圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)教材

1、圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)的證明及應(yīng)用初探一、圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)1. 1橢圓的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)過(guò)橢圓反射后，反射光線都匯聚到橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)上；（見(jiàn)圖1.1）橢圓的這種光學(xué)特性，常被用來(lái)設(shè)計(jì)一些照明設(shè)備或聚熱裝置例如在F1處放置一個(gè)熱源，那么紅外線也能聚焦于 F2處，對(duì)F2處的物體加熱。電影放映機(jī)的反光鏡也是這個(gè)原理。證明：由導(dǎo)數(shù)可得 切線I的斜率k = y 一】 x蘭0-b2x)2a yo，而PF1的斜率kyo , PF2的斜率Xo ck2 yoXo - Ck kJ到PF1所成的角滿足3也.2yob xo Xo ca yob2xyoXoc a2yo2 2 2 2

2、2a yo b Xo b ex。2 .27 2a -b xy a cyv p x）,Yo在橢圓上,tan：,同理,PF2到I所成的角一：滿足tan 1二cyok - k21 kk2cyo第15頁(yè)共9頁(yè)渝，而；，、1. 2雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)過(guò)雙曲線反射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線都匯聚到雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)上；（見(jiàn)圖1.2）.雙曲線這種反向虛聚焦性質(zhì)，在天文望遠(yuǎn)鏡的設(shè)計(jì)等方面，也能找到實(shí)際應(yīng)用.1. 3拋物線的光學(xué)性質(zhì) ：從拋物線的焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)過(guò)拋物線反射后，反射光線都平行于拋物線的軸（如圖1.3 ）拋物線這種聚焦特性，成為聚能裝置或定向發(fā)射裝置的最佳選擇.例如探照燈、

3、汽車大燈等反射 鏡面的縱剖線是拋物線，把光源置于它的焦點(diǎn)處，經(jīng)鏡面反射后能成為平行光束，使照射距離加大， 并可通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)拋物線的對(duì)稱軸方向，控制照射方向.衛(wèi)星通訊像碗一樣接收或發(fā)射天線，一般也是以 拋物線繞對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)得到的，把接收器置于其焦點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸跟蹤對(duì)準(zhǔn)衛(wèi)星，這樣可以把衛(wèi)星 發(fā)射的微弱電磁波訊號(hào)射線，最大限度地集中到接收器上，保證接收效果；反之，把發(fā)射裝置安裝在 焦點(diǎn)，把對(duì)稱軸跟蹤對(duì)準(zhǔn)衛(wèi)星，則可以使發(fā)射的電磁波訊號(hào)射線能平行地到達(dá)衛(wèi)星的接收裝置，同樣 保證接收效果.最常見(jiàn)的太陽(yáng)能熱水器，它也是以拋物線鏡面聚集太陽(yáng)光，以加熱焦點(diǎn)處的貯水器的.圖1.1圖1.2要探究圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，首

4、先必須將這樣一個(gè)光學(xué)實(shí)際問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，進(jìn)行解釋論證。二、問(wèn)題轉(zhuǎn)化及證明2. 1圓錐曲線的切線與法線的定義設(shè)直線I與曲線C交于P , Q兩點(diǎn)，當(dāng)直線I連續(xù)變動(dòng)時(shí)，P , Q兩點(diǎn)沿著曲線漸漸靠近，一直到P , Q重合為一點(diǎn) M ,此時(shí)直線I稱為曲線c在點(diǎn)M處的切線，過(guò)M與直線I垂直的直線稱為曲線c在點(diǎn)M處的法線。此時(shí)，我們可以借助圓錐曲線的切線和法線，對(duì)這一問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化：2.2圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)的證明2 2預(yù)備定理1.若點(diǎn)P(xo,y)是橢圓篤爲(wèi)=1上任一點(diǎn)，則橢圓過(guò)該點(diǎn)的切線方程為：a bxxyoyb229 I。a證明:2 2一冷=y2=b2(1 一篤)aa,1當(dāng)x 二a時(shí)，過(guò)點(diǎn)P的切線斜

5、率k 定存在，且k - y良之，對(duì)式求導(dǎo)：2yy=2b2rx ,a點(diǎn)而當(dāng)b xo二y lx芻 2 一，二切線方程為a yo2 2x 丄yP(Xo,yo)在橢圓一22 - 1 上，a bx 二 a 時(shí)，y0二0 切線方程為切線方程.預(yù)備定理 2.若點(diǎn)xxyy29 Iab2證明:2x2a(x-xo),a yo故篤卑=1 ，代入得-二1,a ba bX = a ,也滿足式，故 迸 彎 =1是橢圓過(guò)點(diǎn)P(Xo,yo)的a b2 2x y、P(xo, yo)是雙曲線22 = 1上任一點(diǎn)，則雙曲線過(guò)該點(diǎn)的切線方程為:a bxT= y2 =b2(-7-1),a對(duì)式求導(dǎo)：2b2,b2xob2x2yy2 x ,

6、 k - y L之2 一，二切線方程為 y y。-2 o (x x),aa yoa yo1當(dāng)X 二a時(shí)，過(guò)點(diǎn)P的切線斜率k 一定存在，且k = y lx ,2.x點(diǎn)P(Xo,y)在雙曲線一 a2y2=1上，故b2 2Xoyo彳廠1代入得XoXyya2b2,而當(dāng)x = a時(shí)，y0 = 0切線方程為 x= a，也滿足式，故竽-罟=1是雙曲線過(guò)點(diǎn)a bP(xo,yo)的切線方程預(yù)備定理3.若點(diǎn)P(xo,yo)是拋物線y2 =2px上任一點(diǎn)，則拋物線過(guò)該點(diǎn)的切線方程是yy = p(x X。)證明：由 y2 = 2 px，對(duì) x 求導(dǎo)得：2yy=2p= k二y|x=xP，-yop2當(dāng) y =o 時(shí)，切線

7、方程為 y - y (x -x)，即 yy - yo = px - pxo， yo2而yo =2px= yop(x Xo)，而當(dāng)yo =o,x =o時(shí)，切線方程為x =o也滿足式,故拋物線在該點(diǎn)的切線方程是yoy二p(x xo).定理1.橢圓上一個(gè)點(diǎn)P的兩條焦半徑的夾角被橢圓在點(diǎn)P處的法線平分(圖2.1 )2 2已知：如圖，橢圓C的方程為 篤每=1 , F1,F2分別是其左、右焦點(diǎn)，I是過(guò)橢圓上一點(diǎn)P(Xo, yo) a b設(shè) F2PD 二：，RPD 二：，的切線，I為垂直于I且過(guò)點(diǎn)P的橢圓的法線，交 x軸于D , 求證：-.2 2證法一：在C:芻當(dāng)=1上，P(Xo,yo) C,a b則過(guò)點(diǎn)P

8、的切線方程為： 彎譽(yù) =1,a bP且與切線I垂直的法線，則 l:(/Xo11x - W xo y ( aba法線I與x軸交于D(C)2x0,0),a2|FiD|=與X。CF2DFCa2| FiD |aCX3 2| F2D | a -cx02cxo , a|PF1 = a exo,| PF2|=a-exo PD 是 FfF?的平分線，|F2D| |PF2|12- 90，故可得:-證法二：由證法一得切線I的斜率k = y良之二二異，而PF1的斜率k1 =, PF2的斜率Xo +c，又由焦半徑公式得:2a yok2，丨到PF1所成的角:滿足:X。一Ctan宀匕1 +kki.2yo b Xo:Xoc

9、 a yo2b Xoyo2 2,2 2,2a yo b xo b cxo2 r2o o(a -b )xoyo a cyoI2(Xo c)a yo2 2t P(Xo, yo)在橢圓 C ： 22=1 上, a b同理，PF2到I所成的角一滿足tan 1t b2 tan ：cyokk2b21 kk2 cyo而眄），-=證法三：如圖，作點(diǎn)F3，使點(diǎn)F3與F2關(guān)于切線I對(duì)稱，連結(jié)Fi，F(xiàn)3交橢圓C于點(diǎn)PF面只需證明點(diǎn)P與P重合即可。方面，點(diǎn)P是切線I與橢圓C的唯一交點(diǎn)，貝V |PF11 | PF2 |= 2a，是I上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之和的最小值（這是因?yàn)镮上的其它點(diǎn)均在橢圓外）。另一方面，在直線 I

10、上任取另一點(diǎn) P，/ |PFi | | PF2|PFi | | PF3 | F1F3 卜：| P”Fi | - | PF21即P也是直線 AB上到兩焦點(diǎn)的距離這和最小的唯一點(diǎn)，從而P與P重合，即二-而得證定理2雙曲線上一個(gè)點(diǎn) P的兩條焦半徑的夾角被雙曲線在點(diǎn)P處的切線平分（圖 2.2 ）;2X已知：如圖，雙曲線2C的方程為-與=1，F(xiàn)i，F(xiàn)2分別是其左、右焦點(diǎn)，I是過(guò)雙曲線C上的一ba2點(diǎn)P（xo,y。）的切線,交x軸于點(diǎn)D，設(shè) F1PD:,f2pd = 1求證：證明:2每=1，兩焦點(diǎn)為bFi(-c,O)(c2 二a2b2）， P（Xo, yo）在雙曲線上，則過(guò)點(diǎn)2 迸-逬=1，切線I與X軸交

11、于D（,o）。 a bx由雙曲線的焦半徑公式得:，F(xiàn)2(c,0)P的切線cc|PFiH xo a|,| PF2 | Xo-a|，雙曲線的兩焦點(diǎn)坐標(biāo)aa|DFi|IDF2II pF | xo + a |為 F (c ,o)，F(xiàn) (-c ,0)，故 | DF1 | |-Xo a |,| DF21=|廬 Xo - a |,aXo axo a|PF2| |xo-a|a故、，切線I為 FPF 之角分線。定理3 拋物線上一個(gè)點(diǎn) P的焦半徑與過(guò)點(diǎn) P且平行于軸的直線的夾角被拋物線在點(diǎn)P處法線平分(圖 2.3 )。已知：如圖，拋物線 C的方程為為y =4cx，直線I是過(guò)拋物線上一 點(diǎn) P(Xo,y。)的切線，

12、交 x 軸于 D，. DPFPDF =，反射線PQ與I所成角記為1 ,求證：:證明：如圖，拋物線C的方程為C : y2 =4cx，點(diǎn)P(x0, y0)在該拋物線上，則過(guò)點(diǎn)P的切線為 y0y = p(x - x0)，切線I與x軸交于D(-x,0)，焦點(diǎn)為 F(c,O)，二(同位角)， |PF(x -c)2 y： =|x c|,| DF 円 x c|,. |PF |=| DF | , :- =:-=通過(guò)以上問(wèn)題轉(zhuǎn)化可知，圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)是可以用我們學(xué)過(guò)的知識(shí)證明的。那么它在解題和生產(chǎn) 生活中有何應(yīng)用呢？三、圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)的應(yīng)用3. 1解決入射與反射問(wèn)題 例1.設(shè)拋物線C :y2二x，光線從點(diǎn)

13、 A (5 , 2)射出，平行C的對(duì)稱軸，射在C上的P點(diǎn)，經(jīng)過(guò)反射后，又射到 C上的Q點(diǎn)，貝U P點(diǎn)的坐標(biāo)為 , Q點(diǎn)的坐標(biāo)為 解：如圖，直線 AP平行于對(duì)稱軸且 A(5 , 2)，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為(4, 2),1 2反射線PQ過(guò)點(diǎn)F(丄,0)，設(shè)Q(t2,t),4t 28111則，解得：t, Q(,)t2_l4-1158648442 2例2.已知橢圓方程為x y1，若有光束自焦點(diǎn) A(3 , 0)射出，經(jīng)二次2516反射回到A點(diǎn)，設(shè)二次反射點(diǎn)為 B,C，如圖3.1.2所示，則 ABC的周長(zhǎng) 為。2 2解：.橢圓方程為 :1中，=25-16=9 ,2516 A (3 , 0)為該橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，

14、自 A(3 , 0)射出的光線 AB反射后，反 射光線AC定過(guò)另一個(gè)焦點(diǎn) A (-3 , 0)故厶 ABC 的周長(zhǎng)為：AB BA AC CA =4a =4 5 =20。2 2例3.雙曲線C.D 1,又 A C，已知A(4 , 2.2),8 8F (4,0)，若由F射至A的光線被雙曲線C反射，反射光通過(guò)P(8,k)，則 k=。解：入射線FA反射后得到的光線 AP的反向延長(zhǎng)線定過(guò)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn) F (/,0) ,12 83. 2解決一類“距離之和”的最值問(wèn)題張奠宙教授說(shuō)“在一般情況下，光線在傳播過(guò)程中，總是選擇最 近的路線從一點(diǎn)傳播到另一點(diǎn)。這雖然還只是一種停留“經(jīng)驗(yàn)、感覺(jué)” 層面上的結(jié)論，但

15、卻為我們研究一類“距離之和”取值范圍問(wèn)題時(shí)指 明了思考的方向，從而解決了一個(gè)從“想不至到“想得到”的關(guān)鍵問(wèn)題。如果再輔以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明，這種“經(jīng)驗(yàn)、感覺(jué)”依然是很有價(jià)值的、不可替代的。”我讀了他的文章，深受啟發(fā)，并用圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)解決了我們經(jīng)常見(jiàn)到而又覺(jué)得復(fù)雜的一類最值問(wèn)題。2 2Q(21) , P是C上的動(dòng)點(diǎn)，求例4已知橢圓C25 亍1 , F1、F2為分別是其左右焦點(diǎn)，點(diǎn)圖 3.2.2圖 3.2.1MFh MQ的取值范圍。(一) 分析猜想：(1) 經(jīng)計(jì)算，Q(2,2)點(diǎn)在橢圓內(nèi)，由于橢圓是封閉圖形，因此MF+|MQ應(yīng)該有一個(gè)封閉的取 值范圍，既有最小值也有最大值。(2) 同樣根據(jù)光線的

16、“最近傳播法則”，結(jié)合橢圓的光學(xué)性質(zhì)，可得：從F1射出被橢圓反射后經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q的光線所經(jīng)過(guò)的路程往往是最短的。這種情況又分為兩類，一是被上半橢圓反射(如圖3.2.1 ,光線從Rt Rt Q ),二是被下半橢圓反射(如圖 3.2.2，光線從Rt F2t F2T Q ),究竟哪種 情況距離之和更小呢？顯然，根據(jù)橢圓定義，圖3.2.1中的PR +|PQ F-| RQ -QF2I，所以，RQ IRR | | P，F(xiàn)i PQ |。猜想得證。（三）計(jì)算：綜上所述，只需求出|F2Q|二（4一2）2 42 =2.10，可得最小值為2a-| F2Q|=10-2.10，最大值 為 2a | F2Q| = 10 2,1

17、0.2例5已知雙曲線C： X2 -丄 1 , R、F2為分別是其左右焦點(diǎn)，點(diǎn)Q（4,-） , M是C上的動(dòng)點(diǎn)，32求MF2 + MQ的取值范圍。分析猜想：經(jīng)計(jì)算，Q點(diǎn)在雙曲線右支開(kāi)口內(nèi)部。由于雙曲線是不封閉曲線，顯然MF2 + MQ可以無(wú)限大，故要求 MF2| +|MQ的取值范圍，關(guān)鍵是求出 MF2|+|MQ的最小值。根據(jù)光線的“最近 傳播”特點(diǎn)，我們猜想：從 Fi射出經(jīng)雙曲線反射后經(jīng)過(guò)點(diǎn) Q的光線所經(jīng)過(guò)的路程往往是最短的，再結(jié) 合雙曲線的光學(xué)性質(zhì)（從一個(gè)焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)橢圓周反射，反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)另一個(gè)焦點(diǎn)）可作出從Fi射出被雙曲線反射后經(jīng)過(guò)點(diǎn) Q的光線：連接FiQ，與雙曲線的交點(diǎn)即

18、為使得|MF2 +|MQ 最小的點(diǎn)，設(shè)為 P點(diǎn)，光線從F2 Pr Q。（見(jiàn)圖2）（二）證明：如圖2:按猜想作出點(diǎn) P，由于所求點(diǎn)P顯然不在雙曲線的左支上（此時(shí)顯然距離 之和不會(huì)最?。试谟抑狭砣∫稽c(diǎn) P，由雙曲線定義知：PF1 - PF2 =|PR - PF2 |，即PFi+|PF2=PFi +PF2I，因?yàn)?|PFi|+|PQ 勻 PQ +|PFi|，兩邊同加 | PF?得：圖 3.2.5所以 PFi| +|PQ + PF2 | PQ 屮 PFi| + |PF2 | =|PQ PFi PF2I,故 PQ|+|PF2勻 PQ|+|PF2|，猜想得證。(三) 計(jì)算：由題意知9- Fi(-2,

19、0),Q(4,-),- | PQ | |PF2 冃FQ |-|FiP| IPF2I11 EFTigr例6.已知拋物線C： y2 =4x, F是其焦點(diǎn)，點(diǎn)Q(2,1), M是C上的動(dòng)點(diǎn)，求MF + MQ的取值范圍。分析：由于拋物線不是封閉曲線，顯然沒(méi)有最大值，因此關(guān)鍵是求最小值。根據(jù)拋物線光學(xué)性質(zhì)（從焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射，反射光線與對(duì)稱軸平行， 反之也成立），結(jié)合光線的“最近傳播”特點(diǎn),我們猜想：過(guò) Q與對(duì)稱軸平行的直線與拋物線的交點(diǎn)可能就是使距離之和最小的點(diǎn)，設(shè)為P點(diǎn)（見(jiàn)圖3.2.6 ）?？捎蓲佄锞€的定義證明猜想是正確的。且PF + PQ工33. 3.圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)在解決與“切線”相關(guān)

20、問(wèn)題時(shí)起簡(jiǎn)捷作用。光線反射總是滿足反射定律（入射角等于反射角），光線被曲線反射也 不例外，此時(shí)的法線就是過(guò)反射點(diǎn)的曲線的切線的垂線。可見(jiàn)，曲線的切 線和與曲線有關(guān)的反射問(wèn)題有著密切聯(lián)系。以橢圓為例：如圖3.3.1 ,1是過(guò)橢圓周上一點(diǎn) P的橢圓的切線，m是P點(diǎn)處的法線，光線從（F2）射出被橢圓反射經(jīng)過(guò)F2（F,）,滿足/仁/ 2，且/ 3= / 4。2 2例7已知I是過(guò)橢圓C： 11上一動(dòng)點(diǎn)P的橢圓C的動(dòng)切線，過(guò)C的左焦點(diǎn)卩!作I的垂線，16 12求垂足Q的軌跡方程。分析：如圖3.3.2，本題如果忽視了橢圓的光學(xué)性質(zhì)將很難著手，或許借助橢圓參數(shù)方程可以求解，但運(yùn)算相當(dāng)繁瑣。由于 I是橢圓的切線

21、，切點(diǎn)為 P，聯(lián)想到橢圓光學(xué)性質(zhì)及反射定律，可知：I是ZF,PF2的外角平分線，F(xiàn),關(guān)于直線I的對(duì)稱點(diǎn)F2在F2P的延長(zhǎng)線上。這樣，由于 PF, =|PF2j，故 |F, F2 二 PF，HPF2 |=2a =8，而 Q、O 分別是 RF,、F2F2 的中點(diǎn)，所以 Q0-4。 從而Q點(diǎn)軌 跡是以0為圓心、以4為半徑的圓。即點(diǎn) Q的方程為X2 y2 =163. 4在生產(chǎn)生活中的作用例&某種碟形太陽(yáng)能熱水器的外形示意圖如圖3.4.1 ,其中F為加熱點(diǎn)；碟形反射壁是拋物線繞對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面；拋物線以cm為單位的設(shè)計(jì)尺寸如圖3.4.2 為了達(dá)到最佳加熱效果,F應(yīng)距碟底多少?解：以碟形內(nèi)壁底為原點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸為X軸，開(kāi)口方向?yàn)閄軸的正向，建立坐標(biāo)系如圖3.4.2 ,則內(nèi)壁拋物線方 程為y2 = 2px .據(jù)所示尺寸，拋物線過(guò)坐標(biāo)為 （40,85）的點(diǎn)，2所以85 -2p 40 = 80p , p 90.3 加熱點(diǎn)F應(yīng)置于拋物線的焦點(diǎn).焦點(diǎn)坐標(biāo)為（p ,0） （45.2,0）.所以F應(yīng)