沿ab段電場強(qiáng)度的線積分為dydzyEdzEdzdyyEEzzzz212(1-66)EE64同理c

38、d線段中點(diǎn)處，電場強(qiáng)度z方向分量為沿cd段電場強(qiáng)度的線積分為(1-67)2dyyEEzzdydzyEdzEdzdyyEEzzzz212同理沿線段da及bc的電場強(qiáng)度的線積分分別為dydzzEdyEdydzzEEyyyy212dydzzEdyEdydzzEEyyyy212(1-69)(1-68) 沿微小閉合矩形回路abcda的電場強(qiáng)度矢量的環(huán)路積分為dydzzEyEl dEyzl(1-70)65場強(qiáng) 的旋度的x向分量 的直角坐標(biāo)系表達(dá)式為 (1-71)zEyEErotyzx靜電場中E的環(huán)路積分恒為零0zEyEErotyzx(1-72)0 xEzEErotzxy0yExEErotxyz(1-75)

39、0zxyyzxxyzeyExEexEzEezEyEErot同理(1-73)(1-74)因而直角坐標(biāo)系下場域中任意一點(diǎn)A的電場強(qiáng)度 的直角坐標(biāo)系中場強(qiáng) 的旋度表達(dá)式可記為(1-77)zyxzyxEEEzyxeeeErotEErotxEE66故 與 等效。 場強(qiáng) 的旋度方程，又稱為微分形式的 的環(huán)路定理。旋度恒為零的場稱之為無旋場，旋度不恒為零的場稱為之為有旋場。靜電場的旋度恒為零，說明靜電場不存在旋渦線、旋渦點(diǎn)，因而說靜電場是無旋渦場或無旋場。 靜電場中旋度恒為零與靜電場是一個(gè)梯度場，都是由電場強(qiáng)度 的環(huán)路定理所得，它們同樣是描述場域中點(diǎn)的特性的.0gradrotErot在數(shù)學(xué)關(guān)系上，有0Ero

40、tgradE2.2.物理意義物理意義EEE67zzyxeyxzxxyzyxeeeErot6222322例例1-101-10求矢量場 的旋度解解 由直角坐標(biāo)系中的旋度公式zyxezexexyA22322680ErotDdivgradE1-11 泊松方程與拉普拉斯方程泊松方程與拉普拉斯方程泊松方程與拉普拉斯方程(1-81)(1-80)或在直角坐標(biāo)系下，式(1-80)具有下述形式(1-83)(1-82)若將其代入式(1-82)，則得zDyDxDDdivzyxzEDyEDxEDzzyyxx,zzyyxx靜電場中兩個(gè)微分形式的定理為1.1.推導(dǎo)推導(dǎo)69222222yyx 當(dāng)空間介質(zhì)均勻或空間介質(zhì)分區(qū)均勻

41、，則對介質(zhì)均勻的區(qū)域而言，媒質(zhì)的電容率為常數(shù)，故由式(1-83)得 (1-84) 若在空間場點(diǎn)處不存在自由體積電荷，則有 0222222yyx 泊松方程與拉普拉斯方程，是由靜電場的兩個(gè)微分形式的基本定理和場量間的特性方程 綜合而成，場的兩個(gè)微分形式的定理，是描述位函數(shù)在場域內(nèi)部點(diǎn)上(不包括邊界點(diǎn))所滿足的特性方程。因而求解靜電場的問題，轉(zhuǎn)化為(在給定解條件下)求解泊松方程與拉普拉斯方程的問題。(1-85)泊松方程拉氏方程2.2.物理意義物理意義ED70 在直角坐標(biāo)系中，哈密爾頓算子定義為 哈密爾頓算子是一個(gè)矢性微分運(yùn)算的符號參與運(yùn)算時(shí)，一方面可以利用矢量代數(shù)的運(yùn)算法則，另一方面又可以利用微分法

42、則。zeyexezyx哈密爾頓算子哈密爾頓算子(1-86)(1) 算子“ ”作用于標(biāo)量函數(shù)(x，y，z)zeyexezeyexezyxzyx(1-87)grad(1-88)71(2) 算子“ ”作用于矢量函數(shù) zDyDxDDeDeDezeyexeDzyxzzyyxxzyxDDdiv(1-89)(1-90)yExEexEzEezEyEeEeEeEezeyexeExyzzxyyzxzzyyxxzyx (1-91)EErot72(3)拉普拉斯算子2222222zyxzeyexezeyexezyxzyx2222222zyx222222yyx泊松方程在直角坐標(biāo)系中的表達(dá)式即為式(1-99) BACCAB

43、CBABCACBAAAAAA2則有(4)由二重矢量積有730120cos1cos1sin1cos11122222222122122112rarArarArarArrarArrzrrrrr根據(jù)運(yùn)算結(jié)果，證明了 滿足拉普拉斯方程例例1-111-11證明在圓柱坐標(biāo)系下，函數(shù)滿足拉普拉氏方程證明證明 由圓柱坐標(biāo)系中拉普拉斯算子 的表達(dá)式，得cos21rarA21741-12 靜電場的邊值問題 對于一個(gè)具體的場來說，不同的邊界約束條件，就有不同的分布狀態(tài)，通常將能夠正確說明邊界上約束情況的條件，即邊界約束條件，稱之為邊界條件邊界條件。給定此場域的邊界形狀及未知函數(shù)在邊界上某種形式的值，稱之為給定邊界約束

44、條件或給定邊界條件。上述求解問題，稱之為靜電場的邊值問題靜電場的邊值問題。 靜電場的邊界，大致由三種情況的邊界面組成：一種是導(dǎo)體表面，其次是介質(zhì)分界面，再其次就是無限遠(yuǎn)處場的外邊界。75通常導(dǎo)體表面的邊界條件有如下幾種類型：一、給定某導(dǎo)體i的電位值Ci (由于導(dǎo)體是等位體，因而對于導(dǎo)體i的表面而言，其各點(diǎn)的電位值應(yīng)是同一已知常數(shù)Ci)。二、給定某導(dǎo)體i表面每一點(diǎn)的自由電荷面密度i實(shí)際上，往往很難事先知道導(dǎo)體表面各點(diǎn)的自由電荷面密度，因而通常會遇到的另一種情況是，給定某導(dǎo)體的電荷總量qi，另外限定所求的電位函數(shù)必須滿足導(dǎo)體表面為等位面這一要求。三、給定靜電場中某些導(dǎo)體的電位值，同時(shí)給定另外一些導(dǎo)

45、體的電荷量(或一些導(dǎo)體表面每點(diǎn)的自由電荷面密度)，即場的所有賦值的邊界由上面二種情況組合而成。76 根據(jù)邊界條件的分類，靜電場邊值問題的提法有三類：第一類邊值問題(稱為狄里赫希問題)給定每一導(dǎo)體表面電位值，即 (已知常數(shù))在不同介質(zhì)交界面，滿足連接條件，即 當(dāng)電荷分布于有限空間時(shí)，指定在場的無限遠(yuǎn)邊界處電位為零。即(有自由電荷體密度區(qū)域)(無自由電荷體密度區(qū)域)(分界面上無自由面電荷)02iCiiCnnDD1212221211nnttEE211221217702nnDD1212221211nnttEE21122121iiniqdsni第二類邊值問題(稱為諾以曼問題)(無自由電荷體密度區(qū)域)(有

46、自由電荷體密度區(qū)域)給定每一導(dǎo)體表面每點(diǎn)之自由電荷面密度或給定每一導(dǎo)體的總電荷量在不同介質(zhì)交界面，滿足連接條件，即(分界面上 無自由面電荷)這種邊值問題中，每位值可相差一任意常數(shù)，該常數(shù)由電位參考點(diǎn)確定。78第三類混合邊值問題給定某些導(dǎo)體中每一導(dǎo)體的表面電位值，及其它另外某些導(dǎo)體中每一導(dǎo)體的總電荷量(或某些導(dǎo)體每一導(dǎo)體表面的自由電荷面密度)，即或 在不同介質(zhì)交界面，滿足連接條件，即 (分界面上 無自由面電荷)iCiiqdsni12221211nn122121nnDD12ttEE2102(有自由電荷體密度區(qū)域) (無自由電荷體密度區(qū)域)iin79圖1-25 例1-12圖21212dxd02222

47、2dxd例例1-121-12平行板電容器的極板間距離為d，所加電壓U0為已知，一半空間有體電荷均勻分布，電荷密度為，介質(zhì)的電荷容率均為0。忽略邊緣效應(yīng)，試求電場分布。解解 建立直角坐標(biāo)系如圖所示。由于不考慮邊緣效應(yīng)，電場分布僅與x坐標(biāo)有關(guān)。根據(jù)電荷分布情況要分作兩個(gè)區(qū)域來考慮。在0 xd/2區(qū)域，電位函數(shù) 滿足泊松方程：在d/2xd區(qū)域，電位函數(shù) 滿足拉普拉斯方程： (顯然函數(shù) 與變量y、z無關(guān)，故相應(yīng)偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)為零。)1280分別解得再由給定邊界條件確定上面解式中的各待定常數(shù)。題設(shè)中給出兩極板的電壓為U0，因此可設(shè) (若設(shè) 兩者所解得電位函數(shù)相差一常數(shù)K,但電場強(qiáng)度值相同)。把邊界條件代入解式

48、即得 在 的兩側(cè)因電位函數(shù)滿足不同微分方程，所以把它取作分界面。但從介質(zhì)分界面考慮，它只是1=2=0的特例。DAxCBxx2201,20201, 0Udxx0101,UKKdxx0201, 0UDAdCdxx2dx 81ABdDdAdBd0202,2280200008,83,8dDddUBddUA dxddxddUxdxxddUxx2,8820,8320200200201因此在 處電位函數(shù)應(yīng)滿足介質(zhì)分界面上的連接條件，有對于等二式需要注意到，雖然 區(qū)域有體電荷的分布，但 上沒有面電荷的分布。利用上述條件得電位函數(shù)220210dxdxxx2221dxdx聯(lián)立求解得2dx 2dx 2dx82靜 電

49、 場(二)832-1 靜電場的唯一性定理及其應(yīng)用2-2 平行雙電軸法 2-3 無限大導(dǎo)電平面的鏡象法 2-4 球形導(dǎo)體面的鏡象 2-5 無限大介質(zhì)交界平面的鏡象2-6 電容與電容的計(jì)算 2-7 雙輸電線的電容 2-8 多導(dǎo)體系統(tǒng)的部分電容 2-9 帶電導(dǎo)體系統(tǒng)的電場能量及其分布2-10 虛位移法計(jì)算電場力 第二章 靜 電 場(二)842-1 靜電場的唯一性定理及其應(yīng)用唯一性定理及其重要意義唯一性定理及其重要意義 靜電場中，滿足一定邊界條件(即前述三類邊界條件)的泊松方程或拉普拉斯方程的解是唯一的。靜電場解的唯一性定理 當(dāng)場中介質(zhì)及各導(dǎo)體的分布一定時(shí)：(1)給定各導(dǎo)體表面的電位值(見圖2-1)，

50、此時(shí)由邊值問題解得之電位函數(shù)為唯一。圖2-1 位于不同介質(zhì)的兩給定電位的帶電導(dǎo)體85圖2-2 位于不同介質(zhì)的兩給定電荷的帶電導(dǎo)體(2)導(dǎo)體表面為等位面，給定各導(dǎo)體表面的電荷量(圖2-2)，此時(shí)由邊值問題所解得的電位函數(shù)，僅相差一無關(guān)緊要的常數(shù)。(3)若給定某些導(dǎo)體表面的電位值，及其它每一導(dǎo)體表面(導(dǎo)體表面為等位面)的電荷量 (見圖2-3)，此時(shí)由邊值問題所解得的電位函數(shù)為唯一。圖2-3 位于不同介質(zhì)量分別給定電荷和給定電位的兩帶電導(dǎo)體86唯一性定理的應(yīng)用唯一性定理的應(yīng)用等位面法等位面法 根據(jù)唯一性定理，若沿場的等位面任意一側(cè)，填充導(dǎo)電媒質(zhì)，則等位面另側(cè)的電場保持不變。如圖2-4為兩平行輸電線的

51、電場，若沿場中任一等位面k之一側(cè)(這里我們沿其內(nèi)側(cè))填充導(dǎo)電媒質(zhì)(見圖2-5)，則導(dǎo)電媒質(zhì)以外之另一側(cè)，其電場不變。因?yàn)檫@樣處理之后：1.它保持了另一側(cè)場的邊界形狀及介質(zhì)分布不變，且對另一側(cè)場而言，邊界仍為等位面。填充導(dǎo)電媒質(zhì)后，邊界上的總電荷量等于填充導(dǎo)電媒質(zhì)前邊界上所穿過的總電通量，即 亦即邊界條件沒有變化。2.它保持了另一側(cè)場的介質(zhì)及電荷分布不變。因而根據(jù)唯一性定理，另一側(cè)的場沒有變化。由于這一方法是沿等位面填充介質(zhì)，因而稱之為等位面法。SdnSdD87圖2-4 兩平行輸電線的電場圖2-5 沿場的等位面一側(cè)，填充導(dǎo)電媒質(zhì)后的電場88例例2-12-1 靜電場唯一性定理在解靜電屏蔽現(xiàn)象中的應(yīng)

52、用。解解 在物理學(xué)中，已知靜電屏蔽現(xiàn)象：(1)接地的封閉導(dǎo)體殼內(nèi)的電荷不影響殼外的電場；(2)封閉導(dǎo)體殼無論它是否接地，則殼內(nèi)的電場不受殼外電荷的影響。作為唯一性定理的應(yīng)用，我們來討論上述結(jié)論。圖2-6(a)表示一種情形。設(shè)封閉導(dǎo)體殼的外表面為S1，對于殼外區(qū)域而言，它是一個(gè)邊界面。無論殼內(nèi)電荷q1在數(shù)量上增減或作位置上的移動，由于導(dǎo)體殼接地，恒有 ，始終沒有改變殼外區(qū)域邊界面上的邊界條件。因此在這種情況下，殼內(nèi)的電荷不影響殼外的電場。01s圖2-6 例2-1圖891qSdnS圖2-6(b)表示第二種情形。設(shè)封閉導(dǎo)體殼的內(nèi)表面為S2，對于殼內(nèi)區(qū)域而言它是一個(gè)邊界面。首先，S2是一個(gè)等位面。其次

53、，如在殼內(nèi)緊貼S2作一高斯面S，則有即電位移矢量 的通量為q1。因此以S2作為導(dǎo)體殼內(nèi)電場的一個(gè)邊界面，通過它的電通量僅僅決定于導(dǎo)體殼內(nèi)的電荷，而與殼外的電荷分布是無關(guān)的。根據(jù)唯一性定理，當(dāng)導(dǎo)體殼內(nèi)帶電導(dǎo)體都是給定電荷量時(shí)，電位函數(shù)可以相差一個(gè)常數(shù)，但是電場強(qiáng)度是唯一確定的。它不受導(dǎo)體殼外電荷q2的影響。這時(shí)甚至殼內(nèi)的電位函數(shù)也是唯一確定的?？傊诘诙N情況下，導(dǎo)體殼內(nèi)的電場不受殼外電荷的影響。D90平行雙電軸電場是一個(gè)平行平面場，在垂直于電軸的各個(gè)平面上，場有完全相同的分布圖形。設(shè)介質(zhì)電容率為0的空間有兩無限長平行電軸，兩電軸所帶有的電荷線密度分別為0102RRE0202RRE ,2-2

54、平 行 雙 電 軸 法平行雙電軸電場平行雙電軸電場(2-1)(2-2) 由高斯定理可得兩電軸分別產(chǎn)生的電場強(qiáng)度表達(dá)式為圖2-7 兩平行輸電線表面電荷分布91 102/ln2ln21RDRdEDRP 202/ln2ln22RDRdEDRP210ln2lnln2ln2RDRDppp（2-5）圖2-8 兩電軸外任意一點(diǎn)P的電場由疊加原理，點(diǎn)P的電位為(2-4)(2-3)選取坐標(biāo)軸的原點(diǎn)o為零電位點(diǎn) ， 點(diǎn)P電位為92圖2-9 平行雙電軸電場等位線的分布規(guī)律 在雙電軸的電場中，等位面是一組偏心的圓柱族面。通常稱零等位線的那個(gè)等位面為零電位面或中性面。93設(shè)某個(gè)等位圓之半徑為R0，等位圓圓心至中性面距離

55、為x0，以及電軸至中性面的距離為 D/2，則R0、x0與D三者間的關(guān)系，可通過簡單幾何關(guān)系求得。在等位圓上選擇特殊點(diǎn)A及B，令R2/R1=R2/R1=K(常數(shù))，則有圖2-10 兩平行同半徑圓柱的等效電軸位置000000002222RDxDDxRRxDDxRk(2-6)22002DxR(2-7)94可知： 1)若已知電軸位置，選取任意點(diǎn)x0為圓心，即可作出以x0為圓心R0為半徑的等位圓。 2)若已知電軸位置，給定任意的R0，亦可作出此等位圓圓心所在處x0的等位圓。 3)若已知R0，及圓心的位置x0，亦可推出電軸所在的位置，亦即推求出距離D95圖2-11 兩平行同半徑圓柱體的幾何中心軸與等效電軸

56、的位置 具有相同半徑R0的平行雙輸電線。設(shè)每根導(dǎo)線單位長度上所帶的電荷量分別為+及-，求電場分布?？烧J(rèn)為導(dǎo)線的圓截面是沿某待求的雙電軸所形成的等位圓填充導(dǎo)電媒質(zhì)所得，根據(jù)等位面法，此問題轉(zhuǎn)化為求解雙電軸的電場，而由式(2-7)，可以容易地求得雙電軸的位置。平行雙電軸法平行雙電軸法22002DRx(2-8)962020202022RxRxD由式(2-9)及式(2-10)可求得dxx00dRRdx2202020(2-11)(2-10) (2-9) 對于相互平行但半徑不同的帶電圓柱導(dǎo)體，半徑R0與R0以及兩圓柱體軸心距離d已知，得02020202xddRRdx(2-12)圖2-12 兩不同半徑的平行

57、圓柱體的等效電軸的位置解得x0及x0可求兩電軸的距離97圖2-13 兩不同半徑的偏心圓的等效電軸的位置 對于兩偏心圓柱套筒的電場，在已知兩圓柱套筒半徑R0、R0以及圓柱軸心間距離d的情況下，可得ddRRx2220200ddRRx2220200從而可求兩電軸的距離D。(2-13)(2-14) 電軸法在求解雙輸電線電容及偏心圓柱套筒等的電容問題中被廣泛運(yùn)用。98cmdRRdx25.235022015502222202020cmxdx75.265 .235000cmRxD76.171525.232222020電軸到中性面的距離為中性面到半徑R0的圓柱面的幾何中心的距離為例例2-2 空中兩根互相平行、

58、無限長的導(dǎo)體圓柱上帶有等量異號電荷。設(shè)單位長度的電量=10-8C/m，圓柱的半徑各為R0=15cm,R0=20cm，兩圓柱的幾何軸線間距離為d=50cm。試求電軸的位置、零位(中性)面的位置。解解 對于兩半徑不等的平行導(dǎo)體圓柱，根據(jù)式(2-11)可確定中性面到半徑為R0的圓柱面的幾何中心的距離為99 所謂鏡象法，是基于唯一性定理的。此方法的特點(diǎn)是以場域外虛擬的集中電荷代替場域邊界上分布電荷的作用，使場的邊界條件保持不變，從而保持被研究的場不變。由于虛擬電荷往往與場域內(nèi)的集中電荷互為鏡象(平面鏡象或曲面鏡象)，故稱為鏡象法。2-3 無限大導(dǎo)電平面的鏡象法點(diǎn)電荷對無限大導(dǎo)電平面的鏡象點(diǎn)電荷對無限大

59、導(dǎo)電平面的鏡象 若有一點(diǎn)電荷q，其與無限大地平面(地為導(dǎo)電平面)相距h高度，試求上半場域中的場量。根據(jù)唯一性定理，這個(gè)問題所給的條件是齊備的：對于場域內(nèi)部，除點(diǎn)電荷所在點(diǎn)(奇異點(diǎn))之外，均滿足拉普拉斯方程。圖2-14 地面上方h處有一點(diǎn)電荷q100對于場域邊界條件而言，無限大地平面為等位面，其上總電荷(感應(yīng)電荷)已知為-q。設(shè)想將無限大地平面撤去，而將下半場域亦充以電容率為0的媒質(zhì)，且以地平面為鏡象，在電荷q的鏡象位置，放置一點(diǎn)電荷-q。對于上半場域，其內(nèi)部未作任何變更，邊界條件也沒有改變。圖2-15 地面下方h處置一鏡象電荷-q代替大地影響101圖2-16 大地對點(diǎn)電荷電場的影響填充導(dǎo)電媒質(zhì)

60、后，電荷-q即轉(zhuǎn)移至無限大地平面上，根據(jù)等位面法，上半域的電場仍保持不變，即上半域的電場完全可以作為兩點(diǎn)電荷電場進(jìn)行求解。導(dǎo)電平面鏡象問題的特點(diǎn)：鏡象電荷必在被研究場域邊界外，所處位置與場源電荷以平面對稱。鏡象電荷的電量與邊界面有總電荷量相等，與場源電荷量大小相等、符號相反，而被研究場域邊界電位值為零。圖2-17 用鏡象電荷代替大地的影響102無限大導(dǎo)電平面鏡象法的應(yīng)用無限大導(dǎo)電平面鏡象法的應(yīng)用應(yīng)用(1)：圖2-18 夾角為直角的兩相聯(lián)導(dǎo)電平面的鏡象(a)直角區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)電荷；(b)圖(a)的鏡象電荷應(yīng)用（2）：圖2-19夾角為的兩相聯(lián)無限大導(dǎo)電平面的鏡象(a)特殊角 (2/偶數(shù))區(qū)域的點(diǎn)電荷；