三角函數(shù)知識整合及學(xué)法點撥

1、第九章 三角函數(shù)知識整合修改框圖見原稿高考定位高 考 內(nèi) 容高 考 要 求A（了解）B（理解）C（掌握）基本初等函數(shù)（三角 函數(shù)）三角函數(shù)的概念同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的誘導(dǎo)公式正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)的圖象和性質(zhì)三角恒等變換兩角和（差）的正弦、余弦和正切二倍角的正弦、余弦和正切積化和差、和差化積、半角公式周期現(xiàn)象任意角弧度任意角的三角函數(shù)概念三角函數(shù)圖象與性質(zhì)三角形的邊角關(guān)系正弦定理余弦定理解三角形的應(yīng)用兩角和與差的三角函數(shù)二倍角的三角函數(shù)三角函數(shù)恒等變形同角三角函數(shù)關(guān)系誘導(dǎo)公式三角函數(shù)的綜合應(yīng)用三角函數(shù)是初等函數(shù)中的一個重要內(nèi)容，它是描述周期現(xiàn)象的重要

2、數(shù)學(xué)模型它既是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)和應(yīng)用技術(shù)學(xué)科的基礎(chǔ)，又是解決生產(chǎn)實際問題的工具三角恒等變換在數(shù)學(xué)中的運用廣泛，同時有利于發(fā)展學(xué)生的推理能力和運算能力三角形的邊角關(guān)系探究可以解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題 在復(fù)習(xí)中，一方面應(yīng)深刻理解三角函數(shù)中數(shù)與形的內(nèi)在聯(lián)系，掌握相互轉(zhuǎn)換的方法，另一方面在三角函數(shù)式的化簡計算證明中應(yīng)注意公式變形的特性學(xué)法點撥 三角函數(shù)是一種重要的初等函數(shù)，它與數(shù)學(xué)的其他部分如解析幾何立體幾何及向量等有著廣泛的聯(lián)系，同時它也提供了一種解決數(shù)學(xué)問題的重要方法“三角法”，這一部分的內(nèi)容，具有以下幾個特點： 1公式多公式雖多，但公式間的聯(lián)系非常密切，規(guī)律性強弄清公式間的相互聯(lián)系和推

3、導(dǎo)體系，是記住這些公式的關(guān)鍵 2思想方法豐富化歸數(shù)形結(jié)合分類討論和函數(shù)與方程的思想貫穿于本單元的始終，類比的思維方法在本單元中也得到充分的應(yīng)用如將任意角的三角函數(shù)值的問題化歸為銳角的三角函數(shù)的問題，將不同名的三角函數(shù)問題化成同名的三角函數(shù)的問題，將不同角的三角函數(shù)問題化成同角的三角函數(shù)問題等 3變換靈活有角的變換公式的變換三角函數(shù)名稱的變換三角函數(shù)次數(shù)的變換三角函數(shù)表達(dá)形式的變換及一些常量的變換等，并且有的變換技巧性較強 4應(yīng)用廣泛三角函數(shù)與數(shù)學(xué)中的其他知識的結(jié)合點非常多，它是解決立體幾何解析幾何及向量問題的重要工具，并且這部分知識在今后的學(xué)習(xí)和研究中起著十分重要的作用，比如在物理學(xué)天文學(xué)測量

4、學(xué)及其他各門科學(xué)技術(shù)都有廣泛的應(yīng)用 三角函數(shù)是高考考查的“重頭戲”之一，其中重點考查的知識有：（1）與三角函數(shù)單調(diào)性有關(guān)的問題；（2）與三角函數(shù)圖象有關(guān)的問題；（3）應(yīng)用三角公式(包括同角三角函數(shù)關(guān)系式誘導(dǎo)公式兩角和與差的三角函數(shù)公式以及二倍角公式等)求三角函數(shù)值化簡和等式證明的問題；（4）與周期有關(guān)的問題近幾年的高考降低了對三角變換的考查要求，而加強了對三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的考查因為函數(shù)的性質(zhì)是研究函數(shù)的一個重要內(nèi)容，是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)和應(yīng)用技術(shù)學(xué)科的基礎(chǔ)，又是解決生產(chǎn)實際問題的工具，因此，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)是復(fù)習(xí)的重點同時同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式應(yīng)用廣泛，復(fù)習(xí)中也要特別重視在復(fù)習(xí)中要

5、注重三角知識的基礎(chǔ)性，突出三角與代數(shù)三角與幾何三角與向量的綜合與聯(lián)系；同時也要兼顧三角知識的靈活性和新穎性，培養(yǎng)善于應(yīng)用三角工具解題的習(xí)慣，強化運用數(shù)學(xué)思想方法的意識，以提高分析問題和解決問題的能力討論思想 如奇偶、象限的討論方程思想 如角的換算化歸思想 如誘導(dǎo)公式數(shù)形結(jié)合思想 如三角函數(shù)線整體思想 如角的相對性二兩角和與差的三角函數(shù)公式以及二倍角公式引言周期現(xiàn)象模型化鐘表旋轉(zhuǎn)角 （生肖干支紀(jì)年法）周期現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型三角函數(shù)角的概念靜態(tài)定義（初中） 動態(tài)定義（高中）（旋轉(zhuǎn)中心與旋轉(zhuǎn)方向） 邊 頂點 始邊 終邊角的分類分類標(biāo)準(zhǔn)與類型初中 按角的大小 銳角鈍角直角平角周角高中 按角的旋轉(zhuǎn)方向 正角

6、負(fù)角零角 按終邊的位置 象限角軸線角（坐標(biāo)系背景與始邊的位置）“基本角”的概念 a到b的角 a止b的角角的集合終邊在x軸正半軸上的角的集合終邊在x軸負(fù)半軸上的角的集合終邊在x軸上的角的集合終邊在y軸正半軸上的角的集合終邊在y軸負(fù)半軸上的角的集合終邊在y軸上的角的集合終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合終邊在第一象限的角的集合終邊在第二象限的角的集合終邊在第三象限的角的集合終邊在第四象限的角的集合的意義 不是一個區(qū)間，是無數(shù)個區(qū)間各象限的分角和倍角的終邊的位置及其記憶圖各象限的二倍角的終邊的位置陰影部分的角的集合 終邊在直線y=kx上的角的集合角的終邊關(guān)系與的終邊重合與的終邊關(guān)于x軸對稱與的終邊關(guān)于y軸對稱

7、與的終邊關(guān)于坐標(biāo)原點對稱與的終邊關(guān)于直線y=x對稱與的終邊關(guān)于直線y=x對稱角的度量1度、1弧度的定義角度與弧度的換算（比例法）、特殊角的弧度數(shù)弧長公式及其推廣、扇形面積公式、扇形周長與面積的最值問題弧度制的意義：統(tǒng)一了度量弧與半徑的單位，簡化了有關(guān)公式及運算，為研究三角函數(shù)奠定了基礎(chǔ)任意角的三角函數(shù)初中的三角函數(shù)定義正弦、余弦、正切的定義在角的終邊上除頂點外任取一點P，坐標(biāo)為（x，y），OP=r，則：把叫做的正弦，記作，即；把叫做的余弦，記作，即；把叫做的正切，記作，即根據(jù)定義推出三角函數(shù)的定義域和值域（三角函數(shù)的值只與決定角大小的終邊有關(guān)，與在終邊上所取的點無關(guān)）根據(jù)定義推出三角函數(shù)符號圖

8、（象限和軸） 口訣：一全正、二正弦、三正切、四余弦三角函數(shù)共有六個（了解） 特殊角的三角函數(shù)值 三角形內(nèi)角及其半角的三角函數(shù)值的符號 若，則的終邊在 0三角函數(shù)線有向直線的概念 對數(shù)軸、坐標(biāo)軸的再認(rèn)識有向線段的概念 和有向直線平行的有向線段的方向比較 有向線段的三要素（大小、方向、起點）、數(shù)量、長度對點坐標(biāo)的再認(rèn)識 坐標(biāo)線的起點和終點 起點的優(yōu)先順序：原點軸點象限點對三角函數(shù)定義式簡化的可能性和可行性分析：在角的終邊上除頂點外任一點，坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)定義知三角函數(shù)的值只與決定角大小的終邊有關(guān)，與在終邊上所取的點無關(guān)，故可取特殊的點，使比式，簡化（分子或分母為1，以分母為1為宜） 若r為1

9、，則所取點為角的終邊與單位圓的交點，記為P，過P坐x軸的垂線，垂足為M，則，把有向線段MP，OM分別叫做的正弦線和余弦線；若x為1，則所取點為角的終邊（或其反向延長線）與直線x=1的交點（正交、反交），記為T，又記點（1，0）為A，則，把有向線段AT叫做的正切線三角函數(shù)線把代數(shù)問題幾何化，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想三角函數(shù)線的應(yīng)用 證明方程和不等式 解方程和不等式推導(dǎo)誘導(dǎo)公式1證明：，2解不等式：，3解方程：，4已知，求證：5若是第二象限的角，且，則（ ） A B C D以上都不對同角三角函數(shù)的關(guān)系（記憶方法用正六邊形 關(guān)系類型：平方關(guān)系、倒數(shù)關(guān)系、商的關(guān)系）最基本三角恒等式的概念與內(nèi)容應(yīng)用 切化弦與

10、弦化切化簡（化繁）證明 思考方法：執(zhí)果所因分析法（公安局），由因?qū)ЧC合法（法院）操作方法：單向轉(zhuǎn)化（左右右左）、雙向轉(zhuǎn)化（左中間右中間）、等價轉(zhuǎn)化（左-右=0分式化整式）、數(shù)式變換求值 給角（特殊角）求值、給值求值（知一求二）、給式求值（知一求二）1已知，求和的值1已知，且是第二象限角，求和的值2已知，求和的值3已知，求和的值4已知，且是第一象限角，求和的值5已知，求和的值6已知，求的值7已知，求和的值齊次分式1已知，求的值若，則，誘導(dǎo)公式公式的形式記憶方法（半變整不變，符號看象限）作用：化任意角的三角函數(shù)為銳角的三角函數(shù)（順序：化負(fù)角為正角、化正角為基本角、化基本角為銳角）應(yīng)用：化簡（化繁

11、）證明 思考方法：執(zhí)果所因分析法（公安局）、由因?qū)ЧC合法（法院）操作方法：單向轉(zhuǎn)化（左右右左）、雙向轉(zhuǎn)化（左中間右中間）、等價轉(zhuǎn)化（左右=0分式化整式）、數(shù)式變換求值 給角（特殊角）求值給值求值給式求值 已知角與未知角的關(guān)系 角的相對性 整體思維證明正弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)的奇偶性研究函數(shù)研究對象 先典型后推廣到類型（親戚）研究工具 解析式和圖象（第一次研究只能用描點法 代數(shù)描點與幾何描點）研究內(nèi)容（從各個角度考察）定義域、值域、奇偶性、周期性、單調(diào)性、對稱性、反函數(shù)、導(dǎo)函數(shù)、連續(xù)性函數(shù)的周期性以函數(shù)為例引入周期函數(shù)的定義 周期恒等式 周期的無窮性與最小正周期的惟一性（廣義的周期與狹義的周期

12、） 若T是函數(shù)的周期，則都是的周期 最小正周期的惟一性便于交流最小正周期的證明方法：反證法非周期函數(shù)無最小正周期的周期函數(shù)有最小正周期的周期函數(shù)函數(shù)周期函數(shù)以周期性為標(biāo)準(zhǔn)的函數(shù)分類 （不是所有的函數(shù)都是周期函數(shù)，不是所有的周期函數(shù)都有最小正周期）周期函數(shù)的定義域特征 可向兩端無限延伸 無界性周期函數(shù)的圖象特征 平移與疊合 可向兩端無限延伸常見函數(shù)的周期正弦函數(shù)的周期為余弦函數(shù)的周期為正切函數(shù)的周期為復(fù)合函數(shù)的周期若函數(shù)的周期為T，則函數(shù)的周期為周期性與函數(shù)圖象的對稱性關(guān)系若的圖象有兩條對稱軸，則是周期函數(shù)若的圖象有兩個對稱中心，則是周期函數(shù)若的圖象既有對稱軸又有對稱中心，則是周期函數(shù)對稱恒等式

13、與周期恒等式正弦函數(shù)的圖象（正弦曲線）列表 x的代表性 象限角 軸線角（特殊性） 基本角因誤差頻繁而采用幾何描點法 平移 截取 最基本要求五點作圖法（最簡單的代數(shù)描點法）五點順序：起點末點中點峰點谷點利用函數(shù)的性質(zhì)作出的整個圖象利用正弦曲線作出函數(shù)的圖象（余弦曲線）（平移 也可用幾何描點法）用幾何描點法作出函數(shù)的圖象（正切曲線 注意作出漸近線）三三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)名稱正弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)解析式圖 象定義域值 域1，11，1有界性有界（）有界（）無界（）最 值；無奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)周期性單調(diào)性增區(qū)間減區(qū)間增區(qū)間減區(qū)間增區(qū)間對稱中心（，0）（，0）（，0）對稱軸（，0），無漸近線無

14、無以性作圖以圖識性以圖記性圖象的應(yīng)用 1解方程 2解不等式3求函數(shù)的圖象與直線所圍成的圖形面積（割補法）4求方程的實數(shù)解的個數(shù) 5變換出余弦函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的圖象5正弦函數(shù)與二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)問題復(fù)合函數(shù)的圖象作圖列表描五點法（表中行、列的順序、均值、發(fā)散）利用周期性作出整個圖象（平移延伸）0說圖注意運算對象與運算順序 說法要規(guī)范準(zhǔn)確 靈活性1若把函數(shù)圖象上的所有點向右平移（）個單位長度，可得函數(shù)的圖象，則的最小值為 用圖根據(jù)圖象寫出解析式待定系數(shù)法設(shè)通過最高和最低點的縱坐標(biāo)求A、B，通過周期求，通過最高（低）的坐標(biāo)求（若不用最高點或最低點，則當(dāng)?shù)姆秶鷶U大時，可能有多個解，需用多個點坐標(biāo)解方程組

15、；若在正弦函數(shù)的一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)取值，則只有一個解）函數(shù)與函數(shù)之間的關(guān)系最值與平衡值、對稱軸與對稱中心、增建區(qū)間與正負(fù)值區(qū)間三角函數(shù)的應(yīng)用振動量的有關(guān)概念 變量的物理意義周期特征 待定系數(shù)法 函數(shù)模型單擺簡諧振動潮汐現(xiàn)象血壓氣溫變化等等課本48頁的小結(jié)：在本章中，我們通過旋轉(zhuǎn)將角的概念推廣到任意角，探討了角的另一種度量制度弧度制，在此基礎(chǔ)上，研究了任意角的三角函數(shù)同角三角函數(shù)關(guān)系誘導(dǎo)公式三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，最后研究了三角函數(shù)的應(yīng)用“依性作圖，以圖識性”是數(shù)形結(jié)合思想的重要體現(xiàn)在本章中，我們先探討了三角函數(shù)的最重要性質(zhì)周期性，然后利用周期性畫出了正弦余弦和正切函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象得出了這些函數(shù)的

16、一些基本性質(zhì)三角函數(shù)在本質(zhì)上是對單位圓圓周上一點運動的“動態(tài)描述”，它的種種性質(zhì)和公式都是和單位圓的幾何性質(zhì)密切關(guān)聯(lián)的，這是研究三角函數(shù)的重要思想和方法在解決三角函數(shù)的有關(guān)問題中，應(yīng)自覺運用單位圓中的三角函數(shù)線和三角函數(shù)的圖象，以形助數(shù)，數(shù)形結(jié)合三角形基礎(chǔ)知識一三角形的基本概念與性質(zhì)1三角形的定義：三條線段首尾順次連結(jié)所組成的圖形 2三角形的元素：三角形的邊、角、中線、高線、角平分線、周長、面積等都叫三角形的元素，其中邊和角叫做三角形的基本元素3三角形的分類：按邊的相等情況分： 按邊的相等情況分：4三角形的“線”：高線、中線、中垂線、內(nèi)角平分線、外角平分線、中位線內(nèi)角平分線定理外角平分線定理中

17、線長定理（阿波羅尼斯定理）中位線定理 中點三角形及其性質(zhì)5三角形的“心”：垂心、重心、外心、內(nèi)心、旁心重心的性質(zhì)、坐標(biāo)公式、向量公式及其物理意義6三角關(guān)系：內(nèi)角和定理、外角定理角的性質(zhì)：范圍關(guān)系最大角最小角銳角三角形中任兩角的和7三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊兩邊之差小于第三邊（“三胞胎”）8邊與角的關(guān)系：對邊與對角的大小關(guān)系正弦定理、余弦定理、射影定理（“三胞胎”）9直角三角形的性質(zhì)：勾股定理、兩個銳角的關(guān)系、銳角的三角函數(shù)（邊與角的聯(lián)系）含30角的直角三角形的性質(zhì)10等腰三角形的判定與性質(zhì) 四線合一11等邊三角形的判定與性質(zhì) 四心合一12三角形全等與相似的判定 確定三角形的條件 三角形的穩(wěn)定

18、性全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對應(yīng)元素都相等13三角形的外接圓、內(nèi)切圓、旁切圓二解三角形左表中已知兩邊與其中一邊的對角（SSA），三角形解的個數(shù)（以已知邊a、b和角A為例）如下表：A為鈍角A為直角A為銳角ab一解一解一解a=b無解無解一解absinA兩解a=bsinA一解absinA無解 已知條件適用定理解的個數(shù)三邊（SSS）余弦定理一解兩邊及其夾角（SAS）余弦定理一解兩邊與其中一邊的對角（SSA）余弦定理正弦定理無解或一解或兩解兩角與公共邊（ASA）正弦定理一解兩角與其中一角的對邊（AAS）正弦定理一解三角（AAA）正弦定理無數(shù)解根據(jù)三角形中已知的元素求其它未知的元素，叫解三角形解三角形的基本問題是已知三角形六個基本元素中的三個，求出其它