畢業(yè)論文導(dǎo)數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

1、導(dǎo)數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用摘要:導(dǎo)數(shù)是微積分中的重要基礎(chǔ)概念，其作為選修課進(jìn)入高中課程之中，為高中階段研究函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)提供較大的輔助作用.側(cè)重在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中以導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)在函數(shù)、不等式的應(yīng)用方向進(jìn)行分析.關(guān)鍵詞:導(dǎo)數(shù) 切線 函數(shù) 單調(diào)性 不等式導(dǎo)數(shù)作為高中新教材的新增內(nèi)容之一，它給高中數(shù)學(xué)增添了新的活力，特別是導(dǎo)數(shù)廣泛的應(yīng)用性，為解決函數(shù)、切線、不等式、數(shù)列、等實(shí)際問題帶來了新思路、新方法，為我們展現(xiàn)出了一道亮麗的風(fēng)景線，也使它成為新教材高考試題的熱點(diǎn)和命題新的增長點(diǎn)這幾年的高考命題趨勢表明：導(dǎo)數(shù)已經(jīng)由以往的“配角”地位上升到“主角”，成為分析問題和解決問題的重要工具將導(dǎo)數(shù)與傳統(tǒng)內(nèi)

2、容結(jié)合，不僅能加強(qiáng)能力的考查力度，而且也使試題具有更廣泛的實(shí)踐意義下面舉例探討導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.1 導(dǎo)數(shù)在解析幾何中的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是曲線在點(diǎn)處的切線斜率當(dāng)，表示切線與軸正向夾角為銳角；當(dāng)，表示切線與軸正向夾角為鈍角；當(dāng)，表示切線與軸平行導(dǎo)數(shù)在幾何中的應(yīng)用主要與導(dǎo)數(shù)的幾何意義有關(guān)，運(yùn)用它可以很容易求出函數(shù)在任意一點(diǎn)的切線斜率及其切線方程.例1 已知曲線,求過點(diǎn)p的曲線的切線方程.解：因，所以，則當(dāng)時(shí)，. 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)p在曲線上，故過點(diǎn)p的曲線的切線方程為即； 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)p不在上，設(shè)過點(diǎn)p與曲線的相切的切點(diǎn)是，則切線方程，又點(diǎn)p在此切線上，所以有 即又 ，則有 ，即所以判別式，當(dāng)時(shí)， 所

3、以；當(dāng)時(shí)， ，所以切線方程是 ，即 ；當(dāng)時(shí)，切線不存在.導(dǎo)數(shù)的幾何意義為導(dǎo)數(shù)與解析幾何結(jié)合奠定了基礎(chǔ)，從這個(gè)意義上講，導(dǎo)數(shù)也是數(shù)形結(jié)合的橋梁，而本題引入公切線新穎別致，交匯自然.2 導(dǎo)數(shù)在探究函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用2.1 利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性在導(dǎo)數(shù)被引進(jìn)高中數(shù)學(xué)課本以前，判斷函數(shù)的單調(diào)性最常規(guī)的方法就是定義法，但是定義法一般常常用來判斷一些簡單函數(shù)的單調(diào)性，遇到稍微復(fù)雜一點(diǎn)的函數(shù)在利用定法判斷的時(shí)候比較繁瑣。導(dǎo)數(shù)引進(jìn)以后就可以嘗試用導(dǎo)數(shù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性了.例2 已知函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間； 解：當(dāng)時(shí)，對，有所以當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為;當(dāng)時(shí)，由解得或，由解得，所以當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為；的單調(diào)減區(qū)間為.

4、例3 已知函數(shù)=，-1, ,其中，求的取值范圍，使在區(qū)間-1, 上是單調(diào)函數(shù).解：=+，它在-1, 上是單調(diào)函數(shù)， 當(dāng)， 即時(shí)，為單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)， 即時(shí)，故為單調(diào)遞減函數(shù)；綜上所述，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間-1, 上是單調(diào)函數(shù).在解答本類型題目的時(shí)候需要注意兩點(diǎn)：一是要掌握常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的求法，尤其是復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的求法需要重視，二是在說明函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)時(shí)一定要指明是在哪個(gè)區(qū)間上具有什么樣的單調(diào)性.2.2 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值、最值高中函數(shù)的最值問題是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn)，在導(dǎo)數(shù)引入高中課本以前，求函數(shù)最值的方法就有很多種，但是導(dǎo)數(shù)引入高中課本后，對很多求最值類型的題目不僅多了一種解題的方法

5、與思路，而且更是解決問題的簡便方法之一. 在大部分高考題目中，函數(shù)的區(qū)間最值是指函數(shù)在某個(gè)特定區(qū)間上的最大（?。┲?，這類題往往含有參數(shù)，是高考的熱點(diǎn)與難點(diǎn)。如果用數(shù)形結(jié)合的思想和方法來解答，則十分麻煩，但利用導(dǎo)數(shù)來解答，則簡潔明了.導(dǎo)數(shù)的作用主要是判斷函數(shù)在此區(qū)間上的單調(diào)性與函數(shù)的極值點(diǎn)，解題的關(guān)鍵在于考察函數(shù)的極值點(diǎn)與區(qū)間的相對位置關(guān)系.求可導(dǎo)函數(shù)的極值的一般步驟和方法是：求導(dǎo)數(shù)；求方程的根；檢驗(yàn)在方程的根的左右符號，如果在根左側(cè)附近為正，右側(cè)附近為負(fù)，那么函數(shù)在這個(gè)根處取得極大值；如果在根的左側(cè)附近為負(fù)，右側(cè)附近為正，那么函數(shù)在這個(gè)根處取得極小值.對于在連續(xù)，在可導(dǎo)的函數(shù)的最值的求解，可先

6、求出函數(shù)在上的極大（小）值，并與、比較即可得出最大（小）值.例4 已知函數(shù)，求函數(shù)的極值；解：對函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，得 令 列表討論的變化情況：3+00+遞增極大值6遞減極小值-26遞增所以，的極大值是，極小值是例5 某分公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為3元，并且每件產(chǎn)品需向總公司交元（）的管理費(fèi)，預(yù)計(jì)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為元（）時(shí)，一年的銷售量為萬件（）求分公司一年的利潤（萬元）與每件產(chǎn)品的售價(jià)的函數(shù)關(guān)系式；（）當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為多少元時(shí)，分公司一年的利潤最大，并求出的最大值分析：建立函數(shù)關(guān)系，并對其求導(dǎo)，對進(jìn)行分類討論.解：（）分公司一年的利潤（萬元）與售價(jià)的函數(shù)關(guān)系式為：（）令得或（不合題意，

7、舍去），在兩側(cè)的值由正變負(fù)所以（1）當(dāng)即時(shí)，（2）當(dāng)即時(shí)，所以因此若，則當(dāng)每件售價(jià)為9元時(shí)，分公司一年的利潤最大，最大值為9（6）萬元；若，則當(dāng)每件售價(jià)為元時(shí)，分公司一年的利潤最大，最大值（萬元）點(diǎn)評：本小題考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等知識，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析和解決實(shí)際問題的能力在一定條件下，怎樣使“成本最低”、“用料最省”、“產(chǎn)品最多”、“利潤最大”等問題，一般均可建立函數(shù)關(guān)系式，利用導(dǎo)數(shù)求最值的方法來解決，本題頗具代表性解決此題的關(guān)鍵是確定函數(shù)的解析式，再用導(dǎo)數(shù)的知識解決，還應(yīng)注意對參數(shù)的討論.2.3利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的凹凸性設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù), 則在內(nèi)（1） 在內(nèi)嚴(yán)格是凸的;（2）在

8、內(nèi)嚴(yán)格是凹的.例6 求曲線的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn).解：的定義域是， ，令，用點(diǎn)分定義域成區(qū)間，其討論結(jié)果列表如下：06+待添加的隱藏文字內(nèi)容2 0 0 + 0 拐點(diǎn)（0，0） 拐點(diǎn) 由上表可得，區(qū)間是曲線的凹區(qū)間；區(qū)間，或是曲線的凸區(qū)間，拐點(diǎn)分別是，（0，0），.3 導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用 不等式是數(shù)學(xué)的重要部分，它遍及數(shù)學(xué)的每一個(gè)分支學(xué)科.作為導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中應(yīng)用的一個(gè)副產(chǎn)品，在處理與不等式有關(guān)的綜合性問題時(shí)往往需要利用函數(shù)的性質(zhì).因此很多時(shí)侯可以先利用導(dǎo)數(shù)作為工具得出函數(shù)的性質(zhì)，再利用函數(shù)的性質(zhì)解決不等式問題.縱觀這幾年的高考，凡涉及到不等式證明的問題，其綜合性強(qiáng)、思維量大，因此歷來是高考的難

9、點(diǎn).利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，就是利用不等式與函數(shù)之間的聯(lián)系，直接或間接等價(jià)變形后，結(jié)合不等式的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù).通過導(dǎo)數(shù)運(yùn)算判斷出函數(shù)的單調(diào)性，將不等式的證明轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題。下面具體討論導(dǎo)數(shù)在解決與不等式有關(guān)的問題時(shí)的應(yīng)用.3.1 利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)單調(diào)性來證明不等式我們知道函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)值大于（或小于）0時(shí)，則該函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增（或遞減）。因而在證明不等式時(shí)，根據(jù)不等式的特點(diǎn)，有時(shí)可以構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)證明該函數(shù)的單調(diào)性,然后再用函數(shù)單調(diào)性達(dá)到證明不等式的目的。即把證明不等式轉(zhuǎn)化為證明函數(shù)的單調(diào)性。構(gòu)造函數(shù)，然后用導(dǎo)數(shù)證明該函數(shù)的增減性；再利用函數(shù)在它的同一單調(diào)遞增（減）區(qū)間，

10、自變量越大，函數(shù)值越大（?。?，來證明不等式成立.例7 當(dāng)時(shí)，證明不等式.證明：設(shè)， 可求得其定義域?yàn)椋?由 ， 可知在上單調(diào)遞增. 所以當(dāng)時(shí)， ， 即 . 故 對一切都成立.3.2利用微分中值定理證明不等式例8 證明當(dāng)時(shí)，.證：設(shè)，顯然在區(qū)間上滿足拉格朗日中值定理的條件. 由拉格朗日中值定理得由于，所以，即.總之，無論是證明不等式，還是解不等式，只要在解題過程中需要用到函數(shù)的單調(diào)性或最值，我們都可以用導(dǎo)數(shù)作工具來解決.這種解題方法也是轉(zhuǎn)化與化歸思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要體現(xiàn).參考文獻(xiàn)：1竇寶泉，導(dǎo)數(shù)在中學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用j，數(shù)學(xué)通訊,2003(12)，12-13. 2徐智愚，用導(dǎo)數(shù)解初等數(shù)學(xué)題j，數(shù)學(xué)通報(bào)