游龍板運(yùn)動分析課件

1、二輪滑板的最佳運(yùn)動方式 2014年數(shù)學(xué)建模論文第九套 題 目： 二輪滑板的最佳運(yùn)動方式 專業(yè)、姓名： 儀126 關(guān)姍 專業(yè)、姓名： 自122 牛佳偉 專業(yè)、姓名： 機(jī)124 趙茜 二輪滑板的最佳運(yùn)動方式摘要游龍板是一項(xiàng)新型體育運(yùn)動，他利用了巧妙的力學(xué)原理，借助于兩輪的擺動產(chǎn)生前進(jìn)的動力。本文主要研究人體扭動角度與平底滑板前進(jìn)速度的關(guān)系模型；針對問題，由于游龍板有兩個(gè)特殊的輪子，可以將板的橫向擺動轉(zhuǎn)化成向前的推動力。首先我們通過分析其中一個(gè)輪子的結(jié)構(gòu)得出推動力產(chǎn)生的原因：一是支持力對轉(zhuǎn)軸產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩L,二是靜摩擦力F對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)矩L；其次令L=L，得到靜摩擦力F與旋轉(zhuǎn)角度的關(guān)系，進(jìn)而推出水平方向的分

2、力（推動力）與旋轉(zhuǎn)角度的關(guān)系；接著我們得出加速度a與旋轉(zhuǎn)角度（=sin(t)）的關(guān)系，即加速度a與時(shí)間t的關(guān)系，畫圖并截取一個(gè)周期，通過多元線性回歸和殘差檢驗(yàn)，得出加速度a與時(shí)間t的一元二次方程，加速度a對時(shí)間t求積分得到前進(jìn)速度v與t的關(guān)系；最后我們把t=12arcsin()代回得到前進(jìn)速度v與旋轉(zhuǎn)角度的關(guān)系：v=-0.14045arcsin+0.675arcsin2-0.1421arcsin3畫出圖像得到：當(dāng)=57.3時(shí)，前進(jìn)速度v最大為0.898m/s。 關(guān)鍵詞：二輪滑板的最佳運(yùn)動方式 推動力 多元線性回歸和殘差檢驗(yàn)一、問題重述“二輪滑板”又稱作為“兩輪滑板”、“陸地沖浪板”是一種新型的

3、滑板，和普通的四輪滑板不一樣，它只有兩個(gè)輪。因其運(yùn)動起來像龍和蛇一樣扭動，所以國內(nèi)多大稱為“游龍板”或“活力板”。它以人體運(yùn)動理論和巧妙的力學(xué)原理，主要利用身體(腰部及臀部)、雙腳扭動及手的擺動來驅(qū)動活力板前進(jìn)。使滑板運(yùn)動得到淋漓盡致的發(fā)揮。現(xiàn)請建立人身體扭動角度與平底滑板前進(jìn)速度的關(guān)系模型，并找到最佳扭動角度。二、符號說明 靜摩擦力 F旋轉(zhuǎn)角度支持力對轉(zhuǎn)軸產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩L加速度a時(shí)間t靜摩擦力對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)矩L轉(zhuǎn)軸與豎直方向的夾角周期T三、問題假設(shè)1. 游龍板前后兩輪機(jī)構(gòu)相同，人體用力均勻。2. 輪子的旋轉(zhuǎn)角度與時(shí)間t成正弦函數(shù)。3. 滑板及輪子的質(zhì)量完好不會隨外界的影響而損壞。四、問題分析本文主要

4、研究人體扭動角度與平底滑板前進(jìn)速度的關(guān)系模型；針對問題，由于游龍板有兩個(gè)特殊的輪子，可以將板的橫向擺動轉(zhuǎn)化成向前的推動力。首先我們通過分析其中一個(gè)輪子的結(jié)構(gòu)得出推動力產(chǎn)生的原因：一是支持力對轉(zhuǎn)軸產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩L,二是靜摩擦力F對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)矩L；其次令L=L，得到靜摩擦力F與旋轉(zhuǎn)角度的關(guān)系，進(jìn)而推出水平方向的分力（推動力）與旋轉(zhuǎn)角度的關(guān)系；接著我們假設(shè)支持力N=12mg,=30，輪子的旋轉(zhuǎn)角速度=2，得出加速度a與旋轉(zhuǎn)角度（=sin(t)）的關(guān)系，即加速度a與時(shí)間t的關(guān)系，畫圖并截取一個(gè)周期T=0-1.6，通過多元線性回歸和殘差檢驗(yàn)，得出加速度a與時(shí)間t的一元二次方程，加速度a對時(shí)間t求積分得到前進(jìn)速

5、度v與t的關(guān)系；最后我們把t=12arcsin()代回得到前進(jìn)速度v與旋轉(zhuǎn)角度的關(guān)系，并得出結(jié)果。五、模型建立與求解5.1建立推動力與旋轉(zhuǎn)角度的關(guān)系模型5.1.1 輪子的結(jié)構(gòu)分析由于游龍板前后兩個(gè)輪子結(jié)構(gòu)相同，只分析其一即可。輪子是通過輪架和一傾斜的轉(zhuǎn)軸安裝在板上，輪子和輪架可以繞轉(zhuǎn)軸的軸線pp自由轉(zhuǎn)動。如圖1示：圖1中用線段AB和BO代表轉(zhuǎn)軸和輪架，O點(diǎn)為輪子的圓心，D點(diǎn)為輪子的觸地點(diǎn)，C點(diǎn)為AB的延長線與地面的交點(diǎn)。輪子的特殊結(jié)構(gòu)體現(xiàn)在兩個(gè)地方：一是轉(zhuǎn)軸AB是傾斜的，設(shè)與豎直方向的夾角為；二是C點(diǎn)與D點(diǎn)是不重合的。且落在D點(diǎn)前面。當(dāng)人站在板上時(shí)，地面對后輪D點(diǎn)的支持力設(shè)為N。人的雙腳在板面

6、上與前進(jìn)方向相垂直的的方向擺動，輪子和輪架就會繞轉(zhuǎn)軸PP擺動進(jìn)而產(chǎn)生向前的推動力。5.1.2推動力產(chǎn)生原因分析如圖2所示：設(shè)輪架繞轉(zhuǎn)軸PP擺過任意角度，輪子擺過一定角度后，C,D兩點(diǎn)的位置也發(fā)生了變化，設(shè)為C和D。輪子受地面支持力N的方向豎直向上，D點(diǎn)與地面間靜摩擦力設(shè)為F，與水平前進(jìn)方向夾角為（90-），做直線DT/pp，DS與滑板前進(jìn)方向一致。（1）支持力N對轉(zhuǎn)軸PP的轉(zhuǎn)矩產(chǎn)生轉(zhuǎn)矩的力的計(jì)算支持力N產(chǎn)生使輪子繞轉(zhuǎn)軸PP回?cái)[的轉(zhuǎn)矩。N在垂直于DT方向的分力N(也垂直于pp)是使輪子繞pp轉(zhuǎn)動的有效力，其大小為Nsin。產(chǎn)生轉(zhuǎn)矩的力臂的計(jì)算將圖2對應(yīng)的局部放大如圖3所示。做DH垂直于滑板前進(jìn)方

7、向的水平線CH與H點(diǎn)，則DH垂直于面BCH。由于兩平面TDN和BCH平行，所以DN/平面BCH，那么分力N所在直線到轉(zhuǎn)軸pp的距離就等于D點(diǎn)到平面BCH的距離。即DH的長度。由圖可知：DH=CDsin即為N對轉(zhuǎn)軸pp的力臂。則，支持力N對轉(zhuǎn)軸pp的轉(zhuǎn)矩L為：L=NsinDH=NsinCDsin(2)靜摩擦力F對轉(zhuǎn)軸pp的轉(zhuǎn)矩產(chǎn)生轉(zhuǎn)矩的力的計(jì)算如圖4，靜摩擦力F產(chǎn)生阻止輪子回?cái)[的力矩，F(xiàn)在垂直于DT的方向的分力F（也垂直于pp）為產(chǎn)生轉(zhuǎn)矩的有效力。做輔助線TSDS于S點(diǎn)，TRDF于R點(diǎn)，連接SR，可證明：SRDF.從而可以求出F與DT的夾角TDR的大小，設(shè)為，可求出：cos=DRDT=DScos

8、(90-)DT=DTsincos(90-)DT=sinsin所以sin=1-cos2=1-sin2sin2則F=Fsin=F1-sin2sin2產(chǎn)生轉(zhuǎn)矩的力臂的計(jì)算如圖4，轉(zhuǎn)軸pp平行于平面TDF，所以，F(xiàn)對pp傳動力臂為pp到平面TDF的距離、過C點(diǎn)做平面TDF的垂線交平面TDF于點(diǎn)G，連接G、D兩點(diǎn)，CG即為力臂。可以證明：CDG=SRT,設(shè)為，由圖知：tg=TRRS=TDsinTDSSDsinSDR=TDcosTDcoscos=cossinsin所以 sin=coscos2+sin2cos2則CG=CDsin=CDcoscos2+sin2cos2可以導(dǎo)出F阻止輪架回?cái)[的力矩L:L=FCG

9、=CDF1-sin2sin21+tg2cos2(3)推動力大小令（1）（2）中的L=L,可求出：F=Nsinsin1-sin2sin21+tg2cos2在輪子繞轉(zhuǎn)軸擺過任意角度時(shí)，滑板受到推動力實(shí)際上是F在水平前進(jìn)方向上的分力。F水平=Fsin=Nsinsin21-sin2sin21+tg2cos25.2 前進(jìn)速度v與輪子旋轉(zhuǎn)角度關(guān)系模型5.1.1 加速度與旋轉(zhuǎn)角度關(guān)系假設(shè)支持力N=12mg, 轉(zhuǎn)軸與豎直方向夾角=30，輪子的旋轉(zhuǎn)角速度=2，得出加速度a與旋轉(zhuǎn)角度（=sin(2t)）的關(guān)系： a=2.5sin21-0.25sin21+13cos2得到加速度a與時(shí)間t的關(guān)系式：a=2.5sin2

10、(sin(2t)1-0.25sin2sin(2t)1+13cos2sin(2t)根據(jù)加速度a與時(shí)間t的關(guān)系式，我們畫出圖5：圖5加速度a與時(shí)間t的關(guān)系由圖可知：加速度a與時(shí)間t呈周期性變換，我們?nèi)r(shí)間的一個(gè)周期T=0-1.6；得到圖6:；由于加速度a與時(shí)間t的關(guān)系式過于復(fù)雜，我們進(jìn)行線性回歸分析，并對其進(jìn)行殘差分析，如圖7，圖8；得出系數(shù)b1的置信區(qū)間為-0.5819 0.0202，系數(shù)b2的置信區(qū)間為4.5273 6.2727,系數(shù)b3的置信區(qū)間為-3.9392 -2.8867；r2=0.9326,接近于1，說明回歸方程顯著，F(xiàn)= 96.9017,F越大，方程越顯著，p= 0.0467,小于

11、0.05，說明回歸模型成立?；貧w方程為：a=-0.2809+5.4t-3.413t2對加速度關(guān)于時(shí)間t積分可得：v=-0.2809+2.7t2-1.137t3最后，由=sin2t得t=12arcsin,將其代回上式，得：v=-0.14045arcsin+0.675arcsin2-0.1421arcsin3用matlab畫出圖9由圖可看出，當(dāng)=57.3時(shí)，v最大為0.898m/s.。即在輪子旋轉(zhuǎn)了一個(gè)周期T內(nèi)，前進(jìn)速度v隨旋轉(zhuǎn)角度的增大而增大，當(dāng)=57.3時(shí)，v最大為0.898m/s.，隨后速度幾乎不變；（若考慮旋轉(zhuǎn)角度為0時(shí)，即，輪子停止旋轉(zhuǎn)時(shí)，前進(jìn)速度會隨時(shí)間的增大而減小，此時(shí)的阻力F=12

12、mg）六、模型評價(jià)1. 使游龍板前進(jìn)的推動力來源于輪子與地面間的靜摩擦力。輪子的結(jié)構(gòu)決定了只要輪子繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)過一個(gè)角度，輪子與地面間就會有靜摩擦力F,F沿運(yùn)動方向的水平方向驅(qū)動游龍板前進(jìn)，所以在光滑的路面上，靜摩擦力不存在，游龍板無法前進(jìn)。2. 擦作者的雙腳在板面上要不斷的用力前后擺動，目的是保持一直存在，所以必須依靠外力才能夠保持，即F腳。如圖2，F(xiàn)腳=Fcos所以，系統(tǒng)的動能還是來源于人做功。3. 輪子的結(jié)構(gòu)使變化時(shí)，會牽扯到系統(tǒng)重心高低變化。=0時(shí)，系統(tǒng)重心最低，處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，=180時(shí)，系統(tǒng)重心最高，處于不穩(wěn)定平衡狀態(tài)。所以，游龍板只能朝一個(gè)方向運(yùn)動，不能倒滑。4未考慮到游龍板停止擺

13、動時(shí)，前進(jìn)速度會隨時(shí)間的增大而減小。我們僅考慮的是輪子在一個(gè)周期內(nèi)速度隨旋轉(zhuǎn)角度的變化關(guān)系。七、參考文獻(xiàn)【1】錢明 創(chuàng)新教材豐富教學(xué)資源“游龍板”案例分析期刊論文中國科教創(chuàng)新導(dǎo)刊2010（33）【2】王占軍 一種大眾的“極限”運(yùn)動項(xiàng)目活動板期刊論文運(yùn)動2009（9）【3】苗英愷 活力板推動力來源分析期刊論文科教文匯2008（25） 附錄加速度a與時(shí)間t的關(guān)系t=0:0.1:5;a1=2.5*sin(sin(2*t).2;a2=(1-0.25*(sin(sin(2*t).2)/(1+(cos(sin(2*t).2)/3)(0.5);a=a1./a2plot(t,a)一個(gè)周期內(nèi)加速度a與時(shí)間t的關(guān)系t=0:0.1:1.6;a1=2.5*sin(sin(2*t).2;a2=(1-0.25*(sin(sin(2*t).2)/(1+(cos(sin(2*t).2)/3)(0.5);a=a1./a2plot(t,a)回歸分析與殘差檢驗(yàn)t=0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6;a=0 0.1124 0.4161 0.8266 1.2476 1.6049 1.8606 2.0056 2.0429 1.9746 1.7974 1.5100 1.1286 0.7015 0.3120