24.2.4切線的性質(zhì)與判定

1、直線與圓的直線與圓的位置關(guān)系位置關(guān)系相交相交相切相切相離相離圖圖 形形 公共點(diǎn)個(gè)數(shù)公共點(diǎn)個(gè)數(shù) 公共點(diǎn)名稱公共點(diǎn)名稱 直線名稱直線名稱圓心到直線距圓心到直線距離離d d與半徑與半徑r r的的關(guān)系關(guān)系2 2個(gè)個(gè)交點(diǎn)交點(diǎn)割線割線1 1個(gè)個(gè)切點(diǎn)切點(diǎn)切線切線d r沒有沒有l(wèi)rdOlrdBAOlrdAO下雨天當(dāng)你快速轉(zhuǎn)動(dòng)雨傘時(shí)飛出的水珠，在下雨天當(dāng)你快速轉(zhuǎn)動(dòng)雨傘時(shí)飛出的水珠，在砂輪上砂輪上 打磨工件時(shí)飛出的打磨工件時(shí)飛出的火星，都是沿著圓的切線火星，都是沿著圓的切線方向飛出的。方向飛出的。 圖中直線圖中直線l滿足什么條件時(shí)是滿足什么條件時(shí)是OO的切的切線？線？Ol方法方法1 1：直線與圓有直線與圓有唯一公

2、共點(diǎn)唯一公共點(diǎn)方法方法2 2：直線到圓心的距離直線到圓心的距離等于半徑等于半徑 注意：注意：實(shí)際證明過程中，通常不采用第一實(shí)際證明過程中，通常不采用第一種方法種方法; ;方法方法2 2從從“量化量化”的角度說明的角度說明圓的切線圓的切線的判定方法的判定方法。以以O(shè)為圓心畫圓為圓心畫圓，經(jīng)過半徑經(jīng)過半徑 OA 的外端的外端點(diǎn)點(diǎn) A 作直線作直線lOA，則圓心，則圓心 O 到直線到直線 l 的距的距離是多少？直線離是多少？直線 l 和和 O有什么位置關(guān)系？有什么位置關(guān)系？切線的判定定理：經(jīng)過切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓于這條半徑的直線是圓的切線的切線

3、lOA切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線切線直線直線 l 是是 O切線切線滿足兩個(gè)條件：滿足兩個(gè)條件：1.1.經(jīng)過半徑的外端；經(jīng)過半徑的外端；2.2.與半徑垂直與半徑垂直幾何語言： OAOA是是O O的半徑的半徑 OAOA l于點(diǎn)于點(diǎn)A l是是O O的切線的切線. .lOA1 1、判斷：、判斷：(1)(1)過半徑的外端的直線是圓的切線（過半徑的外端的直線是圓的切線（ ）(2)(2)與半徑垂直的的直線是圓的切線（與半徑垂直的的直線是圓的切線（ ）(3)(3)過半徑的端點(diǎn)與半徑垂直的直線是圓的過半徑的端點(diǎn)與半

4、徑垂直的直線是圓的切線（切線（ ）切線判定有以下三種方法切線判定有以下三種方法: : 1.1.利用切線的定義利用切線的定義: :與圓有與圓有唯一公共點(diǎn)唯一公共點(diǎn)的直的直線是圓的切線。線是圓的切線。 2.2.利用利用圓心到直線的距離圓心到直線的距離d d與與半徑半徑r r的關(guān)系作的關(guān)系作判斷判斷: :當(dāng)當(dāng)d dr r時(shí)直線是圓的切線。時(shí)直線是圓的切線。 3.3.利用切線的判定定理利用切線的判定定理: :經(jīng)過半徑的經(jīng)過半徑的外端外端并并且且垂直垂直于這條半徑的直線是圓的切線。于這條半徑的直線是圓的切線。 例例1 1 如圖，已知：直線如圖，已知：直線ABAB經(jīng)過經(jīng)過OO上的點(diǎn)上的點(diǎn)C C，并且并且O

5、A=OBOA=OB，CA=CBCA=CB。 求證：直線求證：直線ABAB是是OO的切線。的切線。OBAC 分析：分析：由于由于ABAB過過OO上的點(diǎn)上的點(diǎn)C C，所以連接，所以連接OCOC，只要證明只要證明ABOCABOC即可。即可。 例例2 2 如圖，已知：如圖，已知：O O為為BACBAC平分線上一平分線上一點(diǎn)，點(diǎn)，ODABODAB于于D,D,以以O(shè) O為圓心，為圓心，ODOD為半徑作為半徑作OO。 求證：求證：OO與與ACAC相切。相切。OABCEDOBACOABCED例例1 1與例與例2 2的證法有何不同的證法有何不同? ?(1)(1)如果已知直線經(jīng)過圓上一點(diǎn)如果已知直線經(jīng)過圓上一點(diǎn),

6、 ,則連結(jié)這點(diǎn)和圓則連結(jié)這點(diǎn)和圓心心, ,得到輔助半徑得到輔助半徑, ,再證所連半徑與這直線垂直再證所連半徑與這直線垂直. .簡(jiǎn)記為：簡(jiǎn)記為：有交點(diǎn)，連半徑有交點(diǎn)，連半徑, ,證垂直證垂直. .(2)(2)如果已知條件中不知直線與圓是否有公共點(diǎn)如果已知條件中不知直線與圓是否有公共點(diǎn), ,則過圓心作直線的垂線段則過圓心作直線的垂線段, ,再證垂線段長(zhǎng)等于半再證垂線段長(zhǎng)等于半徑長(zhǎng)徑長(zhǎng). .簡(jiǎn)記為：簡(jiǎn)記為：無交點(diǎn)無交點(diǎn), ,作垂直作垂直, ,證半徑證半徑. .1 1、如圖如圖, ,ABCABC中中,AB=AC,AOBC,AB=AC,AOBC于于O，OEACOEAC于于E,E,以以O(shè)為圓心為圓心,OE

7、,OE為半徑作為半徑作O. .求證：求證：ABAB是是O的切線的切線. .FECOBA2 2、如圖如圖,AB,AB是是OO的直徑的直徑, ,點(diǎn)點(diǎn)D D在在ABAB的延長(zhǎng)線的延長(zhǎng)線上上,BD=OB,BD=OB,點(diǎn)點(diǎn)C C在在OO上上, CAB=30, CAB=30. .求證求證:DC:DC是是OO的切線的切線. .ABCDOAOBCD3、 BC與與 O相切于點(diǎn)相切于點(diǎn)B,AB是是 O的直徑的直徑, OC平行于平行于AD.求證求證:DC是是 O的切線的切線.反過來，如果直線反過來，如果直線 l 是是 O 的切線，切點(diǎn)為的切線，切點(diǎn)為 A，那么半徑，那么半徑 OA 與直線與直線 l 是不是一定垂直呢？是不是一定垂直呢？ 圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑lOA切線的性質(zhì)定理切線的性質(zhì)定理:OlM反反證證法法這與直線與圓相切矛盾這與直線與圓相切矛盾.圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑假設(shè)不垂直假設(shè)不垂直,l過點(diǎn)過點(diǎn)O作作OM因因“垂線段最短垂線段最短”,故故OAOM,即圓心到直線距離小于半徑即圓心到直線距離小于半徑.A一、切線的一、切線的判定定理判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切