3.2.1__周期信號的頻譜周期信號的頻譜分析——傅里葉級數(shù)

1、13.23.2周期信號的頻譜分析周期信號的頻譜分析傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)2主要內(nèi)容主要內(nèi)容三角函數(shù)形式的傅氏級數(shù)三角函數(shù)形式的傅氏級數(shù) 指數(shù)函數(shù)形式的傅氏級數(shù)指數(shù)函數(shù)形式的傅氏級數(shù)兩種傅氏級數(shù)的關(guān)系兩種傅氏級數(shù)的關(guān)系 頻譜圖頻譜圖函數(shù)的對稱性與傅里葉級數(shù)的關(guān)系函數(shù)的對稱性與傅里葉級數(shù)的關(guān)系3一三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)一三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù) tntn11sin,cos 是一個完備的正交函數(shù)集是一個完備的正交函數(shù)集t在一個周期內(nèi)，在一個周期內(nèi)，n=0,1,. 0sincos2211 TTtmtn nmnmTtmtnTT, 0,2coscos2211 nmnmTtmtnTT, 0,2sinsin2

2、211 由積分可知由積分可知1.1.三角函數(shù)集三角函數(shù)集4 1112 , , TTtf 基基波波角角頻頻率率為為周周期期為為周周期期信信號號在滿足狄氏條件時，可展成在滿足狄氏條件時，可展成: : 1 sincos)(1110 nnntnbtnaatf 直流分量直流分量: TttttfTa00d)(10余弦分量的幅度余弦分量的幅度 TttnttntfTa00dcos)(21 正弦分量的幅度正弦分量的幅度 TttnttntfTb00dsin)(21 稱為三角形式的傅里葉級數(shù)，其系數(shù)稱為三角形式的傅里葉級數(shù)，其系數(shù)2 2級數(shù)形式級數(shù)形式5狄利克雷（狄利克雷（DirichletDirichlet）條件

3、）條件條件條件3:3:在一周期內(nèi)，信號絕對可積在一周期內(nèi)，信號絕對可積; ;條件條件2 2：在一周期內(nèi)，極大值和極小值的數(shù)目應(yīng)是有在一周期內(nèi)，極大值和極小值的數(shù)目應(yīng)是有限個；限個；條件條件1 1：在一周期內(nèi)，如果有間斷點存在，則間斷點的在一周期內(nèi)，如果有間斷點存在，則間斷點的數(shù)目應(yīng)是有限個。數(shù)目應(yīng)是有限個。6狄利克雷（狄利克雷（DirichletDirichlet）條件）條件1:1:例例1 1不滿足條件不滿足條件1 1的例子如下圖所示，這個信號的周期的例子如下圖所示，這個信號的周期為為8 8，它是這樣組成的：后一個階梯的高度和寬度是前一，它是這樣組成的：后一個階梯的高度和寬度是前一個階梯的一半

4、?？梢娫谝粋€周期內(nèi)它的面積不會超過個階梯的一半。可見在一個周期內(nèi)它的面積不會超過8 8，但不連續(xù)點的數(shù)目是無窮多個。但不連續(xù)點的數(shù)目是無窮多個。 tf018 t8217狄利克雷（狄利克雷（DirichletDirichlet）條件）條件2:2:例例2 2不滿足條件不滿足條件2 2的一個函數(shù)是的一個函數(shù)是: : 10,2sin tttf tf011 t1對此函數(shù)，其周期為對此函數(shù)，其周期為1 1，有，有 110 dttf8在一周期內(nèi)，信號是在一周期內(nèi)，信號是絕對可積的絕對可積的(T1為周期為周期) TttfTd1 100d)(Tttttf TTtnnttfTtetfTFd1d11j 狄利克雷（狄

5、利克雷（DirichletDirichlet）條件）條件3:3:說明說明與平方可積條件相同，這一條件與平方可積條件相同，這一條件保證了每一系保證了每一系數(shù)數(shù)Fn都是有限值都是有限值，因為，因為: : nF9狄利克雷（狄利克雷（DirichletDirichlet）條件）條件: :例例3 3周期信號周期信號 ，周期為，周期為1 1，不滿足此條件。，不滿足此條件。 10,1 tttf tf0121 2 t110例例 1 1求周期鋸齒波的三角形式的傅里葉級數(shù)展開式。求周期鋸齒波的三角形式的傅里葉級數(shù)展開式。 22110110d1TTttTATa 22111110dcos2TTnttntTATa 22

6、11111dsin2TTnttntTATb 3 , 2 , 1 )1(1 nnAn 周期鋸齒波的傅里葉級數(shù)展開式為周期鋸齒波的傅里葉級數(shù)展開式為 tAtAtf112sin2sin0 2/2/ )(111TtTtTAtf 直流直流基波基波諧波諧波t tfA A21T21T 112T 11其他形式其他形式00ac 22nnnbac nnnab1tg nnnca cos nnncb sin 余弦形式余弦形式正弦形式正弦形式00ad nnnab1tg nnnda sin nnndb cos 110sin)(nnntnddtf 22nnnbad 2 cos)(110 nnntncctf 12關(guān)系曲線稱為

7、關(guān)系曲線稱為幅度頻譜圖幅度頻譜圖關(guān)系曲線稱為關(guān)系曲線稱為相位頻譜圖相位頻譜圖可畫出可畫出頻譜圖頻譜圖周期信號頻譜具有周期信號頻譜具有離散性，諧波性，收斂性離散性，諧波性，收斂性 nc n幅度頻率特性和相位頻率特性幅度頻率特性和相位頻率特性11:n 基基波波各各次次諧諧波波周周期期信信號號可可分分解解為為直直流流，（）和和（基基波波角角頻頻率率的的整整數(shù)數(shù)倍倍）的的線線性性組組合合13二指數(shù)函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)二指數(shù)函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)1 1復(fù)指數(shù)正交函數(shù)集復(fù)指數(shù)正交函數(shù)集 2, 1,0 1j netn 2 2級數(shù)形式級數(shù)形式3 3系數(shù)系數(shù) 111110jj0j1dd)()(TtntnTtnte

8、etetfnF 4 )()(1j1tnnenFtf 5 d)(1110j TtntetfT 利用利用復(fù)變函數(shù)的正交特性復(fù)變函數(shù)的正交特性nF 也可寫為也可寫為14說明說明 變變換換對對。式式是是一一對對、唯唯一一確確定定，則則如如給給出出)5()4()(1tfnF 的的線線性性組組合合。區(qū)區(qū)間間上上的的指指數(shù)數(shù)信信號號周周期期信信號號可可分分解解為為tne1j, 4 )()(1j1tnnenFtf 5 d)(1110j1 TtntetfTnF 15三兩種系數(shù)之間的關(guān)系及頻譜圖三兩種系數(shù)之間的關(guān)系及頻譜圖 TtntetfTnF0j1d)(1)(1 110011( )cosdj( )sindTTf

9、 tnttf tnttTT 12nnajb TTttntfTttntfTnF01011dsin)(1jdcos)(1)( nnbaj21 nenFnF j11)( 是是復(fù)復(fù)數(shù)數(shù))(),(11 nFnF 16nnncbanF2121)(221 相頻特性相頻特性 nnnab1tg 幅頻特性和相頻特性幅頻特性和相頻特性幅頻特性幅頻特性 的的奇奇函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)于于的的偶偶函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)于于取取正正值值）的的奇奇函函數(shù)數(shù)（實實際際關(guān)關(guān)于于取取正正值值）的的偶偶函函數(shù)數(shù)（實實際際關(guān)關(guān)于于 )( 11nnFnbnann171 13 nc0c1c3cO1 13 n O 頻譜圖頻譜圖幅度頻譜幅度頻譜相位頻譜相位頻譜

10、離散譜，譜線離散譜，譜線曲線曲線或或 nnFc曲線曲線 n18請畫出其幅度譜和相位譜。請畫出其幅度譜和相位譜。例例 2 210 c00 236. 251 c 15. 01 12 c 25. 02 化為余弦形式化為余弦形式三角函數(shù)形式的頻譜圖三角函數(shù)形式的頻譜圖，已已知知 42coscos2sin1)(111 ttttf 42cos)15. 0cos(51)(11 tttf三角形式的傅里葉級數(shù)的譜系數(shù)三角形式的傅里葉級數(shù)的譜系數(shù) 1 1c0c2c12 024. 211nc12 25. 0 15. 0 01 n 19化為指數(shù)形式化為指數(shù)形式 1111112j2jjjjj44121( )1222tn

11、tttttf teeeeeej tttteeeeeetf11112j4j2j4jjj2121j211j2111)( tnnenF1j221)( 1)0( F 15. 0112. 1211jejF 15. 0112. 1211jejF 41212 jeF 41212 jeF 整理整理指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)的系數(shù)指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)的系數(shù)20譜線譜線1)0(0 FF12. 1)(11 FF12. 1)(11 FF5 . 0)2(12 FF5 . 0)2(12 FF00 15. 01 15. 01 25. 02 25. 02 指數(shù)形式的頻譜圖指數(shù)形式的頻譜圖12 5 . 001 1 12. 112 1

12、2. 15 . 01 1 nF12 25. 0 15. 0 01 1 15. 012 25. 0 n 21三角形式與指數(shù)形式的頻譜圖對比三角形式與指數(shù)形式的頻譜圖對比1 1c0c2c12 024. 211nc12 5 . 001 1 12. 112 12. 15 . 01 1 nF12 25. 0 15. 0 01 1 15. 012 25. 0 n 三角函數(shù)形式的頻譜圖三角函數(shù)形式的頻譜圖指數(shù)形式的頻譜圖指數(shù)形式的頻譜圖12 25. 0 15. 0 01 n 22四總結(jié)四總結(jié)（1）周期信號）周期信號f(t)的傅里葉級數(shù)有兩種形式的傅里葉級數(shù)有兩種形式（3）周期信號的頻譜是離散譜，三個性質(zhì)）周

13、期信號的頻譜是離散譜，三個性質(zhì)（2）兩種頻譜圖的關(guān)系）兩種頻譜圖的關(guān)系（4）引入負(fù)頻率）引入負(fù)頻率23(1)(1)周期信號周期信號f f( (t t) )的傅里葉級數(shù)有兩種形式的傅里葉級數(shù)有兩種形式 1110sincos)(nnntnbtnaatf = 110)cos(nnntncc 三角形式三角形式指數(shù)形式指數(shù)形式24 0001021)(acFncnFn (2)(2)兩種頻譜圖的關(guān)系兩種頻譜圖的關(guān)系)()( 11 nn 相相位位頻頻譜譜為為奇奇函函數(shù)數(shù) nnc，三三角角函函數(shù)數(shù)形形式式：單邊頻譜單邊頻譜 nnF，指數(shù)函數(shù)形式：指數(shù)函數(shù)形式：雙邊頻譜雙邊頻譜關(guān)系關(guān)系)()( 11 nFnF 函

14、函數(shù)數(shù)指指數(shù)數(shù)形形式式的的幅幅度度譜譜為為偶偶25(3)(3)三個性質(zhì)三個性質(zhì) 的譜線唯一的譜線唯一唯一性：唯一性：處處現(xiàn)在現(xiàn)在（離散性），頻率只出（離散性），頻率只出諧波性：諧波性：收斂性：收斂性：)(,11tfnnFn (4)引入負(fù)頻率對對于于雙雙邊邊頻頻譜譜，負(fù)負(fù)頻頻率率)(1 n，只只有有數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)意意義義，而而無無物物理理意意義義。為為什什么么引引入入負(fù)負(fù)頻頻率率? ? 的實函數(shù)的性質(zhì)不變。的實函數(shù)的性質(zhì)不變。，才能保證，才能保證和和數(shù)，必須有共軛對數(shù)，必須有共軛對是實函數(shù)，分解成虛指是實函數(shù)，分解成虛指)(11jjtfeetfnn 注意：沖激函數(shù)序列的頻譜不滿足收斂性注意：沖激函數(shù)序

15、列的頻譜不滿足收斂性26周期單位沖激序列的頻譜周期單位沖激序列的頻譜 1 nFOT1 TtetTnFTTtjn1d12211 tnnTeTttf1j1)()( 分析分析：狄氏條件是傅里葉級數(shù)存狄氏條件是傅里葉級數(shù)存在的在的充分條件充分條件。根據(jù)沖激信號的。根據(jù)沖激信號的定義和特性，其積分有確定值，定義和特性，其積分有確定值，傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)存在存在。即。即為為整整數(shù)數(shù)nnTttnT )()( 滿足離散性，諧波性不滿足收斂性，頻帶無限寬滿足離散性，諧波性不滿足收斂性，頻帶無限寬t0 tT TT 127一頻譜結(jié)構(gòu)一頻譜結(jié)構(gòu))(tf2/ 2/ t1T1T E1TE周周期期為為脈脈沖沖高高度度為為

16、脈脈寬寬為為 指數(shù)函數(shù)形式的譜系數(shù)指數(shù)函數(shù)形式的譜系數(shù) 頻譜特點頻譜特點282211221111d1 = tjntjnejnTEtEeT 221111 jnjneeTjnE2sin2111 nTnE 22sin111 nnTE 1 1指數(shù)形式的譜系數(shù)指數(shù)形式的譜系數(shù) 2Sa11 nTE 2211111d)(1)(TTtjntetfTnF tjn1 29 2Sa111 nTEnF2 2頻譜及其特點頻譜及其特點 . 2, 1, , 0 n41nF 2 4 4 2 011()2nESaT圖3-1 周期矩形脈沖的頻譜（T1=4）30相鄰譜線的間隔：相鄰譜線的間隔：41nF 2 4 4 2 011()2

17、nESaT14T112T零點的位置：零點的位置：12nk12nk 0 k第一個零點的位置：第一個零點的位置：12n(k=1)第一個零點時譜線的序號：第一個零點時譜線的序號：12n112Tn313 3總結(jié)總結(jié) 非非周周期期信信號號。由由周周期期信信號號為為無無限限小小，時時，當(dāng)當(dāng) tfTET1110 1112TT 譜譜線線間間隔隔幅幅度度 矩形脈沖的頻譜說明了周期信號頻譜的特點：矩形脈沖的頻譜說明了周期信號頻譜的特點： 離散性，諧波性，收斂性離散性，諧波性，收斂性321.問題提出二頻帶寬度二頻帶寬度)(1 nF O1 12 1TE 2第一個零點集中了信號絕大部分能量（平均功率）第一個零點集中了信號絕大部分能量（平均功率）由頻譜的由頻譜的收斂性收斂性可知，信號的功率集中在低頻段。可知，信號的功率集中在低頻段。 33在滿足一定失真條件下，信號可以用某段頻率范圍在滿足一定失真條件下，信號可以用某段頻率范圍的的信號來表示，此頻率范圍稱為信號來表示，