西南大學《數理統計》作業(yè)及答案

1、數理統計第一次1、設總體服從正態(tài)分布，其中已知，未知，為其樣本，,則下列說法中正確的是（ ）。（A）是統計量 （B）是統計量（C）是統計量 （D）是統計量2、設兩獨立隨機變量，則服從（ ）。 3、設兩獨立隨機變量，則服從（ ）。 4、設是來自總體的樣本，且，則下列是的無偏估計的是（ ）. 5、設是總體的樣本，未知，則下列隨機變量是統計量的是（ ）. （A）； （B）； （C）； （D） 6、設總體，為樣本，分別為樣本均值和標準差，則下列正確的是（ ）. 7、設總體X服從兩點分布B（1，p），其中p是未知參數，是來自總體的簡單隨機樣本，則下列隨機變量不是統計量為（ ）( A ) . ( B )

2、( C ) ( D ) 8、設為來自正態(tài)總體的一個樣本，未知。則的最大似然估計量為（ ）。（A） （B）（C）（D）1、（D）；2、 ；3、；4、；5、（B）；6、7、( C ) ；8、（B）。第二次1、設總體，為樣本，分別為樣本均值和標準差，則服從（ ）分布. 2、設為來自正態(tài)總體的一個樣本，未知。則的置信度為的區(qū)間估計的樞軸量為（ ）。 (A) (B) (C) (D) 3、在假設檢驗中，下列說法正確的是（ ）。(A) 如果原假設是正確的，但作出的決策是接受備擇假設，則犯了第一類錯誤；(B) 如果備擇假設是正確的，但作出的決策是拒絕備擇假設，則犯了第一類錯誤；(C) 第一類錯誤和第二類錯誤同

3、時都要犯；(D) 如果原假設是錯誤的，但作出的決策是接受備擇假設，則犯了第二類錯誤。4、對總體的均值和作區(qū)間估計，得到置信度為95%的置信區(qū)間，意義是指這個區(qū)間（ ）。 (A)平均含總體95%的值(B)平均含樣本95%的值(C)有95%的機會含樣本的值(D)有95%的機會的機會含的值5、設是未知參數的一個估計量，若，則是的（ ）。(A)極大似然估計(B) 有偏估計(C)相合估計(D) 矩法估計6、設總體的數學期望為為來自的樣本，則下列結論中 正確的是( ). （A）是的無偏估計量. （B）是的極大似然估計量. （C）是的相合（一致）估計量. （D）不是的估計量. 7、設總體，未知，為樣本，為修

4、正樣本方差，則檢驗問題：，（已知）的檢驗統計量為（ ）.（A）（B） （C）（D）.1、；2 (C) ；3、(A)；4、 (D)；5、 (B) ；6、（A）；7、（D）.第三次1、設總體服從參數為的泊松分布，是來自總體的簡單隨機樣本，則 2、設為來自正態(tài)總體的樣本，若為的一個無偏估計，則_。3、設，而1.70，1.75，1.70，1.65，1.75是從總體中抽取的樣本，則的矩估計值為 。4、設總體服從正態(tài)分布，未知。為來自總體的樣本，則對假設；進行假設檢驗時，通常采用的統計量是_，它服從_分布，自由度為_。5、設總體,為來自該總體的樣本，,則_.6、我們通常所說的樣本稱為簡單隨機樣本，它具有的

5、特點是 7、已知，則 8、設，是從總體中抽取的樣本，求的矩估計為 9、檢驗問題：，（含有個未知參數）的皮爾遜檢驗拒絕域為 10、設為來自正態(tài)總體的簡單隨機樣本，設若使隨機變量服從分布，則常數 11、設由來自總體的容量為9的簡單隨機樣本其樣本均值為，則的置信度為0.95的置信區(qū)間是 （）.12、若線性模型為，則最小二乘估計量為 1、，2、1，3、1.71，4、，,5、2/5，6、獨立性，代表性；7、1/2；8、；9、；10、1/3；11、；12、。 .第四次1、設總體X服從兩點分布B（1，p），其中p是未知參數，是來自總體的簡單隨機樣本。指出之中哪些是統計量，哪些不是統計量，為什么？2、設總體X

6、服從參數為（N，p）的二項分布，其中（N，p）為未知參數，為來自總體X的一個樣本，求（N，p）的矩法估計。3、設是取自正態(tài)總體的一個樣本，試問是的相合估計嗎？4、設連續(xù)型總體X的概率密度為, 來自總體X的一個樣本，求未知參數的極大似然估計量，并討論的無偏性。5、隨機地從一批釘子中抽取16枚，測得其長度（以厘米計）為 2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.10 2.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11設釘長服從正態(tài)分布。 若已知=0.01（厘米），試求總體均值的0.9的置信區(qū)間。（）6、甲、乙兩臺機床分別加工某種軸，軸的直

7、徑分別服從正態(tài)分布與，為比較兩臺機床的加工精度有無顯著差異。從各自加工的軸中分別抽取若干根軸測其直徑，結果如下：總體樣本容量 直徑X(機床甲) Y(機床乙) 8 720.5 19.8 19.7 20.4 20.1 20.0 19.0 19.920.7 19.8 19.5 20.8 20.4 19.6 20.2試問在=0.05水平上可否認為兩臺機床加工精度一致？（）7、為了檢驗某藥物是否會改變人的血壓，挑選10名試驗者，測量他們服藥前后的血壓，如下表所列：編號12345678910服藥前血壓134122132130128140118127125142服藥后血壓140130135126134138

8、124126132144假設服藥后與服藥前血壓差值服從正態(tài)分布，取檢驗水平為0.05，從這些資料中是否能得出該藥物會改變血壓的結論？1、 解：都是統計量，不是統計量，因p是未知參數。2、 解：因為，只需以分別代解方程組得。3、解：由于 服從自由度為n-1的-分布，故，從而根據車貝曉夫不等式有，所以是的相合估計。4解：似然函數為，令，得.由于，因此的極大似然估計量是的無偏估計量。5、 解：，置信度0.9，即=0.1，查正態(tài)分布數值表，知, 即,從而，所以總體均值的0.9的置信區(qū)間為.6、解：首先建立假設： 在n=8，m=7, =0.05時,故拒絕域為, 現由樣本求得=0.2164，=0.2729

9、，從而F=0.793，未落入拒絕域，因而在=0.05水平上可認為兩臺機床加工精度一致。7、解：以X記服藥后與服藥前血壓的差值，則X服從，其中均未知，這些資料中可以得出X的一個樣本觀察值：6 8 3 -4 6 -2 6 -1 7 2 待檢驗的假設為 這是一個方差未知時，對正態(tài)總體的均值作檢驗的問題，因此用t檢驗法當時，接受原假設，反之，拒絕原假設。依次計算有 ，由于， T的觀察值的絕對值. 所以拒絕原假設，即認為服藥前后人的血壓有顯著變化。1、設某商店100天銷售電視機的情況有如下統計資料： 日售出臺數2 3 4 5 6合計天數20 30 10 25 15100求樣本容量n，樣本均值和樣本方差。

10、2、設為總體X服從的一個樣本，求.（）3、設總體X具有分布律X123Pk22(1)(1) 2其中(01)為未知參數。已知取得了樣本值x1=1，x2=2，x3=1，試求的最大似然估計值。4、求均勻分布中參數的極大似然估計5、為比較兩個學校同一年級學生數學課程的成績，隨機地抽取學校A的9個學生，得分數的平均值為，方差為；隨機地抽取學校B的15個學生，得分數的平均值為，方差為。設樣本均來自正態(tài)總體且方差相等，參數均未知，兩樣本獨立。求均值差的置信水平為0.95的置信區(qū)間。（）6、設A，B二化驗員獨立地對某種聚合物的含氯量用相同的方法各作了10次測定，其測量值的修正方差分別為，設和分別為所測量的數據總

11、體（設為正態(tài)總體）的方差，求方差比的0.95的置信區(qū)間。7、某種標準類型電池的容量（以安-時計）的標準差，隨機地取10只新類型的電池測得它們的容量如下146，141，135，142，140，143，138，137，142，136設樣本來自正態(tài)總體，均未知，問標準差是否有變動，即需檢驗假設（?。?。8、某地調查了3000名失業(yè)人員，按性別文化程度分類如下：文化程度 性別大專以上 中專技校 高中 初中及以下合計男女40 138 620 104320 72 442 62518411159合計60 210 1062 16683000試在=0.05水平上檢驗失業(yè)人員的性別與文化程度是否有關。（）第五次1

12、、設某商店100天銷售電視機的情況有如下統計資料： 日售出臺數2 3 4 5 6合計天數20 30 10 25 15100求樣本容量n，樣本均值和樣本方差。2、設為總體X服從的一個樣本，求.（）3、設總體X具有分布律X123Pk22(1)(1) 2其中(01)為未知參數。已知取得了樣本值x1=1，x2=2，x3=1，試求的最大似然估計值。4、求均勻分布中參數的極大似然估計5、為比較兩個學校同一年級學生數學課程的成績，隨機地抽取學校A的9個學生，得分數的平均值為，方差為；隨機地抽取學校B的15個學生，得分數的平均值為，方差為。設樣本均來自正態(tài)總體且方差相等，參數均未知，兩樣本獨立。求均值差的置信

13、水平為0.95的置信區(qū)間。（）6、設A，B二化驗員獨立地對某種聚合物的含氯量用相同的方法各作了10次測定，其測量值的修正方差分別為，設和分別為所測量的數據總體（設為正態(tài)總體）的方差，求方差比的0.95的置信區(qū)間。7、某種標準類型電池的容量（以安-時計）的標準差，隨機地取10只新類型的電池測得它們的容量如下146，141，135，142，140，143，138，137，142，136設樣本來自正態(tài)總體，均未知，問標準差是否有變動，即需檢驗假設（?。?。8、某地調查了3000名失業(yè)人員，按性別文化程度分類如下：文化程度 性別大專以上 中專技校 高中 初中及以下合計男女40 138 620 1043

14、20 72 442 62518411159合計60 210 1062 16683000試在=0.05水平上檢驗失業(yè)人員的性別與文化程度是否有關。（）1、解：樣本容量為n=100樣本均值，樣本方差，樣本修正方差分別為2、解： 因每個與總體X有相同分布，故服從，則服從自由度n=7的-分布。因為，查表可知, 故3、解：似然函數 ln L( )=ln2+5ln+ln(1)求導 得到唯一解為4、解：由X服從a，b上的均勻分布，易知 求a，b的矩法估計量只需解方程, 得5、解：根據兩個正態(tài)總體均值差的區(qū)間估計的標準結論，均值差的置信水平為0.95的置信區(qū)間為6、解：n=m=10, 1-=0.95，=0.0

15、5, ,從而故方差比的0.95的置信區(qū)間為0.222，3.601。7、這是一個正態(tài)總體的方差檢驗問題，屬于雙邊檢驗問題。檢驗統計量為。代入本題中的具體數據得到。檢驗的臨界值為。因為，所以樣本值落入拒絕域，因此拒絕原假設，即認為電池容量的標準差發(fā)生了顯著的變化，不再為1.66。8、解：這是列聯表的獨立性檢驗問題。在本題中r=2，c=4，在=0.05下，, 因而拒絕域為：. 為了計算統計量(3.4)，可列成如下表格計算：大專以上 中專技校 高中 初中及以下男女36.8 128.9 651.7 1023.623.2 81.1 410.3 644.418411159合計60 210 1062 1668

16、3000從而得,由于=7.3267.815，樣本落入接受域，從而在=0.05水平上可認為失業(yè)人員的性別與文化程度無關。1設是取自正態(tài)總體的一個容量為2的樣本，試證下列三個估計量都是的無偏估計量：, 并指出其中哪一個估計量更有效?？梢姷谌齻€估計量更有效。2設是取自正態(tài)總體的一個樣本，試證是的相合估計。證明：由于服從自由度為n-1的-分布，故 ， 從而根據車貝曉夫不等式有 ， 所以是的相合估計。3 隨機地從一批釘子中抽取16枚，測得其長度（以厘米計）為 2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.10 2.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.1

17、4 2.11設釘長服從正態(tài)分布，試求總體均值的0.9的置信區(qū)間。（1）若已知=0.01（厘米），（2）若未知。解：（1） ，置信度0.9，即=0.1，查正態(tài)分布數值表，知, 即, 從而， 所以總體均值 的0.9的置信區(qū)間為. （2）未知 , 置信度0.9，即=0.1，自由度n-1=15，查t-分布的臨界值表 所以置信度為0。9的的置信區(qū)間是 4 某農場為了試驗磷肥與氮肥是否提高水稻收獲量，任選試驗田18塊，每塊面積1/20畝進行試驗，試驗結果：不施肥的10塊試驗田的收獲量分別為8.6，7.9，9.3，10.7，11.2，11.4，9.8，9.5，10.1，8.5（單位：市斤），其余8塊試驗田在

18、插種前施加磷肥，播種后又追施三次氮肥，其收獲量分別為12.6，10.2，11.7，12.3，11.1，10.5，10.6，12.2。假定施肥與不施肥的收獲量都服從正態(tài)分布，且方差相等，試在置信概率0.95下，求每1/20畝的水稻平均收獲量施肥比不施肥增產的幅度。答：設正態(tài)總體 分別表示施肥和不施肥的每1/20畝的水稻收獲量，據題意，有 對1-=0.95，即=0.05，查t分布表（自由度為n+m-2=16），得 ，于是 所以在置信概率0。95下，求每1/20畝的水稻平均收獲量施肥比不施肥增產0.6到2.8市斤。1 某廠用自動包裝機裝箱，在正常情況下，每箱重量服從正態(tài)分布，某日開工后，隨機抽查10

19、箱，重量如下（單位：斤）：99.3，98.9，100.5，100.1，99.9，99.7，100.0，100.2，99.5，100.9，問包裝機工作是否正常，即該日每箱重量的數學期望與100有顯著差異（給定水平=0.05，并認為該日的仍為1.15）？答：以該日每箱重量作為總體 ，它服從 ，問題就歸結為根據所給的樣本觀察值對方差已知的正態(tài)總體檢驗 ，可采用U-檢驗法。原假設 ，由所給樣本觀察值算得 ，于是 對于=0.05，查標準正態(tài)分布表得 ，因為 ，所以接受 ，即可以認為該日每箱重量的數學期望與100 無顯著差異，包裝機工作正常。2 設某包裝食鹽的機器正常工作時每袋食鹽的標準重量為500克，標

20、準差不得超過10克，某天開工后從包裝好的食鹽中隨機抽取9袋，測得其凈重如下（單位：克） 497 , 507 , 510 , 475 , 484 , 488 , 524 , 491 , 515 . 問此時包裝機工作是否正常? 解：， 選取檢驗統計量： ，計算得，在n=9,=0.05時，。拒絕域，因此 此時包裝機工作是正常的。3 由累積資料知道甲、乙兩煤礦的含灰率分別服從. 現從兩礦各抽n=5, m=4個試件，分析其含灰率為(%)甲礦24.320.823.721.317.4乙礦18.216.920.216.7問甲、乙兩礦所采煤的含灰率的數學期望有無顯著差異（顯著水平=0.05）？答：分別以甲乙兩礦

21、所采煤的含灰率作為總體 和總體 ,問題歸結為根據所給的樣本觀察值對方差已知的兩個正態(tài)總體檢驗 ，可采用U-檢驗法。原假設 ，由所給樣本觀察值算得 ，于是 對于=0.10，查標準正態(tài)分布表得 ，因為 ，所以拒絕 ，即可以認為 有顯著差異。4 兩臺車床生產同一種滾珠（滾珠直徑按正態(tài)分布見下表），從中分別抽取8個和9個產品，比較兩臺車床生產的滾珠直徑的方差是否相等（=0.05）？甲床15.0 14.5 15.2 15.5 14.8 15.1 15.2 14.8 乙床15.2 15.0 14.8 15.2 15.0 15.0 14.8 15.1 14.8 答：已知n=8，m=9，=0.05，假設 ，=

22、0.05，/2=0.025，第一自由度n-1=7，第二自由度m-1=8，在 成立的條件下選取統計量 服從自由度分別為7，8的F分布 查表： ，因為F=3.694.53,所以接受假設 ，即可以認為兩臺車床生產的滾珠直徑的方差相等。5 自某種銅溶液測得9個銅含量的百分比的觀察值為8.3，標準差為0.025。設樣本來自正態(tài)總體，均未知。試依據這一樣本取顯著性水平檢驗假設：。解：這是一個方差未知的正態(tài)總體的均值檢驗，屬于左邊檢驗問題，檢驗統計量為。代入本題具體數據，得到。檢驗的臨界值為。1 從一批機器零件毛坯中隨機抽取8件，測得其重量（單位：kg）為：230，243，185，240，228，196，2

23、46，200。（1）寫出總體，樣本，樣本值，樣本容量；（2）求樣本的均值，方差及二階原點距。答：（1）總體為該批機器零件重量，樣本為 ，樣本值為230，243，185，240，228，196，246，200，樣本容量為n=8； （2） 2 設總體X服從正態(tài)分布，其中已知，未知，是來自總體的簡單隨機樣本。（1）寫出樣本的聯合密度函數；（2）指出之中哪些是統計量，哪些不是統計量。答：（1）因為X服從正態(tài)分布 ，而是取自總體X的樣本，所以有Xi服從 ，即 故樣本的聯合密度函數為 。（2）都是統計量，因為它們均不包含任何未知參數，而不是統計量。3 設總體X服從兩點分布B（1，p），其中p是未知參數，是來自總體的簡單隨機樣本。指出之中哪些是統計量，哪些不是統計量，為什么？答：都是統計量，不是統計量，因p是未知參數。4 設總體服從參數為的指數分布，分布密度為求和.解：由于，所以 ； ； 。5 設總體X服從，樣本來自總體X, 令, 求