3_3扭轉(zhuǎn)(6學(xué)時(shí))

1、1dfafdf第第3章章 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn) (6學(xué)時(shí)學(xué)時(shí))2021年年6月月14日日Dept. of Mech.2dfafdf3 扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)3-1 3-1 概述概述3-2 3-2 薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)3-3 3-3 傳動(dòng)軸的外力偶矩傳動(dòng)軸的外力偶矩扭矩及扭矩圖扭矩及扭矩圖3-4 3-4 等軸圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力等軸圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件3-5 3-5 等軸圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形等軸圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形剛度條件剛度條件3-6 3-6 等軸圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)變能等軸圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)變能3-7 3-7 等直非圓桿自由扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形等直非圓桿自由扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形Dept. of Mech.3dfafdf3

2、-6 3-6 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)變能等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)變能純剪切應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度純剪切應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度對(duì)處于純剪切應(yīng)力狀態(tài)的單元體對(duì)處于純剪切應(yīng)力狀態(tài)的單元體( (圖圖a) )，為計(jì)算其上的外力所，為計(jì)算其上的外力所作功作功dW可使左側(cè)面不動(dòng)，此時(shí)的切應(yīng)力可使左側(cè)面不動(dòng)，此時(shí)的切應(yīng)力t 僅發(fā)生在豎直平面僅發(fā)生在豎直平面內(nèi)而只有右側(cè)面上的外力內(nèi)而只有右側(cè)面上的外力t dydz在相應(yīng)的位移在相應(yīng)的位移g dx上作功上作功Dept. of Mech.4dfafdfGdV)dx(dzdy)(dW2121三、三、 應(yīng)變能與能密度應(yīng)變能與能密度acddxb dy dzzxy單元體微功：?jiǎn)卧w微

3、功：Dept. of Mech.5dfafdf應(yīng)變比能：應(yīng)變比能：?jiǎn)卧w內(nèi)蓄積的應(yīng)變能單元體內(nèi)蓄積的應(yīng)變能dV數(shù)值上等于單元數(shù)值上等于單元體上外力所作功體上外力所作功dW，即，即dV=dW 。單元體單位體積內(nèi)。單元體單位體積內(nèi)的應(yīng)變能，亦即純剪切應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度為的應(yīng)變能，亦即純剪切應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度為由剪切胡克定律由剪切胡克定律 ，該應(yīng)變能密度的表達(dá)式可寫為，該應(yīng)變能密度的表達(dá)式可寫為22dVd11dd222WvGVVGGDept. of Mech.6dfafdf 在扭矩在扭矩T為常量時(shí)，長(zhǎng)度為為常量時(shí)，長(zhǎng)度為l的等直圓桿所蓄積的應(yīng)變能為的等直圓桿所蓄積的應(yīng)變能為 等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)

4、積蓄的應(yīng)變能等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)積蓄的應(yīng)變能lAVxAvVvVdddp222p22p22d2dd21dd2GIlTAITGlAITxGxAGVAAlAl 由由 可知，亦有可知，亦有pGITl2p2lGIV Dept. of Mech.7dfafdf 當(dāng)?shù)戎眻A桿各段橫截面上的扭矩不同時(shí)，當(dāng)?shù)戎眻A桿各段橫截面上的扭矩不同時(shí)，整個(gè)桿內(nèi)蓄積的應(yīng)變能為整個(gè)桿內(nèi)蓄積的應(yīng)變能為niiiniiilGIVGIlTV12p1p22,2亦即Dept. of Mech.8dfafdf 在線彈性范圍內(nèi)工作的等直圓桿在扭矩在線彈性范圍內(nèi)工作的等直圓桿在扭矩T為常量，其長(zhǎng)為常量，其長(zhǎng)度為度為 l 范圍內(nèi)的應(yīng)變能亦可如下求得：范

5、圍內(nèi)的應(yīng)變能亦可如下求得：p22121GIlTTWVDept. of Mech.9dfafdf 例例1 1 圖示圖示AB、CD 為等直圓桿，其扭轉(zhuǎn)剛度均為為等直圓桿，其扭轉(zhuǎn)剛度均為GIp，BC 為剛性塊，為剛性塊， D截面處作用有外力偶矩截面處作用有外力偶矩 Me 。試試求：求：（1）桿桿系內(nèi)的應(yīng)變能；系內(nèi)的應(yīng)變能；（2）利用外力偶矩所作功在數(shù)值上等于桿利用外力偶矩所作功在數(shù)值上等于桿系內(nèi)的應(yīng)變能求系內(nèi)的應(yīng)變能求D 截面的扭轉(zhuǎn)角截面的扭轉(zhuǎn)角 D。ABCDMel/2lDept. of Mech.10dfafdfT2=MeD MeT1=-MeBCD Me解解 : 1. 靜力平衡求扭矩靜力平衡求扭矩

6、ABCDMe2. 桿系應(yīng)變能桿系應(yīng)變能p2ep22p214322/2GIlMGIlTGIlTVDept. of Mech.11dfafdfep32DM lGI其轉(zhuǎn)向與Me 相同。p2ee432GIlMMVWD3. 求求D 截面的扭轉(zhuǎn)角截面的扭轉(zhuǎn)角 DDept. of Mech.12dfafdf例例2 2 試推導(dǎo)密圈圓柱螺旋彈簧試推導(dǎo)密圈圓柱螺旋彈簧(螺旋線升角螺旋線升角a a 5)受軸向壓受軸向壓力力( (拉力拉力) )F 作用時(shí)作用時(shí)，簧桿橫截面上應(yīng)力和彈簧縮短簧桿橫截面上應(yīng)力和彈簧縮短( (伸長(zhǎng)伸長(zhǎng)) )變變形的近似計(jì)算公式形的近似計(jì)算公式。已知：簧圈平均半徑已知：簧圈平均半徑R，簧桿直徑

7、簧桿直徑d，彈簧的有效圈數(shù)彈簧的有效圈數(shù)n，簧桿材料的切變模量簧桿材料的切變模量G。Dept. of Mech.13dfafdf解：解：1. 求簧桿橫截面上的內(nèi)力求簧桿橫截面上的內(nèi)力 對(duì)于密圈螺旋彈簧，可認(rèn)為對(duì)于密圈螺旋彈簧，可認(rèn)為簧桿的橫截面就在包含外力簧桿的橫截面就在包含外力F 作用的彈簧軸線所在縱向平面作用的彈簧軸線所在縱向平面內(nèi)內(nèi)(如圖如圖)，于是有：，于是有：剪力剪力 FS =F扭矩扭矩 T =FRDept. of Mech.14dfafdf2. 2. 求簧桿橫截面上的應(yīng)力求簧桿橫截面上的應(yīng)力33pmax1616dFRdFRWT 簧桿橫截面上與剪力簧桿橫截面上與剪力FS相應(yīng)的切應(yīng)力通

8、常遠(yuǎn)小于與扭相應(yīng)的切應(yīng)力通常遠(yuǎn)小于與扭矩矩T=FR相應(yīng)的切應(yīng)力，故在求近似解時(shí)將前者略去。又，相應(yīng)的切應(yīng)力，故在求近似解時(shí)將前者略去。又，在通常情況下，簧圈直徑在通常情況下，簧圈直徑D = 2R與簧桿直徑與簧桿直徑d 的比值的比值D/d 較大，故在求簧桿橫截面上扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力時(shí)，略去簧圈的較大，故在求簧桿橫截面上扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力時(shí)，略去簧圈的曲率影響。于是有曲率影響。于是有Dept. of Mech.15dfafdf3. 求彈簧的縮短求彈簧的縮短(伸長(zhǎng)伸長(zhǎng))變形變形FW21 當(dāng)彈簧所受外力當(dāng)彈簧所受外力F不超過(guò)一不超過(guò)一定限度而簧桿橫截面上的最大定限度而簧桿橫截面上的最大切應(yīng)力切應(yīng)力tmax不超過(guò)簧桿材

9、料的不超過(guò)簧桿材料的剪切比例極限剪切比例極限tp時(shí)，變形時(shí)，變形與外與外力力F成線性關(guān)系成線性關(guān)系(如圖如圖)。于是于是有外力所作功：有外力所作功：Dept. of Mech.16dfafdf 至于簧桿內(nèi)的應(yīng)變能至于簧桿內(nèi)的應(yīng)變能V，如近似認(rèn)為簧桿長(zhǎng)度，如近似認(rèn)為簧桿長(zhǎng)度l =2Rn，且，且簧桿橫截面上只有扭矩簧桿橫截面上只有扭矩T = FR，則，則p2p22221GIRnFRGIlTV 根據(jù)能量守恒原理根據(jù)能量守恒原理 W=V，即得密圈圓柱螺旋彈簧的縮短即得密圈圓柱螺旋彈簧的縮短(伸長(zhǎng)伸長(zhǎng))變形近似計(jì)算公式：變形近似計(jì)算公式：43p2642GdnFRGIRnFR如令如令 ，則有，則有 ，式中

10、，式中k 為彈簧的為彈簧的剛度系數(shù)剛度系數(shù)(N/m)。nRGDk3464kFDept. of Mech.17dfafdf3 37 7 等直非圓桿自由扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形等直非圓桿自由扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形非圓截面等直桿非圓截面等直桿：平面假設(shè)不成立。平面假設(shè)不成立。即各截面發(fā)生翹即各截面發(fā)生翹曲不保持平面。因此，由等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)推出的應(yīng)力、曲不保持平面。因此，由等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)推出的應(yīng)力、變形公式不適用，須由彈性力學(xué)方法求解。變形公式不適用，須由彈性力學(xué)方法求解。Dept. of Mech.18dfafdf2 2、約束扭轉(zhuǎn)：、約束扭轉(zhuǎn)：桿兩端受約束不能自由翹曲，各橫桿兩端受約束不能自由翹曲，各橫截面翹

11、曲程度不同，橫截面上不僅有截面翹曲程度不同，橫截面上不僅有 且有且有 。對(duì)實(shí)心桿對(duì)實(shí)心桿 很小可忽略，但對(duì)薄壁桿如：很小可忽略，但對(duì)薄壁桿如： 則則 不可忽略不可忽略1 1、自由扭轉(zhuǎn)、自由扭轉(zhuǎn)：桿件扭轉(zhuǎn)時(shí)，橫截面的翹曲不受限：桿件扭轉(zhuǎn)時(shí)，橫截面的翹曲不受限制，任意兩相鄰截面的翹曲程度完全相同。制，任意兩相鄰截面的翹曲程度完全相同。因而因而橫截面上只有切應(yīng)力，而正應(yīng)力很小，可忽略橫截面上只有切應(yīng)力，而正應(yīng)力很小，可忽略FLI,Dept. of Mech.19dfafdf對(duì)矩形截面，截面周邊上各點(diǎn)對(duì)矩形截面，截面周邊上各點(diǎn) 方向與方向與周邊平行且四個(gè)角處周邊平行且四個(gè)角處0TDept. of Me

12、ch.20dfafdf3、矩形桿橫截面上的剪應(yīng)力、矩形桿橫截面上的剪應(yīng)力:bht T max 注意！注意！ b h1、剪應(yīng)力分布如圖：、剪應(yīng)力分布如圖：（角點(diǎn)、形心、長(zhǎng)短邊中點(diǎn)）（角點(diǎn)、形心、長(zhǎng)短邊中點(diǎn)）Dept. of Mech.21dfafdf的大致分布如圖的大致分布如圖：發(fā)生在截面長(zhǎng)發(fā)生在截面長(zhǎng) 邊的中點(diǎn)處邊的中點(diǎn)處maxh2maxhbTa短邊中點(diǎn)的應(yīng)力：短邊中點(diǎn)的應(yīng)力：max1TC1maxbhDept. of Mech.22dfafdf3hbGTla,根據(jù)根據(jù) 由由 表表3.123.12查得查得bh96P由表可見(jiàn)當(dāng)由表可見(jiàn)當(dāng) 時(shí)時(shí)10bh31,a因此對(duì)長(zhǎng)度為因此對(duì)長(zhǎng)度為 ，長(zhǎng)度，長(zhǎng)度為

13、為 的狹長(zhǎng)矩形的狹長(zhǎng)矩形h2max31hT331hGTl相距為相距為 ， 不變的兩截面相對(duì)扭轉(zhuǎn)角不變的兩截面相對(duì)扭轉(zhuǎn)角lTDept. of Mech.23dfafdf4、最大剪應(yīng)力及單位扭轉(zhuǎn)角、最大剪應(yīng)力及單位扭轉(zhuǎn)角max1 hbht 1T t max 注意！注意！b maxmaxtWT3 btW其中：其中：4 bIta , tGIT其中：其中：It相當(dāng)極慣性矩。相當(dāng)極慣性矩。Dept. of Mech.24dfafdfhbtWWTt2maxmax :a其中注意！注意！ 對(duì)于對(duì)于W t 和和 It ，多數(shù)教材與手冊(cè)上有如下定義：，多數(shù)教材與手冊(cè)上有如下定義：hbIGITtt3 : , 其中ma

14、x131 ; ) 10 : (abh即對(duì)于狹長(zhǎng)矩形查表求查表求a a 和和 時(shí)一定要時(shí)一定要注意，表中注意，表中a a 和和 與那套公式對(duì)應(yīng)與那套公式對(duì)應(yīng)hbht 1T t max 注意！注意！bDept. of Mech.25dfafdf例例1 一矩形截面等直鋼桿，其橫截面尺寸為：一矩形截面等直鋼桿，其橫截面尺寸為：h = 100 mm， b=50mm，長(zhǎng)度，長(zhǎng)度L=2m，桿的兩端受扭轉(zhuǎn)力偶，桿的兩端受扭轉(zhuǎn)力偶 T=4000Nm 的作用的作用 ，鋼的，鋼的G =80GPa， =100M Pa， =1/m ，試，試校核此桿的強(qiáng)度和剛度校核此桿的強(qiáng)度和剛度校核強(qiáng)度校核強(qiáng)度 m106610504930 3633.btW解：解：查表求查表求 a a