2021屆高考數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí)層級二專題五概率與統(tǒng)計第三講隨機變量及其分布列學(xué)案理含解析

1、第三講隨機變量及其分布列1(2017全國卷)一批產(chǎn)品的二等品率為0.02，從這批產(chǎn)品中每次隨機取一件，有放回地抽取100次，x表示抽到的二等品件數(shù)，則d(x)_.解析：依題意，xb(100,0.02)，所以d(x)1000.02(10.02)1.96.答案：1.962(2018全國卷)某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品檢驗時，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗，再根據(jù)檢驗結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0p0；當(dāng)p(0.1,1)時，f(p)400，故應(yīng)該對余下的產(chǎn)品作檢驗3(2019全

2、國卷)為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物試驗試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分甲、乙兩種藥的治愈率分別記為和，一輪試驗中甲藥的得分記為x.(1)求x的分布列；(

3、2)若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，pi(i0，1，8)表示“甲藥的累計得分為i時，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則p00，p81，piapi1bpicpi1(i1,2，7)，其中ap(x1)，bp(x0)，cp(x1)假設(shè)0.5，0.8.證明：pi1pi(i0,1,2，7)為等比數(shù)列；求p4，并根據(jù)p4的值解釋這種試驗方案的合理性解：(1)x的所有可能取值為1,0,1.p(x1)(1)，p(x0)(1)(1)，p(x1)(1)所以x的分布列為x101p(1)(1)(1)(1)(2)證明：由(1)得a0.4，b0.5，c0.1，因此pi0.4pi10.5pi0.1pi1，故0.1(pi

4、1pi)0.4(pipi1)，即pi1pi4(pipi1)又因為p1p0p10，所以pi1pi(i0,1,2，7)是公比為4，首項為p1的等比數(shù)列由可得p8p8p7p7p6p1p0p0(p8p7)(p7p6)(p1p0)p1.由于p81，故p1，所以p4(p4p3)(p3p2)(p2p1)(p1p0)p1.p4表示最終認(rèn)為甲藥更有效的概率由計算結(jié)果可以看出，在甲藥治愈率為0.5，乙藥治愈率為0.8時，認(rèn)為甲藥更有效的概率為p40.003 9，此時得出錯誤結(jié)論的概率非常小，說明這種試驗方案合理. 明 考 情 1對概率的考查既有大題也有小題，選擇題或填空題出現(xiàn)在第38題或第13題的位置，主要考查幾

5、何概率，難度一般2概率統(tǒng)計的解答題多在第18題或19題的位置，多以交匯性的形式考查，交匯點有兩種：一是兩圖(頻率分布直方圖與莖葉圖)擇一與隨機變量的分布列、數(shù)學(xué)期望、方差相交匯考查；二是兩圖(頻率分布直方圖與莖葉圖)擇一與回歸分析或獨立性檢驗相交匯考查.考點一離散型隨機變量的均值與方差|析典例|【例】(2019遼寧五校聯(lián)考)某商場銷售某種品牌的空調(diào)，每周周初購進一定數(shù)量的空調(diào)，商場每銷售一臺空調(diào)可獲利500元，若供大于求，則多余的每臺空調(diào)需交保管費100元；若供不應(yīng)求，則可從其他商店調(diào)劑供應(yīng)，此時每臺空調(diào)僅獲利200元(1)若該商場周初購進20臺空調(diào)，求當(dāng)周的利潤(單位：元)關(guān)于當(dāng)周需求量n(

6、單位：臺，nn)的函數(shù)解析式f(n)；(2)該商場記錄了去年夏天(共10周)空調(diào)需求量n(單位：臺)，整理得下表：周需求量n1819202122頻數(shù)12331以10周記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率，若商場周初購進20臺空調(diào)，x表示當(dāng)周的利潤(單位：元)，求x的分布列及數(shù)學(xué)期望思路分析第(1)問：求什么，如何想求f(n)想到依據(jù)題意確定解析式給什么，如何用給出以20臺為分界點，列出分段函數(shù)解析式第(2)問：求什么，如何想求當(dāng)周的利潤的分布列與期望，想到分析利潤的取值及發(fā)生的概率給什么，如何用根據(jù)條件求出x各個取值的概率，寫出分布列，再利用期望的定義求x的數(shù)學(xué)期望規(guī)范解答(1)當(dāng)n20

7、時，f(n)50020200(n20)200n6 000；當(dāng)n19時，f(n)500n100(20n)600n2 000，f(n)(nn)(2)由(1)得f(18)8 800，f(19)9 400，f(20)10 000，f(21)10 200，f(22)10 400，p(x8 800)0.1，p(x9 400)0.2，p(x10 000)0.3，p(x10 200)0.3，p(x10 400)0.1，x的分布列為x8 8009 40010 00010 20010 400p0.10.20.30.30.1e(x)8 8000.19 4000.210 0000.310 2000.310 4000.

8、19 860.| 規(guī) 律 方 法 |1求離散型隨機變量x的分布列的步驟(1)理解x的意義，寫出x可能取的全部值；(2)求x取每個值的概率；(3)寫出x的分布列；(4)根據(jù)分布列的性質(zhì)對結(jié)果進行檢驗2期望與方差的一般計算步驟(1)理解x的意義，寫出x的所有可能取的值；(2)求x取各個值的概率，寫出分布列；(3)根據(jù)分布列，正確運用期望與方差的定義或公式進行計算|練題點|1(2019唐山市高三摸底)甲、乙兩位工人分別用兩種不同工藝生產(chǎn)同一種零件，已知尺寸在223,228(單位：mm)內(nèi)的零件為一等品，其余為二等品甲、乙兩位工人當(dāng)天生產(chǎn)零件尺寸的莖葉圖如圖所示：(1)從甲、乙兩位工人當(dāng)天所生產(chǎn)的零件

9、中各隨機抽取1個零件，求抽取的2個零件等級互不相同的概率；(2)從工人甲當(dāng)天生產(chǎn)的零件中隨機抽取3個零件，記這3個零件中一等品數(shù)量為x，求x的分布列和數(shù)學(xué)期望解：(1)由莖葉圖可知，甲當(dāng)天生產(chǎn)了10個零件，其中4個一等品，6個二等品；乙當(dāng)天生產(chǎn)了10個零件，其中5個一等品，5個二等品所以抽取的2個零件等級互不相同的概率p.(2)x可取0,1,2,3.p(x0)，p(x1)，p(x2)，p(x3).x的分布列為x0123p所以隨機變量x的數(shù)學(xué)期望e(x)0123.2(2019洛陽市第二次聯(lián)考)現(xiàn)有兩種投資方案，一年后投資盈虧的情況如下表：投資股市：投資結(jié)果獲利40%不賠不賺虧損20%概率購買基金

10、：投資結(jié)果獲利20%不賠不賺虧損10%概率pq(1)當(dāng)p時，求q的值；(2)已知甲、乙兩人分別選擇了“投資股市”和“購買基金”進行投資，如果一年后他們中至少有一人獲利的概率大于，求p的取值范圍；(3)丙要將家中閑置的10萬元錢進行投資，決定在“投資股市”和“購買基金”這兩種方案中選擇一種，已知p，q，那么丙選擇哪種投資方案，才能使得一年后投資收益的數(shù)學(xué)期望較大？請說明理由解：(1)“購買基金”后，投資結(jié)果只有“獲利”“不賠不賺”“虧損”三種，且三種投資結(jié)果相互獨立，pq1.又p，q.(2)記事件a為“甲投資股市且獲利”，事件b為“乙購買基金且獲利”，事件c為“一年后甲、乙兩人中至少有一人投資獲

11、利”，則cabab，且a，b獨立由題意可知，p(a)，p(b)p，p(c)p(a)p(b)p(ab)(1p)ppp.p(c)p，p.又pq1，q0，p，p的取值范圍為.(3)假設(shè)丙選擇“投資股市”的方案進行投資，記x為丙投資股市的獲利金額(單位：萬元)，隨機變量x的分布列為x402p則e(x)40(2).假設(shè)丙選擇“購買基金”的方案進行投資，記y為丙購買基金的獲利金額(單位：萬元)，隨機變量y的分布列為y201p則e(y)20(1).e(x)e(y)，丙選擇“投資股市”，才能使得一年后的投資收益的數(shù)學(xué)期望較大考點二二項分布|析典例|【例】(2019河北承德市第一中學(xué)模擬)某市為了調(diào)查學(xué)?！瓣柟?/p>

12、體育活動”在高三年級的實施情況，從本市某校高三男生中隨機抽取一個班的男生進行投擲實心鉛球(重3 kg)測試，成績在6.9米以上的為合格把所得數(shù)據(jù)進行整理后，分成5組畫出頻率分布直方圖的一部分(如圖所示)，已知成績在9.9,11.4)的頻數(shù)是4.(1)求這次鉛球測試成績合格的人數(shù)；(2)(一題多解)若從今年該市高中畢業(yè)男生中隨機抽取兩名，記表示兩人中成績不合格的人數(shù)，利用樣本估計總體，求的分布列、均值與方差解(1)由頻率分布直方圖，知成績在9.9,11.4)的頻率為1(0.050.220.300.03)1.50.1.因為成績在9.9,11.4)的頻數(shù)是4，故抽取的總?cè)藬?shù)為40.又成績在6.9米以

13、上的為合格，所以這次鉛球測試成績合格的人數(shù)為400.051.54037.(2)解法一：的所有可能取值為0,1,2，利用樣本估計總體，從今年該市高中畢業(yè)男生中隨機抽取一名成績合格的概率為，成績不合格的概率為1，可判斷b.p(0)c2，p(1)c，p(2)c2，故所求分布列為x012p的均值為e()012，的方差為d()222.解法二：求的分布列同解法一的均值為e()2，的方差為d()2.| 規(guī) 律 方 法 |1求解二項分布問題的“四關(guān)”一是“判斷關(guān)”，即判斷離散型隨機變量x是否服從二項分布b(n，p)二是“公式關(guān)”，即利用p(xk)cpk(1p)nk(k0,1,2，n)，求出x取各個值時的概率三

14、是“分布列關(guān)”，列出表格，得離散型隨機變量的分布列四是“結(jié)論關(guān)”，利用公式e(x)np求期望，d(x)np(1p)求方差熟記二項分布的概率、期望與方差公式，可以避免繁瑣的運算過程2有些隨機變量雖不服從二項分布，但與之具有線性關(guān)系的另一隨機變量服從二項分布，這時，可以應(yīng)用均值與方差的性質(zhì)e(axb)ae(x)b，d(axb)a2d(x)求解|練題點|(2019河南洛陽三模)某次數(shù)學(xué)知識比賽中共有6個不同的題目，每位同學(xué)從中隨機抽取3個題目進行作答，已知這6個題目中，甲只能答對其中的4個，而乙能答對每個題目的概率均為，且甲、乙兩位同學(xué)對每個題目的作答都是相互獨立的(1)求甲、乙兩位同學(xué)總共答對3題

15、的概率；(2)若甲、乙兩位同學(xué)答對題目的個數(shù)分別是m，n，由于甲所在班級少一名學(xué)生參賽，故甲答對一題得15分，乙答對一題得10分，求甲、乙兩人得分之和x的期望解：(1)由題意可知，甲、乙兩位同學(xué)總共答對3題可以分為3種情況：甲答對1題乙答對2題；甲答對2題乙答對1題；甲答對3題乙答對0題故所求的概率pc2c2c3.(2)m的所有可能取值有1,2,3.p(m1)，p(m2)，p(m3)，故e(m)1232.由題意可知nb，故e(n)32.而x15m10n，所以e(x)15e(m)10e(n)50.考點三正態(tài)分布|析典例|【例】(2018廣西三市聯(lián)考)某市環(huán)保部門對該市市民進行了一次垃圾分類知識的

16、網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查，每一位市民僅有一次參加機會，通過隨機抽樣，得到參加問卷調(diào)查的1 000 人的得分(滿分：100分)數(shù)據(jù)，統(tǒng)計結(jié)果如下表所示.組別30,40)40,50)50,60)60,70)70,80)80,90)90,100頻數(shù)2515020025022510050(1)已知此次問卷調(diào)查的得分z服從正態(tài)分布n(，210)，近似為這1 000人得分的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表)，請利用正態(tài)分布的知識求p(36z79.5)；(2)在(1)的條件下，環(huán)保部門為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎勵方案得分不低于的可以獲贈2次隨機話費，得分低于的可以獲贈1次隨機話費；每次贈送的隨機話

17、費和相應(yīng)的概率如下表.贈送的隨機話費/元2040概率 現(xiàn)市民甲要參加此次問卷調(diào)查，記x為該市民參加問卷調(diào)查獲贈的話費，求x的分布列及數(shù)學(xué)期望附：14.5，若xn(，2)，則p(x)0.682 7，p(2x2)0.954 5，p(3x3)0.997 3.解(1)由題易得e(z)350.025450.15550.2650.25750.225850.1950.0565，所以65，所以得分z服從正態(tài)分布n(65,210)，又14.5，所以p(50.5z79.5)0.682 7，p(36z94)0.954 5，所以p(36z50.5)(0.954 50.682 7)0.135 9，所以p(36z79.5)p(36z50.5)p(50.5z79.5)0.135 90.682 70.818 6.(2)易知p(z)p(z)，x的所有可能取值為20,40,60,80.則p(x20)，p(x40)，p(x60)，p(x80).所以x的分布列為x20406080p所以x的數(shù)學(xué)期望e(x)20406080.| 規(guī) 律 方 法 |服從n(，2)的隨機變量x在某個區(qū)間內(nèi)取值的概率的求法(1)利用p(x)，p(2x2)，p(3x3)的值直接求(2)充分利用正態(tài)曲線的對稱性和曲線與x軸之間的面積為1這些特殊性質(zhì)求解|練題點|(一題多解