二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)1(左右平移)

1、二次函數(shù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的圖象1二次函數(shù)二次函數(shù)y=ax2的性質(zhì)的性質(zhì).頂點(diǎn)坐標(biāo)與對稱軸頂點(diǎn)坐標(biāo)與對稱軸.位置與開口方向位置與開口方向.增減性與最值增減性與最值拋物線拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸對稱軸位置位置開口方向開口方向增減性增減性最值最值y=ax2 (a0)y= ax2 (a0)y=ax2 +c(a0時時,在在x軸的上方軸的上方(經(jīng)過一經(jīng)過一,二象限二象限);當(dāng)當(dāng)c0時時,與與x軸相交軸相交(經(jīng)過一經(jīng)過一,二三四象限二三四象限).當(dāng)當(dāng)c0時時,與與x軸相交軸相交(經(jīng)過一經(jīng)過一,二三四象限二三四象限).向上向上向下向下當(dāng)當(dāng)x=0時時,最小值為最小值為c.當(dāng)當(dāng)x=0時時,最

2、大值為最大值為c.在對稱軸的左側(cè)在對稱軸的左側(cè),y隨著隨著x的增大而減小的增大而減小. 在對稱軸的右側(cè)在對稱軸的右側(cè), y隨著隨著x的增大而增大的增大而增大. 在對稱軸的左側(cè)在對稱軸的左側(cè),y隨著隨著x的增大而增大的增大而增大. 在對稱軸的右側(cè)在對稱軸的右側(cè), y隨著隨著x的增大而減小的增大而減小. 根據(jù)圖形填表：根據(jù)圖形填表：caxy2caxy2w在同一坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)在同一坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=3xy=3x2 2,y=3(x-1),y=3(x-1)2 2和和y=3(x+1)2的圖的圖象象 w完成下表完成下表, ,并比較并比較3x3x2 2,3(x-1),3(x-1)2 2和和3(x+

3、1)2的值的值, ,它們之間有什么關(guān)系它們之間有什么關(guān)系? ? 函數(shù)函數(shù)y=a(x-h)y=a(x-h)2 2(a0)(a0)的圖象和性質(zhì)的圖象和性質(zhì)23xy213 xy213 xy（1 1）函數(shù)）函數(shù)y=3(x+1)y=3(x+1)2 2的圖象的圖象與與y=3xy=3x2 2和和y=3(x-1)y=3(x-1)2 2的圖象的圖象有什么關(guān)系有什么關(guān)系? ?它是軸對稱圖形它是軸對稱圖形嗎嗎? ?它的對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)分它的對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是什么別是什么? ? 23xy213 xy213xy（2）x取哪些值時取哪些值時,函數(shù)函數(shù)y=3(x+1)2的值隨的值隨x值的增大而值的增大而增大增大?x取哪

4、些值時取哪些值時,函數(shù)函數(shù)y=3(x+1)2的值隨的值隨x的增大而減的增大而減少？少？23xy 213 xy213 xyy二次函數(shù)函數(shù)y=-3(x-1)y=-3(x-1)2 2, ,y=-3(x+1)y=-3(x+1)2 2和和y=-3xy=-3x2 2的圖象的圖象X=-1X=1（1 1）函數(shù)）函數(shù)y=3(x+1)y=3(x+1)2 2的圖象與的圖象與y=3xy=3x2 2和和y=3(x-1)y=3(x-1)2 2的圖象有的圖象有什么關(guān)系什么關(guān)系? ?它是軸對稱圖形嗎它是軸對稱圖形嗎? ?它的對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)分它的對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是什么別是什么? ? （2）x取哪些值時取哪些值時,函數(shù)函數(shù)

5、y=3(x+1)2的值隨的值隨x值的增大而增值的增大而增大大?x取哪些值時取哪些值時,函數(shù)函數(shù)y=3(x+1)2的值隨的值隨x的增大而減少？的增大而減少？二次函數(shù)二次函數(shù)y=a(x-h)2的性質(zhì)的性質(zhì).頂點(diǎn)坐標(biāo)與對稱軸頂點(diǎn)坐標(biāo)與對稱軸.位置與開口方向位置與開口方向.增減性與最值增減性與最值拋物線拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸對稱軸位置位置開口方向開口方向增減性增減性最值最值y=a(x-h)2 (a0)y=a(x-h)2 (a0h0時時, ,向右平移向右平移; ;當(dāng)當(dāng)h0h0k0時向上平時向上平移移; ;當(dāng)當(dāng)k0k0)y=a(x-h)2+k(a0)y=a(x-h)2+k(a0時時, 開口向上開口向

6、上,在對稱軸左側(cè)在對稱軸左側(cè),y都隨都隨x的增大而減小的增大而減小,在對稱在對稱軸右側(cè)軸右側(cè),y都隨都隨 x的增大而增大的增大而增大. a0時時,向右平移向右平移;當(dāng)當(dāng)h0時向上平移時向上平移;當(dāng)當(dāng)k0)y=a(x-h)2+k(a0,a=30,開口向上開口向上; ;對稱軸對稱軸: :直線直線x=1;x=1;頂點(diǎn)坐標(biāo)頂點(diǎn)坐標(biāo):(1,2).:(1,2).作出函數(shù)作出函數(shù)y=2xy=2x2 2-12x+13-12x+13的圖象的圖象. . 5632xxyX=1(1,2)131222xxyX=3(3,-5)1.確定下列二次函數(shù)的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)確定下列二次函數(shù)的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo).

7、;22.12xy ; 513.22xy ; 134.32xy ;5.4xxy ;21.52xxy .1272.62xxyw例例.求次函數(shù)求次函數(shù)y=ax+bx+c的對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)的對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo) 函數(shù)y=ax+bx+c的頂點(diǎn)式 w一般地一般地, ,對于二次函數(shù)對于二次函數(shù)y=axy=ax+bx+c,+bx+c,我們可以利用配方法推導(dǎo)我們可以利用配方法推導(dǎo)出它的對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)出它的對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo). . w1.1.配方配方: :cbxaxy2ccxabxa2提取二次項(xiàng)系數(shù)提取二次項(xiàng)系數(shù)acababxabxa22222配方配方:加上再加上再減去一次項(xiàng)系減去一次項(xiàng)系數(shù)絕對值一半數(shù)絕對值一半的平

8、方的平方222442abacabxa整理整理:前三項(xiàng)化為平方形前三項(xiàng)化為平方形式式,后兩項(xiàng)合并同類項(xiàng)后兩項(xiàng)合并同類項(xiàng).44222abacabxa化簡化簡:去掉中括號去掉中括號這個結(jié)果通常這個結(jié)果通常稱為求稱為求頂點(diǎn)坐頂點(diǎn)坐標(biāo)公式標(biāo)公式.44222abacabxay頂點(diǎn)坐標(biāo)公式因此因此, ,二次函數(shù)二次函數(shù)y=axy=ax+bx+c的圖象是一條拋物線的圖象是一條拋物線. .根據(jù)公式確定下列二次函數(shù)圖象的對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)：根據(jù)公式確定下列二次函數(shù)圖象的對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)： .2:abx它的對稱軸是直線.44,22abacab它的頂點(diǎn)是.44222abacabxay ;13122.12xxy ;319

9、805.22xxy ;2212.3xxy .2123.4xxyw如圖如圖,兩條鋼纜具有相同的拋物線形狀兩條鋼纜具有相同的拋物線形狀.按照圖中的直角坐標(biāo)系按照圖中的直角坐標(biāo)系,左面的一條拋物線可以用左面的一條拋物線可以用y=0.0225xy=0.0225x+0.9x+10+0.9x+10表示表示, ,而且左右兩而且左右兩條拋物線關(guān)手條拋物線關(guān)手y y軸對稱軸對稱 w鋼纜的最低點(diǎn)到橋面的距離是少？鋼纜的最低點(diǎn)到橋面的距離是少？w兩條鋼纜最低點(diǎn)之間的距離是多少？兩條鋼纜最低點(diǎn)之間的距離是多少？w你是怎樣計算的？與同伴交流你是怎樣計算的？與同伴交流.函數(shù)函數(shù)y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(

10、a0)(a0)的應(yīng)用的應(yīng)用Y/m x/m 橋面 -5 0 510109 . 00225. 02xxy109 . 00225. 02xxy. .鋼纜的最低點(diǎn)到橋面的距離是少？你是怎樣計算的？與鋼纜的最低點(diǎn)到橋面的距離是少？你是怎樣計算的？與同伴交流同伴交流.可以將函數(shù)可以將函數(shù)y=0.0225xy=0.0225x2 2+0.9x+10+0.9x+10配方配方, ,求得頂點(diǎn)坐標(biāo)求得頂點(diǎn)坐標(biāo), ,從而獲得從而獲得鋼纜的最低點(diǎn)到橋面的距離鋼纜的最低點(diǎn)到橋面的距離;94000400225. 02xx940002020400225. 0222xx9400200225. 02x. 1200225. 02x.

11、1 ,20是這條拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo).1m橋面的距離是由此可知橋面最低點(diǎn)到Y(jié)/m x/m 橋面 -5 0 510109 . 00225. 02xxy兩條鋼纜最低點(diǎn)之間的距離是多少？你是怎樣計算的？兩條鋼纜最低點(diǎn)之間的距離是多少？你是怎樣計算的？與同伴交流與同伴交流.w想一想想一想, ,你知道圖中右面鋼纜的表達(dá)式是什么嗎你知道圖中右面鋼纜的表達(dá)式是什么嗎? ? 109 . 00225. 02xxy. 1200225. 02x:右邊的鋼纜的表達(dá)式為. 1200225. 02xy.1 ,20:,其頂點(diǎn)坐標(biāo)為因此 .402020m距離為兩條鋼纜最低點(diǎn)之間的,軸對稱且左右兩條鋼纜關(guān)于yY/m x/m 橋面

12、-5 0 510109 . 00225. 02xxy.109 . 00225. 02xxy即.109 . 00225. 02xxyw你還有其它方法嗎？與同伴交流你還有其它方法嗎？與同伴交流.w直接利用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式再計算一下上面問題中鋼纜的最低點(diǎn)到直接利用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式再計算一下上面問題中鋼纜的最低點(diǎn)到橋面的距離以及兩條鋼纜最低點(diǎn)之間的距離橋面的距離以及兩條鋼纜最低點(diǎn)之間的距離 109 . 00225. 02xxy. 10225. 049 . 0100225. 044422abac:44,222得由頂點(diǎn)坐標(biāo)公式abacab,200225. 029 . 02ab.1 ,20是這條拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo).1

13、 ,20:,為右邊拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)同理 .402020m距離為兩條鋼纜最低點(diǎn)之間的Y/m x/m 橋面 -5 0 510109 . 00225. 02xxy.109 . 00225. 02xxy.1m到橋面的距離是由此可知橋面最低點(diǎn)二次二次函數(shù)函數(shù)y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)的圖象和性質(zhì)的圖象和性質(zhì).頂點(diǎn)坐標(biāo)與對稱軸頂點(diǎn)坐標(biāo)與對稱軸.位置與開口方向位置與開口方向.增減性與最值增減性與最值拋物線拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸對稱軸位置位置開口方向開口方向增減性增減性最值最值y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(a0)y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(a

14、0時時, 開口向上開口向上,在對稱軸左側(cè)在對稱軸左側(cè),y都隨都隨x的增大而減小的增大而減小,在對在對稱軸右側(cè)稱軸右側(cè),y都隨都隨 x的增大而增大的增大而增大. a0時時,向右平移向右平移;當(dāng)當(dāng) 0時時向上平移向上平移;當(dāng)當(dāng) 0,a0,開口開口向上向上; ;a0,a0,在對稱軸在對稱軸左側(cè)左側(cè),y都隨都隨x的的增大而減小增大而減小,在在對稱軸右側(cè)對稱軸右側(cè),y都隨都隨 x的增大的增大而增大而增大.;a0,函數(shù)y=ax2與y=ax+b的圖象大致是( ) A B C DyyyyxxxxooooCBD6.下列各點(diǎn)中與點(diǎn)(1,4)在同一個二次函數(shù) y=ax2圖象上的是( )A. (2,-16) ; B.

15、( -2,16); C.(-2,-16) ; D. (16,2) ;B解法訓(xùn)練:1.已知:函數(shù) 是關(guān)于x的二次函數(shù).求:(1)滿足條件的m值.(2)當(dāng)m為何值時,拋物線有最低點(diǎn)?并求出這個最低點(diǎn).這時當(dāng)x為何值時,y隨x增大而增大?(3)當(dāng)m為何值時,拋物線有最大值?最大值是多少?這時當(dāng)x為何值時,y隨x的增大而減小?42)2(mmxmym= -3或或m=2.m=2時時,最低點(diǎn)是最低點(diǎn)是(0,0);當(dāng)當(dāng)x0時時,y隨隨x的增大而增大的增大而增大.m=-3時時,最大值是最大值是0;當(dāng)當(dāng)x0時時,y隨隨x的增大而減小的增大而減小.23xy22xy 2.一個函數(shù)的圖象是一條以一個函數(shù)的圖象是一條以y

16、軸為對稱軸軸為對稱軸原點(diǎn)為頂點(diǎn)的拋物線原點(diǎn)為頂點(diǎn)的拋物線,且經(jīng)過點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)A(-2,2)(1)求這個函數(shù)的解析式求這個函數(shù)的解析式;(2)畫出這個函數(shù)的圖象畫出這個函數(shù)的圖象 ;(3)寫出拋物線上與點(diǎn)寫出拋物線上與點(diǎn)A關(guān)于關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)軸對稱的點(diǎn)B的坐標(biāo)的坐標(biāo),并計算并計算ABO的面積的面積.221xy 面積為面積為4存在點(diǎn)C( ,1);( ,1);( ,3 );( ,3).2266A(-2,2) B(2,2)C CCC21(4)在拋物線上是否存在點(diǎn)在拋物線上是否存在點(diǎn)C,使使SABC= SOAB ,如果存在寫出如果存在寫出點(diǎn)點(diǎn)C的坐標(biāo)的坐標(biāo),如果不存在說明理由如果不存在說明理由?1.將函數(shù)

17、將函數(shù)y=2x2的圖象向左平移的圖象向左平移3個單位個單位,然后將圖象繞頂點(diǎn)在然后將圖象繞頂點(diǎn)在原坐標(biāo)系內(nèi)旋轉(zhuǎn)原坐標(biāo)系內(nèi)旋轉(zhuǎn)1800,求旋轉(zhuǎn)后圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式求旋轉(zhuǎn)后圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式.綜合訓(xùn)練綜合訓(xùn)練:2.拋物線拋物線y=ax2向左平移一個單位向左平移一個單位,再向下平移再向下平移8個單位且個單位且y=ax2過點(diǎn)過點(diǎn)(1,2).則平移后的解析式為則平移后的解析式為_;y= -2(x+3)2y=2(x+1)2-83.將拋物線將拋物線y=x2-6x+4如何移動才能得到如何移動才能得到y(tǒng)=x2.逆向思考逆向思考,由由y=x2-6x+4 =(x-3)2-5知知:先向左平移先向左平移3個單位個單位,再向上平移再向上平移5個單位個單位.4.畫出函數(shù)畫出函數(shù)y=5x2與函數(shù)與函數(shù)y=-5x2的圖象并根據(jù)圖象分別說明兩函數(shù)的圖象并根據(jù)圖象分別說明兩函數(shù)的增減性的增減性?是否有最大值或最小值是否有最大值或最小值,若有是多少若有是多少?5如果拋物線如果拋物線y=2x2與直線與直線y=kx-3只有一個公共點(diǎn)只有一個公共點(diǎn),求求k值值.6.已知已知:拋物線拋物線y=-x2將拋物線向上平移后將拋物線向上平移后,拋物線頂點(diǎn)拋物線頂點(diǎn)D和拋物線和拋物線與與x軸二交點(diǎn)軸二交點(diǎn)A,B圍成圍成ABD.求頂點(diǎn)在什么位置時求頂點(diǎn)在什么位置時, ABD為正為正三角形且寫出此時拋