高數(shù)小論文-淺談二重積分

1、高等數(shù)學(xué)論文淺談二重積分聽了肖老師整個大一的數(shù)學(xué)課，讓我深刻的感覺到數(shù)學(xué)的世界是多姿多彩的，數(shù)學(xué)的語言的優(yōu)雅完美的；正如老師所說的一樣，他的數(shù)學(xué)課就像是一篇散文。原來，數(shù)學(xué)還可以這么學(xué)。用幾個簡單的數(shù)學(xué)方程，在空間中組合成一個個靈動的圖形，這便是二重積分，這也是我想和大家一起分享的解題心得。首先讓我們明確定義：有界函數(shù)在有界閉區(qū)域D上的二重積分為。其中，為（i=1,2,.,n）的直徑的最大者，即分割的細(xì)度，幾何意義：若，則表示以D為底，以為頂?shù)那斨w體積。 接著分享一下按區(qū)域類型化為二次積分的方法：第一種：在直角坐標(biāo)系下，要將原積分化為二次積分，首先需畫出積分區(qū)域的圖形，然后再根據(jù)積分區(qū)域的

2、類型，化為二次積分。例如其中，D有直線圍成。經(jīng)分析，該區(qū)域D是由四條直線共同圍成的正方形區(qū)域，該區(qū)域不是X型積分區(qū)域，也不是Y型積分區(qū)域，但以x軸或者y軸來分割，可將其劃分為兩個Y型區(qū)域或X型區(qū)域，如上圖 從而 二重積分化為二次積分時，不管選擇哪一種積分次序，內(nèi)層和外層的積分都必須上限大于下限，外層的積分限必須是確定的常數(shù)，決不能依賴于內(nèi)層積分限、一般情況下，內(nèi)層積分的積分限可以依賴于外層積分的積分變量。如果是Y型區(qū)域，射線從左向右穿過區(qū)域D，左側(cè)的穿入點滿足的曲線方程右側(cè)的穿出點滿足的曲線方程分別是內(nèi)層積分的積分下限，積分上限；如果積分區(qū)域為X型區(qū)域，則按從下向上穿線的方法來尋找內(nèi)層積分的積

3、分下限與上限。第二種：某些時候，按給定的二次積分次序積分時，無法積分或者積分比較困難時，則可以通過交換積分次序進行積分，一般地，先由給出的二次積分恢復(fù)出二重積分的積分區(qū)域，然后再按二重積分化為二次積分的方法化為另一次序的二次積分。例如二次積分,由于的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示，故內(nèi)層積分不可行，必須交換積分次序才能求值，注意到內(nèi)層積分限分別是,外層積分限是從而積分區(qū)域是由直線及拋物線圍成，如右圖所示：改成X型積分區(qū)域，先對y積分，再對x積分，則 但這里還應(yīng)該注意，有時候給出的二次積分的積分限不一定是上限大于下限，例如外層積分的上限大于下限，但是內(nèi)層積分的下限大于上限時，需將得到的二重積分在化為另一個二次積分時，將內(nèi)層積分限做一調(diào)換，如。通過這一個學(xué)期的學(xué)習(xí)，讓我對自己的數(shù)學(xué)水平有了進一步的提高，對數(shù)學(xué)的認(rèn)識有了很大的改觀。在以后的學(xué)