反函數(shù)在生活中的應(yīng)用本科畢業(yè)論文

1、寧夏師范學(xué)院2012屆畢業(yè)生畢業(yè)論文題 目：反函數(shù)在生活中的應(yīng)用 院 系： 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院 指導(dǎo)教師： 陳志恩 班 級(jí)： 08級(jí)數(shù)應(yīng)(2)班 姓 名： 楊吉朝 完成時(shí)間： 2012-4-5 反函數(shù)在生活中的應(yīng)用摘要： 數(shù)學(xué)是一種應(yīng)用非常廣泛的學(xué)科。數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)說過：“宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之變、生活之迷、日月之繁，無處不用數(shù)學(xué)?！边@可以說是對(duì)數(shù)學(xué)與生活的關(guān)系的完美闡述。新課程標(biāo)準(zhǔn)出現(xiàn)的一類新穎試題,近年來與實(shí)際生活相結(jié)合的題目屢見不鮮,不僅要求數(shù)學(xué)教學(xué)必須從學(xué)生熟悉的生活情景和感興趣的事物出發(fā)，使學(xué)生有更多的機(jī)會(huì)從周圍熟悉的事物中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和理解數(shù)學(xué)，體會(huì)到數(shù)學(xué)就

2、在身邊，感受到數(shù)學(xué)的趣味，而且還要激發(fā)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的興趣，做到學(xué)以致用，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)的作用和價(jià)值，感受到數(shù)學(xué)的魅力。本文應(yīng)用分析、比較等數(shù)學(xué)思維研究方法對(duì)數(shù)學(xué)中的反函數(shù)進(jìn)行探討來以求解決日常中遇到的實(shí)際問題。關(guān)鍵詞：反函數(shù) 定義域 值域 圖像Abstract: mathematics is a very extensive subject. Mathematician hua luogeng once said: the universe of the big, the micro particles of speed, chemical industry, the rocket

3、s of chocolate, and change, the life of the earth, the sun and the moon is the fan is numerous, without mathematics. This can be said to mathematics and the relationship between the perfect life of this paper. The new curriculum standard an emerging class of new questions, in recent years and practi

4、cal life with the combination of common topic, not only request mathematics teaching must be familiar life scenes from students and interested in things start to make students have more opportunities from familiar things around in learning mathematics and understand math, and realize the math is rig

5、ht there and feel the mathematics interest, but also to stimulate the students mathematical problem solving interest, do application, and further experience of mathematics function and value, feel the charm of mathematics. This paper analysis and comparison of the application of mathematical thinkin

6、g methods of mathematical FanHanShu are discussed in order to solve the day-to-day to practical problems met in. 目錄：1.反函數(shù)的概念51.1原函數(shù)與反函數(shù)的關(guān)系51.2反函數(shù)的定義52.反函數(shù)的性質(zhì)62.1反函數(shù)相關(guān)性質(zhì)的總結(jié)和分析62.1.1.互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱；函數(shù)及其反函數(shù)的圖形關(guān)于直線y=x對(duì)稱62.1.2.函數(shù)存在反函數(shù)的充要條件是，函數(shù)的定義域與值域是一一映射；嚴(yán)格增（減）的函數(shù)一定有嚴(yán)格增（減）的反函數(shù)72.1.3.一個(gè)函數(shù)與它的反函數(shù)在相

7、應(yīng)區(qū)間上單調(diào)性一致72.1.4.大部分偶函數(shù)不存在反函數(shù)82.1.5.點(diǎn)P（a，b）關(guān)于直線 y=x 對(duì)稱的點(diǎn)是P1（b，a）82.1.6.嚴(yán)格增（減）的函數(shù)一定有嚴(yán)格增（減）的反函數(shù)82.1.7.反函數(shù)是相互的且具有唯一性82.1.8.定義域、值域相反對(duì)應(yīng)法則互逆92.1.9. 原函數(shù)一旦確定，反函數(shù)即確定93.反函數(shù)在日常生活中的應(yīng)用93.1求反函數(shù)的步驟93.1.1、先求出反函數(shù)的定義域，因?yàn)樵瘮?shù)的值域就是反函數(shù)的定義域93.1.2、反解x，也就是用y來表示x103.1.3、改寫，交換位置，也就是把x改成y，把y改成x103.1.4、寫出原函數(shù)及其值域103.1.5.反函數(shù)求解三步驟1

8、03.2數(shù)學(xué)中反函數(shù)的相關(guān)例題分析103.2.1函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，反函數(shù)又是函數(shù)的重要組成部分，也是同學(xué)們學(xué)習(xí)函數(shù)的難點(diǎn)之一。反函數(shù)在歷年高考中也占有一定的比例。在生活中我們也遇到許多數(shù)學(xué)問題通過轉(zhuǎn)換成反函數(shù)解決更容易103.2.2通過比較互為反函數(shù)圖象間的關(guān)系來解決實(shí)際問題13引言：數(shù)學(xué)家波利亞曾說：“數(shù)學(xué)教師的責(zé)任是盡其可能來發(fā)展學(xué)生解決問題的能力?！笨梢婓w會(huì)數(shù)學(xué)的意義和價(jià)值，聯(lián)系生活實(shí)際理解并掌握知識(shí)，不是我們的最終目標(biāo)。學(xué)以致用，應(yīng)用所學(xué)的知識(shí)去發(fā)現(xiàn)、分析、直至解決生活中的問題，才是最終的目標(biāo)。數(shù)學(xué)源于生活，更應(yīng)該應(yīng)用于生活以及在解決數(shù)學(xué)問題中轉(zhuǎn)換一個(gè)角度去考慮問題會(huì)更簡單易

9、懂。無論我們從事何種學(xué)習(xí)，其唯一目的就是利用所學(xué)知識(shí)解決生活中我們遇到的問題，數(shù)學(xué)中有些函數(shù)看似非常復(fù)雜如果我們轉(zhuǎn)換成反函數(shù)，用反函數(shù)的思想去求其定義域及其相關(guān)問題會(huì)更簡單。在初高中的數(shù)學(xué)教材中都多多少少涉及到了反函數(shù)，雖然反函數(shù)在中高考中所占比例都不是很大，但這并不能忽視反函數(shù)在生活中以及數(shù)學(xué)中的重要地位。要想充分利用某一知識(shí)點(diǎn)解決實(shí)際問題，必須對(duì)知識(shí)做到理解、掌握，從而才可以做到將理論知識(shí)靈活應(yīng)用。本文將通過對(duì)反函數(shù)的概念、性質(zhì)等多方面的分析，從而引出反函數(shù)日常生活中及在解決數(shù)學(xué)問題方面的應(yīng)用。增強(qiáng)同學(xué)們換位思考的意識(shí)，從而達(dá)到解題目的。1.反函數(shù)的概念1.1原函數(shù)與反函數(shù)的關(guān)系 關(guān)于反函

10、數(shù)的概念，課本上和很多資料上都是采用由具體到抽象、由特殊到一般的思想方法，即舉二到三個(gè)具體的函數(shù)，如物理中的位移，速度（暫定為常量），時(shí)間的關(guān)系：，表示位移是時(shí)間 的函數(shù)，其中是自變量，是函數(shù)值；反過來，也可以用位移和速度來表示時(shí)間，即 sv，其中是自變量，是函數(shù)值. 再進(jìn)一步分析這兩個(gè)函數(shù)，明確他們之間的關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)的概念概括出反函數(shù)的概念。由于函數(shù)是一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，這個(gè)概念本身就不好理解，而反函數(shù)又是函數(shù)中的一種特殊現(xiàn)象，另外，反函數(shù)的概念比較抽象，文字?jǐn)⑹鲇直容^長. 所以要弄清反函數(shù)的概念，正確理解反函數(shù)與函數(shù)之間的關(guān)系是必不可少的重要環(huán)節(jié). 因此，要弄清反函數(shù)的概念，又不得不弄清函

11、數(shù)和反函數(shù)的“三反”關(guān)系，再根據(jù)函數(shù)的概念來理清反函數(shù)的概念 1.2反函數(shù)的定義一般地，我們?cè)O(shè)函數(shù)y=f(x)(xA)的值域是C，根據(jù)這個(gè)函數(shù)中x,y 的關(guān)系，用y把x表示出，得到x= g(y). 若對(duì)于y在C中的任何一個(gè)值，通過x= g(y)，x在A中都有唯一的值和它對(duì)應(yīng)，那么，x= g(y)就表示y是自變量，x是因變量y的函數(shù)，這樣的函數(shù)x= g(y)(yC)叫做函數(shù)y=f(x)(xA)的反函數(shù)，記作. 反函數(shù)的定義域、值域分別是函數(shù)y=f(x)的值域、定義域.（定義域 ：指該函數(shù)的有效范圍，其關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是指它有效值關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 。）例題1：已知f(x)=(x3)， 求f-1(5)。 解

12、：設(shè)f-1(5)=x0， 則 f(x0)=5，即 =5 (x03) x02+1=5x0-5， x02-5x0+6=0。解得x0=3或x0=2(舍)， f-1(5)=3。例題2：已知f(x)=的反函數(shù)為f-1(x)=，求a，b，c的值。解：求f-1(x)=的反函數(shù)，令f-1(x)=y有yx-3y=2x+5.(y-2)x=3y+5 x=(y2)，f-1(x)的反函數(shù)為 y=.即=， a=3， b=5， c=-2。2.反函數(shù)的性質(zhì) 2.1反函數(shù)相關(guān)性質(zhì)的總結(jié)和分析。數(shù)學(xué)知識(shí)的性質(zhì)是指從數(shù)學(xué)概念直接推導(dǎo)得出的運(yùn)算法則或者運(yùn)算公式等延伸的知識(shí)，數(shù)學(xué)知識(shí)的概念和性質(zhì)具有緊密的銜接關(guān)系。反函數(shù)性質(zhì)就是指從反

13、函數(shù)的概念直接推導(dǎo)出的反函數(shù)的運(yùn)算形式 。2.1.1.互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱；函數(shù)及其反函數(shù)的圖形關(guān)于直線y=x對(duì)稱例題：已知f(x)= (0x4)， 求f(x)的反函數(shù)。解： 互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱。0x4，0x216， 925-x225， 3y5， y=， y2=25-x2， x2=25-y2. 0x4，x= (3y5)將x， y互換， f(x)的反函數(shù)f-1(x)= (3x5)。2.1.2.函數(shù)存在反函數(shù)的充要條件是，函數(shù)的定義域與值域是一一映射；嚴(yán)格增（減）的函數(shù)一定有嚴(yán)格增（減）的反函數(shù)。一般的偶函數(shù)一定不存在反函數(shù)(但一種特殊的偶函數(shù)存在

14、反函數(shù),例f（x）=a（x=0）它的反函數(shù)是f（x）=0（x=a）這是一種極特殊的函數(shù))，奇函數(shù)不一定存在反函數(shù)。關(guān)于y軸對(duì)稱的函數(shù)一定沒有反函數(shù)。若一個(gè)奇函數(shù)存在反函數(shù)，則它的反函數(shù)也是奇函數(shù)。例題：已知函數(shù)。(1)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；(2)求其單調(diào)增區(qū)間內(nèi)的反函數(shù)。解：復(fù)合函數(shù)y=fg(x)的單調(diào)性與y=f(t)，t=g(x)的單調(diào)性的關(guān)系：同增異減。(1)函數(shù)的定義域x|x2，又t=x2-2x=(x-1)2-1 x(-，0)，t是x的減函數(shù)而是減函數(shù)， 函數(shù)f(x)在(-，0)為增函數(shù)。(2)函數(shù)f(x)的增區(qū)間為(-，0)， 令，則。 ，。 x0，2.1.3.一個(gè)函數(shù)與它的反函數(shù)在相應(yīng)

15、區(qū)間上單調(diào)性一致例如： 若函數(shù)f(x)在其定義域D上是單調(diào)增函數(shù),求證它的反函數(shù)f-1(x)也是增函數(shù)證明：在f-1(x)的定義域內(nèi)任取x1,x2且x1x2令 f-1(x1)=y1, f-1(x2)=y2于是有f(y1)=x1; f(y2)=x2 所以 f(y1)f(y2)因?yàn)閒(x)在其定義域D上是增函數(shù)，所以y1y2所以 f-1(x1)f-1(x2)，所以f-1(x)也是增函數(shù)2.1.4.大部分偶函數(shù)不存在反函數(shù)（唯一有反函數(shù)的偶函數(shù)是f(x)=ax,x0，但是y=k（常數(shù)）無法通過水平線測試，所以沒有反函數(shù)。）。奇函數(shù)不一定存在反函數(shù)。被與y軸垂直的直線截時(shí)能過2個(gè)及以上點(diǎn)即沒有反函數(shù)。

16、若一個(gè)奇函數(shù)存在反函數(shù)，則它的反函數(shù)也是奇函數(shù)。 2.1.5.點(diǎn)P（a，b）關(guān)于直線 y=x 對(duì)稱的點(diǎn)是P1（b，a）。例題：設(shè)點(diǎn)(4，1)既在f(x)=ax2+b (a0)的圖象上，又在它的反函數(shù)圖象上，求f(x)解析式。 解：解得.a=-， b=， f(x)=-x+.2.1.6.嚴(yán)格增（減）的函數(shù)一定有嚴(yán)格增（減）的反函數(shù)。 例題：設(shè)函數(shù)y=f(x),(xA)是增函數(shù)，證明：它的反函數(shù)是增函數(shù)。證明：設(shè)y1,y2f(x)| xA, y1y2，則存在x1,x2使y1=f(x1), y2=f(x2).f(x1)f(x2).f(x)是增函數(shù),x1x2 即f -1(y1)f -1(y2).x= f

17、 -1(y)是增函數(shù)，即y=f -1(x)是增函數(shù)2.1.7.反函數(shù)是相互的且具有唯一性例題：求函數(shù)y =3x-2的反函數(shù)。 解：y=3x-2的定義域?yàn)镽，值域?yàn)镽. 由y=3x-2解得 x=1/3(y+2) 將x,y互換,則所求y=3x-2的反函數(shù)是 y=1/3(x+2)（x屬于R）2.1.8.定義域、值域相反對(duì)應(yīng)法則互逆。2.1.9. 原函數(shù)一旦確定，反函數(shù)即確定。 通過上面反函數(shù)的九個(gè)性質(zhì)的總結(jié)，為更好的解決有關(guān)反函數(shù)的問題提供了解題思路和方法3.反函數(shù)在日常生活中的應(yīng)用在我們的生活中，處處存在數(shù)學(xué)知識(shí)。只要留意，就能發(fā)現(xiàn).比如：增長率、企業(yè)成本與利潤的核算、市場調(diào)查與分析等等，都可以讓

18、我們感受到數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性，并明確數(shù)學(xué)可以幫助他們更好地認(rèn)識(shí)自然和人類社會(huì)，更好的適應(yīng)生活，有效的進(jìn)行表達(dá)和交流。3.1求反函數(shù)的步驟我們知道在學(xué)習(xí)過程中，直接求原函數(shù)的值域是很困難，但通過求其反函數(shù)的定義域來確定原函數(shù)的值域，這樣，通過反函數(shù)來求解很容易解決問題，一般求反函數(shù)的步驟是這樣的： 3.1.1、先求出反函數(shù)的定義域，因?yàn)樵瘮?shù)的值域就是反函數(shù)的定義域； （我們知道函數(shù)的三要素是定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則，所以先求反函數(shù)的定義域是求反函數(shù)的第一步） 3.1.2、反解x，也就是用y來表示x； 3.1.3、改寫，交換位置，也就是把x改成y，把y改成x； 3.1.4、寫出原函數(shù)及其值域。 實(shí)例

19、：y=2x+1（值域：任意實(shí)數(shù)） x=(y-1)/2 y=(x-1)/2（x取任意實(shí)數(shù)） 特別地，形如kx+ky=b的直線方程和任意一個(gè)反比例函數(shù)，它的反函數(shù)都是它本身。 3.1.5.反函數(shù)求解三步驟1) 換：X、Y換位 2) 解：解出Y 3) 標(biāo)：標(biāo)出定義域。以上即為求解反函數(shù)的步驟，掌握這個(gè)解題方法就可以很容易將反函數(shù)應(yīng)用到數(shù)學(xué)問題中了。3.2數(shù)學(xué)中反函數(shù)的相關(guān)例題分析3.2.1函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，反函數(shù)又是函數(shù)的重要組成部分，也是同學(xué)們學(xué)習(xí)函數(shù)的難點(diǎn)之一。反函數(shù)在歷年高考中也占有一定的比例。在生活中我們也遇到許多數(shù)學(xué)問題通過轉(zhuǎn)換成反函數(shù)解決更容易。例1. 函數(shù) 的反函數(shù)是（ ）。

20、A B C. D. 解析：這是一個(gè)分段函數(shù)，對(duì)分段函數(shù)求反函數(shù)要注意分段求解。由函數(shù)解析式可知當(dāng)時(shí)，；時(shí)。由性質(zhì)1，可知原函數(shù)的反函數(shù)在時(shí)，則根式前面要有負(fù)號(hào)，故可排除A、B兩項(xiàng)，再比較C、D，易得答案為C。例2. 若函數(shù)為函數(shù)的反函數(shù)，則的值域?yàn)開。解析：常規(guī)方法是先求出的反函數(shù)，再求得的值域?yàn)?。如利用性質(zhì)1，的值域即的定義域，可得的值域?yàn)?。?. 函數(shù)的反函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)P（0，2），如下圖所示，則方程在1，4上的根是（ ）A.4 B.3 C.2 D. 1解析：利用互為反函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，的圖象與軸交于點(diǎn)P（0，2），可得原函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)（2，0），即，所以的跟為x =2，

21、應(yīng)選C。例4. 設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，2）對(duì)稱，且存在反函數(shù)，=0，則=_。解析：由=0，可知函數(shù)的圖象過點(diǎn)（4，0），而點(diǎn)（4，0）關(guān)于點(diǎn)（1，2）的對(duì)稱點(diǎn)為（，4）。由題意知點(diǎn)（，4）也在函數(shù)的圖象上，即有，根據(jù)性質(zhì)2，可得。例5 函數(shù)=在區(qū)間上存在反函數(shù)的充要條件是（ ）A. B. C. D. 解析：因?yàn)槎魏瘮?shù)不是定義域內(nèi)的單調(diào)函數(shù)，但在其定義域的子區(qū)間或上是單調(diào)函數(shù)，而已知函數(shù)在區(qū)間上存在反函數(shù)，所以或者，即或，應(yīng)選C。例6. 已知是定義在R上的單調(diào)遞增函數(shù)，且有，試證明。證明：（反證法）假設(shè)存在，使得。是定義在R上的單調(diào)遞增函數(shù)，由性質(zhì)3知，也是R上的單調(diào)遞增函數(shù)。若，則，即，矛

22、盾。同理，當(dāng)時(shí)，也可推出矛盾，故假設(shè)不成立，則。例7. 設(shè)，函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，求的值。解析：函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱。與互為反函數(shù)。根據(jù)性質(zhì)4，的反函數(shù)為。，得。例8. 設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)、都有反函數(shù)，并且函數(shù)和的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，若，求的值。 解析：由已知條件可知與互為反函數(shù)，根據(jù)性質(zhì)4，的反函數(shù)為，可得。3.2.2通過比較互為反函數(shù)圖象間的關(guān)系來解決實(shí)際問題。例題1：函數(shù)y=f(x+1)與函數(shù)y=f-1(x+1)的圖象( )A.關(guān)于直線y=x對(duì)稱 B.關(guān)于直線y=x+1對(duì)稱C.關(guān)于直線y=x-1對(duì)稱 D.關(guān)于直線y=-x對(duì)稱解：y=f(x+1)與y=f-1(x+1)圖象

23、是分別將y=f(x)， y=f-1(x)的圖象向左平移一個(gè)單位所得， y=f(x)與y=f-1(x)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，y=x向左平移一個(gè)單位而得y=x+1. 故選B.例題2：已知函數(shù)y=log2x的反函數(shù)是y=f1(x)，則函數(shù)y= f1(1-x)的圖象是( )解:由y=log2x得f1(x)2x，所以y=f1(1-x)21-x， 選擇C.例題3：:若是上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，則的反函數(shù)的圖象大致是（ ）解：當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，值域?yàn)椋藭r(shí)，其反函數(shù)單調(diào)遞減且圖象在與之間，故選A總結(jié)： 通過三個(gè)月的努力，在老師與同學(xué)們的指導(dǎo)幫助下，反函數(shù)在生活中的應(yīng)用順利的完成了。好多同學(xué)都知道無論是在生

24、活中還是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，轉(zhuǎn)換一個(gè)角度有些看似很難得問題就很容易解決了，反函數(shù)正是抓住這點(diǎn)弱點(diǎn)，通關(guān)轉(zhuǎn)換角度轉(zhuǎn)換思想，把一個(gè)很復(fù)雜的函數(shù)問題通過轉(zhuǎn)化成反函數(shù)的問題就可以很容易求其定義域以及值域，從而達(dá)到解決實(shí)際問題的目的。 同時(shí)，在這次設(shè)計(jì)中，我也發(fā)現(xiàn)了自己的許多不足。首先，最初在學(xué)的時(shí)侯，對(duì)反函數(shù)與反比例函數(shù)的區(qū)別掌握的還不算很全面，走了不少彎路。其次，最初對(duì)反函數(shù)沒有一個(gè)完整的概貌，考慮不是很全面，所以在生活中的應(yīng)用中，碰到不少困難。再次，我還應(yīng)該多掌握些反函數(shù)在生活中其他方領(lǐng)域的應(yīng)用，不斷提高自己在生活中應(yīng)用反函數(shù)的能力。 致謝：本畢業(yè)論文是在陳老師的親切關(guān)懷和細(xì)心指導(dǎo)下完成的。他嚴(yán)肅的科學(xué)

25、態(tài)度，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)精神，精益求精的工作作風(fēng)，深深地感染和激勵(lì)著我。從課題的選擇到論文的最終完成，陳老師都始終給予我細(xì)心的指導(dǎo)和不懈的支持。四年多來，陳老師不僅在學(xué)業(yè)上給我以精心指導(dǎo)，同時(shí)還在思想、生活上給我以無微不至的關(guān)懷，在此謹(jǐn)向陳老師致以誠摯的謝意和崇高的敬意。 在此，我還要感謝在一起愉快的度過四年大學(xué)生活的同學(xué)們，正是由于你們的幫助和支持，我才能克服一個(gè)一個(gè)的困難和疑惑，直至本文的順利完成。在論文即將完成之際，我的心情無法平靜，從開始進(jìn)入課題到論文的順利完成，有多少可敬的師長、同學(xué)、朋友給了我無言的幫助，在這里請(qǐng)接受我誠摯的謝意!最后我還要感謝培養(yǎng)我長大含辛茹苦的父母，謝謝你們!參考書目：

26、1.普通高課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)（必修一） 人民教育出版社 課程教材研究所編著2.普通高等教育高等數(shù)學(xué)教科書 同濟(jì)大學(xué)出版社 上冊(cè) 第六版3.數(shù)學(xué)分析清華大學(xué)出版社p28294.數(shù)學(xué)分析（上）遼寧人民出版社 一九八四年.沈陽5.數(shù)學(xué)教育研究概論 魯正火等著 教育科學(xué)出版社.北京 1998.86普通高課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)（必修三） 人民教育出版社 課程教材研究所編著tgKQcWA3PtGZ7R4I30kA1DkaGhn3XtKknBYCUDxqA7FHYi2CHhI92tgKQcWA3PtGshLs50cLmTWN60eo8Wgqv7XAv2OHUm32WGeaUwYDIAWGMeR4I30kA1DkaGhn3XtKknBYCUDxqA7FHYi2CHhI92tgKQcWA3PtGZ7R4I30kA1DkaGt