雙曲線知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及經(jīng)典練習(xí)題

1、圓錐曲線（三）-雙曲線知識(shí)點(diǎn)一：雙曲線定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)（小于）的點(diǎn)的軌跡稱為雙曲線即：。這兩個(gè)定點(diǎn)稱為雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離稱為雙曲線的焦距注意：1. 雙曲線的定義中，常數(shù)應(yīng)當(dāng)滿足的約束條件：，這可以借助于三角形中邊的相關(guān)性質(zhì)“兩邊之差小于第三邊”來理解；2. 若去掉定義中的“絕對(duì)值”，常數(shù)滿足約束條件：（），則動(dòng)點(diǎn)軌跡僅表示雙曲線中靠焦點(diǎn)的一支；若（），則動(dòng)點(diǎn)軌跡僅表示雙曲線中靠焦點(diǎn)的一支；3. 若常數(shù)滿足約束條件：，則動(dòng)點(diǎn)軌跡是以f1、f2為端點(diǎn)的兩條射線（包括端點(diǎn)）；若常數(shù)滿足約束條件：，則動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在；5若常數(shù)，則動(dòng)點(diǎn)軌跡為線段f1f2的垂直平分線

2、。知識(shí)點(diǎn)二：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程1當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中；2當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中.注意： 1只有當(dāng)雙曲線的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系時(shí),才能得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；2在雙曲線的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，都有；3雙曲線的焦點(diǎn)總在實(shí)軸上，即系數(shù)為正的項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)軸上.當(dāng)?shù)南禂?shù)為正時(shí)，焦點(diǎn)在軸上，雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，；當(dāng)?shù)南禂?shù)為正時(shí)，焦點(diǎn)在軸上，雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，.知識(shí)點(diǎn)三：雙曲線性質(zhì)1、雙曲線（a0，b0）的簡單幾何性質(zhì)（1） 對(duì)稱性：對(duì)于雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程（a0，b0），把x換成x，或把y換成y，或把x、y同時(shí)換成x、y，方程都不變，所以雙曲線（a0，b0

3、）是以x軸、y軸為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形，且是以原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形，這個(gè)對(duì)稱中心稱為雙曲線的中心。（2）范圍：雙曲線上所有的點(diǎn)都在兩條平行直線x=a和x=a的兩側(cè)，是無限延伸的。因此雙曲線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足x-a或xa。（3） 頂點(diǎn)：雙曲線與它的對(duì)稱軸的交點(diǎn)稱為雙曲線的頂點(diǎn)。雙曲線（a0，b0）與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)即為雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)，坐標(biāo)分別為a1（a，0），a2（a，0），頂點(diǎn)是雙曲線兩支上的點(diǎn)中距離最近的點(diǎn)。兩個(gè)頂點(diǎn)間的線段a1a2叫作雙曲線的實(shí)軸；設(shè)b1（0，b），b2（0，b）為y軸上的兩個(gè)點(diǎn)，則線段b1b2叫做雙曲線的虛軸。實(shí)軸和虛軸的長度分別為|a1a2|=2a，|b1b2|=

4、2b。a叫做雙曲線的實(shí)半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長。注意：雙曲線只有兩個(gè)頂點(diǎn)，而橢圓有四個(gè)頂點(diǎn)，不能把雙曲線的虛軸與橢圓的短軸混淆。雙曲線的焦點(diǎn)總在實(shí)軸上。實(shí)軸和虛軸等長的雙曲線稱為等軸雙曲線。（4）離心率： 雙曲線的焦距與實(shí)軸長的比叫做雙曲線的離心率，用e表示，記作。因?yàn)閏a0，所以雙曲線的離心率。由c2=a2+b2，可得，所以決定雙曲線的開口大小，越大，e也越大，雙曲線開口就越開闊。所以離心率可以用來表示雙曲線開口的大小程度。等軸雙曲線，所以離心率。（4） 漸近線：經(jīng)過點(diǎn)a2、a1作y軸的平行線x=a，經(jīng)過點(diǎn)b1、b2作x軸的平行線y=b，四條直線圍成一個(gè)矩形（如圖），矩形的兩條對(duì)角線所

5、在直線的方程是。我們把直線叫做雙曲線的漸近線。雙曲線的漸近線求法：(1)已知雙曲線方程求漸近線方程：若雙曲線方程為，則其漸近線方程為注意：（1）已知雙曲線方程，將雙曲線方程中的“常數(shù)”換成“0”，然后因式分解即得漸近線方程。（2）已知漸近線方程求雙曲線方程：若雙曲線漸近線方程為，則可設(shè)雙曲線方程為，根據(jù)已知條件，求出即可。（3）與雙曲線有公共漸近線的雙曲線方程可設(shè)為（，焦點(diǎn)在軸上，焦點(diǎn)在y軸上）（4）等軸雙曲線的漸近線等軸雙曲線的兩條漸近線互相垂直，為，因此等軸雙曲線可設(shè)為.注意：雙曲線與它的漸近線無限接近，但永不相交。知識(shí)點(diǎn)四：雙曲線與的區(qū)別和聯(lián)系焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在軸上焦點(diǎn)在軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程范

6、圍或，或，頂點(diǎn)、軸長虛軸的長 實(shí)軸的長焦點(diǎn)、焦距對(duì)稱性關(guān)于軸、軸對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱離心率漸近線方程2、實(shí)軸和虛軸等長的雙曲線稱為等軸雙曲線鞏固練習(xí)1、已知點(diǎn)p(x,y)的坐標(biāo)滿足，則動(dòng)點(diǎn)p的軌跡是（ ）a橢圓 b雙曲線中的一支 c兩條射線 d以上都不對(duì) 2、求與雙曲線有公共焦點(diǎn)，且過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。3已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)f1、f2之間的距離為26，雙曲線上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為24，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程?？偨Y(jié)升華：求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程就是求a2、b2的值，同時(shí)還要確定焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸。雙曲線所在的坐標(biāo)軸，不像橢圓那樣看x2、y2的分母的大小，而是看x2、y2的系數(shù)的正負(fù)。4方程

7、表示雙曲線，求實(shí)數(shù)m的取值范圍?！咀兪?】k9是方程表示雙曲線的（ ）a充分必要條件 b充分不必要條件 c必要不充分條件 d既不充分又不必要條件【變式2】求雙曲線的焦距?！咀兪?】已知雙曲線8kx2ky2=2的一個(gè)焦點(diǎn)為，則k的值等于（ ）a2 b1 c1 d【變式4】（2011 湖南）設(shè)雙曲線的漸近線方程為，則的值為a4 b3 c2 d15已知雙曲線方程，求漸近線方程。（1）；（2）；（3）；（4）6根據(jù)下列條件，求雙曲線方程。（1)與雙曲線有共同的漸近線，且過點(diǎn)；（2）一漸近線方程為，且雙曲線過點(diǎn)。總結(jié)升華：求雙曲線的方程，關(guān)鍵是求、，在解題過程中應(yīng)熟悉各元素（、及準(zhǔn)線）之間的關(guān)系，并注意方程思想的應(yīng)用。若已知雙曲線的漸近線方程，可設(shè)雙曲線方程為（）.【變式1】中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)在(0,3)，一條漸近線為的雙曲線方程是（ ）a、 b、c、 d、【變式2】過點(diǎn)(2，-2)且與雙曲線有公共漸進(jìn)線的雙曲線是 ( )ab cd【答案】a 【變式3】以為漸近線的雙曲線方程不可能是（ ）a4x29y2=1 b9y24x2=1 c4x29y2=（r且0） d9x24y2=（r且0）【變式4】雙曲線與有相同的（ ）a實(shí)軸 b焦點(diǎn) c漸近線 d以上都不對(duì) 7已知是雙曲線的左、右焦