泊松過程PPT學習教案

1、會計學1泊松過程泊松過程1計數(shù)過程則 第一節(jié)第一節(jié) 泊松過程的定義和例子泊松過程的定義和例子第1頁/共52頁注注 如果在不相交的時間區(qū)間中發(fā)生的事如果在不相交的時間區(qū)間中發(fā)生的事件個數(shù)是獨立的，則稱計數(shù)過程有獨立件個數(shù)是獨立的，則稱計數(shù)過程有獨立增量。增量。 若在任一時間區(qū)間中發(fā)生的事件個數(shù)若在任一時間區(qū)間中發(fā)生的事件個數(shù)的分布只依賴于時間區(qū)間的長度，則稱的分布只依賴于時間區(qū)間的長度，則稱計數(shù)過程有平穩(wěn)增量。計數(shù)過程有平穩(wěn)增量。首頁首頁第2頁/共52頁2泊松過程滿足設 隨 機 過 程 )(tX，0t是 一 個 計 數(shù) 過 程 ，（1）0)0(X（2）)(tX是獨立增量過程首頁首頁則稱（ 3）

2、對 任 一 長 度 為 t 的 區(qū) 間 中 事 件 的 個 數(shù)即對一切0, ts，有)()(ksXstXPtkekt!)(, 2 , 1 , 0k第3頁/共52頁注意從條件（3）可知泊松過程有平穩(wěn)增量，且ttXE)(并稱為此過程的生起率或強度（單位時間內(nèi)發(fā)生的事件的平均個數(shù)）。首頁首頁第4頁/共52頁說明說明 要確定計數(shù)過程是泊松過程，必須證明它滿足三個條件：要確定計數(shù)過程是泊松過程，必須證明它滿足三個條件：為此給出一個與泊松過程等價的定義然而全然不清楚如何去確定條件（3）是否滿足第5頁/共52頁則稱其中)(h表示當0h時對 h 的高階無窮小，（1）0)0(X首頁首頁設 隨 機 過 程 )(t

3、X，0t是 一 個 計 數(shù) 過 程 ，參數(shù)為（0） ，滿足定義定義3.3第6頁/共52頁例例3.1 3.1 考慮某電話交換臺在某段時間接到的考慮某電話交換臺在某段時間接到的呼叫呼叫. . 令令X(t)X(t) 表示電話交換臺在表示電話交換臺在(0,t(0,t時間段內(nèi)收到的時間段內(nèi)收到的呼叫呼叫次數(shù)次數(shù), , 則則 X(t),t0X(t),t0滿足滿足定義定義3.33.3中的各個條件中的各個條件, ,故故X(t),t0X(t),t0 是一個是一個泊松過程泊松過程. . 其實對于任意的其實對于任意的0t0t1 1t t2 2t tn n, ,隨機變量隨機變量X(tX(t2 2)-)- X(t X(

4、t1 1),X(t),X(t3 3)-X(t)-X(t2 2),X(t),X(tn n)-X(t)-X(tn-1n-1) )分別表示分別表示, ,在時間在時間 段段(t(t1 1,t,t2 2,(t,(t2 2,t,t3 3,(t,(tn-1n-1,t,tn n 內(nèi)內(nèi), ,電話交換臺接到的電話交換臺接到的 呼叫呼叫次數(shù)次數(shù), ,它們是相互獨立的它們是相互獨立的, ,所以隨機過程所以隨機過程X(t),t0X(t),t0 是一個是一個獨立增量過程獨立增量過程. . 而且對于任意的而且對于任意的s st,t,隨機變量隨機變量X(t)-X(s)X(t)-X(s)的分布可以的分布可以 認為僅與認為僅與t

5、-st-s有關有關, ,故故X(t),t0X(t),t0是是平穩(wěn)獨立增量過程平穩(wěn)獨立增量過程. .第7頁/共52頁例例3.23.2 考慮來到某火車站售票窗口購買車票的旅客考慮來到某火車站售票窗口購買車票的旅客. .如果如果 記記X(t)X(t)為在時間為在時間(0,t(0,t內(nèi)到達售票窗口的旅客數(shù)內(nèi)到達售票窗口的旅客數(shù), , 則計則計 數(shù)過程數(shù)過程X(t),t0X(t),t0滿足滿足定義定義3.33.3中的各個條件中的各個條件, ,故是一故是一 個個泊松過程泊松過程. .例例3.33.3 考慮機器在考慮機器在(t,t+h)(t,t+h)時間段內(nèi)發(fā)生故障的事件時間段內(nèi)發(fā)生故障的事件. . 若若

6、機器發(fā)生故障機器發(fā)生故障, ,立即修理后繼續(xù)工作立即修理后繼續(xù)工作, ,則在則在(t,t+h)(t,t+h)時間時間 段內(nèi)機器發(fā)生故障而停止工作的事件數(shù)段內(nèi)機器發(fā)生故障而停止工作的事件數(shù), ,構成一個隨機構成一個隨機 點過程點過程, ,該過程可以用泊松過程進行描述該過程可以用泊松過程進行描述. .第8頁/共52頁補例補例顧 客 到 達 某 商 店 服 從 參 數(shù)4人 /小 時 的 泊 松 過 程 ，已知商店上午9：00開門，試求到9：30時僅到一位顧客，而到11：30時總計已達5位顧客的概率。解解)5)5 . 2(, 1)5 . 0(XXP)4)5 . 0()5 . 2(, 1)5 . 0(X

7、XXP)4)2() 1)5 . 0(XPXP5 . 041! 1)5 . 04(e244! 4)24(e0155. 0設 表示在時間t時到達的顧客數(shù))(tX第9頁/共52頁!)(ntn! 1)(1h0!)(nnnh2()!nhnhen第10頁/共52頁htPhtP)()(00hho)()()(00tPtP第11頁/共52頁nj 2第12頁/共52頁htPhtPnn)()(hho)(dtddtd第13頁/共52頁!)(ntn!)(ntn!)(ntn)!1()(1ntn)!1()(1ntndtddtd第14頁/共52頁!)(ntn!)(ntn 由于由于P Pn n(0)=PX(0)=n=0, (0

8、)=PX(0)=n=0, 因而因而c=0, c=0, 所以所以 P Pn n(t)=e(t)=e-t-t . . 由條件由條件(2)(2)X(t)X(t)是獨立、平穩(wěn)增量過程是獨立、平穩(wěn)增量過程, ,故有故有 PX(t+s)-X(s)=n=ePX(t+s)-X(s)=n=e-t-t , n=0,1,2, , n=0,1,2, 故故定義定義3.33.3蘊涵蘊涵定義定義3.23.2. .第15頁/共52頁 第二節(jié)第二節(jié) 泊松過程的基本性質泊松過程的基本性質一數(shù)字特征一數(shù)字特征( )( )( )( )()E X tX sD X tX sts2(0)0,( )( )( )(0)( )( )( )(0)

9、XXXmtE X tE X tXttD X tD X tXt由于故第16頁/共52頁22( , )( )( )( )( )( )( )( )(0)( )( )( )()()(1)XRs tE X s X tE X s X tX sX sE X sXX tX sE X sstsssst ( , )min( , )XBs ts t( )( )exp(1)iuX tiuXguE et e特征函數(shù)為特征函數(shù)為第17頁/共52頁2到達時間間隔和等待時間的分布定義則稱設)(tX，0t為泊松過程，iW（, 2 , 1i）表示事件第 i 次發(fā)生的等待時間nW，1n為等待時間序列以nT（1n）表示第1n次發(fā)生到

10、第n次發(fā)生之間的時間間隔則稱nT，1n為到達時間間隔序列首頁首頁第18頁/共52頁定理定理3.2證證或事件tT 1的發(fā)生當且僅當沒有泊松事件在0t，內(nèi)發(fā)生故當0t時，有0)(1tXPtTPtteet!0)(01tTPte1首頁首頁第19頁/共52頁那么類似地有0,00,1)(1ttetFtT即1T是服從均值為/1的指數(shù)分布。又因2T為事件第一次發(fā)生到第二次發(fā)生之間的時間間隔，|112sTtTP|,(1111sTtssP內(nèi)沒有事件發(fā)生在,(11內(nèi)沒有事件發(fā)生在tssP（增量的獨立性）0)()(11sXtsXP0)0()(XtXP（平穩(wěn)獨立增量過程）tetXP0)(首頁首頁第20頁/共52頁可見可

11、見一般地2T也服從均值為/1的指數(shù)分布且2T與1T獨立同分布。對1n和0121nssst，,|112211nnnsTsTsTtTP內(nèi)沒有事件發(fā)生在,(1111tssssPnn,|112211nnsTsTsT內(nèi)沒有事件發(fā)生在,(1111tssssPnn0)()(1111nnsstssXPX0)0()(XtXPtetXP0)(首頁首頁第21頁/共52頁這就證明了到達時間間隔序列 是相互獨立同分布的隨機變量序列，且都具有相同均值為 的指數(shù)分布。/1首頁首頁第22頁/共52頁定理定理3.3其概率密度為設)(tX，0t為泊松過程，證證則等待時間nW（1n）服從),(n分布，)(tf)!1()(1nten

12、t，0t因為事件tWn等價于事件ntX)(所以nW的 分 布 函 數(shù)為)(tWPtFn)(ntXPtnkkekt!)(0t首頁首頁第23頁/共52頁于是nW的概率密度為)()(tFtftnkkekt)!1()(1tnkkekt)!()(tnent)!1()(1tnkkekt11)!1()(tnkkekt)!()()!1()(1ntent首頁首頁又稱為愛爾蘭分布，它是又稱為愛爾蘭分布，它是n個相互獨立且服從指數(shù)分布的隨機變量之和的概率密度。個相互獨立且服從指數(shù)分布的隨機變量之和的概率密度。第24頁/共52頁0, 00,)()(1ttenttftnnWn0, 00,)(ttetftTi第25頁/共

13、52頁1)(1)(,1tXPtXsWP1)(0)()(, 1)(tXPsXtXsXP1)(0)()(1)(tXPsXtXPsXPtststeese)(ts3到達時間的條件分布到達時間的條件分布第26頁/共52頁;, 1,0 , 0, 0tststss1)(|1tXWF1)(|1tXWf,0 , 01tst其它其它. .第27頁/共52頁 =1,2,n =1,2,n有有t ti i+h+hi it ti+1i+1, ,則在給定則在給定X(t)=nX(t)=n的條件下的條件下, ,有有 PtPt1 1WW1 1tt1 1+h+h1 1,t,tn nWWn nttn n+h+hn n|X(t)=n|

14、X(t)=n= = = = 令令h hi i0,0,便得便得W W1 1,W,Wn n在已知在已知X(t)=nX(t)=n的條件下的的條件下的條件聯(lián)合概率密度條件聯(lián)合概率密度f(tf(t1 1,t,tn n)=)=)(0)21(,ntXPtnihttPiii的別處無事件，中有一事件!/)()(212121nteeehehehnthhhthnhhnnnnhhhtn21!nniiiitnhhhntXnihtWtP!)(|, 1,21, 00,!21tttttnnn第28頁/共52頁)()(,)(ntXPntXksXP)()()(,)(ntXPknsXtXksXP!)()!()(!)()(ntekn

15、steksentknstktknkkntstsC1這是一個參數(shù)為這是一個參數(shù)為n n和和s/ts/t的二項分布的二項分布. .第29頁/共52頁hntXhsWsPnsfkhtXWk)(|lim)|(0)(|)(sfkW第30頁/共52頁)(sfkW)!1()(1kseks)!()()(knsteknstknkktstsknkn)1 ()!()!1(!1)|()(|nsftXWk)|()(|nsftXWk)1(kW)1(kW)2(1W)2(1W第31頁/共52頁)1(kW)2(1W, 0, 0, 0,)!1()()(1111)1(xxkxexfkxWk, 0, 0, 0,)(2)2(12yyey

16、fyW,),()2(1)1(DkdxdyyxfWWP)()1(xfkW)()2(1yfWkyxkxkdydxekxeWWP 21120111)2(1)1(21)!1()(xyy=xoDD D:y:yx,x0 x,x0第32頁/共52頁)()(1kttNkkeD)()(1kttNkkeD)()(1kttNkkeD全期望公全期望公式式第33頁/共52頁)(|)(|1)()(1)(ntNeDEntNeDEnktktNktkkk)(|)(11nktntNeEeDEk) 1(10ttxetndxetn)()1 ()()(| )(1DEettNtNtDEt)1 ()()(1teDEtDE)(|)1()(1

17、1UnkUnkenEeEntNeEkk第34頁/共52頁補例：補例：設顧客到某商場的過程是泊松過程設顧客到某商場的過程是泊松過程,已知平已知平均每小時有均每小時有30人到達人到達,求所給事件的概率求所給事件的概率: 兩個顧兩個顧客相繼到達的時間間隔客相繼到達的時間間隔(1)超過超過2分鐘分鐘;(2)短于短于4分分鐘鐘;(3)在在1分到分到3分鐘之間分鐘之間.解解:由題意由題意,顧客到達數(shù)顧客到達數(shù)N(t)是強度為是強度為的泊松過程的泊松過程,因而因而顧客到達的時間間隔顧客到達的時間間隔Xn,n1服從參數(shù)為服從參數(shù)為的指的指數(shù)分布數(shù)分布:故有故有(1) 30( )300 xXfxex302 60

18、(2 60)300.368xP Xedx4 6030(4 60)300.865xP Xedx3 60301 60(1 603 60)300.384xPXedx（2）（3）第35頁/共52頁051015202530354045500510152025第36頁/共52頁tdss0)(第三節(jié)第三節(jié) 非齊次泊松過程非齊次泊松過程第37頁/共52頁)()(!)()(tmstmnXXXXentmstm)(!)(tmnXXentmtdss0)(第38頁/共52頁hhosPsthsPhsP)()()()()(000)()()(00sPstsPsduutsP00)()(ln)()(0)(tmstmXXesP. .第39頁/共52頁hsPhsPnn)()(hho)()(sPn)(1sP)()(tmstmXXe)()(tmstmXXe第40頁/共52頁2cos1t)sin(1(21)cos1 (210ttdsst第41頁/共52頁200+400t, 0t3,200+400t, 0t3,1400, 31400, 3t13,t13,1400-400(t-13),131400-400(t-13),13t16.t16.t t1616(t)(t)14001400