信號與系統(tǒng)2(全)

1、哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系信號與系統(tǒng)第二章第二章 連續(xù)時間連續(xù)時間信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)的時域分析的時域分析主講：王秀紅哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系本章內(nèi)容本章內(nèi)容 2.1 信號的時域運算信號的時域運算 2.2 信號的時域分解信號的時域分解 2.3 系統(tǒng)模型及響應的經(jīng)典解法系統(tǒng)模型及響應的經(jīng)典解法 2.4 系統(tǒng)的零輸入響應系統(tǒng)的零輸入響應 2.5 系統(tǒng)的零狀態(tài)響應系統(tǒng)的零狀態(tài)響應 2.6 線性系統(tǒng)的時域模擬線性系統(tǒng)的時域模擬重點內(nèi)容重點內(nèi)容哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系 LTI連續(xù)系統(tǒng)的時

2、域分析，連續(xù)系統(tǒng)的時域分析，歸結為：歸結為：建立并求解線建立并求解線性微分方程性微分方程。 由于在其分析過程涉及的由于在其分析過程涉及的函數(shù)變量均為時間函數(shù)變量均為時間t，故，故稱為時域分析法稱為時域分析法。 這種方法比較直觀，物理概念清楚，是學習各種這種方法比較直觀，物理概念清楚，是學習各種變換域分析法的基礎。變換域分析法的基礎。 哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系2.1 2.1 信號的時域運算信號的時域運算哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系2.1 2.1 信號的時域運算信號的時域運算 分類分類 信號幅度的運算信號幅度的運算 信號的

3、運算：信號的運算： 信號時間的運算信號時間的運算 函數(shù)域的變換函數(shù)域的變換(運算運算) 初等運算：初等運算： 加、減、乘、除加、減、乘、除 高等運算：高等運算：微分、積分、差分、累加微分、積分、差分、累加 翻轉翻轉 平移平移 尺度變換尺度變換時域運算時域運算變換域運算變換域運算信號幅度的運算信號幅度的運算信號時間的運算信號時間的運算哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系2.1 2.1 信號的時域運算信號的時域運算u 初等運算：初等運算： 加、減、乘、除加、減、乘、除 加減法加減法 乘法乘法 除法除法u 高等運算：高等運算： 微分：微分： 積分積分 差分差分累加累加 1

4、2f tftft 1f tftC 12f tftft 1f tC ft 12f tftft 1f tftC兩信號兩信號f1() 和和f2 ()的的相相+、指同一指同一時刻兩信號之值對應時刻兩信號之值對應相加減乘相加減乘 。 dx tf tdt tf txd ky nx k 1x nx n baf t dtC連續(xù)時間連續(xù)時間信號信號離散時間離散時間信號信號哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系l 相相加或相乘加或相乘 )t (f)t (f211.1.相加：相加： t)(1tf)(1tf0t0)(tf)(2tf)(2tf2. 2. 相乘：相乘：)t (f)t (f21tt

5、t8sinsintt8sinttsin2.1 信號的時域運算信號的時域運算哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系1 40 1 3 0t tt t 1 0 1 3 4 0)()(tdttdf( )( )f tu t-11.1.微分微分dt)t (dfl 微分和積分微分和積分 信號微分后：突出顯示了信號的變化部分。信號微分后：突出顯示了信號的變化部分。2.1 信號的時域運算信號的時域運算哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系00)0(0)1 (1)(1 1)1 (1)(ttetteetttttdf2.2.積分積分td )(f00ttettteet

6、tt0)(010tf(t)= tdf)(t0t000tf(t)t信號積分后：信號的突變部分變得平滑信號積分后：信號的突變部分變得平滑2.1 信號的時域運算信號的時域運算哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系一、信號的翻轉（反褶）一、信號的翻轉（反褶）2.1 信號的時域運算信號的時域運算)()(tftf 例：例：相當于把信號以縱軸為軸折疊相當于把信號以縱軸為軸折疊O12 1 tftO21 1 tf t將信號的自變量將信號的自變量“ t ”變?yōu)樽優(yōu)椤?t ”，即，即 例：例：(21) ft 翻轉？(21) ( 21)ftft翻轉哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系哈爾濱工業(yè)大

7、學（威海）通信工程系二、信號的時間平移二、信號的時間平移2.1 信號的時域運算信號的時域運算0( )()f tf tt例：例：若若t00時，時，“+”表示超前，表示超前，“-”表示滯后（延遲）表示滯后（延遲）將信號的自變量將信號的自變量“ t ”變?yōu)樽優(yōu)椤?t t0 ”，即，即 例：例：(2 )(21)ftft 若已知波形，則的平移量為？11(21)= 2 22ftft，左移)(tff(t+1)的波形？的波形？)1( tf哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系三、信號的尺度變換三、信號的尺度變換2.1 信號的時域運算信號的時域運算( )()f tf at將信號的自變量

8、將信號的自變量“ t ”乘以正實系數(shù)乘以正實系數(shù)a，變?yōu)椋優(yōu)椤?at”，即，即 f（at） a為正常數(shù)a1表示f(t)波形在時間軸上壓縮1/a倍a尺度反褶反褶共有6種方案2.1 信號的時域運算信號的時域運算哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系例題例題Ot)(tf1 11解解: :t)5( tf6 14 5 Ot)3( tf131O31 t)53( tf12 34 已知已知f(t)，求，求f(3t+5)。時移標度變換標度變換時移2.1 信號的時域運算信號的時域運算哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系 例題：信號例題：信號f( (t) )的

9、波形如圖所示。畫出信號的波形如圖所示。畫出信號 f（2 2t4 4）的波形。）的波形。t 0 1 2 3 4 ) 42(tf2 t0 2 4 6 8 ) 4( tf2 t-4 -2 2 4 )(tf20?2.1 信號的時域運算信號的時域運算 t-8 -6 -4 -2 0 (4)f t 2哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系2.2 2.2 信號的時域分解信號的時域分解哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系一、基本分解一、基本分解一個信號按照它的特征可以有多種表示方式，可根據(jù)一個信號按照它的特征可以有多種表示方式，可根據(jù)需要表示為：需要表示為：

10、u 直流分量和交流分量直流分量和交流分量u 偶分量和奇分量偶分量和奇分量u 實部分量和虛部分量實部分量和虛部分量2.2 信號的時域分解信號的時域分解哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系2.2 信號的時域分解信號的時域分解直流分量和交流分量任意信號分解為直流分量與交流分量之和任意信號分解為直流分量與交流分量之和( )( )Af tCft一個信號的平均功一個信號的平均功率等于直流功率與率等于直流功率與交流功率之和。交流功率之和。C：信號的直流分量，即平均值。001( )dtTtCf ttT)(tfEEOttt)(Atf)(DtfOO交流分量交流分量直流分量直流分量哈爾濱

11、工業(yè)大學（威海）通信工程系哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系重要結論：任意信號重要結論：任意信號f(t) )都可分解為偶分量與奇分量之和都可分解為偶分量與奇分量之和( )( )( )eof tftft證明：證明：)()()()(21)()(21)()()()(21)(tftftftftftftftftftftfoe偶分量和奇分量奇分量：奇分量：fo(t) = -fo(-t) 偶分量：偶分量：fe(t) = fe(-t) 2.2 信號的時域分解信號的時域分解 )()(21)(etftftf )()(21)(otftftf 哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系0-1121

12、 tf1t101-12 tf 1t0-11.51 tfe1t01-1-2-1 tf 1t1/20-1/2 tfo1t0-1121 tf1t兩個信號分解兩個信號分解為奇、偶分量為奇、偶分量的實例。的實例。 )()(21)(etftftf )()(21)(otftftf 哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系-1/21/21/2-1111000000 tf2tf2 tfe2 tf 2 tfo2 tf2ttttttt )()(21)(etftftf )()(21)(otftftf 哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系復信號復信號f(t) )可分解

13、為實部分量與虛部分量之和可分解為實部分量與虛部分量之和( )( )( )rif tftjft其中，實部其中，實部實部分量和虛部分量虛部分量虛部分量實部分量實部分量2.2 信號的時域分解信號的時域分解*( )( )rrf tft*( )( )iif tft *1( )Im( )( )( )2if tf tf tft*1( )Re( )( )( )2rf tf tf tft虛部虛部共軛對稱分量共軛對稱分量共軛反對稱分量共軛反對稱分量哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系二、幅度分解（階躍函數(shù)分解）二、幅度分解（階躍函數(shù)分解）1. 有些信號可以分解為許多階躍信號分量之和有些

14、信號可以分解為許多階躍信號分量之和2.2 信號的時域分解信號的時域分解0TA tf1t0TT A 3fttT ( )()()if tAu tiTu tiT( )( )()f tA u tu tT12( )()()f tA u ttu tt0t1A 2fttt2哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系2.2 信號的時域分解信號的時域分解 tftftftftfk210tf 0fttktkf f tt2 tfkt如圖所示分解任意信號，可以分解為階躍信號之和，如圖所示分解任意信號，可以分解為階躍信號之和， 00ftfu t 10ftftfu ttftu tttt 1kftf k

15、 tfktu tk t f k tu tk ttt 任意時刻的階躍為任意時刻的階躍為 0ftfu tttt定義：定義： 01kf k tftu tk ttt 哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系 tftftftftfk210 01kf k tftu tk ttt 將信號近似表示為將信號近似表示為 01kftfk t u tk tt 然后，令窄脈沖寬度然后，令窄脈沖寬度 t-0t-0，并對上式極取限，并對上式極取限， 001limtkf k tf tftu tk ttt 最后，得到任意信號用階躍信號表示的積分形式為最后，得到任意信號用階躍信號表示的積分形式為 00f

16、tfu tfu td任意信號可以分任意信號可以分解為無窮多個解為無窮多個階階躍函數(shù)的加權和躍函數(shù)的加權和2.2 信號的時域分解信號的時域分解哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系2.2 信號的時域分解信號的時域分解三、時間分解（沖激函數(shù)分解）三、時間分解（沖激函數(shù)分解）任意信號可以近似表示為沖激函數(shù)之和任意信號可以近似表示為沖激函數(shù)之和 00ftfu tu tt定義：定義： 12ftftu ttu tt kftf k tu tk tu tk tt tftftftftfk2100ku tk tu tk ttf k ttt 將信號近似表示為將信號近似表示為 tf t fO

17、哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系2.2 信號的時域分解信號的時域分解0 ( )( ) ()df tft 所以0t 令d ()du ttt tftftftftfk2100ku tk tu tk ttf k ttt 0kfu td, tdk t 則00d ,k 任意信號可以分任意信號可以分解為無窮多個解為無窮多個沖沖激函數(shù)的加權和激函數(shù)的加權和可將可將 t 擴展至擴展至- ，則，則( )( ) ()d( )( )f tftf tt 哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系1. 信號正交：信號正交： 定義在定義在(t1，t2)區(qū)間的區(qū)間的 1(

18、t)和和 2(t)滿足滿足 210d)()(*21ttttt(兩函數(shù)的內(nèi)積為兩函數(shù)的內(nèi)積為0)則稱則稱 1(t)和和 2(t) 在區(qū)間在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)內(nèi)正交正交。 2. 正交函數(shù)集：正交函數(shù)集： 若若n個函數(shù)個函數(shù) 1(t)， 2(t)， n(t)構成一個函數(shù)集，構成一個函數(shù)集，這些函數(shù)在區(qū)間這些函數(shù)在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)滿足內(nèi)滿足 21, 0, 0d)()(*ttijijiKjittt則稱此函數(shù)集為在區(qū)間則稱此函數(shù)集為在區(qū)間(t1，t2)的的正交函數(shù)集正交函數(shù)集。 四、正交分解四、正交分解2.2 信號的時域分解信號的時域分解哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程

19、系如果在正交函數(shù)集如果在正交函數(shù)集 1(t)， 2(t)， n(t)之外，之外，不存在函數(shù)不存在函數(shù)(t)(0）滿足）滿足 則稱此函數(shù)集為則稱此函數(shù)集為完備正交函數(shù)集完備正交函數(shù)集。例如例如：三角函數(shù)集三角函數(shù)集 1，cos(nw wt)，sin(nw wt)，n=1,2, 虛指數(shù)函數(shù)集虛指數(shù)函數(shù)集ejnw wt，n=0，1，2，是兩組是兩組典型典型的在區(qū)間的在區(qū)間(t0，t0+T)(T=2/w w)上的上的完備正交函完備正交函數(shù)集。數(shù)集。210d)()(*ttittt( i =1，2，n)2.2 信號的時域分解信號的時域分解3. 完備正交函數(shù)集：完備正交函數(shù)集： 哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工

20、程系哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系設有設有n個函數(shù)個函數(shù) 1(t)， 2(t)， n(t)在區(qū)間在區(qū)間(t1，t2)構成一個正交函數(shù)空間。將任一函數(shù)構成一個正交函數(shù)空間。將任一函數(shù)f(t)用這用這n個正交個正交函數(shù)的線性組合來近似，可表示為函數(shù)的線性組合來近似，可表示為 f(t)C1 1+ C2 2+ Cn n 如何選擇各系數(shù)如何選擇各系數(shù)Cj使使f(t)與近似函數(shù)之間誤差在與近似函數(shù)之間誤差在區(qū)間區(qū)間(t1，t2)內(nèi)為最小。內(nèi)為最小。通常使誤差的方均值通常使誤差的方均值(稱為稱為均方誤差均方誤差)最小。均方誤差為最小。均方誤差為 ttCtfttttnjjjd )()(121211222.2

21、 信號的時域分解信號的時域分解4. 正交分解：正交分解： 哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系為使上式最小為使上式最小0d)()(21122ttnjjjiittCtfCC展開上式中的被積函數(shù)，并求導。上式中只有兩項不展開上式中的被積函數(shù)，并求導。上式中只有兩項不為為0，寫為，寫為 210d)()()(222ttiiiiittCttfCC即即 21210d)(2d)()(22ttiittittCtttf所以系數(shù)所以系數(shù)212121d)()(1d)(d)()(2ttiittittiitttfKtttttfC2.2 信號的時域分解信號的時域分解哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工

22、程系哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系代入，得最小均方誤差（推導過程見教材）代入，得最小均方誤差（推導過程見教材）0d)(112212221njjjttKCttftt在用正交函數(shù)去近似在用正交函數(shù)去近似f(t)時，所取得項數(shù)越多，即時，所取得項數(shù)越多，即n越越大，則均方誤差越小。當大，則均方誤差越小。當n時（為完備正交函數(shù)時（為完備正交函數(shù)集），均方誤差為集），均方誤差為零零。此時有。此時有 12221d)(jjjttKCttf上式稱為上式稱為(Parseval)巴塞瓦爾公式巴塞瓦爾公式，表明：在區(qū)間，表明：在區(qū)間(t1,t2) f(t)所含能量所含能量恒等于恒等于f(t)在完備正交函數(shù)集中分解

23、的各在完備正交函數(shù)集中分解的各正交分量能量正交分量能量的的之和之和。 1)()(jjjtCtf函數(shù)函數(shù)f(t)可分解為無窮多項正交函數(shù)之和可分解為無窮多項正交函數(shù)之和2.2 信號的時域分解信號的時域分解哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系21d)()(1ttiiitttfKC21d)(2ttiittK1)()(iiitCtf函數(shù)函數(shù)f(t)可分解為無窮多項正交函數(shù)之和可分解為無窮多項正交函數(shù)之和12221d)(iiittKCttf正交分解小結：正交分解小結：2.2 信號的時域分解信號的時域分解巴塞瓦爾能量公式巴塞瓦爾能量公式哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系哈爾濱工業(yè)

24、大學（威海）通信工程系2.3 系統(tǒng)模型和響應的經(jīng)典解法系統(tǒng)模型和響應的經(jīng)典解法哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系許多實際系統(tǒng)可以用許多實際系統(tǒng)可以用線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)來模擬。來模擬。若系統(tǒng)的參數(shù)不隨時間而改變，則該系統(tǒng)可以用若系統(tǒng)的參數(shù)不隨時間而改變，則該系統(tǒng)可以用線性常線性常系數(shù)微分方程系數(shù)微分方程來描述。來描述。一、物理系統(tǒng)的模型一、物理系統(tǒng)的模型根據(jù)實際系統(tǒng)的物理特性列寫系統(tǒng)的微分方程。根據(jù)實際系統(tǒng)的物理特性列寫系統(tǒng)的微分方程。對于電路系統(tǒng)，主要是根據(jù)元件特性約束和網(wǎng)絡拓撲約束對于電路系統(tǒng)，主要是根據(jù)元件特性約束和網(wǎng)絡拓撲約束列寫系統(tǒng)的微分方程。列寫系統(tǒng)的微分

25、方程。 元件特性約束：元件特性約束：表征元件特性的關系式。例如二端元件電阻、表征元件特性的關系式。例如二端元件電阻、電容、電感各自的電壓與電流的關系以及四端元件互感的初、電容、電感各自的電壓與電流的關系以及四端元件互感的初、次級電壓與電流的關系等等。次級電壓與電流的關系等等。 網(wǎng)絡拓撲約束：網(wǎng)絡拓撲約束：由網(wǎng)絡結構決定的電壓電流約束關系由網(wǎng)絡結構決定的電壓電流約束關系,KCL，KVL。2.3 系統(tǒng)模型和響應的經(jīng)典解法系統(tǒng)模型和響應的經(jīng)典解法哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系回顧回顧 常用元件電阻、電容、電感的電流和電壓之間的關系：常用元件電阻、電容、電感的電流和電

26、壓之間的關系： 電流電流電壓電壓電阻電阻電容電容電感電感( )( )RRutRitdttdiLtuLL)()(tLLuLtid)(1)(dttduCtiCC)()(tCCiCtud)(1)()(1)(tuRtiRR2.3 系統(tǒng)模型和響應的經(jīng)典解法系統(tǒng)模型和響應的經(jīng)典解法哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系電感電感 電阻電阻 tvRtiR1 d1 tLvLti電容電容 ttvCtiCdd 根據(jù)根據(jù)KCL，列電流方程列電流方程 titititiCLRS 兩邊求導兩邊求導 ttitvLttvRttvCdd1dd1ddS22 這是一個代表這是一個代表RCL并聯(lián)電路系統(tǒng)的二階

27、微分方程。并聯(lián)電路系統(tǒng)的二階微分方程。 求圖示電路的端電壓與激勵源之間的關系求圖示電路的端電壓與激勵源之間的關系. . 【例】【例】 tisRRiLLiCciab tv Sd11ddtv tv tvCitRLt哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系電感電感 電阻電阻 RvtRi t 1dtCvtiC電容電容 ddLi tvtLt RLCvtvtvte t兩邊求導兩邊求導 22ddd1dddi ti te tLRi tttCt這是一個代表這是一個代表RCL串聯(lián)電路系統(tǒng)的二階微分方程。串聯(lián)電路系統(tǒng)的二階微分方程。 求圖示電路的端電壓與激勵源之間的關系求圖示電路的端電壓與激

28、勵源之間的關系. . 【例】【例】 d1ddti tRi tLie ttC tiRLC te 根據(jù)根據(jù)KCL，列電壓方程列電壓方程哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系111011101d( )d( )d ( )( )dddd( )d( )d ( )( )dddnnnnnnmmmmmmr tr tr taaaa r tttte te te tbbbb e tttt 若系統(tǒng)為時不變的，則若系統(tǒng)為時不變的，則 均為常數(shù)，此方程為常系數(shù)的均為常數(shù)，此方程為常系數(shù)的n階線性常微分方程。階線性常微分方程。階次階次：方程的階次由獨立的動態(tài)元件個數(shù)決定。方程的階次由獨立的動態(tài)元件個

29、數(shù)決定。n階線性時不變系統(tǒng)的描述（階線性時不變系統(tǒng)的描述（n階常系數(shù)微分方程）階常系數(shù)微分方程） 一個線性系統(tǒng)，其激勵信號一個線性系統(tǒng)，其激勵信號 與響應信號與響應信號 之間的關之間的關系，可以用下列形式的微分方程式來描述系，可以用下列形式的微分方程式來描述 e t r t,ija b 1110110( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnmmmma rtarta r ta r tb etb etbe tb e t2.3 系統(tǒng)模型和響應的經(jīng)典解法系統(tǒng)模型和響應的經(jīng)典解法哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系分析系統(tǒng)的方法：列寫方程，求解方程。分析系統(tǒng)的

30、方法：列寫方程，求解方程。 :,: :1) 列寫方程 根據(jù)元件約束 網(wǎng)絡拓撲約束經(jīng)典法零輸入響應和零狀態(tài)響應2) 解方程零輸入 可利用經(jīng)典法求解零狀態(tài) 利用卷積積分法求解變換域法求解方程時域經(jīng)典法就是：求解方程時域經(jīng)典法就是：齊次解齊次解 + 特解特解二、求解系統(tǒng)的微分方程二、求解系統(tǒng)的微分方程2.3 系統(tǒng)模型和響應的經(jīng)典解法系統(tǒng)模型和響應的經(jīng)典解法哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系齊次解：由特征方程齊次解：由特征方程求出特征根求出特征根寫出齊次解形式寫出齊次解形式注意重根情況處理方法。注意重根情況處理方法。特特 解：解：根據(jù)微分方程右端函數(shù)式形式，設含待定系根據(jù)

31、微分方程右端函數(shù)式形式，設含待定系 數(shù)的特解函數(shù)式數(shù)的特解函數(shù)式代入原方程，比較系數(shù)代入原方程，比較系數(shù) 定出特解。定出特解。完全解完全解: :齊次解和特解相加齊次解和特解相加, , ( )( )( )hpr tr tr t齊次解中的待定系數(shù)可通過初始條件求得齊次解中的待定系數(shù)可通過初始條件求得. . 1( )inthiir tce2.3 系統(tǒng)模型和響應的經(jīng)典解法系統(tǒng)模型和響應的經(jīng)典解法自由響應自由響應強迫響應強迫響應全響應全響應哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系1. 齊次解齊次解是齊次微分方程的解。是齊次微分方程的解。 1110( )( )( )( )=0nnn

32、na rtarta r ta r tyh(t)的函數(shù)形式的函數(shù)形式由上述微分方程的由上述微分方程的特征根特征根確定。確定。特征方程特征方程1110=0nnnnaaaa2.3 系統(tǒng)模型和響應的經(jīng)典解法系統(tǒng)模型和響應的經(jīng)典解法特征方程的特征方程的n n個根稱為個根稱為特征根特征根： 1 1, , 2 2, , , n哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系 11011tmhmrteCC tCt討論：討論： （三種情況）（三種情況）設特征根為設特征根為 1, 2, n 當特征根為互異實根（單實根）時當特征根為互異實根（單實根）時齊次解為：齊次解為：Ck為待定系數(shù)，為待定系數(shù)，

33、由系統(tǒng)的由系統(tǒng)的初始初始條件條件確定確定 當特征根中有共軛復根（單根）時當特征根中有共軛復根（單根）時齊次解有兩種選擇形式：齊次解有兩種選擇形式： 1,212jtjthrtC eC e1,2j設 當特征根中有當特征根中有m重根時，設該重根為重根時，設該重根為 1，則齊次解，則齊次解中相中相應于應于 1的部分有的部分有m項項 1212nttthnr tC eC eC e2.3 系統(tǒng)模型和響應的經(jīng)典解法系統(tǒng)模型和響應的經(jīng)典解法 1,212cossinthrteDtDt C1,C2為一對共軛復數(shù)為一對共軛復數(shù) D1,D2為兩實數(shù)為兩實數(shù)哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系

34、例題：例題：例題：例題：2.3 系統(tǒng)模型和響應的經(jīng)典解法系統(tǒng)模型和響應的經(jīng)典解法 56rtr tr te t求齊次解求齊次解解：解：由特征方程由特征方程求出特征根求出特征根寫出齊次解形式寫出齊次解形式2560 2312, 0tthr tCeC et1223 71612rtrtr tr te t求齊次解求齊次解解：解：由特征方程由特征方程求出特征根求出特征根寫出齊次解形式寫出齊次解形式32716120 23012, 0tthr teCCtC et1232,3 2230哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系激勵函數(shù)激勵函數(shù)e(t)響應函數(shù)響應函數(shù)r(t)的特解的特解)(常

35、常數(shù)數(shù)E)(常常數(shù)數(shù)Bpt1110ppppb tbtbtbt etbe tw wcos tw wsintbtbwwsincos21 tttpw w sine tttpw w cose11101110ecosesinpptpppptppb tbtbtbtd tdtd tdtww 幾種典型激勵函數(shù)相應的特解幾種典型激勵函數(shù)相應的特解2. 特解特解 根據(jù)非齊次項（激勵信號）的形式確定根據(jù)非齊次項（激勵信號）的形式確定 不是特征根時：不是特征根時： 是是m重特征根時：重特征根時：1110tmmmmeb tbtbtbw w不是特征根時：不是特征根時： ，w w不是不是特征根時：特征根時：哈爾濱工業(yè)大學（

36、威海）通信工程系哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系例題：例題：2.3 系統(tǒng)模型和響應的經(jīng)典解法系統(tǒng)模型和響應的經(jīng)典解法 23rtr tr te te t1）e(t)=t2; 2）e(t) = 3e2t , 求兩種情況下微分方程的特解。求兩種情況下微分方程的特解。【解】【解】：1）由由激勵信號為激勵信號為e(t)=t2, 代入方程代入方程整理，得整理，得 21210prtB tBtB02211210210273124329223013BBBBBBBBB 2122, 2pprtB tBrtB 212103927prttt特解21222121022 222BB tBB tBtBtt哈爾濱工業(yè)大學（威海

37、）通信工程系哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系【解】 2） 自由項： ，設特解：te23 tpDetr2 tptpDedttrdDedttdr22224,2代入原微分方程得：311D22224433ttttDeDeDee解得： 3211trtep哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系需要注意的需要注意的: : 特解的函數(shù)形式特解的函數(shù)形式由系統(tǒng)所加的由系統(tǒng)所加的激勵決定激勵決定 齊次解的函數(shù)形式齊次解的函數(shù)形式完全取決于完全取決于特征方程的根特征方程的根 由于構成系統(tǒng)的各元件本身所遵從的規(guī)律、系統(tǒng)的由于構成系統(tǒng)的各元件本身所遵從的規(guī)律、系統(tǒng)的結構與參數(shù)決定了微分方程的階

38、次與系數(shù)，因此，結構與參數(shù)決定了微分方程的階次與系數(shù)，因此，齊齊次解只與系統(tǒng)本身特性有關。次解只與系統(tǒng)本身特性有關。 2.3 系統(tǒng)模型和響應的經(jīng)典解法系統(tǒng)模型和響應的經(jīng)典解法哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系2.3 系統(tǒng)模型和響應的經(jīng)典解法系統(tǒng)模型和響應的經(jīng)典解法3. 完全解（完全響應）完全解（完全響應） 齊次解和特解相加齊次解和特解相加( )( )( )hpr tr tr t其中特解是一確定函數(shù)，而齊次解中有n個待定系數(shù)，這n個未知待定系數(shù)必須由系統(tǒng)給定的初始條件來確定。即：11000,nndrdrrdtdt哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系哈爾濱工業(yè)大學（威海）

39、通信工程系經(jīng)典法求解微分方程的流程將元件電壓電流關系、基爾霍夫定律用于給定電路系統(tǒng)列寫微分方程齊次解 （系 數(shù)A待定）tAe特解查表，求出系數(shù)B完全解=齊次解 +特解（ A待定）已定系數(shù)A的完全解系統(tǒng)的響應給定系統(tǒng) 狀態(tài)求出對應 狀態(tài)00哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系【例】【例】 已知給定的線性時不變系統(tǒng)微分方程為已知給定的線性時不變系統(tǒng)微分方程為 ( )5 ( )6 ( )( )y ty ty tx t其中激勵其中激勵 , ,并且并且 ， 求系統(tǒng)的完全響應。求系統(tǒng)的完全響應。 )()(tuetxt5 . 3)0(y5 . 8)0(y特征方程為特征方程為 06

40、522132tthececty3221)(當激勵當激勵 時時, ,微分方程的特解為微分方程的特解為 )()(tuetxttpbety)(2.3 系統(tǒng)模型和響應的經(jīng)典解法系統(tǒng)模型和響應的經(jīng)典解法哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系將將 及其導數(shù)和及其導數(shù)和 代入系統(tǒng)微分方程，得代入系統(tǒng)微分方程，得 )(typ)(tx21btttpheecectytyty21)()()(3221ttteececty2132)(3221考慮已知初始條件，得考慮已知初始條件，得 5 . 321)0(21ccy5 . 82132)0(21ccy11c22c所以系統(tǒng)響應的所以系統(tǒng)響應的完全解完

41、全解為為 ttteeety212)(32齊次解（自由響應）齊次解（自由響應） 特解（強迫響應）特解（強迫響應）哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系例例 描述某系統(tǒng)的微分方程為描述某系統(tǒng)的微分方程為 y”(t) + 5y(t) + 6y(t) = f(t)求求 當當f(t) = e- -2t，t0；y(0)= 1，y(0)=0時的全解。時的全解。 解解: 特征方程為特征方程為2 + 5+ 6 = 0 其特征根其特征根1= 2，2= 3。齊。齊次解為次解為 yh(t) = C1e 2t + C2e 3t2.3 系統(tǒng)模型和響應的經(jīng)典解法系統(tǒng)模型和響應的經(jīng)典解法 當激勵當激

42、勵f(t)=e2t時，其指數(shù)與特征根之一相重。時，其指數(shù)與特征根之一相重。 由表知：其由表知：其特解特解為為 yp(t) = (B1t + B0)e2t 代入微分方程可得代入微分方程可得 B1e-2t = e2t ，所以，所以 B1= 1 但但B0不能求得。不能求得。全解全解為為: y(t)= C1e2t + C2e3t + te2t + B0e2t = (C1+B0)e2t +C2e3t + te2t將將初始條件初始條件代入，得代入，得 y(0) = (C1+B0) + C2=1 ， y(0)= 2(C1+B0) 3C2+1=0 解得解得 C1 + B0 = 2 ,C2= 1 最后得最后得全

43、解為全解為 y(t) = 2e2t e3t + te2t , t0上式第一項的系數(shù)上式第一項的系數(shù)C1+B0= 2，不能區(qū)分，不能區(qū)分C1和和B0，因而也不能區(qū)，因而也不能區(qū)分自由響應和強迫響應。分自由響應和強迫響應。 哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系02:( )( ),( ). te tEeu tv t例電路如圖所示，激勵信號求輸出信號設電容的起始電壓為零。)(te1RC2R)(0tv解:)()()()(01020tvRdttdvcRtvte)(1)()(1021210tecRtvcRRRRdttdv0cRRRR2121齊次解: 1212RRtR R Chrt

44、Ae哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系:( )tprtBe特解為t1t2121tecREBecRRRRBe2121 2 REBRRRRc)()(tuEetet1） 若 因激勵信號為1212RRR R c代入方程 1212201212( )RRtR R CtR Ev tAeeRRR R c完全解： (0 )(0 )0vv由于 21212R EARRR R C 201212(0)0R EvARRR R C1212201212 ( )()RRtR R CtR Ev teeRRR R C哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系1212RRRRc2）

45、若:則特解為:10( )tprtB tBe將B(t)代入微分方程,121201( )RRtR RcEvtteR c代入初始條件 求出待定系數(shù)：101 , EBBRc不能確定1212001( )RRtR R ctEvtABeteR c(0 )(0 )0vv00AB完全解： 哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系【注意】1）求待定系數(shù)用到的是 的初始值，而不是 的初始值。2）從信號與系統(tǒng)分析的角度來說，初始條件用的是 時刻的值，但一般給定的已知條件是 時刻的值，它們在一般情況下是不同的。 tr trh00哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系三、

46、關于三、關于0 0- -和和0 0+ +初始值初始值起始點的跳變起始點的跳變O 0 0t2.3 系統(tǒng)模型和響應的經(jīng)典解法系統(tǒng)模型和響應的經(jīng)典解法 如上所述，在確定完全解中齊次解部分中的待定系數(shù)時，我如上所述，在確定完全解中齊次解部分中的待定系數(shù)時，我們要有們要有 n n 個初始條件個初始條件。 從信號與系統(tǒng)分析的角度來說，這從信號與系統(tǒng)分析的角度來說，這 n n 個初始條件指的是個初始條件指的是0+ 時刻，因為激勵接入后的瞬時是時刻，因為激勵接入后的瞬時是0+ 時刻，或微分方程描述的時刻，或微分方程描述的是是 t 0+ 時間區(qū)間。時間區(qū)間。 但在實際問題中，我們知道的是但在實際問題中，我們知道

47、的是0- 時刻的起始狀態(tài)。時刻的起始狀態(tài)。 0+ 與與 0- 時刻系統(tǒng)的狀態(tài)一般是不同的，所以有下面兩個概時刻系統(tǒng)的狀態(tài)一般是不同的，所以有下面兩個概念：念：哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系 100 ,0 ,0 ,0knrrrrr 100,0,0,0knrrrrr0狀態(tài)0狀態(tài)O 0 0t1.1.系統(tǒng)的起始狀態(tài)和初始狀態(tài)系統(tǒng)的起始狀態(tài)和初始狀態(tài)起始狀態(tài)：起始狀態(tài)： 系統(tǒng)在激勵信號加入前瞬間的狀態(tài)系統(tǒng)在激勵信號加入前瞬間的狀態(tài) 起始狀態(tài)包含了響應的全部過去信息，能夠反映系統(tǒng)中起始狀態(tài)包含了響應的全部過去信息，能夠反映系統(tǒng)中儲能元件的儲能狀況。儲能元件的儲能狀況。初始

48、狀態(tài)：初始狀態(tài)： 響應區(qū)間內(nèi)響應區(qū)間內(nèi) 時刻的一組狀態(tài)時刻的一組狀態(tài) 0t2.3 系統(tǒng)模型和響應的經(jīng)典解法系統(tǒng)模型和響應的經(jīng)典解法 一般情況下，由于外加激勵的作用或系統(tǒng)內(nèi)部結構和參數(shù)發(fā)生變化，使得系統(tǒng)的起始狀態(tài)與初始狀態(tài)不等，即即響應在起始點會發(fā)生跳變。即響應在起始點會發(fā)生跳變。通常，對于具體的系統(tǒng)，通常，對于具體的系統(tǒng)，初始狀態(tài)一般初始狀態(tài)一般不容易求得不容易求得。這樣。這樣為求解微分方程，就需要從已知的初始狀態(tài)為求解微分方程，就需要從已知的初始狀態(tài)y(j)(0-)設法求得設法求得y(j)(0+)。哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系求起始點的跳變一般有兩種方法：

49、1、對于具體的電網(wǎng)絡，首先求出 ，一般情況下， 然后根據(jù)元件特性約束和網(wǎng)絡拓撲約束求得 時刻其他電流或電壓值。0(0 ),(0 )vicL2、沖激函數(shù)匹配法： 當系統(tǒng)用微分方程表示時，系統(tǒng)的 到 狀態(tài)有無跳變?nèi)Q于 原理為根據(jù)微分方程兩邊奇異函數(shù) 和 各項平衡相等來求。00 t kt t kt t kt00, 00.CCLLvvii哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系例例：描述某系統(tǒng)的微分方程為描述某系統(tǒng)的微分方程為 y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2f(t) + 6f(t)已知已知y(0-)=2，y(0-)= 0，f(t)=u(t)，求，求y(0+

50、)和和y(0+)。 解解：將輸入將輸入f(t)=u(t)代入上述微分方程得代入上述微分方程得 y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2(t) + 6u(t) （1）利用利用系數(shù)匹配法系數(shù)匹配法分析：上式對于分析：上式對于t=0-也成立，在也成立，在0-t0+區(qū)間等號兩端區(qū)間等號兩端(t)項的系數(shù)應相等。項的系數(shù)應相等。 由于等號右端為由于等號右端為2(t)，故，故y”(t)應包含沖激函數(shù)，從而應包含沖激函數(shù)，從而y(t)在在t= 0處將發(fā)生躍變，即處將發(fā)生躍變，即y(0+)y(0-)。 但但y(t)不含沖激函數(shù)，否則不含沖激函數(shù)，否則y”(t)將含有將含有(t)項。由于項。由于y(t

51、)中不含中不含(t)，故，故y(t)在在t=0處是連續(xù)的。處是連續(xù)的。故故 y(0+) = y(0-) = 2 2.3 系統(tǒng)模型和響應的經(jīng)典解法系統(tǒng)模型和響應的經(jīng)典解法哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系對式對式(1)兩端積分有兩端積分有 0000000000)(6)(2)(2)( 3)( dttdttdttydttydtty由于積分在無窮小區(qū)間由于積分在無窮小區(qū)間0-，0+進行的，且進行的，且y(t)在在t=0連續(xù)，連續(xù)，故故 0000( )0,( )0y t dtu t dt于是由上式得于是由上式得 y(0+) y(0-) + 3y(0+) y(0-)=2考慮考

52、慮 y(0+) = y(0-)=2 ，所以，所以 y(0+) y(0-) = 2 ， y(0+) = y(0-) + 2 =22.3 系統(tǒng)模型和響應的經(jīng)典解法系統(tǒng)模型和響應的經(jīng)典解法哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系【例】【例】 設線性時不變系統(tǒng)微分方程為設線性時不變系統(tǒng)微分方程為 )(4)(3)(4)(2)( txtxtytyty已知已知 求求 . . , 0)0(, 2)0(),()(yytutx)0( )0(yy和)(4)(3)(4)(2)( tuttytyty0000000000 )(4)(3)(4)(2)(dttudttdttydttydtty3)0()

53、0(2)0()0(yyyy考慮到考慮到 有有 )0()0( yy3)0()0(yy將將 代入上式得代入上式得 0)0(, 2)0(yy(0 )2(0 )3yy2.3 系統(tǒng)模型和響應的經(jīng)典解法系統(tǒng)模型和響應的經(jīng)典解法哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系 沖激函數(shù)匹配法實現(xiàn)過程中應注意的問題：沖激函數(shù)匹配法實現(xiàn)過程中應注意的問題： (1) (1) 對于沖激函數(shù)對于沖激函數(shù)，微分方程兩端這些函數(shù)項都對應相等。微分方程兩端這些函數(shù)項都對應相等。 (2) (2) ，首，首先使方程右端沖激函數(shù)最高階次項得到匹配先使方程右端沖激函數(shù)最高階次項得到匹配, ,在已在已匹配好的高階次沖

54、激函數(shù)項系數(shù)的條件下，再匹配匹配好的高階次沖激函數(shù)項系數(shù)的條件下，再匹配低階項。低階項。 (3) (3) 每次匹配方程低階沖激函數(shù)項時，每次匹配方程低階沖激函數(shù)項時，。 ( ) t( )( )krt( )( )krt2.3 系統(tǒng)模型和響應的經(jīng)典解法系統(tǒng)模型和響應的經(jīng)典解法哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系 ttytyt33dd0,0yy求已知 相相對對單單位位跳跳變變函函數(shù)數(shù)到到表表示示 00:tu該過程可描述為該過程可描述為【例】【例】 2.3 系統(tǒng)模型和響應的經(jīng)典解法系統(tǒng)模型和響應的經(jīng)典解法在在 中中 時刻有時刻有 ty0 t tu 9 t3方程右端含 3y

55、tt中必含 tty3中包含 t 方程右端不含方程右端不含 939y tty tt必含以平衡中的900yy900 yy即中的中的 y t t 9 n=m的情況的情況哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系 d33dy ty ttt由方程可知 項，方程右端含t ddy tt它一定屬于 y tatbu t 333atbtcu tatbu tt900byy ddy tatbtcu tt設設則則代入方程代入方程得出得出所以所以900yy即即 03033bcaba3927abc 即即2.3 系統(tǒng)模型和響應的經(jīng)典解法系統(tǒng)模型和響應的經(jīng)典解法數(shù)學方法描述為： ddy tatbtcu t

56、t設設哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系【例】【例】 微分方程為微分方程為 )(4)(6)()(10)(7)(22txdttdxdttxdtydttdydttyd并且已知并且已知 的狀態(tài)的狀態(tài), ,當當 時，激勵發(fā)時，激勵發(fā)生跳變從生跳變從 變到變到 . .求求 狀態(tài)。狀態(tài)。 22)0(,)0(),0(dtyddtdyy0tv0v20設 )()()()()()()()()(22tuatytubtadttdytuctbtadttyd2.3 系統(tǒng)模型和響應的經(jīng)典解法系統(tǒng)模型和響應的經(jīng)典解法哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系代入微分方程得代

57、入微分方程得 )(8)(12)(2)()107()()7()(tutttuabctabta由兩端平衡得由兩端平衡得222cba所求的狀態(tài)為所求的狀態(tài)為 2)0()0(yy(0 )(0 )2yy(0 )(0 )2yy2.3 系統(tǒng)模型和響應的經(jīng)典解法系統(tǒng)模型和響應的經(jīng)典解法哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系經(jīng)典法求解微分方程的流程將元件電壓電流關系、基爾霍夫定律用于給定電路系統(tǒng)列寫微分方程齊次解 （系 數(shù)A待定）tAe特解查表，求出系數(shù)B完全解=齊次解 +特解（ A待定）已定系數(shù)A的完全解系統(tǒng)的響應給定系統(tǒng) 狀態(tài)求出對應 狀態(tài)00哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系哈爾濱

58、工業(yè)大學（威海）通信工程系例：給定電路如圖示， 開關S處于1的位置而且已經(jīng)達到穩(wěn)態(tài)；當 時，S由1轉向2。建立電流 的微分方程并求解 在 時的變化。0t 0t ( )i t( )i t0t +-( )4e tV21S( )i t+-( )2e tV11R 322R 14LH1CF( )itc itL解： （1）列寫微分方程列回路方程：12( )( )( )( )( )( )CCLLRi tv te tdv tLi ti t Rdt列節(jié)點方程：( )( )( )di tCvtitCLdt圖1思路？思路？哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系整理得：22( )7( ) 1

59、0 ( )( )6( )4 ( )22ddddi ti ti te te te tdtdtdtdt（2）求完全響應的形式齊次解： 特征方程：27100特征根：2,512 齊次解形式：25( )(0 )12ttitA eA eth特解：0t 時， ， 自由項為16，所以設 代入原方程，解得( )4e tV( )itBp85B 完全解的形式：825( )(0 )125tti tA eA et哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系（3）確定換路后的初始條件(0 ),(0 )diidt方法一：換路前 24(0 )(0 )512436(0 )0,(0 )(0 )2525iiAL

60、RRdiviRCLdt換路后11614(0 ) (0 )(0 )(4)155111(0 )(0 )(0 )(0 )11111 144( (0 )(0 )0()211 55ievACRddddieveCdtRdtdtRdtAiiLsC 哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系哈爾濱工業(yè)大學（威海）通信工程系方法二：由題意知， 的波形如圖：即 。 當 時微分方程為( )e t2V4V0t( )e t( )2 2 ( )e tu t 0t 2( )7( ) 10 ( )2( ) 12 ( ) 16 ( )2ddi ti ti tttu tdtdt所以可設：22( )( )( )( )( )( )( )( )