第三章周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)表

1、12v時(shí)域分析方法的基礎(chǔ)時(shí)域分析方法的基礎(chǔ) ： 1)1)信號(hào)在時(shí)域的分解信號(hào)在時(shí)域的分解 2)2)ltilti系統(tǒng)滿足線性、時(shí)不變性系統(tǒng)滿足線性、時(shí)不變性 v從分解信號(hào)的角度出發(fā)，基本信號(hào)單元必須滿足兩從分解信號(hào)的角度出發(fā)，基本信號(hào)單元必須滿足兩個(gè)要求個(gè)要求： 1)1)本身簡(jiǎn)單，以便本身簡(jiǎn)單，以便ltilti系統(tǒng)對(duì)它的響應(yīng)簡(jiǎn)便得到系統(tǒng)對(duì)它的響應(yīng)簡(jiǎn)便得到 2)2)具有普遍性，能夠用以構(gòu)成相當(dāng)廣泛的信號(hào)具有普遍性，能夠用以構(gòu)成相當(dāng)廣泛的信號(hào) 3 本章將找到另一種滿足上述要求的本章將找到另一種滿足上述要求的基本信號(hào)單元基本信號(hào)單元-復(fù)指數(shù)信號(hào)復(fù)指數(shù)信號(hào) , lti, lti系統(tǒng)對(duì)復(fù)指數(shù)信號(hào)的響應(yīng)是十

2、分簡(jiǎn)單。系統(tǒng)對(duì)復(fù)指數(shù)信號(hào)的響應(yīng)是十分簡(jiǎn)單。stenz4 1768年生于法國(guó)年生于法國(guó) 1807年提出年提出“任何任何周期信號(hào)都可用正弦周期信號(hào)都可用正弦函數(shù)級(jí)數(shù)表示函數(shù)級(jí)數(shù)表示” 1829年狄里赫利第年狄里赫利第一個(gè)給出收斂條件一個(gè)給出收斂條件 拉格朗日反對(duì)發(fā)表拉格朗日反對(duì)發(fā)表 1822年首次發(fā)表年首次發(fā)表“熱的分析理論熱的分析理論”5 “周期信號(hào)都可表示為成諧波關(guān)系的周期信號(hào)都可表示為成諧波關(guān)系的正弦信號(hào)的加權(quán)和正弦信號(hào)的加權(quán)和”傅里葉的第傅里葉的第一個(gè)主要論點(diǎn)一個(gè)主要論點(diǎn) “非周期信號(hào)都可用正弦信號(hào)的加權(quán)非周期信號(hào)都可用正弦信號(hào)的加權(quán)積分表示積分表示”傅里葉的第二個(gè)主要論點(diǎn)傅里葉的第二個(gè)主

3、要論點(diǎn)6 一個(gè)一個(gè)ltilti系統(tǒng)對(duì)復(fù)指數(shù)信號(hào)的響應(yīng)也是系統(tǒng)對(duì)復(fù)指數(shù)信號(hào)的響應(yīng)也是同樣一個(gè)復(fù)指數(shù)信號(hào)，不同的只是在幅度同樣一個(gè)復(fù)指數(shù)信號(hào)，不同的只是在幅度上的變化，即：上的變化，即： nnststzzhzeshe離散時(shí)間信號(hào)：連續(xù)時(shí)間信號(hào)： 是一個(gè)復(fù)振幅因子，其中zhsh7特征函數(shù)：特征函數(shù)： 如果如果系統(tǒng)對(duì)某一信號(hào)的響應(yīng)只是該信系統(tǒng)對(duì)某一信號(hào)的響應(yīng)只是該信號(hào)乘以一個(gè)常數(shù)號(hào)乘以一個(gè)常數(shù)，則則稱該信號(hào)是這個(gè)稱該信號(hào)是這個(gè)系統(tǒng)系統(tǒng)的特征函數(shù)的特征函數(shù)。系統(tǒng)對(duì)。系統(tǒng)對(duì)該信號(hào)加權(quán)的常數(shù)該信號(hào)加權(quán)的常數(shù)稱稱為系統(tǒng)與特征函數(shù)相對(duì)應(yīng)的為系統(tǒng)與特征函數(shù)相對(duì)應(yīng)的特征值特征值。 證明：證明：復(fù)指數(shù)（復(fù)指數(shù)（est

4、、zn）是）是lti系統(tǒng)的特征函數(shù)。系統(tǒng)的特征函數(shù)。 nnststzzhzeshe離散時(shí)間信號(hào)：連續(xù)時(shí)間信號(hào)：8)()(tth( )()h tttste1)()()(*)()(txttxthtxty9 復(fù)指數(shù)函數(shù)復(fù)指數(shù)函數(shù) 、 是一切是一切l(wèi)tilti系統(tǒng)的系統(tǒng)的特征函數(shù)。同時(shí)特征函數(shù)。同時(shí): : 分別是分別是ltilti系統(tǒng)與復(fù)指數(shù)信號(hào)相對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)與復(fù)指數(shù)信號(hào)相對(duì)應(yīng)的特征特征值值。只有只有復(fù)指數(shù)函數(shù)才能成為一切復(fù)指數(shù)函數(shù)才能成為一切l(wèi)tilti系統(tǒng)系統(tǒng)的特征函數(shù)。的特征函數(shù)。 nnsttznhzhdtethshstenz10只需求出系統(tǒng)的特征值 ,即可求出的輸出。例3.1 已知系統(tǒng)的輸入輸出

5、關(guān)系為 3txty！時(shí)，系統(tǒng)的輸出 。，求：，求： t2j1etx ty2分析：復(fù)指數(shù)輸入為lti系統(tǒng)的特征函數(shù)，根據(jù) 3t73t4tx2coscos 時(shí)，系統(tǒng)的輸出 ; ty1 sh解：解： 2 21jsetxtj steshty t2j6jt2j1eee2jhty 333 ssh th sede 又6je2jh 11 tx2 不是一個(gè)特征函數(shù)形式，根據(jù)歐拉公式，將其分解為特征函數(shù)的線性組合： tjtjtjtjeeeetttx774422121212137cos34cos 以上4個(gè)特征函數(shù)的輸出用 步的方法求出，分別為： , t 4j12jt 4jt 4jee21e4 jh21e21tjjt

6、jtjeeejhe412442142121 , t 7 j21jt 7 jt 7 jee21e7 jh21e21t 7 j21jt 7 jt 7 jee21e7 jh21e21 3t73t4ee21ee21ee21ee21tyt7j21jt7j21jt4j12jt4j12j2coscos 由疊加原理1213 nkkkkknkkzzhanyzanx同理同理：則：則：14 綜上：綜上：對(duì)于連續(xù)時(shí)間和離散時(shí)間來(lái)說(shuō)，如對(duì)于連續(xù)時(shí)間和離散時(shí)間來(lái)說(shuō)，如果一個(gè)果一個(gè)ltilti系統(tǒng)的輸入能夠系統(tǒng)的輸入能夠表示成復(fù)指數(shù)的表示成復(fù)指數(shù)的線性組合線性組合，那么，那么系統(tǒng)的輸出也能夠表示成系統(tǒng)的輸出也能夠表示成相同

7、復(fù)指數(shù)信號(hào)的線性組合相同復(fù)指數(shù)信號(hào)的線性組合；并且在輸出；并且在輸出表示式中每一個(gè)系數(shù)可以用輸入中表示式中每一個(gè)系數(shù)可以用輸入中相應(yīng)的相應(yīng)的系數(shù)系數(shù) 分別與特征函數(shù)分別與特征函數(shù) 或或 有關(guān)有關(guān)的系統(tǒng)特征值的系統(tǒng)特征值 或或 相乘來(lái)求相乘來(lái)求得。得。katskenkz)(ksh)(kzh15其中每個(gè)信號(hào)都是以其中每個(gè)信號(hào)都是以 為周期的，為周期的，公共周期為公共周期為 ，且該集合中所有，且該集合中所有信號(hào)都是各不相同彼此獨(dú)立的。信號(hào)都是各不相同彼此獨(dú)立的。一一 連續(xù)時(shí)間傅里葉級(jí)數(shù)連續(xù)時(shí)間傅里葉級(jí)數(shù)成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號(hào)集成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號(hào)集: : tjkket002k02其中每個(gè)信號(hào)都是以

8、其中每個(gè)信號(hào)都是以 為周期的，為周期的，公共周期為公共周期為 ，且該集合中所有，且該集合中所有信號(hào)都是各不相同彼此獨(dú)立的。信號(hào)都是各不相同彼此獨(dú)立的。其中每個(gè)信號(hào)都是以其中每個(gè)信號(hào)都是以 為周期的，為周期的，公共周期為公共周期為 ，且該集合中所有，且該集合中所有信號(hào)都是各不相同彼此獨(dú)立的。信號(hào)都是各不相同彼此獨(dú)立的。16 ttjkkktjkkkeaeatx)/2(0 它也是以它也是以 ?為周期為周期該級(jí)數(shù)就是該級(jí)數(shù)就是傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)，這，這表明表明用傅里葉級(jí)數(shù)用傅里葉級(jí)數(shù)可以表示連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)。即可以表示連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)。即: : 連續(xù)時(shí)間周連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)可以分解成無(wú)數(shù)多個(gè)諧波分量期

9、信號(hào)可以分解成無(wú)數(shù)多個(gè)諧波分量。 0217圖形見(jiàn)下頁(yè)1819二二 頻譜的概念頻譜的概念 在傅里葉級(jí)數(shù)中，各個(gè)信號(hào)分量（諧波在傅里葉級(jí)數(shù)中，各個(gè)信號(hào)分量（諧波分量）分量） 間的區(qū)別也僅僅是間的區(qū)別也僅僅是幅度幅度（可以是復(fù)數(shù)）（可以是復(fù)數(shù)）和和頻率頻率不同。因此，可以用不同。因此，可以用一根線段來(lái)表示一根線段來(lái)表示某個(gè)分量的幅度，線段的位置表示相應(yīng)的頻某個(gè)分量的幅度，線段的位置表示相應(yīng)的頻率。率。 一根線段一根線段某個(gè)分量的幅度某個(gè)分量的幅度線段的位置線段的位置相應(yīng)的頻率相應(yīng)的頻率代表代表代表代表即：即：2021 tjkkkeatx022232425傅里葉級(jí)數(shù)的另一種三角函數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)的另一

10、種三角函數(shù)形式2627在確定上述積分時(shí)，只要積分區(qū)間是一個(gè)周期即可，在確定上述積分時(shí)，只要積分區(qū)間是一個(gè)周期即可，對(duì)積分區(qū)間的起止并無(wú)特別要求，因此可表示為：對(duì)積分區(qū)間的起止并無(wú)特別要求，因此可表示為：28kttjkkktjkkeetx)2(aa)(0tttjkttjkkdtetxtdtetxta)2()(1)(102930解：方法一：直接利用公式進(jìn)行求解解：方法一：直接利用公式進(jìn)行求解tttjkttjkkdtetxtdtetxta)2()(1)(10方法二：方法二：kttjkkktjkkeetx)2(aa)(031解：解：的幅度和相位圖如下圖所示：的幅度和相位圖如下圖所示：3233五、周期性

11、矩形脈沖信號(hào)的頻譜（例五、周期性矩形脈沖信號(hào)的頻譜（例3.53.5）sample functionsample function其頻譜系數(shù)為：k k不等于不等于0 0 01jktktax t edtt 1021ttax t dttt其中為抽樣函數(shù)抽樣函數(shù)010 100sin2ktsa ktsa kttkt抽樣函數(shù)的性質(zhì)抽樣函數(shù)的性質(zhì): : 0012lim130 ,1, 2 , 3sinsin4,250lim tts ats ats ats at tn nttd td ttts at l譜線為離散的（諧波性），在 時(shí)取值， 脈沖周期越大，譜線間隔 越小，越密；l各點(diǎn)頻譜大小與脈寬 成正比，與周期

12、 成反比；l頻譜包絡(luò)線形狀：抽樣函數(shù)，過(guò)零點(diǎn)為最大值為l主要能量在第一過(guò)零點(diǎn)內(nèi)，第一個(gè)零點(diǎn)坐標(biāo)為:1. 1. 矩形脈沖頻譜分析矩形脈沖頻譜分析01tt2002tkk010101ttkk ,10011001222ttksatttksattak1t0t 1 1）設(shè)矩形脈沖的高度不變，脈沖寬度）設(shè)矩形脈沖的高度不變，脈沖寬度 不變，周期不變，周期 增增 大時(shí)，具體看頻譜如何變化？大時(shí)，具體看頻譜如何變化？0t2. 2. 矩形脈沖譜線隨參數(shù)的變化矩形脈沖譜線隨參數(shù)的變化10011001222ttksatttksattak,4101tt,8101tt,16101tt221221001ksattksatt

13、ak 441221001ksattksattak 881221001ksattksattak 22kk 為第一個(gè)零點(diǎn)，對(duì)應(yīng)為第一個(gè)零點(diǎn)，對(duì)應(yīng)44kk 為第一個(gè)零點(diǎn)，對(duì)應(yīng)為第一個(gè)零點(diǎn)，對(duì)應(yīng)88kk 為第一個(gè)零點(diǎn)，對(duì)應(yīng)為第一個(gè)零點(diǎn)，對(duì)應(yīng)000022,kt12t000024,kt000028,kt221ksaak441ksaak881ksaak10011001222ttksatttksattak2 2） 設(shè)矩形脈沖的高度不變，周期設(shè)矩形脈沖的高度不變，周期 不變，脈沖寬度不變，脈沖寬度 減小時(shí)，觀察頻譜變化情況減小時(shí)，觀察頻譜變化情況0t1tt122kk 為第一個(gè)零點(diǎn)，對(duì)應(yīng)為第一個(gè)零點(diǎn)，對(duì)應(yīng)44kk

14、 為第一個(gè)零點(diǎn)，對(duì)應(yīng)為第一個(gè)零點(diǎn)，對(duì)應(yīng)88kk 為第一個(gè)零點(diǎn)，對(duì)應(yīng)為第一個(gè)零點(diǎn)，對(duì)應(yīng)000022,kt000024,kt000028,kt10011001222ttksatttksattak4101tt8101tt16101tt221221001ksattksattak 441221001ksattksattak 881221001ksattksattak 221ksaak441ksaak881ksaak譜線間隔 變小幅度下降頻譜包絡(luò)形狀不變，0點(diǎn)頻率不變主瓣內(nèi)包含的諧波分量數(shù)增加譜線間隔不變幅度下降頻譜的包絡(luò)改變，0點(diǎn)頻率變化主瓣內(nèi)包含的諧波數(shù)量也增加0t1t不變不變0t不變不變1t002t

15、012tt10011001222ttksatttksattak3 3）譜線隨參數(shù)變化的結(jié)論：）譜線隨參數(shù)變化的結(jié)論：002t012tt10tt10tt41(1)(1)離散性離散性譜線是離散的而不是連續(xù)的，譜線之間譜線是離散的而不是連續(xù)的，譜線之間的間隔為的間隔為 。這種頻譜常稱為離散頻譜。這種頻譜常稱為離散頻譜。(2)(2)諧波性諧波性譜線在頻譜軸上的位置是基頻譜線在頻譜軸上的位置是基頻 的整數(shù)的整數(shù)倍。倍。(3)(3)收斂性收斂性各頻譜的高度隨著諧波次數(shù)增高而逐漸各頻譜的高度隨著諧波次數(shù)增高而逐漸減小，當(dāng)諧波次數(shù)無(wú)限增高時(shí)，譜線的高度也無(wú)限減減小，當(dāng)諧波次數(shù)無(wú)限增高時(shí)，譜線的高度也無(wú)限減小小

16、t200424344 這一節(jié)來(lái)研究用傅氏級(jí)數(shù)表示周期信這一節(jié)來(lái)研究用傅氏級(jí)數(shù)表示周期信號(hào)的普遍性問(wèn)題，即滿足什么條件的周期號(hào)的普遍性問(wèn)題，即滿足什么條件的周期信號(hào)可以表示為傅里葉級(jí)數(shù)。信號(hào)可以表示為傅里葉級(jí)數(shù)。一一 、傅里葉級(jí)數(shù)是對(duì)信號(hào)的最佳近似、傅里葉級(jí)數(shù)是對(duì)信號(hào)的最佳近似4546 結(jié)論結(jié)論：在均方誤差最小的準(zhǔn)則下，傅里葉級(jí)數(shù)在均方誤差最小的準(zhǔn)則下，傅里葉級(jí)數(shù)是是對(duì)周期信號(hào)的最佳近似。對(duì)周期信號(hào)的最佳近似。 即即 是是 中的傅里葉級(jí)數(shù)中截取一部分，當(dāng)中的傅里葉級(jí)數(shù)中截取一部分，當(dāng)n越大越大en越小，越小，n趨于無(wú)窮時(shí)，能量誤差趨于無(wú)窮時(shí)，能量誤差en為零。為零。47484950513 3 、

17、吉伯斯（、吉伯斯（gibbsgibbs）現(xiàn)象）現(xiàn)象 滿足滿足dirichletdirichlet條件的信號(hào)，其傅里葉級(jí)條件的信號(hào)，其傅里葉級(jí)數(shù)是如何收斂于數(shù)是如何收斂于 的。特別當(dāng)?shù)?。特別當(dāng) 具有間斷點(diǎn)時(shí)，在間斷點(diǎn)附近，如何收斂具有間斷點(diǎn)時(shí)，在間斷點(diǎn)附近，如何收斂于于 。 tx tx tx52535455 gibbsgibbs現(xiàn)象表明：現(xiàn)象表明：用有限項(xiàng)傅氏級(jí)數(shù)表示有用有限項(xiàng)傅氏級(jí)數(shù)表示有 間斷點(diǎn)的信號(hào)時(shí)，在間斷點(diǎn)附近會(huì)不可避免間斷點(diǎn)的信號(hào)時(shí)，在間斷點(diǎn)附近會(huì)不可避免的出現(xiàn)的出現(xiàn)振蕩和超量振蕩和超量。超量的幅度不會(huì)隨項(xiàng)數(shù)。超量的幅度不會(huì)隨項(xiàng)數(shù)的增加而減少。只是隨著項(xiàng)數(shù)的增多，振蕩的增加而減少。只

18、是隨著項(xiàng)數(shù)的增多，振蕩頻率變高，向間斷點(diǎn)處壓縮，而使它所占有頻率變高，向間斷點(diǎn)處壓縮，而使它所占有的能量減少。的能量減少。56 3.4 3.2457 這些性質(zhì)的學(xué)習(xí)，有助于對(duì)概念的理解與信這些性質(zhì)的學(xué)習(xí)，有助于對(duì)概念的理解與信號(hào)的展開(kāi)號(hào)的展開(kāi). .58 kkjttjktkadextdtetxtbtx00115960 kjktatjkttajkatkadextdateatxtdteatxtabatx00000011 傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)沒(méi)變，傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)沒(méi)變，但是函數(shù)的基波頻率但是函數(shù)的基波頻率卻發(fā)生了變化卻發(fā)生了變化，所以整個(gè)傅里葉級(jí)數(shù)還是變化了。，所以整個(gè)傅里葉級(jí)數(shù)還是變化了。6162七七.

19、 .帕斯瓦爾（帕斯瓦爾（passivalpassival ）定理）定理說(shuō)明：說(shuō)明：一個(gè)周期信號(hào)的平均總功率一個(gè)周期信號(hào)的平均總功率就就等于等于它的全它的全部諧波分量的平均功率之和部諧波分量的平均功率之和v掌握表掌握表3.1636465例例1：kktttx)()(-t1tt0)(tx)()()(11ttxttxtg0/2/211( )tjktktat edttt01( )jktkx tet02t)(tg101t1t-ttt例例2：周期性矩形脈沖：周期性矩形脈沖將其微分后可利用例將其微分后可利用例1表示為表示為（不記直流分量）（不記直流分量）66)(tg1t01t1t設(shè)設(shè)( )( )ffkkg t

20、cg tb 由時(shí)域由時(shí)域微分性質(zhì)微分性質(zhì)有有0kkbjkc由例由例1知知1/kat根據(jù)根據(jù)時(shí)移時(shí)移和和線性線性特性，有特性，有0 10 10 12sinjktjktkkkbaeejakt0 10 11000 12sinsin2kkbktkttcjkkttkt02 /t0k ttdttgtct102)(167 3.868成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號(hào)集可表示為：對(duì)離散時(shí)間復(fù)指數(shù)信號(hào)nje0若離散時(shí)間信號(hào)周期為n，則有 nnxnx一一. .成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號(hào)的線性組合成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號(hào)的線性組合n20，其中)(nnjnjee00 nnjkken2 易知，成諧波關(guān)系的易知，成諧波關(guān)系的離散時(shí)間復(fù)指數(shù)

21、信號(hào)離散時(shí)間復(fù)指數(shù)信號(hào)集中，每一集中，每一個(gè)信號(hào)都以個(gè)信號(hào)都以n為周期，為周期，且在該信號(hào)集中只有且在該信號(hào)集中只有n信號(hào)個(gè)是互信號(hào)個(gè)是互不相同彼此獨(dú)立的，為什么？不相同彼此獨(dú)立的，為什么？69 將這將這n n個(gè)獨(dú)立的信號(hào)線性組合起來(lái)，一定能個(gè)獨(dú)立的信號(hào)線性組合起來(lái)，一定能表示一個(gè)以表示一個(gè)以n n為周期為周期的序列。即：的序列。即： nknnjkkeanx2離散時(shí)間傅里葉級(jí)數(shù)離散時(shí)間傅里葉級(jí)數(shù)dfska nx也稱為周期信號(hào)也稱為周期信號(hào) 的的頻譜頻譜70qqaaqaqann1)1 (11補(bǔ)充內(nèi)容：補(bǔ)充內(nèi)容：sn=a1(1-qn)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) (q1) oth

22、ers , n,n,n, kenknnjk020271 由由 兩邊兩邊 同乘以同乘以 得得 nknnjkkeanx2nnjre2 nknnrkjknnjreaenx22顯然顯然 仍是以仍是以 n n 為周期的為周期的 nnjrenx272 rnknnnnrkjknnnknnrkjknnjrnnnaeaeaenx 222 當(dāng)當(dāng)r r的選取范圍和的選取范圍和k k一樣時(shí)一樣時(shí), ,只有只有r=kr=k時(shí)時(shí)nennnnrkj2因?yàn)橐驗(yàn)?2nnnnjme73 顯然上式滿足顯然上式滿足 即即 也是以也是以n n 為周期的為周期的, ,或者說(shuō)或者說(shuō) 中只有中只有 n n 個(gè)是獨(dú)立的個(gè)是獨(dú)立的 nnjrnn

23、renxna21 nnjknnkenxna21knkaakaka例題例題討論：討論：離散時(shí)間傅里葉級(jí)數(shù)表示式，就是一個(gè)離散時(shí)間傅里葉級(jí)數(shù)表示式，就是一個(gè)n n項(xiàng)的有限級(jí)數(shù)；項(xiàng)的有限級(jí)數(shù)；而連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)表示式，是一個(gè)無(wú)限項(xiàng)的級(jí)數(shù)。而連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)表示式，是一個(gè)無(wú)限項(xiàng)的級(jí)數(shù)。74 nnjknnkenxna21211112(1)22111jknnjnknnjknnkjknnneeaenne.n1n1nnn1三三. .周期性方波序列的頻譜周期性方波序列的頻譜1. 例：例： 求圖示方波的傅里葉系數(shù)。求圖示方波的傅里葉系數(shù)。 1111202211nmmnjknnmnnnnnjkken

24、xnenxna 令解：解：用傅里葉系數(shù)的求解公式用傅里葉系數(shù)的求解公式求和項(xiàng)數(shù)仍然求和項(xiàng)數(shù)仍然是周期間隔，是周期間隔，即即2n1項(xiàng)項(xiàng) nnjknnkenxna21112121()()221jkjk njk nnnnjkjkjknnneeeneee1sin(21)1,sinkknnankn,sinsinsinsin2212121210011kknnnknnknak整理得，系數(shù)整理得，系數(shù)n,n, k , nnn,n, kkknnak201220221211001sinsin由歐拉公式由歐拉公式所以所以顯然，離散方波序列的頻譜包絡(luò)具有顯然，離散方波序列的頻譜包絡(luò)具有 的形狀。的形狀。sinsinx

25、x22121001kknnaksinsin1）當(dāng)）當(dāng) 不變、不變、 時(shí)時(shí)1nn譜線間隔變小譜線間隔變小1.周期離散信號(hào)頻譜具有：離散性、諧波性、周期性周期離散信號(hào)頻譜具有：離散性、諧波性、周期性（與連續(xù)時(shí)間不同）（與連續(xù)時(shí)間不同）2.周期序列頻譜，隨參數(shù)變化而改變周期序列頻譜，隨參數(shù)變化而改變頻譜的包絡(luò)形狀不變，變量頻譜的包絡(luò)形狀不變，變量 不變不變幅度減小幅度減小n1n2,所以譜線密度增大所以譜線密度增大2）當(dāng)）當(dāng) 不變、不變、 時(shí)時(shí)1nn譜線間隔不變譜線間隔不變頻譜的包絡(luò)變化，頻譜的包絡(luò)變化， 變小，第一變小，第一0點(diǎn)遠(yuǎn)離原點(diǎn)，從而從而使頻譜主瓣變寬點(diǎn)遠(yuǎn)離原點(diǎn)，從而從而使頻譜主瓣變寬幅度不

26、變幅度不變n2n1121 n121nkkk1220nn1110nn1210nn1210nn1220nn1110nn79 dfs dfs 是一個(gè)有限項(xiàng)的級(jí)數(shù)，確定是一個(gè)有限項(xiàng)的級(jí)數(shù)，確定 的關(guān)系式也是的關(guān)系式也是有限項(xiàng)的和式有限項(xiàng)的和式，因而不存在，因而不存在收斂問(wèn)題，也不會(huì)產(chǎn)生收斂問(wèn)題，也不會(huì)產(chǎn)生gibbsgibbs現(xiàn)象現(xiàn)象。ka80kfanxkfbnyklnllkfbadnynxkfanxkjkwfaenxnx)1 ( 10properties of discrete-time fourier seriesproperties of discrete-time fourier series

27、3.7 dfs3.7 dfs的性質(zhì)的性質(zhì)81左邊是左邊是xnxn在一個(gè)周期內(nèi)的平均功率在一個(gè)周期內(nèi)的平均功率, ,右邊的右邊的 是是xnxn的第的第k k次諧波的平均功率次諧波的平均功率. .上式表明：上式表明：一個(gè)周期信號(hào)的平均功率等于它的一個(gè)周期信號(hào)的平均功率等于它的 所有的諧波分量的所有的諧波分量的2ka828384例例3.13： xn是周期的，周期是周期的，周期n=6. 在滿足上述三個(gè)條件的所有信號(hào)中，在滿足上述三個(gè)條件的所有信號(hào)中，xn具有每個(gè)周具有每個(gè)周 期內(nèi)最小的功率。期內(nèi)最小的功率。 求出滿足上述條件的信號(hào)。求出滿足上述條件的信號(hào)。 250nnx 1172nnnx例例3.14：

28、關(guān)于某一序列給出如下的條件關(guān)于某一序列給出如下的條件分析：分析：由離散信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式由離散信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式 nknnjkkeanx2信號(hào)可以由周期和傅里葉系數(shù)決定，周期為已知，因此只需信號(hào)可以由周期和傅里葉系數(shù)決定，周期為已知，因此只需求出系數(shù)即可。求出系數(shù)即可。解：解：由由n6，所以由傅里葉系數(shù)公式，所以由傅里葉系數(shù)公式 njknkenxa62661 5062061nnjkenxa 由已知條件由已知條件 250nnx312610 a 7272623316161nnnnjnxenxa 又由已知條件由已知條件613 a 1172nnnx05421aaaannjeaanx) 1(61

29、3130nx-1n0 1 22161 根據(jù)帕斯瓦爾定理，信號(hào)一個(gè)周期的平均功率等于它所有諧波分量的平均功率之和： nkknnanxnp22130aa 、已知，所以要使平均功率最小，須使nz連續(xù)時(shí)間：連續(xù)時(shí)間： 離散時(shí)間：離散時(shí)間： nzzhste stesh在在 3.2節(jié)，我們知道復(fù)指數(shù)信號(hào)是節(jié)，我們知道復(fù)指數(shù)信號(hào)是lti系統(tǒng)的特征函數(shù)系統(tǒng)的特征函數(shù)其中對(duì)應(yīng)特征值其中對(duì)應(yīng)特征值 dtethshstt nnznhzhstenz當(dāng)當(dāng)s和和z為一般的復(fù)數(shù)時(shí)，稱為一般的復(fù)數(shù)時(shí)，稱 、 為系統(tǒng)的為系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)。系統(tǒng)函數(shù)。 sh zh1.令令js dtethjhshtjt定義：連續(xù)時(shí)間定義：連續(xù)時(shí)間lt

30、i系系統(tǒng)的頻率響應(yīng)（自變量統(tǒng)的頻率響應(yīng)（自變量為頻率）。為頻率）。2.令令jez nnjjenhehzh定義：離散時(shí)間定義：離散時(shí)間lti系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。jeh隨隨 以以 為周期變化為周期變化2 nknjkkeanx03. 對(duì)對(duì)lti系統(tǒng)的特征函數(shù)系統(tǒng)的特征函數(shù)及及l(fā)ti系統(tǒng)的線性性質(zhì)：系統(tǒng)的線性性質(zhì)： nknjkokejkhany0同理，對(duì)于用傅里葉級(jí)數(shù)表示的連續(xù)時(shí)間信號(hào)同理，對(duì)于用傅里葉級(jí)數(shù)表示的連續(xù)時(shí)間信號(hào) ，對(duì)應(yīng)有：，對(duì)應(yīng)有： ktjkkeatx0 ktjkkejkhaty00表明：表明： lti系統(tǒng)對(duì)周期信號(hào)的響應(yīng)仍為一個(gè)周期信號(hào)，系統(tǒng)對(duì)周期信號(hào)的響應(yīng)仍為一個(gè)周期信號(hào)

31、，lti系系統(tǒng)的作用是對(duì)統(tǒng)的作用是對(duì)各個(gè)頻點(diǎn)的信號(hào)進(jìn)行不同的加權(quán)處理各個(gè)頻點(diǎn)的信號(hào)進(jìn)行不同的加權(quán)處理。 x t00jknjknoehjke由 91例例3.16 已知已知解：解：所以：所以：即有：即有：92求輸出求輸出yn解：解：所以：所以：93filter一一. . 濾波濾波 通過(guò)系統(tǒng)通過(guò)系統(tǒng)改變改變信號(hào)中信號(hào)中各頻率分量的相對(duì)大小各頻率分量的相對(duì)大小 和相位和相位，甚至，甚至完全去除完全去除某些頻率分量某些頻率分量的過(guò)程稱為的過(guò)程稱為 濾波。濾波。濾波器可分為兩大類：濾波器可分為兩大類： 1.1.頻率成形濾波器頻率成形濾波器 （音響中的均衡電路）（音響中的均衡電路） 2.2.頻率選擇性濾波器

32、頻率選擇性濾波器94微分濾波器：微分濾波器：在圖像處理中用于邊緣的增晰。在圖像處理中用于邊緣的增晰。9596 理想頻率選擇性濾波器的頻率特性在某一個(gè)理想頻率選擇性濾波器的頻率特性在某一個(gè)（或幾個(gè)）頻段內(nèi)，頻率響應(yīng)為常數(shù)，而在其它（或幾個(gè)）頻段內(nèi)，頻率響應(yīng)為常數(shù)，而在其它頻段內(nèi)頻率響應(yīng)等于零。頻段內(nèi)頻率響應(yīng)等于零。理想濾波器可分為理想濾波器可分為低通、高通、帶通、帶阻低通、高通、帶通、帶阻 濾波器允許信號(hào)完全通過(guò)的頻段稱為濾波器濾波器允許信號(hào)完全通過(guò)的頻段稱為濾波器的的通帶（通帶（pass band pass band ），），完全不允許信號(hào)通過(guò)的完全不允許信號(hào)通過(guò)的頻段稱為頻段稱為阻帶（阻帶（

33、stop bandstop band）。連續(xù)時(shí)間理想頻率選擇性濾波器的頻率特性連續(xù)時(shí)間理想頻率選擇性濾波器的頻率特性帶通11c2c1c2cjh jhsh低通c1cjh高通cc1jh帶阻1jh1c2c1c2c帶通11c2c1c2cjeh低通c1cjeh 高通cc1jeh- 帶阻1jeh- 1c2c1c2c- 離散時(shí)間濾波器類型：離散時(shí)間濾波器類型： jehzh 離散時(shí)間理想濾波器的特性，在離散時(shí)間理想濾波器的特性，在 到到 區(qū)間上，與相區(qū)間上，與相應(yīng)的連續(xù)時(shí)間濾波器特性完全相似。應(yīng)的連續(xù)時(shí)間濾波器特性完全相似。99一一. . 簡(jiǎn)單的簡(jiǎn)單的rcrc低通濾波器低通濾波器 tvtvdttdvrccc+

34、r-+c-v(t) + - tvc輸入輸入 輸出輸出 tjetv tjcejhtvrcjjh11100 rc越大（越大（ 1/rc越?。?，越小）， 對(duì)應(yīng)的頻率對(duì)應(yīng)的頻率1/rc越越小，如果希望通過(guò)很低的一些頻率，則需要小，如果希望通過(guò)很低的一些頻率，則需要rc越大越好。越大越好。21 )(21jh11 2hjrc tuercthrct /1 tuetsrct)1 (/rc低通濾波器的單位沖激響應(yīng)為：?jiǎn)挝浑A躍響應(yīng)為： rc越大，說(shuō)明階躍響應(yīng)要很長(zhǎng)時(shí)間才能達(dá)到長(zhǎng)期穩(wěn)態(tài)值1，如果要有較快的階躍響應(yīng)，則需要rc越小越好。結(jié)論：結(jié)論： rc控制通頻帶寬度和響應(yīng)時(shí)間在濾波器的頻域特性和時(shí)域特性之間需要折衷

35、。102二二. 簡(jiǎn)單的簡(jiǎn)單的rc高通濾波器高通濾波器 tvtvtvdttvtvdrcrr輸入輸入: 輸出輸出: tjetv tjrejgtvrcjrcjjg1 tuetvrctr/+r-+c-v(t) + - tvctvr系統(tǒng)的頻率響應(yīng)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)rcjrcjjg1rc越大（越大（1/rc越?。叫。?， 高通濾波的通帶向更低頻率的方向發(fā)展，高通濾波的通帶向更低頻率的方向發(fā)展，rc越小帶寬越窄、越好。越小帶寬越窄、越好。211rcjg 104 tuetvrctr/ 1/rc越大，說(shuō)明階躍響應(yīng)變遲鈍，如果要越大，說(shuō)明階躍響應(yīng)變遲鈍，如果要有較快的階躍響應(yīng)，則需要有較

36、快的階躍響應(yīng)，則需要rc越大操作越好。越大操作越好。單位階躍響應(yīng)為：?jiǎn)挝浑A躍響應(yīng)為：結(jié)論：結(jié)論： 根據(jù)實(shí)際需要，調(diào)整根據(jù)實(shí)際需要，調(diào)整rc來(lái)設(shè)計(jì)濾波器。來(lái)設(shè)計(jì)濾波器。主要內(nèi)容主要內(nèi)容一階遞歸離散時(shí)間濾波器一階遞歸離散時(shí)間濾波器非遞歸離散時(shí)間濾波器非遞歸離散時(shí)間濾波器一一. .一階遞歸離散時(shí)間濾波器一階遞歸離散時(shí)間濾波器 nxnyny1設(shè)輸出為： njenxjjeeh11 nunhn若輸入： njjeehny設(shè)描述一階濾波器的方程：則代入差分方程，可得： nunsn111由差分方程，可求得系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)和單位階躍響應(yīng)：6 .060.jjeeh11低通濾波器低通濾波器高通濾波器高通濾波器1.上述方程表示的系統(tǒng)中，當(dāng) 時(shí)是不穩(wěn)定；1 nunhn注意：注意：參考p82系統(tǒng)穩(wěn)定條件2. 在設(shè)計(jì)iir系統(tǒng)時(shí)，要調(diào)整參數(shù) ，使得到 的系統(tǒng)穩(wěn)定性；3. 基于傅里葉方法和頻域分析都是集中在對(duì)復(fù)指 數(shù)具有有限響應(yīng)的系統(tǒng)上。二二. .非遞歸離散時(shí)間濾波器非遞歸離散時(shí)間濾波器一個(gè)非遞歸差分方程的一般形式是： mn