§12_2　離散型隨機(jī)變量及其分布列、均值與方差

1、高考理數(shù)高考理數(shù) (課標(biāo)專用) 12.2離散型隨機(jī)變量及其分布列、 均值與方差 A A組組 統(tǒng)一命題統(tǒng)一命題課標(biāo)卷題組課標(biāo)卷題組 考點(diǎn)一離散型隨機(jī)變量及其分布列考點(diǎn)一離散型隨機(jī)變量及其分布列 1.(2017課標(biāo),18,12分)某超市計(jì)劃按月訂購一種酸奶,每天進(jìn)貨量相同,進(jìn)貨成本每瓶4元,售 價(jià)每瓶6元,未售出的酸奶降價(jià)處理,以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn),每 天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位:)有關(guān).如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣 溫位于區(qū)間20,25),需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的 訂購計(jì)劃,統(tǒng)計(jì)了前三年六月份

2、各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表: 五年高考 最高氣溫10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40) 天數(shù)216362574 以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率. (1)求六月份這種酸奶一天的需求量X(單位:瓶)的分布列; (2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位:元).當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量n(單位: 瓶)為多少時(shí),Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值? 解析解析本題考查隨機(jī)變量的分布列,數(shù)學(xué)期望. (1)由題意知,X所有可能取值為200,300,500, 由表格數(shù)據(jù)知 P(X=200)=0.2, P(X=300)=0.4, P(X=500)

3、=0.4. 因此X的分布列為 2 16 90 36 90 2574 90 X200300500 P0.20.40.4 (2)由題意知,這種酸奶一天的需求量至多為500瓶,至少為200瓶,因此只需考慮200n500. 當(dāng)300n500時(shí), 若最高氣溫不低于25,則Y=6n-4n=2n; 若最高氣溫位于區(qū)間20,25), 則Y=6300+2(n-300)-4n=1 200-2n; 若最高氣溫低于20,則Y=6200+2(n-200)-4n=800-2n. 因此EY=2n0.4+(1 200-2n)0.4+(800-2n)0.2=640-0.4n. 當(dāng)200n300時(shí), 若最高氣溫不低于20,則Y=

4、6n-4n=2n; 若最高氣溫低于20,則Y=6200+2(n-200)-4n=800-2n. 因此EY=2n(0.4+0.4)+(800-2n)0.2=160+1.2n. 所以n=300時(shí),Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值,最大值為520元. 名師點(diǎn)撥名師點(diǎn)撥求離散型隨機(jī)變量的分布列、均值與方差需過四關(guān):“題目的理解關(guān)”.要抓住 題中關(guān)鍵字句,盡可能轉(zhuǎn)化為自己熟悉的模型.“隨機(jī)變量的取值關(guān)”.準(zhǔn)確無誤地找出隨機(jī) 變量的所有可能取值.“事件的類型關(guān)”.概率問題中的事件涉及等可能事件、互斥事件、 對立事件、相互獨(dú)立事件等,在計(jì)算相應(yīng)的概率前要先確定事件的類型.“概率的運(yùn)算關(guān)”. 運(yùn)用公式P(A)=,P(A

5、+B)=P(A)+P(B),P(AB)=P(A)P(B),P(=k)=pk(1-p)n-k(k=0,1,2,n)時(shí),要 注意準(zhǔn)確無誤. m n Ck n 2.(2016課標(biāo),19,12分)某公司計(jì)劃購買2臺機(jī)器,該種機(jī)器使用三年后即被淘汰.機(jī)器有一易 損零件,在購進(jìn)機(jī)器時(shí),可以額外購買這種零件作為備件,每個(gè)200元.在機(jī)器使用期間,如果備件 不足再購買,則每個(gè)500元.現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購買幾個(gè)易損零件,為此搜集并整理 了100臺這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù),得下面柱狀圖: 以這100臺機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率,記X表示2臺 機(jī)器三年內(nèi)

6、共需更換的易損零件數(shù),n表示購買2臺機(jī)器的同時(shí)購買的易損零件數(shù). (1)求X的分布列; (2)若要求P(Xn)0.5,確定n的最小值; (3)以購買易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù),在n=19與n=20之中選其一,應(yīng)選用哪個(gè)? 解析解析(1)由柱狀圖并以頻率代替概率可得,一臺機(jī)器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8,9,10,1 1的概率分別為0.2,0.4,0.2,0.2. 可知X的所有可能取值為16、17、18、19、20、21、22, P(X=16)=0.20.2=0.04; P(X=17)=20.20.4=0.16; P(X=18)=20.20.2+0.40.4=0.24; P(X=19)

7、=20.20.2+20.40.2=0.24; P(X=20)=20.20.4+0.20.2=0.2; P(X=21)=20.20.2=0.08; P(X=22)=0.20.2=0.04.(4分) 所以X的分布列為 X16171819202122 P0.040.160.240.240.20.080.04 (6分) (2)由(1)知P(X18)=0.44,P(X19)=0.68,故n的最小值為19.(8分) (3)記Y表示2臺機(jī)器在購買易損零件上所需的費(fèi)用(單位:元). 當(dāng)n=19時(shí), EY=192000.68+(19200+500)0.2+(19200+2500)0.08+(19200+3500

8、)0.04=4 040. (10分) 當(dāng)n=20時(shí), EY=202000.88+(20200+500)0.08+(20200+2500)0.04=4 080. 可知當(dāng)n=19時(shí)所需費(fèi)用的期望值小于n=20時(shí)所需費(fèi)用的期望值,故應(yīng)選n=19.(12分) 思路分析思路分析(1)確定X的可能取值,分別求其對應(yīng)的概率,進(jìn)而可列出分布列. (2)根據(jù)(1)中求得的概率可得P(X18)以及P(X19)的值,由此即可確定n的最小值. (3)求出n=19,n=20時(shí)的期望值,比較大小即可作出決策. 考點(diǎn)二均值與方差考點(diǎn)二均值與方差 1.(2017課標(biāo),13,5分)一批產(chǎn)品的二等品率為0.02,從這批產(chǎn)品中每次

9、隨機(jī)取一件,有放回地抽 取100次,X表示抽到的二等品件數(shù),則DX= . 答案答案1.96 解析解析本題主要考查二項(xiàng)分布. 由題意可知XB(100,0.02),由二項(xiàng)分布可得DX=1000.02(1-0.02)=1.96. 2.(2018課標(biāo),20,12分)某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝,每箱200件,每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前 要對產(chǎn)品作檢驗(yàn),如檢驗(yàn)出不合格品,則更換為合格品.檢驗(yàn)時(shí),先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢 驗(yàn),再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn).設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p (0p0; 當(dāng)p(0.1,1)時(shí), f (p)400,故應(yīng)該對余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn). 2 20 C 2 20

10、 C 2 20 C 考點(diǎn)一離散型隨機(jī)變量及其分布列考點(diǎn)一離散型隨機(jī)變量及其分布列 1.(2018天津,16,13分)已知某單位甲、乙、丙三個(gè)部門的員工人數(shù)分別為24,16,16.現(xiàn)采用分層 抽樣的方法從中抽取7人,進(jìn)行睡眠時(shí)間的調(diào)查. (1)應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門的員工中分別抽取多少人? (2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,現(xiàn)從這7人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的身體檢 查. (i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望; (ii)設(shè)A為事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的員工,也有睡眠不足的員工”,求事件A發(fā)生的概 率. B B組組 自主命題自主命題省省

11、( (區(qū)、市區(qū)、市) )卷題組卷題組 解析解析本小題主要考查隨機(jī)抽樣、離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望、互斥事件的概率 加法公式等基礎(chǔ)知識.考查運(yùn)用概率知識解決簡單實(shí)際問題的能力. (1)由已知,甲、乙、丙三個(gè)部門的員工人數(shù)之比為3 2 2,由于采用分層抽樣的方法從中抽 取7人,因此應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門的員工中分別抽取3人,2人,2人. (2)(i)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3. P(X=k)=(k=0,1,2,3). 所以,隨機(jī)變量X的分布列為 3 43 3 7 CC C kk X0123 P1 35 12 35 18 35 4 35 隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0+1+2+

12、3=. (ii)設(shè)事件B為“抽取的3人中,睡眠充足的員工有1人,睡眠不足的員工有2人”;事件C為“抽取 的3人中,睡眠充足的員工有2人,睡眠不足的員工有1人”,則A=BC,且B與C互斥. 由(i)知,P(B)=P(X=2),P(C)=P(X=1), 故P(A)=P(BC)=P(X=2)+P(X=1)=. 所以,事件A發(fā)生的概率為. 1 35 12 35 18 35 4 35 12 7 6 7 6 7 導(dǎo)師點(diǎn)睛導(dǎo)師點(diǎn)睛超幾何分布描述的是不放回抽樣問題,隨機(jī)變量為抽到某類個(gè)體的個(gè)數(shù).超幾何分 布的特點(diǎn): (1)考察對象分兩類; (2)已知各類對象的個(gè)數(shù); (3)從中抽取若干個(gè)個(gè)體,考察某類個(gè)體個(gè)數(shù)

13、X的概率分布. 超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型,其實(shí)質(zhì)是古典概型. 2.(2015重慶,17,13分)端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習(xí)俗.設(shè)一盤中裝有10個(gè)粽子,其中豆沙粽2 個(gè),肉粽3個(gè),白粽5個(gè),這三種粽子的外觀完全相同.從中任意選取3個(gè). (1)求三種粽子各取到1個(gè)的概率; (2)設(shè)X表示取到的豆沙粽個(gè)數(shù),求X的分布列與數(shù)學(xué)期望. 解析解析(1)令A(yù)表示事件“三種粽子各取到1個(gè)”,則由古典概型的概率計(jì)算公式有P(A)= =. (2)X的所有可能值為0,1,2,且 P(X=0)=,P(X=1)=, P(X=2)=. 綜上知,X的分布列為 111 235 3 10 C C

14、C C 1 4 3 8 3 10 C C 7 15 12 28 3 10 C C C 7 15 21 28 3 10 C C C 1 15 X012 P7 15 7 15 1 15 故E(X)=0+1+2=(個(gè)). 7 15 7 15 1 15 3 5 3.(2014天津,16,13分)某大學(xué)志愿者協(xié)會有6名男同學(xué),4名女同學(xué).在這10名同學(xué)中,3名同學(xué)來 自數(shù)學(xué)學(xué)院,其余7名同學(xué)來自物理、化學(xué)等其他互不相同的七個(gè)學(xué)院.現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨 機(jī)選取3名同學(xué),到希望小學(xué)進(jìn)行支教活動(每位同學(xué)被選到的可能性相同). (1)求選出的3名同學(xué)是來自互不相同學(xué)院的概率; (2)設(shè)X為選出的3名同學(xué)中女同

15、學(xué)的人數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望. 解析解析(1)設(shè)“選出的3名同學(xué)是來自互不相同的學(xué)院”為事件A,則 P(A)=. 所以選出的3名同學(xué)是來自互不相同的學(xué)院的概率為. (2)隨機(jī)變量X的所有可能值為0,1,2,3. P(X=k)=(k=0,1,2,3). 所以隨機(jī)變量X的分布列是 1203 3737 3 10 CCCC C 49 60 49 60 3 46 3 10 CC C kk X0123 P1 6 1 2 3 10 1 30 隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0+1+2+3=. 1 6 1 2 3 10 1 30 6 5 4.(2015四川,17,12分)某市A,B兩所中學(xué)的學(xué)生組隊(duì)

16、參加辯論賽,A中學(xué)推薦了3名男生、2名女 生,B中學(xué)推薦了3名男生、4名女生,兩校所推薦的學(xué)生一起參加集訓(xùn).由于集訓(xùn)后隊(duì)員水平相 當(dāng),從參加集訓(xùn)的男生中隨機(jī)抽取3人、女生中隨機(jī)抽取3人組成代表隊(duì). (1)求A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率; (2)某場比賽前,從代表隊(duì)的6名隊(duì)員中隨機(jī)抽取4人參賽,設(shè)X表示參賽的男生人數(shù),求X的分布 列和數(shù)學(xué)期望. 解析解析(1)由題意,參加集訓(xùn)的男、女生各有6名. 參賽學(xué)生全從B中學(xué)抽取(等價(jià)于A中學(xué)沒有學(xué)生入選代表隊(duì))的概率為=. 因此,A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率為1-=. (2)根據(jù)題意,X的可能取值為1,2,3. P(X=1)=,P(X=2

17、)=, P(X=3)=. 所以X的分布列為 33 34 33 66 C C C C 1 100 1 100 99 100 13 33 4 6 C C C 1 5 22 33 4 6 C C C 3 5 31 33 4 6 C C C 1 5 X123 P1 5 3 5 1 5 因此,X的數(shù)學(xué)期望為 E(X)=1P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3) =1+2+3=2. 1 5 3 5 1 5 5.(2017山東,18,12分)在心理學(xué)研究中,常采用對比試驗(yàn)的方法評價(jià)不同心理暗示對人的影響, 具體方法如下:將參加試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組,一組接受甲種心理暗示,另一組接受乙種心 理暗示,通過

18、對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評價(jià)兩種心理暗示的作用.現(xiàn)有6名 男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理暗示,另5人 接受乙種心理暗示. (1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率; (2)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù),求X的分布列與數(shù)學(xué)期望EX. 解析解析本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列,期望. (1)記接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件為M, 則P(M)=. (2)由題意知X可取的值為0,1,2,3,4,則 P(X=0)=, P(X=1)=, P(X=2)=, P(X=3

19、)=, P(X=4)=. 因此X的分布列為 4 8 5 10 C C 5 18 5 6 5 10 C C 1 42 41 64 5 10 C C C 5 21 32 64 5 10 C C C 10 21 23 64 5 10 C C C 5 21 14 64 5 10 C C C 1 42 X01234 P 1 42 5 21 10 21 5 21 1 42 X的數(shù)學(xué)期望是 EX=0P(X=0)+1P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)+4P(X=4)=0+1+2+3+4=2. 5 21 10 21 5 21 1 42 解后反思解后反思(1)求離散型隨機(jī)變量X的分布列的步驟: 理解X的

20、含義,寫出X所有可能的取值. 求X取每個(gè)值時(shí)的概率; 寫出X的分布列. (2)求離散型隨機(jī)變量的分布列的關(guān)鍵是求隨機(jī)變量取各個(gè)值時(shí)對應(yīng)的概率,在求解時(shí),要注意 應(yīng)用計(jì)數(shù)原理,古典概型概率公式等知識. 6.(2017天津,16,13分)從甲地到乙地要經(jīng)過3個(gè)十字路口,設(shè)各路口信號燈工作相互獨(dú)立,且在 各路口遇到紅燈的概率分別為,. (1)記X表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個(gè)數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望; (2)若有2輛車獨(dú)立地從甲地到乙地,求這2輛車共遇到1個(gè)紅燈的概率. 1 2 1 3 1 4 解析解析本小題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望,事件的相互獨(dú)立性,互斥事件的 概率加

21、法公式等基礎(chǔ)知識.考查運(yùn)用概率知識解決簡單實(shí)際問題的能力. (1)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3. P(X=0)=, P(X=1)=1-1-+1-1-+=, P(X=2)=+=, P(X=3)=. 所以,隨機(jī)變量X的分布列為 1 1 2 1 1 3 1 1 4 1 4 1 2 1 3 1 4 1 2 1 3 1 4 1 1 2 1 1 3 1 4 11 24 1 1 2 1 3 1 4 1 2 1 1 3 1 4 1 2 1 3 1 1 4 1 4 1 2 1 3 1 4 1 24 X0123 P 1 4 11 24 1 4 1 24 隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0+1+2+3=.

22、 (2)設(shè)Y表示第一輛車遇到紅燈的個(gè)數(shù),Z表示第二輛車遇到紅燈的個(gè)數(shù),則所求事件的概率為 P(Y+Z=1)=P(Y=0,Z=1)+P(Y=1,Z=0) =P(Y=0)P(Z=1)+P(Y=1)P(Z=0) =+ =. 所以,這2輛車共遇到1個(gè)紅燈的概率為. 1 4 11 24 1 4 1 24 13 12 1 4 11 24 11 24 1 4 11 48 11 48 技巧點(diǎn)撥技巧點(diǎn)撥解決隨機(jī)變量分布列問題的關(guān)鍵是正確求出隨機(jī)變量可以取哪些值以及取各個(gè) 值時(shí)對應(yīng)的概率,只有正確理解隨機(jī)變量取值的意義才能解決這個(gè)問題,理解隨機(jī)變量取值的 意義是解決這類問題的必要前提. 7.(2014山東,18,

23、12分)乒乓球臺面被球網(wǎng)分隔成甲、乙兩部分,如圖,甲上有兩個(gè)不相交的區(qū)域 A,B,乙被劃分為兩個(gè)不相交的區(qū)域C,D,某次測試要求隊(duì)員接到落點(diǎn)在甲上的來球后向乙回 球.規(guī)定:回球一次,落點(diǎn)在C上記3分,在D上記1分,其他情況記0分.對落點(diǎn)在A上的來球,隊(duì)員小 明回球的落點(diǎn)在C上的概率為,在D上的概率為;對落點(diǎn)在B上的來球,小明回球的落點(diǎn)在C 上的概率為,在D上的概率為.假設(shè)共有兩次來球且落在A,B上各一次,小明的兩次回球互不 影響.求: (1)小明兩次回球的落點(diǎn)中恰有一次的落點(diǎn)在乙上的概率; (2)兩次回球結(jié)束后,小明得分之和的分布列與數(shù)學(xué)期望. 1 2 1 3 1 5 3 5 解析解析(1)記

24、Ai為事件“小明對落點(diǎn)在A上的來球回球的得分為i分”(i=0,1,3), 則P(A3)=,P(A1)=,P(A0)=1-=. 記Bi為事件“小明對落點(diǎn)在B上的來球回球的得分為i分”(i=0,1,3), 則P(B3)=,P(B1)=,P(B0)=1-=. 記D為事件“小明兩次回球的落點(diǎn)中恰有1次的落點(diǎn)在乙上”. 由題意,D=A3B0+A1B0+A0B1+A0B3, 由事件的獨(dú)立性和互斥性, P(D)=P(A3B0+A1B0+A0B1+A0B3) =P(A3B0)+P(A1B0)+P(A0B1)+P(A0B3) =P(A3)P(B0)+P(A1)P(B0)+P(A0)P(B1)+P(A0)P(B3

25、) =+=, 所以小明兩次回球的落點(diǎn)中恰有1次的落點(diǎn)在乙上的概率為. (2)由題意,隨機(jī)變量可能的取值為0,1,2,3,4,6, 1 2 1 3 1 2 1 3 1 6 1 5 3 5 1 5 3 5 1 5 1 2 1 5 1 3 1 5 1 6 3 5 1 6 1 5 3 10 3 10 由事件的獨(dú)立性和互斥性,得 P(=0)=P(A0B0)=, P(=1)=P(A1B0+A0B1)=P(A1B0)+P(A0B1)=+=, P(=2)=P(A1B1)=, P(=3)=P(A3B0+A0B3)=P(A3B0)+P(A0B3)=+=, P(=4)=P(A3B1+A1B3)=P(A3B1)+P(

26、A1B3)=+=, P(=6)=P(A3B3)=. 可得隨機(jī)變量的分布列為 1 6 1 5 1 30 1 3 1 5 1 6 3 5 1 6 1 3 3 5 1 5 1 2 1 5 1 5 1 6 2 15 1 2 3 5 1 3 1 5 11 30 1 2 1 5 1 10 012346 P 1 30 1 6 1 5 2 15 11 30 1 10 所以數(shù)學(xué)期望E=0+1+2+3+4+6=. 1 30 1 6 1 5 2 15 11 30 1 10 91 30 考點(diǎn)二均值與方差考點(diǎn)二均值與方差 1.(2018浙江,7,4分)設(shè)0p1,隨機(jī)變量的分布列是 則當(dāng)p在(0,1)內(nèi)增大時(shí),() A.

27、D()減小 B.D()增大 C.D()先減小后增大 D.D()先增大后減小 012 P 1 p 2 1 2 p 2 答案答案D本小題考查隨機(jī)變量的分布列,期望、方差的計(jì)算及函數(shù)的單調(diào)性. 由題意得E()=0+1+2=+p, D()=+ =(1+2p)2(1-p)+(1-2p)2+(3-2p)2p =-p2+p+=-+. 由得0p1, D()在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,故選D. 1 2 p1 22 p1 2 2 1 0 2 p 1 2 p 2 1 1 2 p 1 2 2 1 2 2 p 2 p 1 8 1 4 2 1 2 p 1 2 1 01, 2 01, 2 11 1, 222 p p pp

28、1 0, 2 1 ,1 2 2.(2017浙江,8,5分)已知隨機(jī)變量i滿足P(i=1)=pi,P(i=0)=1-pi,i=1,2.若0p1p2,則() A.E(1)E(2),D(1)D(2) B.E(1)D(2) C.E(1)E(2),D(1)E(2),D(1)D(2) 1 2 答案答案A本題考查隨機(jī)變量的概念及其分布列,隨機(jī)變量的期望、方差的計(jì)算,考查推理運(yùn) 算能力,利用作差比較法比較兩式的大小,構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性比較兩式的大小. 解法一:E(1)=0(1-p1)+1p1=p1, 同理,E(2)=p2,又0p1p2,E(1)E(2). D(1)=(0-p1)2(1-p1)+(1-p

29、1)2p1=p1-, 同理,D(2)=p2-. D(1)-D(2)=p1-p2-(-)=(p1-p2)(1-p1-p2). 0p1p20,(p1-p2)(1-p1-p2)0. D(1)D(2).故選A. 解法二:同解法一知E(1)E(2),D(1)=p1-,D(2)=p2-, 令f(x)=x-x2,則f(x)在上為增函數(shù),0p1p2,f(p1)f(p2),即D(1)D4D2=D5D3D6. 50 2 000 BABA 解后反思解后反思古典概型的概率以及方差的求解 在使用古典概型的概率公式時(shí),應(yīng)該注意:(1)要判斷該概率模型是不是古典概型;(2)先分清基 本事件的總數(shù)n與事件A中包含的結(jié)果數(shù)m,

30、再利用公式P(A)=求出事件A發(fā)生的概率.在求方 差時(shí),要學(xué)會判斷隨機(jī)變量是不是服從特殊分布,若服從,則利用特殊分布的方差公式求解. m n 5.(2017北京,17,13分)為了研究一種新藥的療效,選100名患者隨機(jī)分成兩組,每組各50名,一組 服藥,另一組不服藥.一段時(shí)間后,記錄了兩組患者的生理指標(biāo)x和y的數(shù)據(jù),并制成下圖,其中 “*”表示服藥者,“+”表示未服藥者. (1)從服藥的50名患者中隨機(jī)選出一人,求此人指標(biāo)y的值小于60的概率; (2)從圖中A,B,C,D四人中隨機(jī)選出兩人,記為選出的兩人中指標(biāo)x的值大于1.7的人數(shù),求的分 布列和數(shù)學(xué)期望E(); (3)試判斷這100名患者中

31、服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差與未服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差的大小.(只需 寫出結(jié)論) 解析解析本題考查古典概型,離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望,方差等知識. (1)由題圖知,在服藥的50名患者中,指標(biāo)y的值小于60的有15人,所以從服藥的50名患者中隨機(jī) 選出一人,此人指標(biāo)y的值小于60的概率為=0.3. (2)由題圖知,A,B,C,D四人中,指標(biāo)x的值大于1.7的有2人:A和C. 所以的所有可能取值為0,1,2. P(=0)=,P(=1)=,P(=2)=. 所以的分布列為 15 50 2 2 2 4 C C 1 6 11 22 2 4 C C C 2 3 2 2 2 4 C C 1 6 012 P

32、1 6 2 3 1 6 故的期望E()=0+1+2=1. (3)在這100名患者中,服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差大于未服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差. 1 6 2 3 1 6 方法總結(jié)方法總結(jié)在求解離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望時(shí),先確定隨機(jī)變量的取值及各個(gè) 取值對應(yīng)的概率,利用期望的公式求其數(shù)學(xué)期望;在比較數(shù)據(jù)的方差時(shí),可以根據(jù)兩組數(shù)據(jù)的 集中或分散程度進(jìn)行比較. 6.(2015天津,16,13分)為推動乒乓球運(yùn)動的發(fā)展,某乒乓球比賽允許不同協(xié)會的運(yùn)動員組隊(duì)參 加.現(xiàn)有來自甲協(xié)會的運(yùn)動員3名,其中種子選手2名;乙協(xié)會的運(yùn)動員5名,其中種子選手3名.從 這8名運(yùn)動員中隨機(jī)選擇4人參加比賽. (1)設(shè)A為事

33、件“選出的4人中恰有2名種子選手,且這2名種子選手來自同一個(gè)協(xié)會”,求事件A 發(fā)生的概率; (2)設(shè)X為選出的4人中種子選手的人數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望. 解析解析(1)由已知,有 P(A)=. 所以,事件A發(fā)生的概率為. (2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為1,2,3,4. P(X=k)=(k=1,2,3,4). 所以,隨機(jī)變量X的分布列為 2222 2333 4 8 C CC C C 6 35 6 35 4 53 4 8 C C C kk X1234 P 1 14 3 7 3 7 1 14 隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=1+2+3+4=. 1 14 3 7 3 7 1 14 5 2

34、評析評析本題主要考查古典概型及其概率計(jì)算公式,離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望等基 礎(chǔ)知識.考查運(yùn)用概率知識解決簡單實(shí)際問題的能力.屬中等難度題. 7.(2015福建,16,13分)某銀行規(guī)定,一張銀行卡若在一天內(nèi)出現(xiàn)3次密碼嘗試錯(cuò)誤,該銀行卡將 被鎖定.小王到該銀行取錢時(shí),發(fā)現(xiàn)自己忘記了銀行卡的密碼,但可以確認(rèn)該銀行卡的正確密碼 是他常用的6個(gè)密碼之一,小王決定從中不重復(fù)地隨機(jī)選擇1個(gè)進(jìn)行嘗試.若密碼正確,則結(jié)束嘗 試;否則繼續(xù)嘗試,直至該銀行卡被鎖定. (1)求當(dāng)天小王的該銀行卡被鎖定的概率; (2)設(shè)當(dāng)天小王用該銀行卡嘗試密碼的次數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望. 解析解析(1)設(shè)“當(dāng)天小

35、王的該銀行卡被鎖定”的事件為A, 則P(A)=. (2)依題意得,X所有可能的取值是1,2,3. P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=1=, 所以X的分布列為 5 6 4 5 3 4 1 2 1 6 5 6 1 5 1 6 5 6 4 5 2 3 X123 P 1 6 1 6 2 3 所以E(X)=1+2+3=. 1 6 1 6 2 3 5 2 8.(2015安徽,17,12分)已知2件次品和3件正品混放在一起,現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分,每次隨機(jī) 檢測一件產(chǎn)品,檢測后不放回,直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時(shí)檢測結(jié)束. (1)求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率; (

36、2)已知每檢測一件產(chǎn)品需要費(fèi)用100元,設(shè)X表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時(shí)所 需要的檢測費(fèi)用(單位:元),求X的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望). 解析解析(1)記“第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品”為事件A, 則P(A)=. (2)X的可能取值為200,300,400. P(X=200)=, P(X=300)=, P(X=400)=1-P(X=200)-P(X=300)=1-=. 故X的分布列為 11 23 2 5 A A A 3 10 2 2 2 5 A A 1 10 3112 3232 3 5 AC C A A 3 10 1 10 3 10 6 10 X200300400

37、P 1 10 3 10 6 10 EX=200+300+400=350. 1 10 3 10 6 10 9.(2016山東,19,12分)甲、乙兩人組成“星隊(duì)”參加猜成語活動,每輪活動由甲、乙各猜一個(gè) 成語.在一輪活動中,如果兩人都猜對,則“星隊(duì)”得3分;如果只有一人猜對,則“星隊(duì)”得1分; 如果兩人都沒猜對,則“星隊(duì)”得0分.已知甲每輪猜對的概率是,乙每輪猜對的概率是;每 輪活動中甲、乙猜對與否互不影響,各輪結(jié)果亦互不影響.假設(shè)“星隊(duì)”參加兩輪活動,求: (1)“星隊(duì)”至少猜對3個(gè)成語的概率; (2)“星隊(duì)”兩輪得分之和X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX. 3 4 2 3 解析解析(1)記事件A:“甲

38、第一輪猜對”,記事件B:“乙第一輪猜對”,記事件C:“甲第二輪猜 對”,記事件D:“乙第二輪猜對”,記事件E:“星隊(duì)至少猜對3個(gè)成語”. 由題意,E=ABCD+BCD+ACD+ABD+ABC, 由事件的獨(dú)立性與互斥性,得 P(E)=P(ABCD)+P(BCD)+P(ACD)+P(ABD)+P(ABC) =P(A)P(B)P(C)P(D)+P()P(B)P(C)P(D)+P(A)P()P(C)P(D)+P(A)P(B)P()P(D)+P(A)P(B)P (C)P() =+2 =. 所以“星隊(duì)”至少猜對3個(gè)成語的概率為. (2)由題意,隨機(jī)變量X可能的取值為0,1,2,3,4,6. 由事件的獨(dú)立性

39、與互斥性,得 P(X=0)=, ABCD ABCD ABC D 3 4 2 3 3 4 2 3 12323132 43434343 2 3 2 3 1 4 1 3 1 4 1 3 1 144 P(X=1)=2=, P(X=2)=+=, P(X=3)=+=, P(X=4)=2=, P(X=6)=. 可得隨機(jī)變量X的分布列為 31111211 43434343 10 144 5 72 3 4 1 3 3 4 1 3 3 4 1 3 1 4 2 3 1 4 2 3 3 4 1 3 1 4 2 3 1 4 2 3 25 144 3 4 2 3 1 4 1 3 1 4 1 3 3 4 2 3 12 14

40、4 1 12 32313212 43434343 60 144 5 12 3 4 2 3 3 4 2 3 36 144 1 4 X012346 P 1 144 5 72 25 144 1 12 5 12 1 4 所以數(shù)學(xué)期望EX=0+1+2+3+4+6=. 1 144 5 72 25 144 1 12 5 12 1 4 23 6 評析評析本題考查了隨機(jī)事件發(fā)生的概率及離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望,確定隨機(jī)變 量可能的取值是解題的關(guān)鍵.屬于中檔題. 10.(2017江蘇,23,10分)已知一個(gè)口袋中有m個(gè)白球,n個(gè)黑球(m,nN*,n2),這些球除顏色外完 全相同.現(xiàn)將口袋中的球隨機(jī)地逐個(gè)取

41、出,并放入如圖所示的編號為1,2,3,m+n的抽屜內(nèi),其 中第k次取出的球放入編號為k的抽屜(k=1,2,3,m+n). 123m+n (1)試求編號為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率P; (2)隨機(jī)變量X表示最后一個(gè)取出的黑球所在抽屜編號的倒數(shù),E(X)是X的數(shù)學(xué)期望,證明:E(X) . ()(1) n mn n 解析解析本小題主要考查古典概率、隨機(jī)變量及其分布、數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識,考查組合數(shù)及 其性質(zhì),考查運(yùn)算求解能力和推理論證能力. (1)編號為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率P=. (2)隨機(jī)變量X的概率分布為: 1 1 C C n m n n m n n mn X P 1 n 1 n1 1 n2

42、 1 k 1 mn n 1 n 1 n m n C C n 1 n n m n C C n 1 n 1 n m n C C n 1 k 1 n m n C C n 1 n m 1 n m n C C 隨機(jī)變量X的期望為: E(X)=. 所以E(X) = =(1+) =(+) =(+) =(+) =, 即E(X)70)=P(T1=35,T2=40)+P(T1=40,T2=35)+P(T1=40,T2=40) =0.40.1+0.10.4+0.10.1=0.09. 故P(A)=1-P()=0.91. A A 2.(2015湖北,20,12分)某廠用鮮牛奶在某臺設(shè)備上生產(chǎn)A,B兩種奶制品,生產(chǎn)1噸A

43、產(chǎn)品需鮮牛奶 2噸,使用設(shè)備1小時(shí),獲利1 000元;生產(chǎn)1噸B產(chǎn)品需鮮牛奶1.5噸,使用設(shè)備1.5小時(shí),獲利1 200元. 要求每天B產(chǎn)品的產(chǎn)量不超過A產(chǎn)品產(chǎn)量的2倍,設(shè)備每天生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品時(shí)間之和不超過12 小時(shí).假定每天可獲取的鮮牛奶數(shù)量W(單位:噸)是一個(gè)隨機(jī)變量,其分布列為 W121518 P0.30.50.2 該廠每天根據(jù)獲取的鮮牛奶數(shù)量安排生產(chǎn),使其獲利最大,因此每天的最大獲利Z(單位:元)是 一個(gè)隨機(jī)變量. (1)求Z的分布列和均值; (2)若每天可獲取的鮮牛奶數(shù)量相互獨(dú)立,求3天中至少有1天的最大獲利超過10 000元的概率. 解析解析(1)設(shè)每天A,B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量

44、分別為x噸,y噸,相應(yīng)的獲利為z元,則有 目標(biāo)函數(shù)為z=1 000 x+1 200y. 當(dāng)W=12時(shí),表示的平面區(qū)域如圖1,三個(gè)頂點(diǎn)分別為 21.5, 1.512, 20, 0,0. xyW xy xy xy A(0,0),B(2.4,4.8),C(6,0). 將z=1 000 x+1 200y變形為y=-x+, 當(dāng)x=2.4,y=4.8時(shí),直線l:y=-x+在y軸上的截距最大, 最大獲利Z=zmax=2.41 000+4.81 200=8 160. 當(dāng)W=15時(shí),表示的平面區(qū)域如圖2,三個(gè)頂點(diǎn)分別為 A(0,0),B(3,6),C(7.5,0). 將z=1 000 x+1 200y變形為y=

45、-x+, 當(dāng)x=3,y=6時(shí),直線l:y=-x+在y軸上的截距最大, 最大獲利Z=zmax=31 000+61 200=10 200. 當(dāng)W=18時(shí),表示的平面區(qū)域如圖3, 四個(gè)頂點(diǎn)分別為A(0,0),B(3,6),C(6,4),D(9,0). 將z=1 000 x+1 200y變形為y=-x+, 當(dāng)x=6,y=4時(shí),直線l:y=-x+在y軸上的截距最大, 5 61 200 z 5 61 200 z 5 61 200 z 5 61 200 z 5 61 200 z 5 61 200 z 最大獲利Z=zmax=61 000+41 200=10 800. 故最大獲利Z的分布列為 因此,E(Z)=8

46、 1600.3+10 2000.5+10 8000.2=9 708. (2)由(1)知,一天最大獲利超過10 000元的概率 P(Z10 000)=0.5+0.2=0.7, 由二項(xiàng)分布知,3天中至少有1天最大獲利超過10 000元的概率為1-(1-0.7)3=1-0.33=0.973. Z8 16010 20010 800 P0.30.50.2 3.(2014重慶,18,13分)一盒中裝有9張各寫有一個(gè)數(shù)字的卡片,其中4張卡片上的數(shù)字是1,3張卡 片上的數(shù)字是2,2張卡片上的數(shù)字是3.從盒中任取3張卡片. (1)求所取3張卡片上的數(shù)字完全相同的概率; (2)X表示所取3張卡片上的數(shù)字的中位數(shù),

47、求X的分布列與數(shù)學(xué)期望. (注:若三個(gè)數(shù)a,b,c滿足abc,則稱b為這三個(gè)數(shù)的中位數(shù)) 解析解析(1)由古典概型中的概率計(jì)算公式知所求概率為 P=. (2)X的所有可能值為1,2,3,且 P(X=1)=,P(X=2)=, P(X=3)=, 故X的分布列為 33 43 3 9 CC C 5 84 213 454 3 9 C CC C 17 42 111213 342363 3 9 C C CC CC C 43 84 21 27 3 9 C C C 1 12 X123 P 17 42 43 84 1 12 從而E(X)=1+2+3=. 17 42 43 84 1 12 47 28 評析評析 本題

48、考查概率的計(jì)算,隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.其中概率的計(jì)算要求較高,不過 整體難度不大,屬中等偏易題. 4.(2014湖北,20,12分)計(jì)劃在某水庫建一座至多安裝3臺發(fā)電機(jī)的水電站.過去50年的水文資料 顯示,水庫年入流量X(年入流量:一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和,單位:億立方米)都在40以上. 其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超過120的年份有35年,超過120的年份有5年.將年入 流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率,并假設(shè)各年的年入流量相互獨(dú)立. (1)求未來4年中,至多有1年的年入流量超過120的概率; (2)水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運(yùn)行,但每年發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺數(shù)受

49、年入流量X限制,并 有如下關(guān)系: 年入流量X40X120 發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺數(shù)123 若某臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行,則該臺年利潤為5 000萬元;若某臺發(fā)電機(jī)未運(yùn)行,則該臺年虧損800萬元.欲 使水電站年總利潤的均值達(dá)到最大,應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)多少臺? 解析解析(1)依題意,p1=P(40X120)=0.1. 由二項(xiàng)分布知,在未來4年中至多有1年的年入流量超過120的概率為p=(1-p3)4+(1-p3)3p3= +4=0.947 7. (2)記水電站年總利潤為Y(單位:萬元). (i)安裝1臺發(fā)電機(jī)的情形. 由于水庫年入流量總大于40,故一臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行的概率為1,對應(yīng)的年利潤Y=5 000,E(Y)=5 00

50、0 1=5 000. (ii)安裝2臺發(fā)電機(jī)的情形. 依題意知,當(dāng)40X80時(shí),一臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行,此時(shí)Y=5 000-800=4 200,因此P(Y=4 200)=P(40X8 0)=p1=0.2;當(dāng)X80時(shí),兩臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行,此時(shí)Y=5 0002=10 000,因此P(Y=10 000)=P(X80)=p2 +p3=0.8,由此得Y的分布列如下: 10 50 35 50 5 50 0 4 C 1 4 C 4 9 10 3 9 10 1 10 Y4 20010 000 P0.20.8 所以,E(Y)=4 2000.2+10 0000.8=8 840. (iii)安裝3臺發(fā)電機(jī)的情形. 依題意,當(dāng)4

51、0X80時(shí),一臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行,此時(shí)Y=5 000-1 600=3 400,因此P(Y=3 400)=P(40X120時(shí),三臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行,此時(shí)Y=5 0003=15 000,因此P(Y=15 000)=P (X120)=p3=0.1,由此得Y的分布列如下: Y3 4009 20015 000 P0.20.70.1 所以,E(Y)=3 4000.2+9 2000.7+15 0000.1=8 620. 綜上,欲使水電站年總利潤的均值達(dá)到最大,應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)2臺. 評析評析本題考查了概率和離散型隨機(jī)變量的分布列.考查了分類討論方法和運(yùn)算求解能力. 5.(2014江西,21,14分)隨機(jī)將1,2,2n(nN

52、*,n2)這2n個(gè)連續(xù)正整數(shù)分成A,B兩組,每組n個(gè)數(shù). A組最小數(shù)為a1,最大數(shù)為a2;B組最小數(shù)為b1,最大數(shù)為b2.記=a2-a1,=b2-b1. (1)當(dāng)n=3時(shí),求的分布列和數(shù)學(xué)期望; (2)令C表示事件“與的取值恰好相等”,求事件C發(fā)生的概率P(C); (3)對(2)中的事件C,表示C的對立事件,判斷P(C)和P()的大小關(guān)系,并說明理由.CC 解析解析(1)當(dāng)n=3時(shí),的所有可能取值為2,3,4,5. 將6個(gè)正整數(shù)平均分成A,B兩組,不同的分組方法共有=20種,所以的分布列為 E=2+3+4+5=. (2)和恰好相等的所有可能取值為n-1,n,n+1,2n-2. 又和恰好相等且等

53、于n-1時(shí),不同的分組方法有2種; 和恰好相等且等于n時(shí),不同的分組方法有2種; 和恰好相等且等于n+k(k=1,2,n-2)(n3)時(shí),不同的分組方法有2種, 所以當(dāng)n=2時(shí),P(C)=, (3)由(2)知當(dāng)n=2時(shí),P()=,因此P(C)P(), 2345 P 3 6 C 1 5 3 10 3 10 1 5 1 5 3 10 3 10 1 5 7 2 2 Ckk 4 6 2 3 2 2 1 2 2(2C ) 3, ( ). C n k k k n n nP C 當(dāng)時(shí) C 1 3 C 而當(dāng)n3時(shí),P(C)P().理由如下: 用數(shù)學(xué)歸納法來證明: 1當(dāng)n=3時(shí),式左邊=4(2+)=4(2+2)

54、=16,式右邊=20,所以式成立. 那么,當(dāng)n=m+1時(shí), 即當(dāng)n=m+1時(shí)式也成立. C 2 22 1 ( )( )4(2C )C . n kn kn k P CP C 等價(jià)于 1 2 C 3 6 C 2 22 1 2(3),4(2C )C, m km km k nm m 假設(shè)時(shí)式成立 即成立 1 2 2 1 2 11 22(1)22(1) 1 2 2 1 2(1) 4(2C ) 4(2C )4CC4C (2 )!4 (22)! ! !(1)!(1)! (1) (2 )(22)!(41) (1)!(1)! (1) (2 )(22)!(4 ) (1)!(1)! 2(1) C (21)(21)

55、m k k k m kmmm kmmm k m m mm m mmm mmmm mm mmmm mm mm mm 左邊 1 2(1) C, m m 右邊 綜合1,2得,對于n3的所有正整數(shù),都有P(C)p2,E(1)E(2) B.p1E(2) C.p1p2,E(1)E(2) D.p1p2,E(1)0,即有p1p2.此時(shí),2的取值為1,2,3.P(2=1)=,P m mn 1 2 n mn 2() n mn 2 2() nm mn n mn m mn n mn m mn 2nm mn 2 2 C C m m n 2 3 11 2 C C C mn m n 1 3 2 2 C C n m n 21

56、12 2 3C2C CC 3C mmnn m n 22 334 3()(1) mmmnnn mn mn (3 )(1) 3()(1) nm mn mn mn 3 3() mn mn 6() n mn 2 2 C C n m n (2=2)=,P(2=3)=,則E(2)=1+2+3=3p2=,則 有E(1)p2,E(1)E(2),故選A. 11 2 C C C mn m n 2 2 C C m m n 2 2 C C n m n 11 2 C C C mn m n 2 2 C C m m n 2112 2 C2C C3C C nmnm m n 3nm nm 3.(2014江蘇,22,10分)盒中

57、共有9個(gè)球,其中有4個(gè)紅球、3個(gè)黃球和2個(gè)綠球,這些球除顏色外完 全相同. (1)從盒中一次隨機(jī)取出2個(gè)球,求取出的2個(gè)球顏色相同的概率P; (2)從盒中一次隨機(jī)取出4個(gè)球,其中紅球、黃球、綠球的個(gè)數(shù)分別記為x1,x2,x3,隨機(jī)變量X表示x 1,x2,x3中的最大數(shù).求X的概率分布和數(shù)學(xué)期望E(X). 解析解析(1)取到的2個(gè)顏色相同的球可能是2個(gè)紅球、2個(gè)黃球或2個(gè)綠球, 所以P=. (2)隨機(jī)變量X所有可能的取值為2,3,4. X=4表示的隨機(jī)事件是“取到的4個(gè)球是4個(gè)紅球”,故P(X=4)=; X=3表示的隨機(jī)事件是“取到的4個(gè)球是3個(gè)紅球和1個(gè)其他顏色的球或3個(gè)黃球和1個(gè)其他 顏色的

58、球”,故P(X=3)=; 于是P(X=2)=1-P(X=3)-P(X=4)=1-=. 所以隨機(jī)變量X的概率分布如下表: 222 432 2 9 CCC C 63 1 36 5 18 4 4 4 9 C C 1 126 3131 4536 4 9 C CC C C 206 126 13 63 13 63 1 126 11 14 X234 P 11 14 13 63 1 126 因此隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望 E(X)=2+3+4=. 11 14 13 63 1 126 20 9 4.(2014福建,18,13分)為回饋顧客,某商場擬通過摸球兌獎的方式對1 000位顧客進(jìn)行獎勵(lì),規(guī) 定:每位顧客從一個(gè)裝

59、有4個(gè)標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出2個(gè)球,球上所標(biāo)的面值之和 為該顧客所獲的獎勵(lì)額. (1)若袋中所裝的4個(gè)球中有1個(gè)所標(biāo)的面值為50元,其余3個(gè)均為10元,求: (i)顧客所獲的獎勵(lì)額為60元的概率; (ii)顧客所獲的獎勵(lì)額的分布列及數(shù)學(xué)期望; (2)商場對獎勵(lì)總額的預(yù)算是60 000元,并規(guī)定袋中的4個(gè)球只能由標(biāo)有面值10元和50元的兩種 球組成,或標(biāo)有面值20元和40元的兩種球組成.為了使顧客得到的獎勵(lì)總額盡可能符合商場的 預(yù)算且每位顧客所獲的獎勵(lì)額相對均衡,請對袋中的4個(gè)球的面值給出一個(gè)合適的設(shè)計(jì),并說 明理由. 解析解析(1)設(shè)顧客所獲的獎勵(lì)額為X元. (i)依題意,得P(X=

60、60)=, 即顧客所獲的獎勵(lì)額為60元的概率為. (ii)依題意,得X的所有可能取值為20,60. P(X=60)=,P(X=20)=, 即X的分布列為 11 13 2 4 C C C 1 2 1 2 1 2 2 3 2 4 C C 1 2 X2060 P0.50.5 所以顧客所獲的獎勵(lì)額的期望為E(X)=200.5+600.5=40(元). (2)根據(jù)商場的預(yù)算,每個(gè)顧客的平均獎勵(lì)額為60元. 所以,先尋找期望為60元的可能方案. 對于面值由10元和50元組成的情況,如果選擇(10,10,10,50)的方案,因?yàn)?0元是面值之和的最 大值,所以期望不可能為60元;如果選擇(50,50,50,