求通項(xiàng)公式專題

1、通項(xiàng)公式求解方法大全我現(xiàn)在總結(jié)出幾種求解數(shù)列通項(xiàng)公式的方法，希望能對(duì)大家有幫助。、觀察法已知數(shù)列前若干項(xiàng)，求該數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，一般對(duì)所給的項(xiàng)觀察分析，尋找規(guī)律，從而 根據(jù)規(guī)律寫出此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)。1111(答：例1.已知數(shù)列3,5-,7 ,9，代試寫出其一個(gè)通項(xiàng)公式：4816321an =2n 1 尹)1 3 7 15 31(1),一，,4 ;例 2、2 4 8 16 32(2) -1, l,2,l,r7,A(4)2,5,10,17,26，上;1 1 1 1(5),，上；1X22漢33漢44疋5(1)觀察數(shù)列的結(jié)構(gòu)特征，每一項(xiàng)都是一個(gè)分式，分母是數(shù)列2, 4, 8, 16, 32,，可n用項(xiàng)數(shù)表

2、示為2 ,分子是數(shù)列1 , 3, 7, 15, 31,，每一項(xiàng)比對(duì)應(yīng)的分母少1,可用項(xiàng)數(shù)表示為2 -1,所以,所求的數(shù)列的通項(xiàng)公式是an 2n -12n(2)這個(gè)數(shù)列即:2-1 2+11 , 22 -1 2 12 -1 2 1 ,5 , 6,其結(jié)構(gòu)特征是：分母與項(xiàng)數(shù)相同；分子是2加上或減去I，即2 “-1)】各項(xiàng)的符號(hào)為負(fù)、正相間，即為(一1)：所以，所求的通項(xiàng)公式是和(-1).呻；觀察數(shù)列的項(xiàng)，這個(gè)數(shù)列可以按分母、分子由小到大重新排列為：3 4 567 ,，兒,5 8 11 14 17 分母、分子各自成等差數(shù)列，顯然，其通項(xiàng)公式為n + 2 an3n 2a = n 2 +1；(4)每一項(xiàng)都是

3、項(xiàng)數(shù)的平方加上1,其通項(xiàng)公式為nan(5)通項(xiàng)公式是一(T)；n(n 1);仔細(xì)觀察各項(xiàng)，不難發(fā)現(xiàn)其項(xiàng)與項(xiàng)之間有如下規(guī)律a2 - a = 2; a3 - a? = 3; a- a34 a5 -a4 =5上-an - an j = n.a* =a1 (a2 -aj (a3 - a2 )，(a4-a3) (a na*)=123二、遞推公式法類型 1 an 1=an f(n)解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為 an 1 -an = f (n)，利用累加法(逐差相加法)求解。例1.已知a 滿足an 1 =an 2，而且a1 T，求通項(xiàng) 解- :an /是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列，例2.已知瓜？中，ai an

4、 =1 2 n1 = 2n -112，an a =a解 由已知可得11 ，求通項(xiàng)4n2 -11 1 1an an a - an4n2-12 0-1 2n +1 丿n =1,2,3,L , n -1 ,代入后n -1個(gè)等式迭加，即an二aa2 一耳廠鳳a?L二丄 1 一.一11 _丄門1 一12 一 . 33 5_1 c 12an 2 an 二廠 I an - an 4 丄亠 2n-5 2n-3 2n-3 2n -14n -32n -14n -2例3在數(shù)列an中,a1=1, an - anj 二 n-1 (n=2、3、4)，求 an的通項(xiàng)公式。n _2 時(shí),a2 -a = 1a3 -a2 = 2

5、a4 -a3 = 3an _an4 =n 一1解：n =1時(shí),這n-1個(gè)等式累加得:故十叮盯 2an - a1 =12 -(n-1 ) = n(n 1)n _n 2且內(nèi)=1也滿足該式 an(n N ).類型 2 an 1 = f (n)an解法:形如anan 1= f(n) (n=2、3、4),且f+f(2)+.+ f(n1)可求，則用累乘法an1、1已知佝？滿足a. 1匕an，而& =2，求通項(xiàng)an。a1Q d是常數(shù),an 21.:an 是以2為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列。2F、11廠an =2an212n2.2、在數(shù)列an中，a1=1， an 1 = na.,求 a.。解：由已知得 亠1 =

6、n ，分別取n=1、2、3 (n-1)，代入該式得n-1個(gè)等式累乘，即an亞.聖豈-=1 x 2 x 3X-X (n-1)=( n-1)!所以時(shí),a1 a2 a3an 二an印= (n 1)!故 an且 a1 =0!=1 也適用該式 an =(n1)!(n N ).3、n 1 A在數(shù)列：J中，印=28.= -久，求通項(xiàng)公式nan。解法一：aan 1annn Tnn -1 nn -1 nn -1=2nn -1an _2n -2 nn -2n1n -2 nn -2n -2an _3n -3n -2n -3n -2n 333a23222a1解法二：由n+1. a.an 1an n an 4n2an亙

7、步羞L生a, = 口an 1 甌 d a1 n -1 n -2n -2n -3-2 =2n1類型 3 an pan q （其中 p, q 均為常數(shù)，（pq（p 一1） = 0）。解法（待定系數(shù)法）：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：an .1 -t二p（an -t），其中t，再利用1-P換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。例1、數(shù)列；an / 中, a =1，對(duì)于n 1 n N 有an = 3an丄2，求通項(xiàng)an。解法1由已知遞推式得an 1=3an 2a =3an丄-2兩式相減得an 1 -an =3 an -an因此數(shù)列an+-aj是公比為3的等比數(shù)列，其首項(xiàng)為 a2-耳=（3漢2十2）-1=4 an 1 an

8、=4 -3n-Q a. 1 =3a. 2,. 3a. 2 -a. =4 3n =.an 2 3n 1 -1解法2上法得n1 -aj是公比為3的等比數(shù)列，于是有a? - a = 4,-a? = 4 3,比 -=4 3 ,L ,an -an_x=4 3 把n -1個(gè)等式相加得2 心4（1-3心）n .an -a4 1 3 32 L 32 311 3.an =23心 -1。解法3設(shè)遞推式an =3an丄-2化為an -t =3 an丄-t整理比較得2 = -2t，即t = -1 于是得a. *1 =3 a.丄1所以是公比為3的等比數(shù)列，其首項(xiàng)為 a1 *1=2.an 1 =2 3n1，即 an =2

9、 3nA 一1。解法 4 an = 3an A 2=3 3an=22 =32an3 2 2=32 3an 3 2 3 2 2 = 33 an 3 33 2 3 2 2=L =3丄可 3n， 2 3nA 2 3心 2 L 33 2 3 2 23n 丄 _1宅丄2 3 =2 3心_131評(píng)注解法1、2、3稱為構(gòu)造法，但法1與法3構(gòu)造出的等比數(shù)列不同，各有千秋；解 法4稱為迭代法，對(duì)很多遞推式求通項(xiàng)公式都適用，應(yīng)認(rèn)真理解掌握。類型 4 an+ = pan+qn （其中 p，q 均為常數(shù)，（pq（ p1）（q -1） H 0）。（或anpan rq n，其中p，q, r均為常數(shù)）解法：一般地，要先在原

10、遞推公式兩邊同除以qn 1，得： 空 =E ?勻丄qn q qn q引入輔助數(shù)列、bn / （其中bn書），得：b“ =bn +丄再待定系數(shù)法解決。qq q例1、5已知an ；中，ai二二6n 1，求通項(xiàng)ann 1兩邊同乘以2n1得類型5遞推公式為 an 2 = pan 1 qan (其中p, q均為常數(shù)）。解法一（待定系數(shù)法）：先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為an 2 - san 1 = t(an 1 - san)其中s, t滿足丿s t 二 p st 二-q1在 an 1an3 n 22n1am =2 2nan 1，令 S 心3則 bn 1=2 6 亠3(2 丫bh 2)，求 an.解：設(shè)厲二 * A

11、 n B，則二6 - A n_B，將代入遞推式，得bn A n -B =3bn二-A (n -1)_bL：;，2 n -1 =3bn- (3A - 2) n - (3B -3A 1)A =3A - 2A =1二 二丿B=3B3A+1 戸二1.取bn 二 an n 1 ( 1)則 bn = 3bn 二，又 0=6，故 bn =6 32 =2 3n代入(1)得 an =2 3n - n-1 說(shuō)明：(1)若f(n)為n的二次式，則可設(shè)bn = an An2 Bn C ;(2)本題也可由an 二 3an A 2n -1,an二 3an - 2(n -1)-1( n _ 3 ) 兩式 相減得an=3(a

12、n.an_2)，2 轉(zhuǎn)化為6 2 二 PS 1 VS 求之r類型 9 an 1 = pan (p 0,an 0)解法：這種類型一般是等式 兩邊取對(duì)數(shù)后轉(zhuǎn)化為anpan q，再利用待定系數(shù)法求解。例1、 在數(shù)列9nJ中，a1 =3,an1 =an，求通項(xiàng)公式a.。解 由題意知數(shù)列aj中的各項(xiàng)均為正數(shù)，即an 0，對(duì)等式an1=a；取以3為底的對(duì)數(shù)，得 log3 an 1 =log3a2 =2log3an，則有 log3an 1 =2，進(jìn)而可知數(shù)列l(wèi)og 3 an是以 Iog3 3=1 為首log3 an項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，則logsan =1 2n- =2n丄，故an =32二類型10 a

13、n 1f (n)ang(n)an h(n)解法：這種類型一般是等式 兩邊取倒數(shù) 后換元轉(zhuǎn)化為anpan - q。2a例1、 在數(shù)列an中，當(dāng)at =1,an 4 =時(shí)，求通項(xiàng)an。an +2由an 亙二丄丄丄丄Jan+2an+2an 2%a.卅 a.2所以丄是以丄=1為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列。ana!2所以丄=1 （n _1） 1 =口，即an二丄。an22n 1評(píng)注：在遞推關(guān)系an1Aa（A, B,C,均為常數(shù)），若A=C，對(duì)其取倒數(shù)后得到等差數(shù)列;Ba. +C若A嚴(yán)C，取其倒數(shù)后得到一個(gè)新的遞推式=m - n，其解法于后。an_1an例2、已知數(shù)列 an中，其中ai =1,，且當(dāng)nA 2

14、時(shí),ana n/2anj 1求通項(xiàng)公式an。an J解將an怛 兩邊取倒數(shù)得:2an 二 +11 1 12，這說(shuō)明丄是一個(gè)等差數(shù)列,aa n an J.1 1首項(xiàng)是 1，公差為2，所以-a1an-1(n -1) 2=2n 一1，即 an2n -1類型11 an 1pan qran h解法：如果數(shù)列an滿足下列條件：已知a1的值且對(duì)于N，都有an1 =衛(wèi)豈 q （其ran +h中p、q、r、h均為常數(shù)，且ph工qr, r式0, &式-h ）,那么，可作特征方程 x = -PXq , rrx + hf 11當(dāng)特征方程有且僅有一根 Xo時(shí),則.是等差數(shù)列；當(dāng)特征方程有兩個(gè)相異的根 X1、X2lan

15、-冷 j時(shí)，貝U兇是等比數(shù)列。lan - x2 j類型12an .2二旦衛(wèi)不動(dòng)點(diǎn)法Can +D_Aan+Ban 2*對(duì)于數(shù)列Can+D ,n=N（A,B,C,D 是常數(shù)且 C 工 0,AD BC 式 0）Ax BX2其特征方程為Cx D，變形為Cx （D-A）x-B=0an 1 _an -:c 若有二異根:,:，則可令an 1八 an八（其中c是待定常數(shù)），代入a1,a2的值可求得c值.這樣數(shù)列、-1 a-n 一 ：是首項(xiàng)為-1 一 ：，公比為C的等比數(shù)列，于是這樣可求得-n若有二重根二，則可令 的值可求得C值.1C-n 1-n(其中C是待定常數(shù))，代入-1,-2-1-這樣數(shù)列 -n 一是首項(xiàng)

16、為-n 一，公差為C的等差數(shù)列，于是這樣可求得 -n例1.已知數(shù)列 -n滿足-1二2, -n-nd，22-nJ - 1(n _2)，求數(shù)列-n的通項(xiàng)-n解：其特征方程為x =x 22x 1化簡(jiǎn)得 2x? -2=0 ，解得 X! = 1,x2 - -1 ，=C g-n 11-n 14由a1 =2,得a2，可得c =5a數(shù)列是+1 J罟1為首項(xiàng)，以-3為公比的等比數(shù)列an 一1例2.已知數(shù)列-n滿足-1 =2,務(wù)1=2-n 一1 (n N*),4-n 6求數(shù)列-n的通項(xiàng)-n解：其特征方程為2x-1x4x 6即 4x2 4x 1=01解得為=卷一 1，1 1C 11-n 1 1-n 722anan廣

17、11 an + L2是以.數(shù)列1+ _213 5nai=-(n -1) 1 二 n51+ 23,5-為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，510n -6類型13 an勺 an = pn q或 an 1 Gn解法：這種類型一般可轉(zhuǎn)化為 :a2nJ?與a2奩是等差或等比數(shù)列求解。類型14雙數(shù)列型解法：根據(jù)所給兩個(gè)數(shù)列遞推公式的關(guān)系，靈活采用累加、累乘、化歸等方法求解。類型15周期型解法：由遞推式計(jì)算出前幾項(xiàng)，尋找周期。三、換元法1 例1已知數(shù)列an滿足an 1(1 4a . 1 24an )，印=1，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。16 1解：令 bn =、. 1 24an，則 a.(b； -1)24121|故 an+ = 24(bn -1)，代入 an十=16(1+4an+j1+24an)得 土需 -1)亠1 4(bn -1) bn241624即 4b：1 =(bn 3)2因?yàn)?bn 二 j_24a； -0，故 bn 1 二 J24兔：