勾股定理典型題型

1、新人教版八年級下冊勾股定理典型例習(xí)題例題1如果梯子的底端離建筑物9米,那么15米長的梯子可以到達(dá)建筑物的高度是、經(jīng)典例題精講題型一：直接考查勾股定理例 1 .在 ABC 中， C 90 .已知AC 6 , BC 8 .求AB的長已知AB 17, AC 15，求BC的長分析：直接應(yīng)用勾股定理a2 b2 c2解：（1） ABAC2 BC2 10 BC .AB2 AC2 8題型二：利用勾股定理測量長度多少米?解析：這是一道大家熟知的典型的“知二求一”的題。把實(shí)物模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型后，.已知斜邊長和一條直角邊長,求另外一條直長度，可以直接利用勾股定理!根據(jù)勾股定理aC+bc=aB,即AC+92=152

2、,所以AC=1角邊的44,所以AC=12.例題2如圖（8）,水池中離岸邊D點(diǎn)1.5米的C處，直立長著一根蘆葦，出水部分BC的長是0.5米，把蘆葦拉到岸邊，它的頂端 B恰好落到D點(diǎn)，并求水池的深精心整理解析：同例題1 一樣，先將實(shí)物模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，如圖2.由題意可知 ACD中，/ ACD=90 ,在Rt ACD中，只知道CD=1.5,這是典型的利用勾股定理“知二求一”的類型。標(biāo)準(zhǔn)解題步驟如下（僅供參考）：解：如圖2,根據(jù)勾股定理，aC+cd=aD設(shè)水深 AC=x 米，那么 AD=AB=AC+CB+0.5x2+1.52= (x+0.5 ) 2解之得x=2.故水深為2米.題型三：勾股定理和逆定理

3、并用例題3如圖3,正方形ABCD中 E是BC邊上的中點(diǎn)，F(xiàn)是AB上一點(diǎn)，且FB : AB那么 DEF是直角三角形嗎？為什么?解析：這道題把很多條件都隱藏了，乍一看有點(diǎn)摸不著頭腦。仔細(xì)讀題會意可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律，沒有任何條件，我們也可以開創(chuàng)條件，由 FB丄AB可以設(shè)AB=4a,那么BE=CE4=2a,AF=3a,BF=a,那么在Rt AFD Rt BEF和 Rt CDE中,分別利用勾股定理求出 DF,EF和DE的長，反過來再利用勾股定理逆定理去判斷DEF是否是直角三角形。詳細(xì)解題步驟如下:解：設(shè)正方形ABC的邊長為4a,則BE=CE=2AF=3a,在 Rt CDE中, DE二CD+CE=(4 a) 2

4、+(2a)2=20a2同理 EF=5a2,DF2=25a2在厶 DEF中, EF+DE=5a2+20a2=25a2二DF DEF是直角三角形，且/ DEF=90 .題型四：利用勾股定理求線段長度 精心整理注：本題利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必練習(xí)題例題4如圖4,已知長方形 ABC中 AB=8cm,BC=10cn在邊CD上取一點(diǎn) 巳將厶ADE折疊使點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F,求CE的長.解析：解題之前先弄清楚折疊中的不變量。合理設(shè)元是關(guān)鍵注：本題接下來還可以折痕的長度和求重疊部分的面積。題型五：利用勾股定理逆定理判斷垂直垂直D邊桌面形么要設(shè)為測量。例題5如圖5,王師傅想要檢測桌子的表面

5、AD邊是否與 AB邊和 CD邊，他測得 AD=80cm AB=60crp BD=100cmA與AB邊垂直嗎？怎樣去驗(yàn)證 AD邊與CD邊是否垂直?解析：由于實(shí)物一般比較大，長度不容易用直尺來方便我們通常截取部分長度來驗(yàn)證。如圖 4,矩形ABCD表示狀，在AB上截取AM=12cm在 AD上截取AN=9cm想想為什這兩個長度？），連結(jié)MN測量MN的長度。如果MN=15則aM+aN二mN所以AD邊與AB邊垂直;如果 MN=m 15,則 92+122=81 + 144=225,a2工225,即 92+122工 a2，所以/ A不是直角。利用勾股定理解決實(shí)際問題西只要移至5米以內(nèi)，燈就自動打開，一個身高1

6、.5米的學(xué)生，要走到離門多遠(yuǎn)的例題6有一個傳感器控制的燈，安裝在門上方，離地高 4.5米的墻上，任何東地方燈剛好打開?解析：首先要弄清楚人走過去，是頭先距離燈5米還是腳先距離燈5米，可想而知應(yīng)該是頭先距離燈5米。轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，如圖6所示，A點(diǎn)示控制燈，BM表示人的高度，BC/ MN,BC_ AN當(dāng)頭（B點(diǎn)）距離5米時，求BC的長度。已知AN=4.5米，所以AC=3米，由勾股定可計算BC=4米.即使要走到離門4米的時候燈剛好打開。 精心整理A有理,B E F C變式：如圖，AD是厶ABC的中線，/ ADC=45，把 ADC沿直線AD 翻題型八:例1、如圖，公路MN和公路PQ處有一所中學(xué)，AP=

7、160米，點(diǎn)A到公路MN的距離BC=4求BC的長.的應(yīng)用：在P點(diǎn)處交匯，點(diǎn)為80米，假使拖題型六：旋轉(zhuǎn)問題:例1、如圖， ABC是直角三角形，BC是斜邊，將 ABP繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)后，能與 AC 重合，若AP=3求PP的長。變式1:如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA=2,PB=2.3,PC=4, 分析：利用旋轉(zhuǎn)變換，將 BPA繞點(diǎn)B逆時針選擇60,將三條線段集中到同一個三角形中, 根據(jù)它們的數(shù)量關(guān)系，由勾股定理可知這是一個直角三角形 變式2、如圖， ABC為等腰直角三角形，/ BAC=90 , E、F是BCk的點(diǎn)，且/ EAF=45 , 試探究BE2、CF2、EF2間的關(guān)系，并說明理由題型

8、七：關(guān)于翻折問題例1、如圖，矩形紙片ABCD的邊AB=10cm BC=6cm E為BC上一點(diǎn)，將矩形紙片沿AE折疊，點(diǎn)B恰好落在CD邊上的點(diǎn)G處，求BE的長.2米，高為4米圖 1-19的油罐的下底機(jī)行駛時，周圍100米以內(nèi)會受到噪音影響，那么拖拉機(jī)在公路 MN上沿PN方向行駛時,校是否會受到影響，請說明理由；如果受到影響，已知拖拉機(jī)的速度是18千米/小時，那么校受到影響的時間為多少？題型九：關(guān)于最短性問題例5、如右圖1 - 19，壁虎在一座底面半徑為精心整理沿A處，它發(fā)現(xiàn)在自己的正上方油罐上邊緣的 B處有一只害蟲，便決定捕捉只害蟲，為了不引起害蟲的注意，它故意不走直線，而是繞著油罐，沿一條螺路

9、線，從背后對害蟲進(jìn)行突然襲擊.結(jié)果，壁虎的偷襲得到成.功，獲得了一頓餐.請問壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害蟲 ？（n取3.14，結(jié)果保留1位小數(shù)，可以用算器計算）變式：如圖為一棱長為3cm的正方體，把所有面都分為9個小正方形，其邊長都1cm，假設(shè)一只螞蟻每秒爬行2cm，則它從下地面A點(diǎn)沿表面爬行至右側(cè)面的B點(diǎn)，最少要 幾秒鐘？三、課后訓(xùn)練:、填空題圖(1)1.如圖（1）,在高2米，坡角為30的樓梯表面鋪地毯地毯的長至少需B.種盛飲料的圓柱形杯（如圖）,測得內(nèi)部底面半徑為2占,C 第4題圖A要露出4.6 cm,問吸管要做cm。12 cm,第3題圖米.吸管放進(jìn)杯里，杯口外面.已知：如圖，KBC中

10、，/ C=90,點(diǎn)0ABC的三條角平分線的交點(diǎn),0D丄 BC, 0E丄AC, OF，點(diǎn)D、E、F分別是垂足，且BC=8cm CA=6cm 則點(diǎn) 0 到三邊 AB,AC和BC的距離分別20米處的池?cm.在一棵樹的10米高處有兩只猴子，一只猴子爬下樹走到離樹A處。另一只爬到樹頂 D后直接躍到A處，距離以直線計算,經(jīng)過的距離相等，則這棵樹高。如圖是一個三級臺階，它的每一級的長寬和高分別為 20dm 3dm mA和B是這個臺階兩個相對的端點(diǎn)，A點(diǎn)有一只螞蟻，想到B去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬到 B點(diǎn)最短路程是、選擇題精心整理精心整理.已知一個Rt的兩邊長分別為3和4,則第三邊長的平方是（）、5

11、B、14C 7D、7 或 25.RtA 直角邊的長為11，另兩邊為自然數(shù)，則 Rt的周長為（）、121B、120C、132D、不能確定.如果?佇兩直角邊的比為5 : 12,則斜邊上的高與斜邊的比為（）、0 : 13B、5 : 12C、12 : 13D、60 : 169.已知 ABC中，/ C=90，若 a+b=14cm c=10cm,貝卩 Rt ABC的面積是（）2 2 2 2、4cmB、36cmC、48cmD、60cm.等腰三角形底邊上的高為8,周長為32,則三角形的面積為（、6B、48C、40D、32.某市在舊城改造中，計劃在市內(nèi)一塊如圖所示的三角形空地上種植草皮以美化環(huán)境，已知這種草平方米售價a元，則購買這種草皮至少需要（、450a 元B、225a 元C、150a 元)D、20m，宀八、30m150 一第6題圖.已知，如圖長方形ABCD中AB=3cm AD=9cm將此長方形折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)