帶電粒子自主招生專題課程

1、【例3】 在平面內(nèi)有許多電子（質(zhì)量為、電量為），從坐標(biāo)o不斷以相同速率沿不同方向射入第一象限，如圖7所示?，F(xiàn)加一個(gè)垂直于平面向內(nèi)、磁感強(qiáng)度為的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，要求這些電子穿過磁場(chǎng)后都能平行于軸向正方向運(yùn)動(dòng)，求符合該條件磁場(chǎng)的最小面積。解析：電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)半徑是確定的，設(shè)磁場(chǎng)區(qū)域足夠大，作出電子可能的運(yùn)動(dòng)軌道如圖所示，因?yàn)殡娮又荒芟虻谝幌笙奁矫鎯?nèi)發(fā)射，其中圓o1和圓o2為從圓點(diǎn)射出，經(jīng)第一象限的所有圓中的最低和最高位置的兩個(gè)圓。圓o2在軸上方的個(gè)圓弧odb就是磁場(chǎng)的上邊界。其它各圓軌跡的圓心所連成的線必為以點(diǎn)o為圓心，以r為半徑的圓弧o1omo2 。由于要求所有電子均平行于x軸向右飛出磁場(chǎng)，故由幾何

2、知識(shí)知電子的飛出點(diǎn)必為每條可能軌跡的最高點(diǎn)?？勺C明，磁場(chǎng)下邊界為一段圓弧，只需將這些圓心連線（圖中虛線o1o2）向上平移一段長(zhǎng)度為的距離即圖中的弧ocb就是這些圓的最高點(diǎn)的連線，即為磁場(chǎng)區(qū)域的下邊界。兩邊界之間圖形的陰影區(qū)域面積即為所求磁場(chǎng)區(qū)域面積：。 還可根據(jù)圓的知識(shí)求出磁場(chǎng)的下邊界。設(shè)某電子的速度v0與x軸夾角為，若離開磁場(chǎng)速度變?yōu)樗椒较驎r(shí)，其射出點(diǎn)也就是軌跡與磁場(chǎng)邊界的交點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），從圖10中看出，即（x0，y0），這是個(gè)圓方程，圓心在（0，r）處，圓的 圓弧部分即為磁場(chǎng)區(qū)域的下邊界。三空間軌跡問題【例4】 在三維直角坐標(biāo)中，沿+z方向有磁感強(qiáng)度為b的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，沿z方向有電場(chǎng)強(qiáng)

3、度為e的勻強(qiáng)電場(chǎng)。在原點(diǎn)o有一質(zhì)量為m 、電量為q的粒子（不計(jì)重力）以正x方向、大小為v的初速度發(fā)射。試求粒子再過z軸的坐標(biāo)與時(shí)間。yzxbe【答案】z = ，t = 。（其中k = 1，2，3，）【例9】 如圖所示，oxyz坐標(biāo)系的y軸豎直向上，在坐標(biāo)系所在的空間存在勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)，電場(chǎng)方向與x軸平行從y軸上的m點(diǎn)（0，h，0）無初速釋放一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為q的帶負(fù)電的小球，它落在xz平面上的n（c，0，b）點(diǎn)（c0，b0）若撤去磁場(chǎng)則小球落在xy平面的p（l，0，0）點(diǎn)（l0）已知重力加速度為yxzom(0,h,0)n(c,0,b)p(l,0,0)（1）已知?jiǎng)驈?qiáng)磁場(chǎng)方向與某個(gè)坐標(biāo)軸平

4、行，試判斷其可能的具體方向；（2）求電場(chǎng)強(qiáng)度e的大小；（3）求小球落至n點(diǎn)時(shí)的速率v【解析】：磁場(chǎng)方向?yàn)閤方向或y方向；（2）；（3）abcdso【例10】 如圖，兩個(gè)共軸的圓筒形金屬電極，外電極接地，其上均勻分布著平行于軸線的四條狹縫a、b、c和d，外筒的半徑為r0。在圓筒之外的足夠大區(qū)域中有平行于軸線方向的均勻磁場(chǎng)，磁感強(qiáng)度的大小為b。在兩極間加上電壓，使兩圓筒之間的區(qū)域內(nèi)有沿半徑向外的電場(chǎng)。一質(zhì)量為m、帶電量為q的粒子，從緊靠?jī)?nèi)筒且正對(duì)狹縫a的s點(diǎn)出發(fā)，初速為零。如果該粒子經(jīng)過一段時(shí)間的運(yùn)動(dòng)之后恰好又回到出發(fā)點(diǎn)s，則兩電極之間的電壓u應(yīng)是多少？（不計(jì)重力，整個(gè)裝置在真空中）。 答案：u=

5、mv2/2q=qb2r20/2m【例11】 如圖所示，空間分布著如圖所示的勻強(qiáng)電場(chǎng)e（寬度為l）和勻強(qiáng)磁場(chǎng)b（兩部分磁場(chǎng)區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相等，方向相反），一帶電粒子電量為q，質(zhì)量為m（不計(jì)重力），從a點(diǎn)由靜止釋放，經(jīng)電場(chǎng)加速后進(jìn)入磁場(chǎng)穿過中間磁場(chǎng)進(jìn)入右邊磁場(chǎng)后能按某一路徑而返回a點(diǎn)，重復(fù)前述過程。求中間磁場(chǎng)的寬度d和粒子的運(yùn)動(dòng)周期。答案：答案： 【例12】 如圖(甲)所示，x0的區(qū)域內(nèi)有圖(乙)所示大小不變、方向隨時(shí)間周期性變化的磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直紙面向外時(shí)為正方向現(xiàn)有一個(gè)質(zhì)量為m、電量為q的帶正電粒子，在時(shí)刻從坐標(biāo)原點(diǎn)o以速度v沿著與x軸正方向成750角射入粒子運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間后到達(dá)p點(diǎn)，p

6、點(diǎn)的坐標(biāo)為(a，a)，此時(shí)粒子的速度方向與op延長(zhǎng)線的夾角為粒子只受磁場(chǎng)力作用 (1)若為已知量，試求帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r和周期的表達(dá)式， (2)說明粒子在op間運(yùn)動(dòng)的時(shí)間跟所加磁場(chǎng)變化周期t之間應(yīng)有什么樣關(guān)系才能使粒子完成上述運(yùn)動(dòng)；(3)若為未知量，那么所加磁場(chǎng)的變化周 期t，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小各應(yīng)滿足什么條件，才能使粒子完成上述運(yùn)動(dòng)?(寫出t、應(yīng)滿足條件的表達(dá)式) 答案.（1） （3） 【例13】 如圖所示，一個(gè)質(zhì)量為、電量為的正離子，從a點(diǎn)正對(duì)著圓心o以速度射入半徑為的絕緣圓筒中圓筒內(nèi)存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為要使帶電粒子與圓筒內(nèi)壁碰撞兩次后仍從a點(diǎn)射出，求

7、正離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間(設(shè)粒子與圓筒內(nèi)壁碰撞時(shí)無能量和電量損失，不計(jì)粒子的重力) 若碰n次從a射出又如何？aaabv0答案：【例14】 如圖，正方形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)邊界長(zhǎng)為a,由光滑絕緣壁圍成。質(zhì)量為m、電量為q的帶電粒子垂直于磁場(chǎng)方向和邊界，從下邊界中央的a孔射入磁場(chǎng)中，粒子碰撞時(shí)無能量損失，不計(jì)重力和碰撞時(shí)間，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小b，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑小于a。欲使粒子仍能從a孔中反向射出，粒子的入射速度應(yīng)為多少？在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間是多少？答案：（1） n0，1，2 n0，1，2（2）r， n0，1，2 n0，1，2【例15】 如圖所示，虛線ab右側(cè)是磁感應(yīng)強(qiáng)度為b的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，左側(cè)是磁感應(yīng)強(qiáng)度為2

8、b的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)的方向垂直于圖中的紙面并指向紙面內(nèi)，現(xiàn)有一帶正電的粒子自圖中o處以初速度v0開始向右運(yùn)動(dòng)。從開始時(shí)刻到第10次通過ab線向右運(yùn)動(dòng)的時(shí)間內(nèi)，該粒子在ab方向的平均速度？abv00ov【解析】帶電粒子從o點(diǎn)出發(fā)，受到洛侖茲力作用，做圓周運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過半個(gè)周期后，穿過ab邊界向左飛出，受到大小為原來二分之一的洛侖茲力作，做半徑為原來兩倍的圓周運(yùn)動(dòng)，同樣經(jīng)過半個(gè)周期，穿過ab邊界向右飛出，這樣周而復(fù)始地穿過ab邊界，形成了如圖所示似“舞龍”的完美對(duì)稱的運(yùn)動(dòng)軌跡。解析粒子在磁場(chǎng)中只受洛侖茲力得，粒子在ab右側(cè)做圓周運(yùn)動(dòng)，半徑，在ab邊左側(cè)做圓周運(yùn)動(dòng)，半徑。如圖所示，當(dāng)粒子第10次通過x軸的

9、位置和時(shí)間分別為【例16】 如圖所示，在半徑為r的圓形區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為b0三個(gè)點(diǎn)p、m、n均勻地分布在圓周上，有三對(duì)電壓相同、相距為d的平行金屬板，它們分別在這三點(diǎn)與圓相切，而且在相切處的極板上分別留有縫隙。一個(gè)質(zhì)量為m，帶電量為q的粒子，從點(diǎn)q由靜止開始運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過一段時(shí)間恰能回到點(diǎn)q（不計(jì)重力）。（1） 在圖上標(biāo)出各板的正負(fù)極，并分析平行金屬板間的電壓u與磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小b應(yīng)滿足什么關(guān)系？（2） 粒子從點(diǎn)q出以發(fā)又回到點(diǎn)q，至少需要多長(zhǎng)時(shí)間？pnmqpnmq思路帶電粒子在q點(diǎn)受到電場(chǎng)力作用，做勻加速運(yùn)動(dòng)，從n點(diǎn)飛入磁場(chǎng)，受到洛侖茲力作用，做圓周運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過1/6周期

10、后，穿過p點(diǎn)，在電場(chǎng)力作用下，做減速運(yùn)動(dòng)，到極板時(shí)速度恰好為零。然后類似前面運(yùn)動(dòng)，從p點(diǎn)飛出后飛入m，雙從m點(diǎn)飛出后飛入n點(diǎn)，回到q點(diǎn)，這樣重復(fù)運(yùn)動(dòng)，形成如圖所示似“埃菲爾鐵塔”的完美對(duì)稱的運(yùn)動(dòng)軌跡。解析三對(duì)金屬板的正負(fù)極，如圖所示設(shè)粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度大小為v，運(yùn)動(dòng)半徑為r，根據(jù)動(dòng)能定理，有：。m、n、p三點(diǎn)均勻地分布在圓周上，每一段圓弧對(duì)圓心角為120，由幾何知識(shí)可知：。根據(jù)牛頓第二定律，有：由上述三式，可得：（3） 粒子在磁場(chǎng)中作圓周運(yùn)動(dòng)的周期，經(jīng)過三段圓弧所用時(shí)間為：。設(shè)粒子從q點(diǎn)出發(fā)到達(dá)磁場(chǎng)所用時(shí)間t。則：得。粒子在三對(duì)平行金屬板間經(jīng)歷的時(shí)間為：所以粒子從q點(diǎn)出發(fā)又回到q點(diǎn)需要的時(shí)間為

11、：【例17】 如圖甲所示，兩塊互相平行，水平放置的金屬間存在相互垂直的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)。勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直紙面向里，兩板間的電壓u隨時(shí)間而變化，變化情況如圖乙所示，已知板長(zhǎng)l=1.4m兩板間距為d=0.3m，當(dāng)t=o時(shí)有一個(gè)a粒子以速度從兩板中央飛入。問；1a粒子能否穿出金屬板？為什么？2若能穿過，需要多長(zhǎng)時(shí)間？分析：這是一個(gè)恒定的磁場(chǎng)和一個(gè)斷續(xù)發(fā)生的電場(chǎng)共同作用于運(yùn)動(dòng)的帶電粒子問題，由于電場(chǎng)斷續(xù)存在，這樣就存在著兩個(gè)時(shí)間段：一是電場(chǎng)與磁場(chǎng)同時(shí)存在；二是只有磁場(chǎng)存在。在區(qū)分兩種情況，確定帶電粒子作何運(yùn)動(dòng)后，才能判斷帶電粒子能否穿出，若穿出，需要多少時(shí)間。解答：（1）先研究電場(chǎng)與磁場(chǎng)同時(shí)存在的情況：

12、在電場(chǎng)與磁場(chǎng)同時(shí)存在時(shí)，a粒子作勻速直線運(yùn)動(dòng)。再研究只存在磁場(chǎng)的情況，由于只受洛侖茲力，a粒子應(yīng)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，半徑大小為r，即得圓周運(yùn)動(dòng)的直徑：因而粒子作勻速圓運(yùn)動(dòng)時(shí)不會(huì)打到極板上，圓周運(yùn)動(dòng)的周期： 粒子作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期恰好等于電壓變化的半周期。這就是說，在只有磁場(chǎng)存在的那個(gè)時(shí)間段，粒子作圓周運(yùn)動(dòng)，在時(shí)間段結(jié)束的時(shí)刻，粒子回到原處，且速度大小和方向沒有變化。根據(jù)上述計(jì)算和分析可得；粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示。（2）綜上所述，粒子作勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)并不前進(jìn)，而勻速直線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間與勻速圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相同，n次后粒子飛出了極板，設(shè)粒子作直線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為。因此，粒子飛出兩板間的時(shí)刻，正好處在粒子作直線

13、運(yùn)動(dòng)的時(shí)間段上，因此粒子是勻速直線飛出的。并且粒子在兩板間作了3次勻速圓周運(yùn)動(dòng)，故作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為： 粒子穿過兩板間所用的總時(shí)間為： 說明：粒子經(jīng)過3次勻速直線運(yùn)動(dòng)，已經(jīng)前進(jìn)了1.21m，距離右邊界還有0.2m，這個(gè)距離仍然比粒子作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑要大許多，所以，不會(huì)發(fā)生粒子在第3次作勻速圓周運(yùn)動(dòng)中穿出兩板間右邊界。選講：車輪線問題：【例18】 當(dāng)平行板電容器的負(fù)極板為一定波長(zhǎng)的光所照射時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)負(fù)極板上有電子從各個(gè)方向射出來，電子脫離負(fù)極板時(shí)速率很小，可以忽略不計(jì)。設(shè)電容器兩極板間的距離為 d，兩極板間的電勢(shì)差為u。求：要使這些電子到達(dá)不了正極板，應(yīng)該施加一個(gè)多大的與極板平行

14、的磁場(chǎng)？分析：根據(jù)題意可畫出題目示意圖，如圖所示。解這個(gè)題目，容易犯的錯(cuò)誤就是在電子最靠近正極板的p點(diǎn)時(shí)，人們會(huì)錯(cuò)誤認(rèn)為，在此點(diǎn)電子受到的電場(chǎng)力和磁場(chǎng)力相等，從而列出方程： 其實(shí)不然，因?yàn)樵诖它c(diǎn)，帶電粒子作曲線運(yùn)動(dòng)，因此合力不為零。也有人認(rèn)為，電場(chǎng)力和磁場(chǎng)力的合力提供了電子作曲線運(yùn)動(dòng)的向心力，即，此式雖然未錯(cuò)，但曲率半徑r未知，亦不可行。下面介紹一種簡(jiǎn)單的做法。解：設(shè)電子到 p點(diǎn)時(shí)在方向的速度，根據(jù)動(dòng)量定理可列出 （1）為作用在電子上的沿x方向的力的平均值；為從開始至到達(dá)p點(diǎn)所需時(shí)間，又因磁場(chǎng)力有做功，根據(jù)動(dòng)能定理可列出在p點(diǎn)，即：（2）又x方向作用于電子的力只有磁場(chǎng)力。（3）聯(lián)立（1）、（2）、（3）式可求得：為 y方向的平均速度，是到達(dá)p點(diǎn)的時(shí)間，則所以 【例1