無窮小,無窮大,極限運(yùn)算法則

1、1 無窮小無窮小 無窮大無窮大 無窮小與無窮大之間的關(guān)系無窮小與無窮大之間的關(guān)系 無窮小與函數(shù)極限之間的關(guān)系無窮小與函數(shù)極限之間的關(guān)系 無窮小的性質(zhì)無窮小的性質(zhì) 2 ., 0,0為為無無窮窮小小則則稱稱時(shí)時(shí)或或當(dāng)當(dāng)xfxfxxx, 0 如如果果 xf 0 xxxf當(dāng)當(dāng)則則稱稱 0lim0 xfxx ,0的的某某一一去去心心鄰鄰域域有有定定義義在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)xxf,0 恒恒有有時(shí)時(shí)使使得得當(dāng)當(dāng),00 xx:,記記作作時(shí)時(shí)為為無無窮窮小小成立成立, ,大大于于某某一一正正數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)有有定定義義當(dāng)當(dāng)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)xxf, 0 如如果果,0X恒恒有有時(shí)時(shí)使使得得當(dāng)當(dāng),Xx xf 成立成立, :.記記為為

2、是是的的無無窮窮小小量量當(dāng)當(dāng)x 當(dāng)當(dāng)則則稱稱xf .0limxfx3, 027lim 33xx.3273時(shí)時(shí)為為無無窮窮小小當(dāng)當(dāng)xx., 0, 000時(shí)時(shí)的的無無窮窮小小當(dāng)當(dāng)xxxxxx同樣可以定義同樣可以定義: 如如:.1時(shí)時(shí)為為無無窮窮小小當(dāng)當(dāng)xx, 01limxx ., 0arctan2lim時(shí)時(shí)為為無無窮窮小小當(dāng)當(dāng)xxfxx 說一個(gè)函數(shù)是無窮小，必須與自變量的變化過程相聯(lián)系。說一個(gè)函數(shù)是無窮小，必須與自變量的變化過程相聯(lián)系。 如：函數(shù)如：函數(shù).1時(shí)時(shí)為為無無窮窮小小當(dāng)當(dāng)xx但當(dāng)?shù)?dāng)1x時(shí)，時(shí)，x1的極限為的極限為1.絕對(duì)值很小的數(shù)不是無窮小，無窮小是變量絕對(duì)值很小的數(shù)不是無窮小，無窮小

3、是變量. 4證證對(duì)對(duì), 0 要使要使xx1sin, xx1sinx取取, 則當(dāng)則當(dāng),0 x xx1sin恒成立。恒成立。xxy1sin當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)為無窮小。時(shí)為無窮小。所以所以例例1用定義證明：用定義證明：xxy1sin當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)為無窮小。時(shí)為無窮小。分析：分析：要證明要證明xxy1sin當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)為無窮小，時(shí)為無窮小，對(duì)對(duì), 0 只要能找到只要能找到,0 當(dāng)當(dāng),0 x恒有恒有 xf成立即可。成立即可。5.)( ).()()(lim 時(shí)時(shí)的的無無窮窮小小量量是是當(dāng)當(dāng)其其中中，的的充充分分必必要要條條件件是是 xxxAxfAxfx . Axf證證設(shè)設(shè)則則,)(lim0Axfxx , Axf由

4、于由于 . Axf即即 .lim0Axfxx令令 , Axf則則 是當(dāng)是當(dāng) 0 xx 時(shí)的無窮小。時(shí)的無窮小。 , Axf設(shè)設(shè)反反之之.,0 xxA是是無無窮窮小小是是常常數(shù)數(shù)其其中中 .,0, 0, 00 Axfxx恒恒有有時(shí)時(shí)使使得得當(dāng)當(dāng).,0, 0, 00 就就有有當(dāng)當(dāng)xx 0,00 xxxxxx也也可可以以是是可可以以是是表表示示任任意意的的極極限限過過程程，這這里里，用用記記號(hào)號(hào)函數(shù)極限與無窮小之間的關(guān)系函數(shù)極限與無窮小之間的關(guān)系: : 只證只證 0 xx 的情況。的情況。 6 .0時(shí)時(shí)為為無無窮窮大大當(dāng)當(dāng)則則稱稱xxxxf ,0的的絕絕對(duì)對(duì)值值無無限限增增大大函函數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)或或如如果

5、果當(dāng)當(dāng)xfxxx 00,0,0 xxXM當(dāng)當(dāng)或或如如果果 0 xxxf當(dāng)當(dāng)則則稱稱 xfxxx)(0lim 的的某某一一去去心心鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)在在設(shè)設(shè)0 xxf有有定定義義。 ,Mxf恒恒有有大大于于某某一一正正數(shù)數(shù)或或 x,Xx 或或記記作作時(shí)時(shí)為為無無窮窮大大 ,x或或 1. 1. 在某個(gè)過程中，變量在某個(gè)過程中，變量f（x）為無窮大時(shí)，為無窮大時(shí)，f ( x )的極的極)(lim)(xfxfxx為為無無窮窮大大，記記作作時(shí)時(shí)限不存在，但是允許使用極限的符號(hào)來記。即限不存在，但是允許使用極限的符號(hào)來記。即: 7 3. 說一個(gè)函數(shù)為無窮大，必須與自變量的變化過程相聯(lián)系。說一個(gè)函數(shù)為無窮大，必須

6、與自變量的變化過程相聯(lián)系。 4. 4. 無窮大必是無界變量；但無界變量不一定是無窮大無窮大必是無界變量；但無界變量不一定是無窮大。cos,. yxxy 如在內(nèi)無界 但 不是無窮大 （吉米36題） ,1 ,00 MxM取取,0時(shí)時(shí)或或是是當(dāng)當(dāng)?shù)牡臄?shù)數(shù)無無窮窮大大不不是是絕絕對(duì)對(duì)值值很很大大xxx.的的函函數(shù)數(shù)極極限限為為 2. XxXxXM 00,2, 00 若若取取，但但是是，對(duì)對(duì). 不不是是無無窮窮大大即即 y ,02cos20MXXxy .,000MxyxMMMMMxy 11cos1 0若函數(shù)若函數(shù) xxycos時(shí)為無窮大，時(shí)為無窮大，當(dāng)當(dāng) x由定義，對(duì)由定義，對(duì) .,0,0MxyXxXM

7、時(shí)時(shí)，均均有有當(dāng)當(dāng)834lim 23xx證證明明例例,143Mx只要只要,3434Mxx要要使使取取 ,4M 則當(dāng)則當(dāng) 30 x時(shí)，時(shí)， .34Mx, 0M證證.343 鉛鉛直直漸漸近近線線圖圖形形的的是是函函數(shù)數(shù)直直線線xyx .,lim, 000000的的鉛鉛直直漸漸近近線線是是則則稱稱如如果果一一般般的的xfyxxxfxxxxxx3xOy34lim3xx9 ,lim0 xfxx設(shè)設(shè) .,0, 0, 00MxfxxM有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) .1為為無無窮窮小小xf,1M 取取 Mxf11有有,00 xx當(dāng)當(dāng), 0 對(duì)對(duì)上上述述 ,為為無無窮窮小小且且如如果果反反之之xf程程中中，在在自自變變量量的的

8、同同一一變變化化過過 ;1為為無無窮窮小小則則xf ,0 xf且且 .1為為無無窮窮大大則則xf ,為為無無窮窮大大如如果果xf證證 10 為為無無窮窮小小：時(shí)時(shí)設(shè)設(shè)當(dāng)當(dāng)反反之之xfxx,:0 .,0, 0, 00 xfxx就就有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)?shù)牡娜稳我庖庑孕裕河捎蒑, .1,0為無窮大為無窮大時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xfxx ,1 M取取, 0 對(duì)對(duì)上上述述,00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx .1Mxf就有就有11.,0時(shí)時(shí)為為無無窮窮小小的的情情形形是是當(dāng)當(dāng)只只證證xx ,min21 取取.0仍仍為為無無窮窮小小xx ,0, 0,202 xx當(dāng)當(dāng)對(duì)對(duì)上上述述.2成立成立恒有恒有 ,0時(shí)時(shí)的的無無窮窮小小是是當(dāng)當(dāng)又又因因xx

9、 ,0, 0, 0101 xx當(dāng)當(dāng);2成成立立恒恒有有 ,0時(shí)時(shí)的的無無窮窮小小是是當(dāng)當(dāng)因因xx 有限個(gè)無窮小之和是無窮小有限個(gè)無窮小之和是無窮小。 就就有有則則當(dāng)當(dāng),00 xx .22 . 0lim, 0limxxxx 假假設(shè)設(shè)證證: : 12：無窮多個(gè)無窮多個(gè)無窮小之和不一定是無窮小。無窮小之和不一定是無窮小。（記錄）（記錄） 時(shí)時(shí)都都是是無無窮窮小小，當(dāng)當(dāng)例例如如，nnnnnn,3,2,12222和和不不一一定定是是無無窮窮小小。所所以以無無窮窮多多個(gè)個(gè)無無窮窮小小的的但但是是，它它們們的的和和.212121lim2)1(lim321lim2222212nnnnnnnnnninnni13

10、證證),(10 xxU則則, 0M使得對(duì)于使得對(duì)于成立。成立。Mu 設(shè)設(shè), 0lim0 xx設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)u在在0 x的某一去心鄰域內(nèi)是有界的，的某一去心鄰域內(nèi)是有界的，則對(duì)于則對(duì)于, 0, 02 ),(20 xxU當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)，恒有恒有.M 取取,min21 則當(dāng)則當(dāng)),(0 xxU同時(shí)成立。同時(shí)成立。Mu M 及及從而從而. MMuu u所以，所以，是當(dāng)是當(dāng)時(shí)的無窮小。時(shí)的無窮小。0 xx 有界變量與無窮小的乘積仍是無窮小有界變量與無窮小的乘積仍是無窮小. 常數(shù)與無窮小的乘積仍為無窮小常數(shù)與無窮小的乘積仍為無窮小. . 有限個(gè)無窮小的乘積仍為無窮小有限個(gè)無窮小的乘積仍為無窮小.14xxx1co

11、slim 30求求例例.1cos是有界變量是有界變量x, 0lim0 xx而而,2知知由由定定理理,1cos是是無無窮窮小小xx. 01coslim0 xxx, 11cos x解解.,0為為無無窮窮小小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xx 01coslimlim1coslim000 xxxxxxx15 極限的運(yùn)算法則極限的運(yùn)算法則 極限的四則運(yùn)算法則極限的四則運(yùn)算法則 復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則 16 1推論推論 ,lim Axf如如果果則則為為常常數(shù)數(shù),c .limcAxcf 2推推論論 ,lim Axf如果如果則則為為正正整整數(shù)數(shù)而而 ,n .limlimnnnAxfxf .limlimlim1

12、BAxgxfxgxf ,lim,limBxgAxf如如果果 .limlimlim2ABxgxfxgxf .0 limlimlim3BBAxgxfxgxf可推廣到可推廣到多個(gè)函數(shù)多個(gè)函數(shù) 17 ,lim,limBxgAxf如如果果 .limlimlim2ABxgxfxgxf證明：證明：由由得得BxgAxf )(lim,)(lim為為無無窮窮小小，其其中中 ,)(,)( BxgAxf BAABxgxf)()(由定理由定理1ABxgxf的的極極限限是是)()( 18 ,lim,limBxgAxf如如果果 .0 limlimlim3BBAxgxfxgxf證明：證明： 由由得得BxgAxf )(lim,

13、)(lim為為無無窮窮小小，其其中中 ,)(,)( BxgAxf,)()(BAxgxf 設(shè)設(shè))()(1 ABBBBABA , 0)(lim Bxg2)()(),(00BxgxUxxU 時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)于是于是2221)(11)(1BBBxgBBB ,)(1有有界界 BB是無窮小是無窮小 ,)()( BAxgxf而而.)()(BAxgxf的的極極限限是是故故19 ,xxxf 令令 . 0 xf則則 xxxf limlim , 0lim,xf由由保保號(hào)號(hào)性性定定理理知知, 0 ba即即 baxx limlim.ba ,nnyx和和設(shè)設(shè)有有數(shù)數(shù)列列,lim,limByAxnnnn如如果果 ,lim1 BA

14、yxnnn則則 ,lim2BAyxnnn .lim,0,3 ,2 , 103BAyxBnynnnn時(shí)時(shí)且且當(dāng)當(dāng) ,lim,lim,bxaxxx 而而如如果果.ba 則則( (極限的有序性）極限的有序性）證證: 2022lim 1231xxx求求例例 解解22lim231xxx2lim2lim2131xxxx1221 xxxxxx1lncos11sinsin1lim 220求求例例, 01sinlim, 0sinlim200 xxxxx 解解, 11sinsin1lim20 xxxx xxxxxx1lncos11sinsin1lim20 , 01ln lim, 2cos1lim 00 xxxx

15、, 01lncos1lim0 xxx21(1)分母的極限不為零分母的極限不為零: 0,0011101110babxbxbxbaxaxaxaxQxPmmmmnnnn時(shí)時(shí)有有理理分分式式的的極極限限：當(dāng)當(dāng)0.1xx .lim , 0 ,0, 3000011101110 xQxPxQbabxbxbxbaxaxaxaxQxPxxmmmmnnnn求求且且例例 ,0lim00 xQxQxx同同樣樣 000limxQxPxQxPxx,010100 xPaxaxannnnnnxxaxaxa1100lim 解解22(2)(2) 分母極限為零，分子極限不為零的有理分式函數(shù)極限。分母極限為零，分子極限不為零的有理分

16、式函數(shù)極限。1lim 4.221xxxx求求例例01111lim1lim221221xxxxx 由無窮大與無窮小的關(guān)系，知道原極限不存在（無窮大），由無窮大與無窮小的關(guān)系，知道原極限不存在（無窮大），故：故：1lim221xxxx解解(3)(3)分子、分子、分母極限都為零。（分母極限都為零。（消除致零因子消除致零因子）12lim 5221xxxx求求例例.2312lim)1)(1()2)(1(lim12lim11221xxxxxxxxxxxx解解23附：多項(xiàng)式除法附：多項(xiàng)式除法 消去致零因子，即進(jìn)行除式為消去致零因子，即進(jìn)行除式為（x - a) 的多項(xiàng)式除法的多項(xiàng)式除法267lim32xxxx

17、例例：67023xxx2x2x232xxxx722x2xx42263x363x0)2(32)67(23xxxxx532lim22xxx24(4(4）兩個(gè)都是無窮大的有理分式函數(shù)之差的極限兩個(gè)都是無窮大的有理分式函數(shù)之差的極限23)1)(1()2)(1(lim121lim121xxxxxxxxx解解：121lim 621xxxx求求例例25時(shí)時(shí)有有理理分分式式函函數(shù)數(shù)的的極極限限x . 2221lim 7.244xxxx求求例例解：解：212211lim221lim4424244xxxxxxxxx121lim . 83xxxx求求例例121lim3xxxx 解解323212111limxxxxx

18、 000100112lim . 923xxxx求求例例112lim23xxxx 解解33211112limxxxxx26對(duì)這種類型，可以用對(duì)這種類型，可以用 x 的最高次冪，分別除分子、分母的的最高次冪，分別除分子、分母的各項(xiàng)，則有以下的結(jié)論：各項(xiàng)，則有以下的結(jié)論：今后可以直接運(yùn)用上述結(jié)論。今后可以直接運(yùn)用上述結(jié)論。nmnmbanmbxbxbxbaxaxaxammmmnnnnx當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng), 0lim0011101110 設(shè)設(shè) ),(xfy 若若 , 0limbaxxfxxx則稱則稱 baxy是是 )(xfy 的一條斜漸近線。的一條斜漸近線。 O x y 27例例10 曲線曲線 122xxy的斜漸近線方程為的斜漸近線方程為 。 (2005年研究生入學(xué)試題，數(shù)學(xué)一）年研究生入學(xué)試題，數(shù)學(xué)一） 4121xybaxxxx12lim2解：解：1222lim22xbbxaxaxxx12221lim2xbxbaxax0則則 02021baa即即 .4