2019高考數(shù)學一輪復習 第二章 函數(shù) 2.1 函數(shù)的概念及表示課件 文

1、第二章 函數(shù)高考文數(shù)高考文數(shù)2.1函數(shù)的概念及表示函數(shù)的概念及表示知識清單考點一函數(shù)的概念及表示方法考點一函數(shù)的概念及表示方法1.函數(shù)與映射概念的比較 函數(shù)映射兩集合A、B設A、B是兩個非空數(shù)集設A、B是兩個非空集合對應關(guān)系f:AB如果按照某種確定的對應關(guān)系f,使對于集合A中的任意 一個數(shù) x ,在集合B中都有唯一確定 的數(shù)f(x)和它對應如果按某一個確定的對應關(guān)系f,使對于集合A中的任意 一個元素x,在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應名稱稱f:AB為從集合A到集合B的一個函數(shù)稱對應f:AB為從集合A到集合B的一個映射由映射的定義可以看出,映射是函數(shù)概念的推廣,函數(shù)是一種特殊的映射,要注意

2、構(gòu)成函數(shù)的兩個集合A、B必須是非空數(shù)集.2.函數(shù)的三要素:定義域、值域、對應關(guān)系.3.函數(shù)的定義域、值域在函數(shù)y=f(x),xA中,x叫做自變量,x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域,與x的值相對應的y值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合f(x)|xA叫做函數(shù)的值域.4.函數(shù)定義域的求法(1)分式的分母不為零;(2)偶次方根的被開方數(shù)大于或等于零;(3)對數(shù)的真數(shù)大于零,底數(shù)大于零且不等于1;(4)零次冪的底數(shù)不為零;(5)三角函數(shù)中的y=tan x:xk+(kZ);(6)已知函數(shù)f(x)的定義域為D,求函數(shù)fg(x)的定義域,只需g(x)D;2(7)已知函數(shù)fg(x)的定義域,求函數(shù)f(x)的定義域,只需x

3、y|y=g(x),即xg(x)的值域.5.求函數(shù)值域常用的方法(1)列舉法直接根據(jù)函數(shù)的定義域與對應關(guān)系將函數(shù)值一一求出來寫成集合形式的方法叫做列舉法.這種方法只適用于值域中元素為有限個或雖然是無限個但卻是與自然數(shù)有關(guān)的集合.如狄利克雷函數(shù):f(x)=(2)逐層求值域法1(),0().xx為有理數(shù)為無理數(shù)逐層求值域法就是根據(jù)x的取值范圍一層一層地去求函數(shù)的值域.例如:求函數(shù)f(x)=,x2,5的值域.解析:x2,5,2x4,10,1-2x-9,-3,即f(x).(3)分離常數(shù)法形如y=(a0)的函數(shù)的值域,經(jīng)常使用“分離常數(shù)法”求解.例如:求函數(shù)y=的值域.112x112x11,3911,39

4、cxdaxb3521xx解析:y=+,所求函數(shù)的值域為.(4)配方法配方法是求“二次函數(shù)類”值域的基本方法,求形如F(x)=af(x)2+bf(x)+c(a0)的函數(shù)的值域問題,均可使用配方法,求解中要注意f(x)整體的取值范圍.(5)換元法(i)代數(shù)換元.形如y=ax+b(a,b,c,d為常數(shù),ac0)的函數(shù),可設=t(t0),轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域.若有單調(diào)性,則用單調(diào)性更簡捷,如y=x+.3521xx13221x32323|R2y yy且cxdcxd1x (ii)三角換元.如y=x+,可令x=cos ,0,y=cos +sin =sin,0,.換元法求值域,一定要注意新元的范圍對值域的影響

5、.(6)判別式法把函數(shù)轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的二次方程F(x,y)=0,通過方程有實根,判別式0,求得原函數(shù)的值域,形如y=(a1,a2不同時為零)的函數(shù)的值域常用此法求解. 用判別式法求值域的注意事項:(i)函數(shù)的定義域為R;(ii)分子、分母沒有公因式.(7)有界性法21x2421112222a xb xca xb xc形如sin =f(y),x2=g(y),ax=h(y)等的函數(shù),由|sin |1,x20,ax0可解出y的范圍,從而求出其值域.(8)數(shù)形結(jié)合法若函數(shù)解析式的幾何意義較明顯,如距離、斜率等,可用數(shù)形結(jié)合的方法求解值域.(9)基本不等式法利用基本不等式:a+b2(a0,b0)求函數(shù)的值

6、域.用此法求函數(shù)值域時,要注意條件“一正,二定,三相等”,如:利用a+b2求某些函數(shù)的值域時,應滿足三個條件:(i)a0,b0;(ii)a+b(或ab)為定值;(iii)取等號的條件a=b.三個條件缺一不可.(10)單調(diào)性法abab(i)單調(diào)函數(shù)的圖象是一直上升或一直下降的,因此若函數(shù)在端點處有定義,則函數(shù)在端點處取最值,即若y=f(x)在a,b上單調(diào)遞增,則ymin=f(a),ymax=f(b);若y=f(x)在a,b上單調(diào)遞減,則ymin=f(b),ymax=f(a).如果函數(shù)在端點處沒有定義,則不可能在端點處取得最值.(ii)形如y=ax+b+的函數(shù),若ad0,則用函數(shù)的單調(diào)性求值域;若

7、ad0)的函數(shù),在基本不等式的條件不具備的情況下(等號不成立),可考慮用函數(shù)的單調(diào)性求值域,當x0時,函數(shù)y=x+(k0)的單調(diào)減區(qū)間為(0,單調(diào)增區(qū)間為,+).一般地,把函數(shù)y=x+dxckxkxkkkx(k0,x0)叫做對勾函數(shù)(圖象形如“”),其分界點為(,2).k0,x0,xR恒成立,=a2+4a0,-4a0.(2)令u=x2+ax-a,由題可知,u能取遍(0,+)內(nèi)的一切值,=a2+4a0,a0或a-4.答案(1)(-4,0)(2)(-,-40,+) 求函數(shù)解析式的方法求函數(shù)解析式的方法1.已知函數(shù)類型時,如冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)等,可用待定系數(shù)法,列出方程(

8、組),確定其中的系數(shù)即可.2.換元法:已知fh(x)=g(x),求f(x)的問題,往往先設h(x)=t,從中解出x,代入g(x)進行換元求解.3.構(gòu)造法:當方程中同時出現(xiàn)f(x), f(-x),或同時出現(xiàn)f(x),f時,可構(gòu)造另一個方程,列方程組求解.4.賦值法:f(x)是關(guān)于x,y兩個變量的方程式,可對變量賦值求出f(x).1x方法技巧方法1例1(1)已知f(x)是一次函數(shù),且ff(x)=4x+3,則f(x)的解析式為 ;(2)已知g(x+2)=2x+3,則g(x)= ;(3)(2016河南鄭州一中期末,13)已知函數(shù)f(x)滿足f(x)+2f(-x)=x-,則f(x)的解析式為 ;(4)(

9、2016廣東中山模擬,15)已知f(0)=1,對任意的實數(shù)x,y,都有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),則f(x)的解析式為 .1x解題導引 (1)設f(x)=ax+b(a0)列方程組,解得a,b寫出f(x)的解析式(2)設t=x+2x=t-2,代入g(x+2)整理得g(x)的解析式(3)用-x代替x,列出方程組解方程組,求f(x)的解析式(4)賦值法,令x=0求出f(-y)用換元法求f(x)解析(1)設f(x)=ax+b(a0),則ff(x)=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b=4x+3,解得或故所求的函數(shù)為f(x)=-2x-3或f(x)=2x+1.(2)設x+2

10、=t,則x=t-2.g(x+2)=2x+3,g(t)=2(t-2)+3=2t-1,因此g(x)=2x-1.(3)由f(x)+2f(-x)=x-得f(-x)+2f(x)=-x+,24,3,aabb2,3ab 2,1.ab1x1x由得f(x)=-x+.(4)令x=0,得f(-y)=f(0)-y(-y+1)=1+y2-y,f(y)=y2+y+1,f(x)=x2+x+1.1( )2 (),1()2 ( )f xfxxxfxf xxx 1x答案(1)f(x)=-2x-3或f(x)=2x+1(2)2x-1(3)f(x)=-x+(4)f(x)=x2+x+11x 求函數(shù)的定義域、值域的方法求函數(shù)的定義域、值域

11、的方法1.求具體函數(shù)y=f(x)的定義域2.求復合函數(shù)的定義域(1)若已知函數(shù)f(x)的定義域為a,b,則函數(shù)f(g(x)的定義域由ag(x)b求出.方法2(2)若已知函數(shù)f(g(x)的定義域為a,b,則f(x)的定義域為g(x)在xa,b時的值域.3.求函數(shù)的值域常用換元法、分離常數(shù)法、判別式法、單調(diào)性法、基本不等式法.4.在求定義域時應注意的問題(1)對解析式化簡變形必須是等價的,以免定義域發(fā)生變化.(2)當一個函數(shù)由有限個基本初等函數(shù)的和、差、積、商的形式構(gòu)成時,定義域是各個定義域的交集.例2 (2017廣東深圳一模,3)函數(shù)y=的定義域為(C)A.(-2,1) B.-2,1 C.(0,1) D.(0,122lnxxx解題導引 由題意得,解不等式組,求出x的范圍220,0ln0 xxxx且解析由題意得解得0 x0,則實數(shù)a的取值