廣義線性模型.PPT

1、12 回歸分析中假定隨機擾動服從這樣的一些回歸分析中假定隨機擾動服從這樣的一些正態(tài)分布：其方差取常值，而均值則為附正態(tài)分布：其方差取常值，而均值則為附屬數(shù)據(jù)的線性函數(shù)屬數(shù)據(jù)的線性函數(shù) 很多精算問題可以利用特殊的廣義線性模很多精算問題可以利用特殊的廣義線性模型來處理，如方差分析，泊松回歸以及型來處理，如方差分析，泊松回歸以及Logistic對數(shù)（對數(shù)（logit ）與概率（）與概率（Probit ）模型等的幾類模型等的幾類 。 3精算數(shù)據(jù)與模型精算數(shù)據(jù)與模型 實踐中采集的數(shù)據(jù)往往顯示方差要大于均實踐中采集的數(shù)據(jù)往往顯示方差要大于均值值 用于描述索賠額的分布通常具有厚重的右用于描述索賠額的分布通常

2、具有厚重的右尾尾 有待建模的現(xiàn)象極少關(guān)于附屬數(shù)據(jù)是可加有待建模的現(xiàn)象極少關(guān)于附屬數(shù)據(jù)是可加的的,一般往往可用乘法模型一般往往可用乘法模型 4廣義線性模型 它允許偏離均值的隨機誤差服從不是正態(tài)分布。如，隨機它允許偏離均值的隨機誤差服從不是正態(tài)分布。如，隨機誤差可服從指數(shù)散布族中的任一種分布，包含了泊松分布、誤差可服從指數(shù)散布族中的任一種分布，包含了泊松分布、（負）二項分布、伽瑪分布與逆高斯分布等（負）二項分布、伽瑪分布與逆高斯分布等. 并不要求隨機變量的均值是解釋變量的線性函數(shù)。但進行并不要求隨機變量的均值是解釋變量的線性函數(shù)。但進行某些變換后它仍是是線性的譬如，當對數(shù)時，我們可以某些變換后它仍

3、是是線性的譬如，當對數(shù)時，我們可以用乘法模型替代了加法模型用乘法模型替代了加法模型 5廣義線性模型具有以下三個特征：廣義線性模型具有以下三個特征：6211(,).iiiiIG 11(,)iii 伽瑪隨機變量逆高斯隨機變量 i上面所列的分布的均值。7 8注8.2.1（典則聯(lián)結(jié)） 注8.2.2 （方差函數(shù)） 以下依方差函數(shù)中 的冪次的升冪序，分別表述之：9108.3 若干傳統(tǒng)的估計方法與廣義線若干傳統(tǒng)的估計方法與廣義線性模型性模型11不妨先假定不妨先假定11.121314逐項置換法逐項置換法1516首先可將（首先可將（8.4）中的第一組方程改寫為）中的第一組方程改寫為17因此因此18方法方法8.3

4、.8 （邊緣總和法）（邊緣總和法） 在一個在一個“良好良好”的收費系統(tǒng)內(nèi)，對于一個擁有眾多被的收費系統(tǒng)內(nèi)，對于一個擁有眾多被保險人的組合來說，保費總額相等于觀測到的損失總保險人的組合來說，保費總額相等于觀測到的損失總額額. 192021若將下述關(guān)系式代入上式：若將下述關(guān)系式代入上式： 22方法方法8.3.10（最小二乘法關(guān)于正態(tài)的極大似然法）（最小二乘法關(guān)于正態(tài)的極大似然法） 232425268.4偏差與比例偏差2728顯然，對全模型而言，借助逐項最大化（顯然，對全模型而言，借助逐項最大化（8.20）即）即知，對每一皆有如以表示偏差便得知，對每一皆有如以表示偏差便得這表明，對正態(tài)分布而言，最小

5、化偏差（或等價地這表明，對正態(tài)分布而言，最小化偏差（或等價地最大化似然函數(shù)）是和確定參數(shù)的最小二乘法等效最大化似然函數(shù)）是和確定參數(shù)的最小二乘法等效的的 2930此時，對全模型仍可得 這是因為,iiy31不難驗證，此例中的偏差由下式給出：自然，上式中 必須取正值 iy3233指數(shù)散布族指數(shù)散布族定義定義8 . 6 . 1 （指數(shù)散布族）指數(shù)散布族密度具有（指數(shù)散布族）指數(shù)散布族密度具有以下形式以下形式 8.6廣義線性模型343536例例8.6.2（指數(shù)散布族的若干成員）下述參數(shù)族是指（指數(shù)散布族的若干成員）下述參數(shù)族是指數(shù)散布族中最重要的一些成員：數(shù)散布族中最重要的一些成員：3738最后一種參

6、數(shù)化稱為是自然或典則參數(shù)化最后一種參數(shù)化稱為是自然或典則參數(shù)化 .394041424344454647證明:由(8. 33),我們有48491exptMttYeEeEe)()(expbtb其中：其中：log , ( ).be這恰和通常的這恰和通常的泊松分布的密泊松分布的密度表達式是一度表達式是一致的致的。5051525354推論推論8.6.9 （指數(shù)散布族與（指數(shù)散布族與Esscher 變換）一個連續(xù)變換）一個連續(xù)密度密度 的以的以h 為參數(shù)的為參數(shù)的Esscher 變換是下述密度變換是下述密度( )f y55顯然，它仍是一個具有參數(shù)顯然，它仍是一個具有參數(shù) 和相同和相同 的指數(shù)的指數(shù)散布族成員的累積量數(shù)散布族成員的累積量數(shù) hh56 注注8.6.10（指數(shù)散布族中特定子類的