理學(xué)微積分PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1理學(xué)微積分理學(xué)微積分2021-10-172解解的平均速度的平均速度到到求時(shí)段求時(shí)段ttt 00)1(ttxttxttv )()(),(000 速速度度平平均均速速度度的的極極限限是是瞬瞬時(shí)時(shí))2(ttxttxtvt )()(lim)(0000 如果極限如果極限存在存在, , 這個(gè)極限值就是質(zhì)點(diǎn)的這個(gè)極限值就是質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速度瞬時(shí)速度. .第1頁(yè)/共32頁(yè)2021-10-173 例例2 2 曲線的切線斜率問(wèn)題曲線的切線斜率問(wèn)題 ).(,(),(),(.,)()()(,000000 xfyyxMLbaxbaCxfbxaxfyL 其其中中的的切切線線在在點(diǎn)點(diǎn)求求曲曲線線其其方方程程為為設(shè)設(shè)曲曲

2、線線什麼是曲線的切線？什麼是曲線的切線？第2頁(yè)/共32頁(yè)2021-10-174xyo0MN0 xxx0T)(:xfyL 的的極極限限位位置置就就是是切切線線割割線線時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),0MN 割線割線切切線線第3頁(yè)/共32頁(yè)2021-10-175xxfxxfxkx )()(lim)(0000 xxfxxfxxk )()(),(000 的割線斜率的割線斜率到到求區(qū)間求區(qū)間xxx 00)1(斜斜率率割割線線斜斜率率的的極極限限是是切切線線)2()()(000 xxxkxfy 的的切切線線方方程程在在點(diǎn)點(diǎn)曲曲線線),()3(000yxML第4頁(yè)/共32頁(yè)2021-10-17600,),(.,)()(limli

3、m.)(00000000 xxxxxxdxdydxdfxfxfxfxxfxxfxyxxfy 記記作作的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在極極限限值值為為函函數(shù)數(shù)并并稱(chēng)稱(chēng)此此可可導(dǎo)導(dǎo)在在則則稱(chēng)稱(chēng)函函數(shù)數(shù)存存在在如如果果極極限限某某鄰鄰域域有有定定義義的的在在點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù) 二、導(dǎo)數(shù)定義與性質(zhì)二、導(dǎo)數(shù)定義與性質(zhì)1. 導(dǎo)數(shù)定義：導(dǎo)數(shù)定義：第5頁(yè)/共32頁(yè)2021-10-177注意注意1 導(dǎo)數(shù)的等價(jià)定義：導(dǎo)數(shù)的等價(jià)定義：hxfhxfxfh)()(lim)(0000 000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx xxfxxfxfx )()(lim)(0000 第6頁(yè)/共32頁(yè)2021-10-178)()(00tstv

4、 瞬瞬時(shí)時(shí)速速度度：)()(00 xfxk 切切線線斜斜率率：.)(,()()(0000處處切切線線的的斜斜率率在在點(diǎn)點(diǎn)是是曲曲線線導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)xfxMxfyxf )()(xmx 線密度：線密度：注意注意2 導(dǎo)數(shù)的意義：導(dǎo)數(shù)的意義：物理意義物理意義幾何意義幾何意義 導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在一點(diǎn)的變化率導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在一點(diǎn)的變化率 第7頁(yè)/共32頁(yè)2021-10-179例例: :線密度問(wèn)題線密度問(wèn)題.,處處細(xì)細(xì)桿桿的的線線密密度度求求在在斷斷面面成成的的細(xì)細(xì)桿桿設(shè)設(shè)有有一一根根由由某某種種物物質(zhì)質(zhì)做做MABABMxxo)(xmAM的的質(zhì)質(zhì)量量是是設(shè)設(shè)Nxx )()(xmxxmMN 的的質(zhì)質(zhì)量量為為平平均均線線密密度

5、度xxmxxm )()( xxmxxmxx )()(lim)(0 第8頁(yè)/共32頁(yè)2021-10-1710)()()(lim0000 xfxxfxxfx 左導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù))()()(lim0000 xfxxfxxfx 右導(dǎo)數(shù)右導(dǎo)數(shù)2. 單側(cè)導(dǎo)數(shù)定義：?jiǎn)蝹?cè)導(dǎo)數(shù)定義：)()()(,00000 xfxfxfxfxf 存存在在即即等等左左、右右導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)都都存存在在且且相相的的在在可可導(dǎo)導(dǎo)在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)定理：定理：左左可可導(dǎo)導(dǎo)在在0 xf右右可可導(dǎo)導(dǎo)在在0 xf第9頁(yè)/共32頁(yè)2021-10-17113. 導(dǎo)函數(shù)定義：導(dǎo)函數(shù)定義：.),(,),(上上可可導(dǎo)導(dǎo)在在開(kāi)開(kāi)區(qū)區(qū)間間則則稱(chēng)稱(chēng)可可導(dǎo)導(dǎo)上上處處處處在在

6、開(kāi)開(kāi)區(qū)區(qū)間間若若函函數(shù)數(shù)bafbaf .,),(上上可可導(dǎo)導(dǎo)在在閉閉區(qū)區(qū)間間則則稱(chēng)稱(chēng)左左可可導(dǎo)導(dǎo)在在點(diǎn)點(diǎn)右右可可導(dǎo)導(dǎo)且且在在點(diǎn)點(diǎn)上上可可導(dǎo)導(dǎo)在在開(kāi)開(kāi)區(qū)區(qū)間間若若函函數(shù)數(shù)bafbabaf .),(,的的導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù)稱(chēng)稱(chēng)為為上上定定義義了了一一個(gè)個(gè)新新的的函函數(shù)數(shù)則則在在區(qū)區(qū)間間上上可可導(dǎo)導(dǎo)在在區(qū)區(qū)間間若若函函數(shù)數(shù)fxfIIf 第10頁(yè)/共32頁(yè)2021-10-1712三、函數(shù)的微分三、函數(shù)的微分 導(dǎo)數(shù)是從函數(shù)對(duì)自變量變化的速度來(lái)導(dǎo)數(shù)是從函數(shù)對(duì)自變量變化的速度來(lái)研究研究; ;而微分則是直接研究函數(shù)的增量，而微分則是直接研究函數(shù)的增量，這有許多方便之處。這有許多方便之處。（一）函數(shù)的微分的定義（一）

7、函數(shù)的微分的定義.)()()()(.)(00000可可微微在在點(diǎn)點(diǎn)則則稱(chēng)稱(chēng)函函數(shù)數(shù)的的增增量量可可表表示示成成在在點(diǎn)點(diǎn)如如果果的的某某鄰鄰域域有有定定義義在在點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)xfxoxxAxfxxfxxf .0的的微微分分在在點(diǎn)點(diǎn)稱(chēng)稱(chēng)為為函函數(shù)數(shù)線線性性函函數(shù)數(shù)xfxA 第11頁(yè)/共32頁(yè)2021-10-1713.)(,1000的的線線性性函函數(shù)數(shù)是是微微分分時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)確確定定點(diǎn)點(diǎn)注注意意xxxxdfx .)()(,)()(,20000的的高高階階無(wú)無(wú)窮窮小小是是其其誤誤差差的的近近似似值值增增量量可可作作為為微微分分很很小小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)注注意意xxdfxfxfxdfx 部部”微微分分是是增增量量的

8、的“線線性性主主xAdyxAxdfxx 0)(0或或記記作作第12頁(yè)/共32頁(yè)2021-10-1714xxfxdfxfxAxxxf )()()()(,)()1(000000 即即且且必必可可微微點(diǎn)點(diǎn)則則它它在在處處可可導(dǎo)導(dǎo)在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)四、可導(dǎo)、可微與連續(xù)的關(guān)系四、可導(dǎo)、可微與連續(xù)的關(guān)系定理定理1: 函數(shù)可微與可導(dǎo)是等價(jià)的函數(shù)可微與可導(dǎo)是等價(jià)的)()(,)()2(0000 xAxfxxxf 且且必必可可導(dǎo)導(dǎo)點(diǎn)點(diǎn)則則它它在在處處可可微微在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)第13頁(yè)/共32頁(yè)2021-10-1715即即可可導(dǎo)導(dǎo)在在點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè),)(0 xxf)()(lim000 xfxxfx 量量的的關(guān)關(guān)系系知知由由有

9、有極極限限函函數(shù)數(shù)與與無(wú)無(wú)窮窮小小)1()()(00oxfxxf )()()(00 xoxxfxf 證證 (1)()(,)(000 xfxAxxf 且且可可微微在在點(diǎn)點(diǎn)即即第14頁(yè)/共32頁(yè)2021-10-1716可可微微在在點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)0)(xxf)0()()()(00 xxoxxAxf )()()(lim)(lim)(000000 xAxxoxxAxxfxfxx 證證 (2)()(,)(000 xAxfxxf 且且可可導(dǎo)導(dǎo)在在點(diǎn)點(diǎn)即即第15頁(yè)/共32頁(yè)2021-10-1717.,00連連續(xù)續(xù)在在則則可可導(dǎo)導(dǎo)在在若若函函數(shù)數(shù)xfxf定理定理2：證證)(lim000 xfxyxfx 可可導(dǎo)

10、導(dǎo)在在xxxxfy )()(00lim0 yx 連連續(xù)續(xù)在在0 xf注意注意 可導(dǎo)必連續(xù)可導(dǎo)必連續(xù), 連續(xù)不一定可導(dǎo)！連續(xù)不一定可導(dǎo)！)()(0 xoxxf 第16頁(yè)/共32頁(yè)2021-10-1718.0與與可可導(dǎo)導(dǎo)性性處處的的連連續(xù)續(xù)性性在在點(diǎn)點(diǎn)研研究究函函數(shù)數(shù)例例 xxy得得到到一一個(gè)個(gè)改改變變量量給給,00 xx 1limlim)0(00 xxxyfxx 1limlim)0(00 xxxyfxx 不不可可導(dǎo)導(dǎo)在在0 xxyxxy 00解解連連續(xù)續(xù))0(0 xy 第17頁(yè)/共32頁(yè)2021-10-1719oxxy 尖點(diǎn)尖點(diǎn)第18頁(yè)/共32頁(yè)2021-10-1720的的可可導(dǎo)導(dǎo)性性在在研研究

11、究例例0)(31 xxxf3231)(1)()0()0(xxxxfxfxy 32)(1limlim00 xxyxx 解解不不可可導(dǎo)導(dǎo)在在0)(31 xxxfx31xy Oy有鉛垂切線有鉛垂切線第19頁(yè)/共32頁(yè)2021-10-1721)0(,0,00,1sinyxxxxy 求求例例xxxxyxx 1sinlim01sinlim)0(00解解振蕩振蕩不存在不存在！)0(y 第20頁(yè)/共32頁(yè)2021-10-1722 0,00,1sin2xxxxy若若 01sinlim01sinlim)0(020 xxxxxyxx則則第21頁(yè)/共32頁(yè)2021-10-1723xyo0MNQ)(xfy dyy 0

12、xxx0 x TPdyxfxtgQMPQ )(00 微分的幾何意義微分的幾何意義微分三角形微分三角形第22頁(yè)/共32頁(yè)2021-10-1724.)(,()(00000的的縱縱坐坐標(biāo)標(biāo)增增量量處處的的切切線線在在點(diǎn)點(diǎn)就就是是曲曲線線微微分分TMxfxMxfydyxx .,0“以以直直代代曲曲”曲曲線線用用切切線線近近似似代代替替附附近近在在點(diǎn)點(diǎn)即即很很小小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xdyyx 第23頁(yè)/共32頁(yè)2021-10-17250)() 1 ( C1)()2( xxxx1)(ln)5( xxee )()3(五、基本導(dǎo)數(shù)（微分）公式五、基本導(dǎo)數(shù)（微分）公式xxx22cos1sec)(tan)9( xxx22s

13、in1csc)(cot)10( aaaxxln)()4(axxaln1)(log)6(xxsin)(cos)8(xxcos)(sin)7(第24頁(yè)/共32頁(yè)2021-10-1726xxxtansec)(sec)11( xxxcotcsc)(csc)12( 211)(arcsin)13(xx 211)(arccos)14(xx 211)(arctan)15(xx 211)cot()16(xxarc 第25頁(yè)/共32頁(yè)2021-10-1727)67(.,)()(Pxxfxdf見(jiàn)見(jiàn)講講義義：微微分分基基本本公公式式得得到到由由導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)基基本本公公式式便便可可以以故故根根據(jù)據(jù) 微分基本公式微分基本公式

14、第26頁(yè)/共32頁(yè)2021-10-1728.)()(1的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)在在為常數(shù)為常數(shù)求求例例xCCxfy 得得到到以以增增量量給給,)1(xx 0)()( CCxfxxfy 求求增增量量比比)2(00 xxy 取取極極限限得得令令, 0)3(x 0lim0 xyx 5. 利用定義求導(dǎo)的例子利用定義求導(dǎo)的例子解解0)( C公公式式第27頁(yè)/共32頁(yè)2021-10-17292sin)2sin(2cos)cos(xxxxxxy xxxxyxxxxsinsin)2sin(limlim2200 .cos)(2的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在求求例例xxxf 解解22sin)2sin(xxxxxy xxsin)(cos 公公式式xxcos)sin( 公公式式第28頁(yè)/共32頁(yè)2021-10-1730)1ln(ln)ln(xxxxxy xx1)(ln 公公式式.ln)(3的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在求求例例xxxf 解解xxxxxxxxxy )1ln()1ln(1xxyx1lim0 axxaln1)(log 公公式式第29頁(yè)/共32頁(yè)2021-10-1731)1( xxxxxaaa