補1二重積分的應(yīng)用之曲面面積課件

1、補1二重積分的應(yīng)用之曲面面積一、三、曲面面積三、曲面面積機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 曲面面積的計算 二、曲面的切平面與法線平面與法線補1二重積分的應(yīng)用之曲面面積zyxo0Mn（一）平面的（一）平面的點法式點法式方程方程),(0000zyxM設(shè)一平面通過已知點且垂直于非零向0)()()(000zzCyyBxxAM稱上式為平面的點法式方程點法式方程,則該平面的方程為：法向量.量, ),(CBAn 的為平面稱n機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、平面方程一、平面方程補1二重積分的應(yīng)用之曲面面積1112121213131310 xxyyzzxxyyzzxxyyzz過三點(,) (1,2,3

2、)kkkkMxyzk 的平面方程為機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 （二）平面的（二）平面的三點式三點式方程方程補1二重積分的應(yīng)用之曲面面積當平面與三坐標軸的交點分別為此式稱為平面的截距式方程截距式方程. ), 0 , 0(, )0 , 0(, )0 , 0 ,(cRbQaP1czbyax時,)0,(cba平面方程為 PozyxRQ機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 （三）平面的（三）平面的截距式截距式方程方程補1二重積分的應(yīng)用之曲面面積（四）平面的（四）平面的一般一般方程方程設(shè)有三元一次方程 以上兩式相減 , 得平面的點法式方程此方程稱為平面的一般平面的一般0DzCyBxA任取一組滿足上述

3、方程的數(shù),000zyx則0)()()(000zzCyyBxxA0000DzCyBxA顯然方程與此點法式方程等價, )0(222CBA),(CBAn 的平面, 因此方程的圖形是法向量為 方程方程.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 補1二重積分的應(yīng)用之曲面面積外一點,求),(0000zyxP0DzCyBxA補：補： 設(shè)222000CBADzCyBxAd是平面到平面的距離d .0P(點到平面的距離公式)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 補1二重積分的應(yīng)用之曲面面積:( , , )0F x y z二、二、曲面的切平面與法線曲面的切平面與法線 設(shè) 有光滑曲面000(,)M xyz為其上定點。MT機動

4、 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 上過點 M 的任何曲線在該點的切線都在同一平面，此平面稱為 在該點的切平面切平面.補1二重積分的應(yīng)用之曲面面積曲面 在點 M 的法向量法向量法線方程法線方程000 xxyyzz0000(,)()xF xyzxx0000(,)()yF xyzyy0000(,)()0zF xyzzz切平面方程切平面方程000(,)xF xyz000(,)yF xyz000(,)zF xyzMTn000000000(,),(,),(,)xyznF xyzF xyzF xyz復(fù)習(xí) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 補1二重積分的應(yīng)用之曲面面積空間光滑曲面:( , )zf x y切平面方程切

5、平面方程法線方程法線方程 顯式情況.法線的方向余弦方向余弦法向量法向量機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (,1)xynff ,:為法線與各坐標軸的夾角,1cos,1cos2222yxyyxxffffff2211cosyxff)( ),()( ),(0000000yyyxfxxyxfzzyx1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx補1二重積分的應(yīng)用之曲面面積MAdzdn二、曲面的面積二、曲面的面積設(shè)光滑曲面則面積 A 可看成曲面上各點處小切平面的面積 d A 無限積累而成. 設(shè)它在 D 上的投影為 d ,(稱為面積元素)則機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 DyxyxfzS),

6、( , ),(:),(zyxMxyzSoMndAdcosd),(),(11cos22yxfyxfyxd),(),(1d22yxfyxfAyx補1二重積分的應(yīng)用之曲面面積故有曲面面積公式若光滑曲面方程為則有即機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 d),(),(122DyxyxfyxfAyxyzxzADdd)()(122,),( , ),(zyDzyzygxzyzxyxAdd)()(122zyD補1二重積分的應(yīng)用之曲面面積若光滑曲面方程為 若光滑曲面方程為隱式則則有機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,),( , ),(xzDxzxzhyxzxyzyAdd)()(122,0),(zyxF且0,zF yxzyzxDyxFFyzFFxz),(,AyxDzzyxFFFF222yxddzxD補1二重積分的應(yīng)用之曲面面積例例. . 計算雙曲拋物面被柱面所截解解: : 曲面在 xoy 面上投影為則出的面積 A