高三數(shù)學(xué)數(shù)列求和1PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計(jì)學(xué)1高三數(shù)學(xué)數(shù)列求和高三數(shù)學(xué)數(shù)列求和11.熟練掌握等差、等比數(shù)列的求熟練掌握等差、等比數(shù)列的求和公式和公式.2.掌握非等差、等比數(shù)列求和的掌握非等差、等比數(shù)列求和的幾種常見模型與方法幾種常見模型與方法.第1頁/共26頁1.若數(shù)列若數(shù)列an為等比數(shù)列，為等比數(shù)列，S5=10,S10=50,則則S15= .2102.若若an=1+2+n，則數(shù)列，則數(shù)列 的前的前n項(xiàng)和項(xiàng)和Sn= .1na21nn 因?yàn)橐驗(yàn)閍n=1+2+n= ,所以所以 = =2( - ),故故Sn=2(1- )+( - )+( - )= .(1)2n n1na21n1n11n1212131n11n21nn第2頁/共26頁3.數(shù)

2、列數(shù)列1 ，3 ，5 ，7 ，的前的前n項(xiàng)項(xiàng)和和Sn= .121418116n2+1- 12n S=(1+3+5+2n-1)+( + + )=n2+1- .121412n12n第3頁/共26頁4.已知數(shù)列已知數(shù)列an的前的前n項(xiàng)和項(xiàng)和Sn=1-3+5-7+(-1)n-1(2n-1)(nN*)，則，則S2008+S2009+S2010=（ ）BA.-2008 B.-2009C.2009 D.2010第4頁/共26頁 當(dāng)當(dāng)n=2k(kZ)時(shí)，時(shí)，Sn=(1-3)+(5-7)+(2n-3)-(2n-1)=k(-2)=-n.當(dāng)當(dāng)n=2k-1(kZ）時(shí)，）時(shí)，Sn=1+(-3)+5+(-7)+9+-(2

3、n-3)+(2n-1)=1+（k-1）2=n. n (n為奇數(shù)）為奇數(shù)） -n (n為偶數(shù)）為偶數(shù)）,所以所以S2008+S2009+S2010=-2008+2009-2010=-2009.所以所以Sn=第5頁/共26頁5.設(shè)設(shè)f(x)= ，則，則f(x)+f(1-x)= ，并，并利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的項(xiàng)和公式的方法方法,求得求得f(-5)+f(-4)+f(0)+f(5)+f(6)的值為的值為 .122x223 2第6頁/共26頁 f(x)+f(1-x)= + = + = + = = .又設(shè)又設(shè)S=f(-5)+f(-4)+f(6),則則S=f(6)+f(5

4、)+f(-5),所以所以2S=f(6)+f(-5)+f(5)+f(-4)+f(-5)+f(6).所以所以2S=12 =6 ,所以所以S=3 .122x1122x122x222 2xx122x12222xx12222222第7頁/共26頁1.公式法公式法常用的公式有：常用的公式有：(1)等差數(shù)列等差數(shù)列an的前的前n項(xiàng)和項(xiàng)和Sn= = .(2)等比數(shù)列等比數(shù)列an的前的前n項(xiàng)和項(xiàng)和Sn= = (q1).(3)12+22+32+n2= .(4)13+23+33+n3= .1()2nn aana1+ d(1)2n n1(1)1naqq11naa qqn(n+1)(2n+1)16n2(n+1)214第

5、8頁/共26頁2.倒序相加法倒序相加法將一個(gè)數(shù)列倒過來排序，它與原數(shù)列將一個(gè)數(shù)列倒過來排序，它與原數(shù)列相加時(shí)，若有公因式可提，并且剩余的項(xiàng)相加時(shí)，若有公因式可提，并且剩余的項(xiàng)易于求和，則這樣的數(shù)列可用倒序相加法易于求和，則這樣的數(shù)列可用倒序相加法求和求和.3.分組轉(zhuǎn)化法分組轉(zhuǎn)化法分析通項(xiàng)雖不是等差或等比數(shù)列，但分析通項(xiàng)雖不是等差或等比數(shù)列，但它是等差數(shù)列和等比數(shù)列的和的形式它是等差數(shù)列和等比數(shù)列的和的形式,則可則可進(jìn)行拆分，分別利用基本數(shù)列的求和公式進(jìn)行拆分，分別利用基本數(shù)列的求和公式求和，如求求和，如求n(n+1)前前n項(xiàng)的和項(xiàng)的和.第9頁/共26頁4.錯位相減法錯位相減法利用等比數(shù)列求和公

6、式的推導(dǎo)方法利用等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)方法求解，一般可解決型如一個(gè)等差數(shù)列和一求解，一般可解決型如一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)相乘所得數(shù)列的求和，個(gè)等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)相乘所得數(shù)列的求和，如求數(shù)列如求數(shù)列n3n的前的前n項(xiàng)和項(xiàng)和.5.裂項(xiàng)相消法裂項(xiàng)相消法把數(shù)列和式中的各項(xiàng)分別裂開后，把數(shù)列和式中的各項(xiàng)分別裂開后，消去一部分從而計(jì)算和的方法，它適用于消去一部分從而計(jì)算和的方法，它適用于通項(xiàng)為通項(xiàng)為 的前的前n項(xiàng)求和問題，其中項(xiàng)求和問題，其中an為為等差數(shù)列，如等差數(shù)列，如 = ( - ).11nnaa11nnaa1d1na11na第10頁/共26頁常見的拆項(xiàng)方法有：常見的拆項(xiàng)方法有：(1) = ;

7、(2) = ;(3) = ;(4) = ;(5)nn!= .6.并項(xiàng)法并項(xiàng)法將數(shù)列的每兩項(xiàng)將數(shù)列的每兩項(xiàng)(或多次或多次)并到一起后，并到一起后，再求和，這種方法常適用于擺動數(shù)列的求和再求和，這種方法常適用于擺動數(shù)列的求和.1(1)n n111nn1()n nk1 11()k nnk1(1)(2)n nn1112(1)(1)(2)n nn nn1ab1()abab11(n+1)!-n!第11頁/共26頁例例1 求和：求和：(1)Sn=1+(3+4)+(5+6+7)+(2n-1+2n+3n-2);(2)Sn=12-22+32-42+(-1)n-1n2.第12頁/共26頁(1)因?yàn)橐驗(yàn)閍n=(2n-

8、1)+2n+(2n+1)+（3n-2）= = n2- n,所以所以Sn= (12+22+32+n2)- (1+2+n)= n(n+1)(5n-2)(nN*).(21 32)2nnn 5232523216第13頁/共26頁(2)當(dāng)當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，是偶數(shù)時(shí)，Sn=(12-22)+(32-42)+(n-1)2-n2=-3-7-(2n-1)= .當(dāng)當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，是奇數(shù)時(shí)，Sn=1+(32-22)+(52-42)+n2-(n-1)2=1+5+9+(2n-1)= .故故Sn=(-1)n-1 (nN*).(1)2n n(1)2n n(1)2n n第14頁/共26頁 求數(shù)列的前求數(shù)列的前n項(xiàng)和，首先要研究項(xiàng)和，

9、首先要研究數(shù)列的通項(xiàng)公式的特點(diǎn)，再確定相應(yīng)數(shù)列的通項(xiàng)公式的特點(diǎn)，再確定相應(yīng)的求和方法的求和方法.如本題中的如本題中的(1)小題運(yùn)用分小題運(yùn)用分組求和法；組求和法；(2)小題中，由于小題中，由于an的項(xiàng)是的項(xiàng)是正負(fù)相間，故采用并項(xiàng)求和法，但解正負(fù)相間，故采用并項(xiàng)求和法，但解題中要注意分奇數(shù)、偶數(shù)討論題中要注意分奇數(shù)、偶數(shù)討論.第15頁/共26頁例例2 已知等比數(shù)列已知等比數(shù)列an的首項(xiàng)的首項(xiàng)a1= ,公比公比q滿足滿足q0,且且q1.又已知又已知a1,5a3,9a5成等差數(shù)列成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列求數(shù)列an的通項(xiàng)；的通項(xiàng)；(2)令令bn=log3 ,試求數(shù)列試求數(shù)列 的前的前n項(xiàng)和項(xiàng)和Sn;(

10、3)試比較試比較 + + + 與與 的大小的大小.131na11nnb b1 31bb241b b3 51b b21nnb b34第16頁/共26頁 (1)依題意，依題意，10a3=a1+9a5，即，即 q2= + q49，整理得整理得9q4-10q2+1=0，解得，解得q2= 或或q2=1，又，又q0，且，且q1，所以所以q= ，此時(shí)，此時(shí)，an=a1qn-1=( )n.1031313191313第17頁/共26頁(2)因?yàn)橐驗(yàn)閎n=log3 =-log3an=n, = = - ,所以所以Sn=b1+b2+bn= ( - )+( - )+( - )=1- = .1na11nnb b1(1)n

11、 n1n11n111213121n11n11n1nn第18頁/共26頁(3)因?yàn)橐驗(yàn)?= = ( - ),所以原式所以原式= ( - )+( - )+( - )+( - )+( - )+( - )= (1+ - - )= - ( + ) 對對nN*恒成立恒成立.21nnb b341(2)n n121n12n12111213141315141611n11n1n12n121211n12n1211n12n34第19頁/共26頁 （1）若數(shù)列的通項(xiàng)能轉(zhuǎn)化為）若數(shù)列的通項(xiàng)能轉(zhuǎn)化為an=f(n+1)-f(n)的形式，常采用裂項(xiàng)的形式，常采用裂項(xiàng)相消法求和，關(guān)鍵是裂項(xiàng)成功，如相消法求和，關(guān)鍵是裂項(xiàng)成功，如本

12、例第（本例第（2）（）（3）問）問.（2）使用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，要注）使用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)消去了哪些項(xiàng)，保意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)留了哪些項(xiàng).第20頁/共26頁例例3求和求和 + + + + (a0).1a22a33anna (1)當(dāng)當(dāng)a=1時(shí)，時(shí)，Sn=1+2+3+n= .(2)當(dāng)當(dāng)a1，且，且a0時(shí)，時(shí)，Sn= + + + , Sn= + + + , (1)2n n1a22a33anna1a21a32a1nna1nna第21頁/共26頁由由-，得，得(1- )Sn= + + - = - .兩邊同除以兩邊同除以(1- )并整理得并整理得Sn= . (a=1

13、) (a1).1a1na21a1nna1a1nna111 ( ) 11naaa1a2(1)(1)(1)nna an aaa綜上所述綜上所述,Sn=(1)2n n2(1)(1)(1)nna an aaa第22頁/共26頁 （1）若數(shù)列）若數(shù)列an為等差數(shù)列，為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列，則數(shù)列為等比數(shù)列，則數(shù)列anbn的前的前n項(xiàng)和可采用錯位相減法求和；項(xiàng)和可采用錯位相減法求和；（2）當(dāng)?shù)缺葦?shù)列公比為字母時(shí)，應(yīng)對）當(dāng)?shù)缺葦?shù)列公比為字母時(shí)，應(yīng)對字母是否為字母是否為1進(jìn)行討論進(jìn)行討論.（3）將）將Sn與與qSn相減合并同類項(xiàng)時(shí)，注相減合并同類項(xiàng)時(shí)，注意錯位及未合并項(xiàng)的正負(fù)號意錯位及未合并項(xiàng)的正負(fù)號.第23頁/共26頁1.若是等差、等比數(shù)列求和問題，若是等差、等比數(shù)列求和問題，則直接用公式求和則直接用公式求和,應(yīng)注意公式的應(yīng)用范應(yīng)注意公式的應(yīng)用范圍圍(如等比數(shù)列求和時(shí)如等比數(shù)列求和時(shí),