概率與統(tǒng)計(jì)(partI)

1、確定性現(xiàn)象確定性現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象 q 每次試驗(yàn)前不能預(yù)言出現(xiàn)什么結(jié)果q 每次試驗(yàn)后出現(xiàn)的結(jié)果不止一個(gè)q 在相同的條件下進(jìn)行大量觀察或試 驗(yàn)時(shí)，出現(xiàn)的結(jié)果有一定的規(guī)律性 稱之為統(tǒng)計(jì)規(guī)律性統(tǒng)計(jì)規(guī)律性 第一章第一章 隨機(jī)事件及其概率1.1 隨機(jī)事件隨機(jī)事件 對某事物特征進(jìn)行觀察, 統(tǒng)稱試驗(yàn)試驗(yàn).若它有如下特點(diǎn),則稱為隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn),用E表示q 試驗(yàn)前不能預(yù)知出現(xiàn)哪種結(jié)果 基本術(shù)語基本術(shù)語 q 可在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行q 試驗(yàn)結(jié)果不止一個(gè),但能明確所有的結(jié)果樣本空間樣本空間 隨機(jī)試驗(yàn)E 所有可能的結(jié)果樣本空間的元素, 即E 的直接結(jié)果, 稱為隨機(jī)事件隨機(jī)事件 的子集, 記為 A ,B ,它是滿足

2、某些條件的樣本點(diǎn)所組成的集合.組成的集合稱為樣本空間樣本空間 記為樣本點(diǎn)樣本點(diǎn)(or基本事件基本事件) 常記為 ， = , 3 , 2 , 1 , 02N),(213TyxTyx其中T1,T2分別是該地區(qū)的最低與最高溫度:3E觀察某地區(qū)每天的最高溫度與最低溫度:2E觀察總機(jī)每天9:0010:00接到的電話次數(shù)有限樣本空間無限樣本空間:1E投一枚硬幣3次，觀察正面出現(xiàn)的次數(shù)3 , 2 , 1 , 01例例1 1 給出一組隨機(jī)試驗(yàn)及相應(yīng)的樣本空間基本事件基本事件 僅由一個(gè)樣本點(diǎn)組成的子集它是隨機(jī)試驗(yàn)的直接結(jié)果,每次試驗(yàn)必定發(fā)生且只可能發(fā)生一個(gè)基本事件. 必然事件必然事件全體樣本點(diǎn)組成的事件,記為,

3、 每次試驗(yàn)必定發(fā)生的事件.隨機(jī)事件發(fā)生隨機(jī)事件發(fā)生 組成隨機(jī)事件的一個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生不可能事件不可能事件不包含任何樣本點(diǎn)的事件,記為 ,每次試驗(yàn)必定不發(fā)生的事件.A 隨機(jī)事件的關(guān)系和運(yùn)算雷同集合的關(guān)系和運(yùn)算 事件的關(guān)系和運(yùn)算事件的關(guān)系和運(yùn)算文氏圖文氏圖 ( Venn diagram ) A 包含于BBA 事件 A 發(fā)生必導(dǎo)致事件 B 發(fā)生 A B BA BA AB 且1. 事件的包含2. 事件的相等BA或BA BAAB事件 A與事件B 至 少有一個(gè)發(fā)生BA發(fā)生nAAA,21的和事件 niiA1,21nAAA的和事件 1iiA A 與B 的和事件3. 事件的并(和) BA或AB事件 A與事件B 同時(shí)

4、 發(fā)生BA 發(fā)生nAAA,21的積事件 niiA1,21nAAA的積事件 A 與B 的積事件1iiABAB A4. 事件的交(積)BABA發(fā)生 事件 A 發(fā)生，但 事件 B 不發(fā)生BAB A A 與B 的差事件5. 事件的差 A 與B 互斥ABA、 B不可能同時(shí)發(fā)生ABnAAA,21兩兩互斥,21nAAA兩兩互斥njijiAAji, 2 , 1, 2 , 1,jijiAAji6. 事件的互斥(互不相容) A 與B 互相對立BAAB,每次試驗(yàn) A、 B中有且只有一個(gè)發(fā)生ABAB 稱B 為A的對立事件(or逆事件)，記為注意：“A 與B 互相對立”與“A 與B 互斥”是不同的概念7. 事件的對立A

5、8. 完備完備事件組niiA1若 兩兩互斥，且1AnA1nA2A3A則稱 為完備完備事件組nAAA,21nAAA,21或稱 為 的一個(gè)劃分nAAA,21q 吸收律AABAAAA)(ABAAAAA)(q 冪等律AAAAAAq 差化積)(ABABABAq 重余律AA運(yùn)算律運(yùn)算律對應(yīng)事件運(yùn)算集合運(yùn)算q 交換律ABBABAABq 結(jié)合律)()(CBACBA)()(BCACABq 分配律)()()(CBCACBA)()(CABABCABABABAABniiniiAA11niiniiAA11q 反演律運(yùn)算順序： 逆交并差，括號優(yōu)先逆交并差，括號優(yōu)先 例例1 1 利用事件關(guān)系和運(yùn)算表達(dá)多 個(gè)事件的關(guān)系A(chǔ) ,

6、B ,C 都不發(fā)生CBACBA A ,B ,C 不都發(fā)生CBAABC例例2 2 在圖書館中隨意抽取一本書，A表示數(shù)學(xué)書，B表示中文書，C表示平裝書. 抽取的是精裝中文版數(shù)學(xué)書CABBC 精裝書都是中文書BA 非數(shù)學(xué)書都是中文版的，且中文版的書都是非數(shù)學(xué)書則事件 1.2 概率的定義及計(jì)算概率的定義及計(jì)算歷史上概率的三次定義歷史上概率的三次定義 公理化定義 統(tǒng)計(jì)定義 古典定義概率的最初定義基于頻率的定義1930年后由前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫給出設(shè)在 n 次試驗(yàn)中，事件 A 發(fā)生了m 次， 頻率頻率nmfn則稱 為事件 A 發(fā)生的 頻率頻率頻率的性質(zhì)頻率的性質(zhì)q 1)(0Afnq 1)(nfq 事件

7、 A, B互斥，則)()()(BfAfBAfnnn可推廣到有限個(gè)兩兩互斥事件的和事件非負(fù)性非負(fù)性歸一性歸一性可加性可加性穩(wěn)定性穩(wěn)定性某一定數(shù)某一定數(shù))()(limAPAfnnq 概率的概率的統(tǒng)計(jì)定義統(tǒng)計(jì)定義概率的定義概率的定義在相同條件下重復(fù)進(jìn)行的 n 次試驗(yàn)中, 事件 A 發(fā)生的頻率穩(wěn)定地在某一常數(shù) p 附近擺動(dòng), 且隨 n 越大擺動(dòng)幅度越小, 則稱 p 為事件 A 的概率, 記作 P(A).對本定義的評價(jià)對本定義的評價(jià)優(yōu)點(diǎn)：直觀 易懂缺點(diǎn)：粗糙 模糊不便使用 設(shè) 是隨機(jī)試驗(yàn)E 的樣本空間，若能找到一個(gè)法則，使得對于E 的每一事件 A 賦于一個(gè)實(shí)數(shù)，記為P ( A ), 稱之為事件 A 的概

8、率，這種賦值滿足下面的三條公理：q 非負(fù)性：0)(,APAq 歸一性：1)(P11)(iiiiAPAPq 可列可加性：,21AA其中 為兩兩互斥事件，概率的公理化理論由前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫(A.H.)1933年建立. 概率的概率的公理化定義公理化定義概率的性質(zhì)概率的性質(zhì)q 0)(Pq )(1)(APAP1)( APq 有限可加性: 設(shè) nAAA,21兩兩互斥niiniiAPAP11)(q 若BA)()()(APBPABP)()(BPAPq 對任意兩個(gè)事件A, B, 有 )()()(ABPBPABP BAB=AB+(B A)P(B)=P(AB)+ P(B AB) B - ABABq 加法公式

9、：對任意兩個(gè)事件A, B, 有 )()()()(ABPBPAPBAP)()()(BPAPBAP推廣推廣：)()()()()()()()(ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP例例1 1 小王參加“智力大沖浪”游戲, 他能答出甲、乙二類問題的概率分別為0.7和0.2, 兩類問題都能答出的概率為0.1. 求小王解解 事件A , B分別表示“能答出甲,乙類問題”(1)6 . 01 . 07 . 0)()()(ABPAPBAP(1) 答出甲類而答不出乙類問題的概率 (2) 至少有一類問題能答出的概率 (3) 兩類問題都答不出的概率(2)8 . 0)()()()(ABPBPAPBAP(3)2 .

10、 0)()(BAPBAP 例1 中小王他能答出第一類問題的概率為0.7, 答出第二類問題的概率為0.2, 兩類問題都能答出的概率為0.1. 為什么不是 ？2 . 07 . 0若是的話, 則應(yīng)有)()()(2121APAPAAP而現(xiàn)在題中并未給出這一條件.上述等式成立的條件是 ：事件 相互獨(dú)立.21,AA例例2 2 設(shè)A , B滿足 P ( A ) = 0.6, P ( B ) = 0.7, 在何條件下， P(AB) 取得最大(小)值？ 最大(小)值是多少？解解)()()()(ABPBPAPBAP)()()()(BAPBPAPABP3 . 01)()(BPAP1)(BAP最小值在 時(shí)取得 6 .

11、 0)()(APABP 最小值 最大值)()(BPBAP最大值在 時(shí)取得 最小值是否正確？ 例2 中回答當(dāng) 時(shí), 取得BA)(BAP這相當(dāng)于問如下命題是否成立答：不成立 ！BA1)(BAP設(shè) 隨機(jī)試驗(yàn)E 具有下列特點(diǎn)：q 基本事件的個(gè)數(shù)有限q 每個(gè)基本事件等可能性發(fā)生則稱 E 為 古典(等可能)概型古典概型中概率的計(jì)算：記 個(gè)數(shù)中所包含的基本事件的n的基本事件的個(gè)數(shù)組成 Ak nkAP)(則古典（等可能）概型古典（等可能）概型 概率的概率的古典定義古典定義bam例例3 3 袋中有a 只白球，b 只紅球，從袋中按不放回與放回兩種方式取m個(gè)球（ ),求其中恰有 k 個(gè) （ ）白球的概率mkak ,

12、bam) 1() 1)()(mbababaAnmba解解 （1）不放回情形不放回情形E: 球編號，任取一球，記下顏色，放在一邊， 重復(fù) m 次:記事件 A 為m個(gè)球中有k個(gè)白球，則)!(!)!(!)!( !kmbbkaakmkmAACnkmbkakmA又解又解 E1: 球編號, 一次取 m 個(gè)球,記下顏色mbaCn11:記事件 A 為m個(gè)球中有k個(gè)白球，則kmbkaACCn不放回地逐次取 m 個(gè)球, 與一次任取 m 個(gè)球算得的結(jié)果相同.則mbakmbkakmAAACAP)(mkak ,因此mbakmbkaCCCAP)(mkak ,稱超幾何分布（2）放回情形放回情形E2: 球編號, 任取一球,

13、記下顏色, 放回去, 重復(fù) m 次mban)(22:記 B 為取出的 m 個(gè)球中有 k 個(gè)白球, 則mkmkkmbabaCBP)()(kmkkmbabbaaCbaap記),min(, 2 , 1)1 ()(makppCBPkmkkm稱二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布例例4 4 生日問題生日問題生物系二年級有 n 個(gè)人，求至少有兩人生日相同（設(shè)為事件A ) 的概率.解解為 n 個(gè)人的生日均不相同,這相當(dāng)于A本問題中的人可被視為“球”，365天為365只“盒子”若 n = 50，每個(gè)盒子至多有一個(gè)球. nnnCAP365!)(365.365!1)(1)(365nnnCAPAP97. 0)(AP35解解.50404

14、10An例例5 5 在0,1,2,3, ,9中不重復(fù)地任取四個(gè)數(shù)，求它們能排成首位非零的四位偶數(shù)的概率.設(shè) A為“能排成首位非零的四位偶數(shù)” 四位偶數(shù)的末位為偶數(shù), 故有 種可能15C而前三位數(shù)有 種取法,由于首位為零的四39A 位數(shù)有 種取法,所以有利于A發(fā)生的取1248C A229628143915ACACnA 法共有 種.904150402296)(AP1o 明確所作的試驗(yàn)是等可能概型,有時(shí)需設(shè)計(jì)符合問題要求的隨機(jī)試驗(yàn), 使其成為等可能概型.3o 計(jì)算古典概率時(shí)須注意應(yīng)用概率計(jì)算的有關(guān)公式, 將復(fù)雜問題簡單化. 2o 同一題的樣本空間的基本事件總數(shù) 隨試驗(yàn)設(shè)計(jì)的不同而不同, 如 例3不放

15、回試驗(yàn)的兩種不同設(shè)計(jì). 一般 越小越好.nn計(jì)算古典概率注意事項(xiàng)計(jì)算古典概率注意事項(xiàng) 若P(A) 0.01 , 則稱A為小概率事件.小概率事件 一次試驗(yàn)中小概率事件一般是不會發(fā)生的. 若在一次試驗(yàn)中居然發(fā)生了,則可懷疑該事件并非小概率事件.小概率原理( 即實(shí)際推斷原理 )例例6 6 區(qū)長辦公室某一周內(nèi)曾接待過9次來 訪, 這些來訪都是周三或周日進(jìn)行的,是否 可以斷定接待時(shí)間是有規(guī)定的？解解 假定辦公室每天都接待，則P( 9次來訪都在周三、日) = = 0.00001279972這是小概率事件,一般在一次試驗(yàn)中不會發(fā) 發(fā)生. 現(xiàn)居然發(fā)生了, 故可認(rèn)為假定不成立,從而推斷接待時(shí)間是有規(guī)定的. 例7

16、：已知 P ( A ) = P ( B ) = P(C) = 1/4 , P(AB) = 0 , P(AC) = P(BC) = 1/9 則事件A，B，C 全不發(fā)生的概率為 .)(1)(CBAPCBAP)()()(1CPBPAP.361762431)()()()(ABCPBCPACPABP例例8 8 某人的表停了，他打開收音機(jī)聽電臺報(bào)時(shí)，已知電臺是整點(diǎn)報(bào)時(shí)的，問他等待報(bào)時(shí)的時(shí)間短于十分鐘的概率9點(diǎn)10點(diǎn)10分鐘616010)(AP幾何概型幾何概型 (等可能概型的推廣)幾何概型幾何概型 設(shè)樣本空間為有限區(qū)域 , 若樣本點(diǎn)落入 內(nèi)任何區(qū)域 G 中的概率與區(qū)域G 的測度成正比, 則樣本點(diǎn)落入G內(nèi)的概

17、率為的測度的測度GAP)(例例9 9 在區(qū)間(0,1)內(nèi)隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)，則兩數(shù)之差的絕對值小于1/2的概率為43解：以X和Y分別表示隨機(jī)取到的兩個(gè)數(shù)，記,21| ),(,10 , 10),(yxyxAyxyxxyO11例例1010 兩船欲?？客粋€(gè)碼頭, 設(shè)兩船到達(dá)碼頭的時(shí)間各不相干，而且到達(dá)碼頭的時(shí)間在一晝夜內(nèi)是等可能的. 如果兩船到達(dá)碼頭后需在碼頭停留的時(shí)間分別是1 小時(shí)與2 小 時(shí)，試求在一晝夜內(nèi)，任一船到達(dá)時(shí)，需 要等待空出碼頭的概率.解解 設(shè)船1 到達(dá)碼頭的瞬時(shí)為 x ，0 x 24 船2 到達(dá)碼頭的瞬時(shí)為 y ，0 y 0 ,事件 A 發(fā)生的條件下事件 B 發(fā)生的條件概率，為定義定

18、義從而有從而有AABkkABP7410/ 710/ 4nknkAABABP)()(APABP（1） 古 典 概 型 可用縮減樣本空間法（2） 其 他 概 型 用定義與有關(guān)公式條件概率的計(jì)算方法條件概率也是概率條件概率也是概率, , 故具有概率的性質(zhì)：故具有概率的性質(zhì)：0)(ABP1)(AP11iiiiABPABPq 非負(fù)性q 歸一性 q 可列可加性 )()()()(212121ABBPABPABPABBPq )(1)(ABPABPq )()()(21121ABBPABPABBPq 利用條件概率求積事件的概率即乘法公式乘法公式) 0)()()(APABPAPABP) 0)()()(BPBAPBP

19、ABP推廣推廣) 0)()()(12112112121nnnnAAAPAAAAPAAPAPAAAP乘法公式乘法公式 某廠生產(chǎn)的燈泡能用1000小時(shí)的概率為0.8, 能用1500小時(shí)的概率為0.4 , 求已用1000小時(shí)的燈泡能用到1500小時(shí)的概率解解 令 A 燈泡能用到1000小時(shí) B 燈泡能用到1500小時(shí)所求概率為)()(APABPABPAB218 . 04 . 0)()(APBP例例1 1例例2 2 從混有5張假鈔的20張百元鈔票中任意抽出2張, 將其中1張放到驗(yàn)鈔機(jī)上檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)是假鈔. 求2 張都是假鈔的概率.解一解一 令 A 表示 “其中1張是假鈔”.B表示 “2 張都是假鈔”由縮減

20、樣本空間法得4/190.2105.P A B 下面兩種解法哪個(gè)正確？解二解二 令 A 表示“抽到2 張都是假鈔”.B表示“2 張中至少有1張假鈔”BAP AP則所求概率是 （而不是 ?。?BA)(APABP22025/CC 2201151525/ )(CCCCBP)(/ )(BPABPBAP所以 118. 085/10)/(1151522025CCCC例例3 3 盒中裝有5個(gè)產(chǎn)品, 其中3個(gè)一等品，2個(gè)二等品, 從中不放回地取產(chǎn)品, 每次1個(gè), 求（1）取兩次，兩次都取得一等品的概率;（2）取兩次，第二次取得一等品的概率;解解 令 Ai 為第 i 次取到一等品（1）1034253)()()(1

21、2121AAPAPAAP)()()()(212121212AAPAAPAAAAPAP（2）5342534352 213121321)(AAAPAAPAPAAAP101334152是?)()(321213AAAPAAAP還是（2）直接解更簡單5/3)(2AP（3）取三次，第三次才取得一等品的概率;)()()()()(221222121APAAPAPAPAAPAAP5.06.03.01（4）取兩次，已知第二次取得一等品，求第一次取得的是二等品的概率.條件概率與無條件概率條件概率與無條件概率之間的大小無確定關(guān)系之間的大小無確定關(guān)系)()()()()(BPAPBPAPABPABP若若AB一般地條件概率

22、條件概率無條件概率無條件概率)()()( , 1)(0 ABPAPABPABPAP則若例例4 4 為了防止意外,礦井內(nèi)同時(shí)裝有A 與B兩兩種報(bào)警設(shè)備, 已知設(shè)備 A 單獨(dú)使用時(shí)有效的概率為0.92, 設(shè)備 B 單獨(dú)使用時(shí)有效的概率為0.93, 在設(shè)備 A 失效的條件下, 設(shè)備B 有效的概率為 0.85, 求發(fā)生意外時(shí)至少有一個(gè)報(bào)警設(shè)備有效的概率.設(shè)事件 A, B 分別表示設(shè)備A, B 有效 85. 0ABP 92. 0AP 93. 0BP已知求BAP解解解解由)(1)()(APABPBPABP08. 0)(93. 085. 0ABP即862. 0)(ABP故988. 0862. 093. 09

23、2. 0)()()()(ABPBPAPBAP解法二解法二BAP988. 0)(BAP)()()(ABPAPBAP012. 085. 0108. 0)(1)(ABPAPB1BnAB1AB2ABnjiniiBBB1)(1jiniiABABABAA 全概率公式與全概率公式與Bayes 公式公式B2niiABPAP1)()()()(1iniiBAPBP全概率公式Bayes公式)(ABPk)()(APABPkniiikkBAPBPBAPBP1)()()()(二、全概率公式與貝葉斯公式二、全概率公式與貝葉斯公式例例5 5. .市場上有甲、乙、丙三家工廠生產(chǎn)的市場上有甲、乙、丙三家工廠生產(chǎn)的同一品牌產(chǎn)品，已

24、知三家工廠的市場占有同一品牌產(chǎn)品，已知三家工廠的市場占有率分別為率分別為1/41/4、1/41/4、1/21/2，且三家工廠的次，且三家工廠的次品率分別為品率分別為 2 2、1 1、3 3，試求市場上，試求市場上該品牌產(chǎn)品的次品率。該品牌產(chǎn)品的次品率。買到一件丙廠的產(chǎn)品買到一件乙廠的產(chǎn)品買到一件甲廠的產(chǎn)品：買到一件次品設(shè)：:321AAAB)()|()()|()()|(332211APABPAPABPAPABP 0225. 02103. 04101. 04102. 0)()()()(321BAPBAPBAPBP 稱4 , 3 , 2 , 1 , 0)(iABPi為后驗(yàn)概率，它是得到了信息 A 發(fā)

25、生, 再對導(dǎo)致 A 發(fā)生的原因發(fā)生的可能性大小重新加以修正 稱 P( Bi ) 為先驗(yàn)概率，它是由以往的經(jīng)驗(yàn) 得到的，它是事件 A 的原因例6 某地區(qū)居民的肝癌發(fā)病率為 0.0004，現(xiàn)用甲胎蛋白法進(jìn)行普查。醫(yī)學(xué)研究表明，化驗(yàn)結(jié)果是有錯(cuò)檢的可能的。已知患有肝癌的人其化驗(yàn)結(jié)果 99% 呈陽性（有?。鴽]患肝癌的人其化驗(yàn)結(jié)果 99.9% 呈陰性（無?。?現(xiàn)某人的檢查結(jié)果呈陽性，問他真的患有肝癌的概率是多少？解：記A=檢查結(jié)果呈陽性 ，B= 被檢查者確實(shí)患肝癌， 9996. 0)( ,0004. 0)(BPBP001. 0)|( ,99. 0)|(BAPBAP由貝葉斯公式得)|()()|()()

26、|()()()()|(BAPBPBAPBPBAPBPAPABPABP284.0001.09996.099.00004.099.00004.0 這表明，在化驗(yàn)結(jié)果呈陽性的人中，真患肝癌的人不到30%。 當(dāng)然，進(jìn)一步降低錯(cuò)檢率是提高檢驗(yàn)精度的關(guān)鍵。但在實(shí)際中由于技術(shù)和操作等種種原因，降低錯(cuò)檢率是很困難的。 仔細(xì)分析一下會發(fā)現(xiàn)檢驗(yàn)精度低的主要原因是肝癌發(fā)病率很低。 所以在實(shí)際中，常采用復(fù)查的方法來減少錯(cuò)誤。此時(shí)被懷疑的對象群體中，肝癌的發(fā)病率已大大提高了。譬如，對首次檢查呈陽性的人群再進(jìn)行復(fù)查， )|()()|()()|()()()()|(BAPBPBAPBPBAPBPAPABPABP997.000

27、1.0716.099.0284.099.0284.0此時(shí)P(B)=0.284，這時(shí)再用貝葉斯公式計(jì)算得這就大大提高了甲胎蛋白法的準(zhǔn)確率了。例例7 7 由于隨機(jī)干擾, 在無線電通訊中發(fā)出信號“ ”, 收到信號“ ”,“不清”,“ ” 的概率分別為0.7, 0.2, 0.1; 發(fā)出信號“ ”,收到信號“ ”,“不清”,“ ”的概率分別為0.0, 0.1, 0.9.已知在發(fā)出的信號中, “ ”和“ ”出現(xiàn)的概率分別為0.6 和 0.4 , 試分析, 當(dāng)收到信號 “不清”時(shí), 原發(fā)信號為“ ”還是“ ”的概率 哪個(gè)大？解解 設(shè)原發(fā)信號為“ ” 為事件 B1 原發(fā)信號為“ ”為事件 B2收到信號“不清”

28、 為事件 A已知：4 . 0)(, 6 . 0)(21BPBP2121,BBBBA1 . 0)(, 2 . 0)(21BAPBAP16. 0)()()()()(2211BAPBPBAPBPAP41)()()()(,43)()()()(222111APBAPBPABPAPBAPBPABP可見, 當(dāng)收到信號“不清”時(shí), 原發(fā)信號為“ ”的可能性大例例8 8 假定一架失事飛機(jī)在三個(gè)地區(qū)墜毀是等可能的。用1-i表示該飛機(jī)在第i個(gè)地區(qū)發(fā)現(xiàn)的概率，其中i=1,2,3（常數(shù) i 稱為未發(fā)現(xiàn)概率，表示沒有注意到墜機(jī)的概率，通?？蓺w因于該地區(qū)的地理和環(huán)境條件所致）。問在第1個(gè)地區(qū)未搜索到飛機(jī)，而飛機(jī)在第i (i

29、=1,2,3)個(gè)地區(qū)墜毀的條件概率是多少？解：令 表示飛機(jī)在第i個(gè)地區(qū)墜毀，(1,2,3)iR i E 表示在第一個(gè)地區(qū)搜索未找到飛機(jī)所以由貝葉斯公式，可得)()|()(31iiiRPREPEP.323113113131112323131)()()|()|(1111111EPRPREPERP21323131)|()|(1132ERPERP例例1 1 已知袋中有5只紅球, 3只白球.從袋中有放回地取球兩次,每次取1球.事件的獨(dú)立性事件的獨(dú)立性 設(shè)第 i 次求取得白球?yàn)槭录?Ai ( i =1, 2 ) ., )(12AAP, )(12AAP, )(, )(21APAP解解, 8/3)(12AAP

30、, 8/ 3)(12AAP, )(8/3)(21APAP)()()(12212AAPAPAAP1.6 事件的獨(dú)立性事件的獨(dú)立性事件 A1 發(fā)生與否對 A2 發(fā)生的概率沒有影響可視為事件A1與A2相互獨(dú)立)()() 8/ 3 ()(121221AAPAPAAP定義：定義：設(shè) A , B 為兩事件，若)()()(BPAPABP則稱事件 A 與事件 B 相互獨(dú)立 )()(21APAP兩事件相互獨(dú)立的性質(zhì)兩事件相互獨(dú)立的性質(zhì)q 兩事件 A 與 B 相互獨(dú)立是相互對稱的q 若)()(, 0)(ABPBPAP則若)()(, 0)(BAPAPBP則q 概率為0的事件與任意事件相互獨(dú)立q 概率為1的事件與任意

31、事件相互獨(dú)立q 不可能事件與任意事件相互獨(dú)立q 必然事件與任意事件相互獨(dú)立)()()(BPAPABP, 0)( ),()(APABPBPq 若, 0)(, 0)(BPAP則“事件 A 與 事件 B 相互獨(dú)立”和 “事件 A 與 事件 B 互斥” 不能同時(shí)成立事件 A 與 事件 B 相互獨(dú)立, 1)(0 ),()|(APABPABPq 四對事件BABABABA,;,;,;,任何一對相互獨(dú)立,則其它三對也相互獨(dú)立試證其一獨(dú)立獨(dú)立BABA,事實(shí)上)()()()(BAPAPBAAPABP)()()(1)(BPAPBPAP)()()(BPAPAP三事件三事件 A A, , B B, , C C 相互獨(dú)立

32、相互獨(dú)立是指下面的關(guān)系式同時(shí)成立：注：1) 關(guān)系式(1) (2)不能互相推出 2)僅滿足(1)式時(shí),稱 A, B, C 兩兩獨(dú)立 )()()()()()()()()(CPBPBCPCPAPACPBPAPABP(1)()()()(CPBPAPABCP(2)A, B, C 相互獨(dú)立A, B, C 兩兩獨(dú)立 定義定義 n 個(gè)事件 A1, A2, , An 相互獨(dú)立 是指下面的關(guān)系式同時(shí)成立)()()()(2121nnAPAPAPAAAPnjiAPAPAAPjiji1),()()(nkjiAPAPAPAAAPkjikji1),()()()(定義定義12nn共有 個(gè)式子例例1 1 將一枚硬幣獨(dú)立地?cái)S兩次

33、，設(shè)41)( ,21)()()(4321APAPAPAPA1=第一次出現(xiàn)正面A2=第二次出現(xiàn)正面A3=正、反面各出現(xiàn)一次 A4=兩次都出現(xiàn)正面則事件（ ）A. A1, A2, A3相互獨(dú)立B. A2, A3, A4相互獨(dú)立C. A1, A2, A3兩兩獨(dú)立D. A2, A3, A4兩兩獨(dú)立分析：0)( ,41)( ,41)(41)( ,41)( ,41)(434232413121AAPAAPAAPAAPAAPAAPC例例2 2 已知事件 A, B, C 相互獨(dú)立,證明事件A與CB也相互獨(dú)立證證)()()(CBAPCBPCBAP)()()()()()(ABCPACPABPBCPCPBP)()()()(BCPCPBPAP)()(CBPAPq 若 n 個(gè)事件 A1, A2, , An 相互獨(dú)立,將這 n 個(gè)事件任意分成 k 組,同一個(gè)事件不能 同時(shí)屬于兩個(gè)不同的組,則對每組的事件 進(jìn)行求和、積、差、對立等運(yùn)算所得到 的 k 個(gè)事件也相互獨(dú)立.命題命題常由實(shí)際問題的意義常由實(shí)際問題的意義 判斷事件的獨(dú)立性判斷事件的獨(dú)立性例3. 對于事件A, B下列命題正確的是