第五章微擾理論

1、chapter 5. perturbation theorychapter 5. perturbation theory1 chapter 5 微微 擾擾 理理 論論perturbation theoryperturbation theorychapter 5. perturbation theorychapter 5. perturbation theory2 引言引言 前面討論了量子力學(xué)的基本理論，并應(yīng)用薛定格方程求前面討論了量子力學(xué)的基本理論，并應(yīng)用薛定格方程求得了一些簡(jiǎn)單問題的解。得了一些簡(jiǎn)單問題的解。 在實(shí)際微觀體系中，由于哈密頓算符的復(fù)雜性，能求出薛在實(shí)際微觀體系中，由于哈密頓算符

2、的復(fù)雜性，能求出薛定格方程精確解的問題是極少的。例如一個(gè)氦原子體系就難定格方程精確解的問題是極少的。例如一個(gè)氦原子體系就難以得到精確解。因此，在量子力學(xué)中，用近似方法求薛定格以得到精確解。因此，在量子力學(xué)中，用近似方法求薛定格方程近似解就顯得尤為重要方程近似解就顯得尤為重要。 如如:（1 1）一維無限深勢(shì)阱問題；）一維無限深勢(shì)阱問題； （2 2）線性諧振子問題；）線性諧振子問題； （3 3）勢(shì)壘貫穿問題；）勢(shì)壘貫穿問題； （4 4）氫原子問題。）氫原子問題。 這些問題都給出了這些問題都給出了問題的精確解析解。問題的精確解析解。近似方法近似方法是從簡(jiǎn)單問題的精確解（解析解）出發(fā)，是從簡(jiǎn)單問題的精

3、確解（解析解）出發(fā)，求較復(fù)雜問題的近似（解析）解求較復(fù)雜問題的近似（解析）解。微擾方法微擾方法和和變分法變分法是眾多是眾多近似方近似方法中的法中的兩種重要兩種重要的的近似方法。近似方法。chapter 5. perturbation theorychapter 5. perturbation theory3 講授內(nèi)容講授內(nèi)容5.15.1 非簡(jiǎn)并定態(tài)微擾理論非簡(jiǎn)并定態(tài)微擾理論 non degenerate perturbation theory of stationery state 5.25.2 簡(jiǎn)并情況下的微擾理論簡(jiǎn)并情況下的微擾理論 degenerate perturbation theo

4、ry 5.35.3 氫原子的一級(jí)斯塔克效應(yīng)氫原子的一級(jí)斯塔克效應(yīng) first order stark effect of hydrogen atom 5.45.4 變分法變分法 variational method 5.55.5 氦原子基態(tài)氦原子基態(tài) ground state to helium atom 5.65.6 與時(shí)間有關(guān)的微擾理論與時(shí)間有關(guān)的微擾理論 perturbation theory with time 5.75.7 躍遷幾率躍遷幾率 transition probability 5.85.8光的發(fā)射和吸收光的發(fā)射和吸收 light emission and absorptio

5、n 5.95.9選擇定則選擇定則 selection rule chapter 5. perturbation theorychapter 5. perturbation theory4 學(xué)習(xí)要求學(xué)習(xí)要求： 5. 5. 了解氫原子一級(jí)斯塔克效應(yīng)及其解釋。了解氫原子一級(jí)斯塔克效應(yīng)及其解釋。3. 3. 了解定態(tài)微擾論的適用范圍和條件；了解定態(tài)微擾論的適用范圍和條件； 1.1.重點(diǎn)重點(diǎn)掌握非簡(jiǎn)并定態(tài)微擾理論掌握非簡(jiǎn)并定態(tài)微擾理論波函數(shù)一級(jí)修正和能級(jí)一、波函數(shù)一級(jí)修正和能級(jí)一、 二級(jí)修正的計(jì)算。二級(jí)修正的計(jì)算。2.2.掌握掌握簡(jiǎn)并的微擾論簡(jiǎn)并的微擾論的的零級(jí)波函數(shù)和一級(jí)能量修正的計(jì)算。零級(jí)波函數(shù)和一級(jí)

6、能量修正的計(jì)算。4. 4. 關(guān)于與時(shí)間有關(guān)的微擾論要求如下：關(guān)于與時(shí)間有關(guān)的微擾論要求如下：a a了解由初態(tài)了解由初態(tài) 躍遷到末態(tài)躍遷到末態(tài) 的概率表達(dá)式，特的概率表達(dá)式，特別是常微擾和周期性微擾下的表達(dá)式；別是常微擾和周期性微擾下的表達(dá)式； b b理解由微擾矩陣元理解由微擾矩陣元 可以確定選擇定則；可以確定選擇定則； c c理解能量與時(shí)間之間的不確定關(guān)系理解能量與時(shí)間之間的不確定關(guān)系 。 d d理解光的發(fā)射與吸收的愛因斯坦系數(shù)以及原子理解光的發(fā)射與吸收的愛因斯坦系數(shù)以及原子 內(nèi)電子由內(nèi)電子由 態(tài)躍遷到態(tài)躍遷到 態(tài)的輻射強(qiáng)度均與矩陣元態(tài)的輻射強(qiáng)度均與矩陣元 的的模平方成正比，由此可以確定偶極躍

7、遷中角量子數(shù)和模平方成正比，由此可以確定偶極躍遷中角量子數(shù)和磁量數(shù)的選擇定則。磁量數(shù)的選擇定則。 if0f ihethiffirchapter 5. perturbation theorychapter 5. perturbation theory5 5.1 5.1 非簡(jiǎn)并定態(tài)微擾理論非簡(jiǎn)并定態(tài)微擾理論 量子力學(xué)中量子力學(xué)中微擾方法又視其哈密頓算符是否與時(shí)間有微擾方法又視其哈密頓算符是否與時(shí)間有關(guān)分為關(guān)分為定態(tài)微擾定態(tài)微擾和和非定態(tài)微擾非定態(tài)微擾兩大類。兩大類。微擾法不是量子力學(xué)所特有的方法，在微擾法不是量子力學(xué)所特有的方法，在天體物理學(xué)天體物理學(xué)中中計(jì)算行星運(yùn)行軌道時(shí)，就是使用微擾方法。計(jì)算

8、中需計(jì)算行星運(yùn)行軌道時(shí)，就是使用微擾方法。計(jì)算中需要考慮其他行星影響的二級(jí)效應(yīng)。要考慮其他行星影響的二級(jí)效應(yīng)。 例如，地球受萬有引力作用繞太陽轉(zhuǎn)動(dòng)，可是由于例如，地球受萬有引力作用繞太陽轉(zhuǎn)動(dòng)，可是由于其它行星的影響，其軌道需要予以修正。在這種情況下，其它行星的影響，其軌道需要予以修正。在這種情況下，計(jì)算所使用的方法是：首先把太陽和地球作為二體系統(tǒng)，計(jì)算所使用的方法是：首先把太陽和地球作為二體系統(tǒng)，求出其軌道，然后研究這個(gè)軌道受其它行星的影響而發(fā)求出其軌道，然后研究這個(gè)軌道受其它行星的影響而發(fā)生的變化。生的變化。一一 微擾體系方程微擾體系方程 二二 態(tài)矢和能量的一級(jí)修正態(tài)矢和能量的一級(jí)修正 三三

9、 能量的二階修正能量的二階修正 四四 微擾理論適用條件微擾理論適用條件 五五 討論討論 六六 實(shí)例實(shí)例 非簡(jiǎn)并定態(tài)非簡(jiǎn)并定態(tài)微擾理論微擾理論 chapter 5. perturbation theorychapter 5. perturbation theory6 一、基本方程一、基本方程 設(shè)設(shè)體系的哈密頓算符不顯含時(shí)間，則其定態(tài)薛定格方程為體系的哈密頓算符不顯含時(shí)間，則其定態(tài)薛定格方程為 nnnhe(1)(1)當(dāng)當(dāng) 比較復(fù)雜，方程比較復(fù)雜，方程(1)(1)難求解時(shí)，將寫成：難求解時(shí)，將寫成：hh)0()0()0()0(nnneh(3)(3)其中是基本部分，與它對(duì)應(yīng)的本征值和本征函數(shù)由以其中是

10、基本部分，與它對(duì)應(yīng)的本征值和本征函數(shù)由以下方程求出下方程求出 (0)h而而 相對(duì)很小，可視為加在相對(duì)很小，可視為加在 上的微擾。現(xiàn)在的任務(wù)是上的微擾?，F(xiàn)在的任務(wù)是通過通過 和，求出相應(yīng)的修正項(xiàng)以得到和，求出相應(yīng)的修正項(xiàng)以得到 和和的近似的近似解解，為此，引入一個(gè)很小的實(shí)數(shù)，為此，引入一個(gè)很小的實(shí)數(shù) ，并將，并將 表示為表示為h(0)hh 0neh(0)hhh (2)(2)1(hh (4)(4)相應(yīng)地相應(yīng)地, ,將將 和和 表為實(shí)參數(shù)表為實(shí)參數(shù) 的級(jí)數(shù)形式的級(jí)數(shù)形式：nen(0)(1)2(2)( )kknnnnneeeee(5)(5)5.1 5.1 非簡(jiǎn)并定態(tài)微擾理論非簡(jiǎn)并定態(tài)微擾理論（續(xù)（續(xù)1

11、 1） chapter 5. perturbation theorychapter 5. perturbation theory7 (0)(1)2(2)( )kknnnnn (6)(6)將以上幾式代入（將以上幾式代入（1 1）式得）式得： 將此式展開，便得到一個(gè)兩邊均為將此式展開，便得到一個(gè)兩邊均為 的冪級(jí)數(shù)等式，此等式成的冪級(jí)數(shù)等式，此等式成立的條件是兩邊立的條件是兩邊 同次冪的系數(shù)應(yīng)相等，于是得到一列方程：同次冪的系數(shù)應(yīng)相等，于是得到一列方程：(0)(1)(0)(1)2(2)(0)(1)2(2)(0)(1)2(2)()()()()nnnnnnnnnhheee (7)(7)5.1 5.1 非

12、簡(jiǎn)并定態(tài)微擾理論非簡(jiǎn)并定態(tài)微擾理論（續(xù)（續(xù)2 2） (0)(0)(0)(0)(0)(1)(1)(1)(0)(0)(0)(2)(1)(1)(1)(2)(0)(0)(0)( )(1)(1)(1)(2)(2)( )(0)()08()()9()()10()()nnnnnnnnnnnnkkkknnnnnnnnheheheheheeheheee20k:1:(11)chapter 5. perturbation theorychapter 5. perturbation theory8 由這組方程逐級(jí)求得其各級(jí)修正項(xiàng)，即求得能量和波函數(shù)的由這組方程逐級(jí)求得其各級(jí)修正項(xiàng)，即求得能量和波函數(shù)的近似解近似解. .

13、 的引入只是為了從方程的引入只是為了從方程(7)(7) 按數(shù)量級(jí)分出按數(shù)量級(jí)分出(8)(8)、(9) (9) (11)(11)等方程，達(dá)到此目的后，便可省去等方程，達(dá)到此目的后，便可省去 。方程方程(5)(5)和和(6)(6)便寫成便寫成5.1 5.1 非簡(jiǎn)并定態(tài)微擾理論非簡(jiǎn)并定態(tài)微擾理論（續(xù)（續(xù)3 3） (0)(1)(2)( )knnnnneeeee(0)(1)(2)( )knnnnn(12)(13)(1)hh (14)為一級(jí)修正為一級(jí)修正， 11nne、為二級(jí)修正為二級(jí)修正 22nne、 kknne、為為 級(jí)修正級(jí)修正kchapter 5. perturbation theorychapt

14、er 5. perturbation theory9 二、一級(jí)修正二、一級(jí)修正當(dāng)當(dāng) 非簡(jiǎn)并時(shí)，非簡(jiǎn)并時(shí)， 屬于屬于 的本征函數(shù)只有一個(gè)，它就是波的本征函數(shù)只有一個(gè)，它就是波函數(shù)的零級(jí)近似。函數(shù)的零級(jí)近似。（設(shè)設(shè)已歸一化已歸一化）。）。 0ne 0n 0n 0ne 0h5.1 5.1 非簡(jiǎn)并定態(tài)微擾理論非簡(jiǎn)并定態(tài)微擾理論（續(xù)（續(xù)4 4） 為求為求 ，以，以 左乘（左乘（9 9）式兩邊，并對(duì)空間積分：）式兩邊，并對(duì)空間積分： 1ne 0n（1515）(0)*(0)(0)(1)()nnnhed(1)(0)*(0)(0)*(0)nnnnnedhd(0)(0)(0) *(1)(0)(0)(0) *(1)

15、()()0nnnnnnnhedeed(1)(0)*(0)nnnnnehdh能量一級(jí)修正值能量一級(jí)修正值 等于等于 在態(tài)中的平均值。在態(tài)中的平均值。(1)neh(0)n已知已知 后，由（）式可求波函數(shù)的一級(jí)修正后，由（）式可求波函數(shù)的一級(jí)修正 ，為此為此)1(ne(1)n將將 按按 的本征函數(shù)系展開的本征函數(shù)系展開：)1(n)0(h(0)l歸一歸一 chapter 5. perturbation theorychapter 5. perturbation theory10 (1)(1)(0)1nllla(1)(1)(0)nlll na(1)(1)(0)nllla or or (1(1) ) 代入

16、（代入（9 9）式得）式得5.1 5.1 非簡(jiǎn)并定態(tài)微擾理論非簡(jiǎn)并定態(tài)微擾理論（續(xù)（續(xù)5 5） (1)(0)(0)(1)(0)(0)(0)nnllnnlheaeh以以 左乘，并積分，得到：左乘，并積分，得到：(0) *()mmn(1)(0)(0)(1)(0)*(0)(0)*(0)(0)*(0)nnlmlmnmnlheadedhdmlmnh微擾矩陣元微擾矩陣元 根據(jù)態(tài)迭加原理，展開系數(shù)根據(jù)態(tài)迭加原理，展開系數(shù) 可為任意常數(shù)，故可以選取可為任意常數(shù)，故可以選取 使得展開式中不含使得展開式中不含 項(xiàng)，則左展開項(xiàng)，則左展開 式可改寫為式可改寫為(1)la(1)0na (0)nchapter 5. pe

17、rturbation theorychapter 5. perturbation theory11 代入（代入（1616）式，得）式，得波函數(shù)的一級(jí)修正波函數(shù)的一級(jí)修正)0()0()0()1(mmnmnnmneeh（2020）作展開：作展開： (2)(2)(0)nllla215.1 5.1 非簡(jiǎn)并定態(tài)微擾理論非簡(jiǎn)并定態(tài)微擾理論（續(xù)（續(xù)6 6） 三、高級(jí)修正（能量的二級(jí)修正）三、高級(jí)修正（能量的二級(jí)修正）(0)(0)(1)()nmmmneeah(1)(0)(0)mnmnmhaee（1919） 將將 和和 代入（代入（1010）式，）式，得到得到：(2)(2)(0)nllla(1)(1)(0)nl

18、lla以以 左乘左乘（1010）式）式，并積分，得到：，并積分，得到：(0) *n(0)(0)(2)(0)(1)(1)(1)(0)(2)(0)1()()nllnllnnllheaheae（22）chapter 5. perturbation theorychapter 5. perturbation theory12 2(2)(1)(0)(0)|nmnlnmmmnmhea hee1能量的二能量的二級(jí)近似級(jí)近似波函數(shù)的波函數(shù)的一級(jí)近似一級(jí)近似 2(0)(0)(0)|nmnnnnmnmheehee(0)(0)(0)(0)mnnnmmnmhee(2)(0)*(0)(0)(0)(1)(0)*(1)(0

19、)(1)(0)*(0)(2)(0)*(0)1()lnnlllnlnnlnnnlahedahdeded 波函數(shù)的二級(jí)修正波函數(shù)的二級(jí)修正5.1 5.1 非簡(jiǎn)并定態(tài)微擾理論非簡(jiǎn)并定態(tài)微擾理論（續(xù)（續(xù)7 7） chapter 5. perturbation theorychapter 5. perturbation theory13 用用 乘以乘以（）（）式，再積分式，再積分(0)*()mmn (0)(0)(0)(2)0()lmnllahed ( 1)( 1)(2)(0)0(0)0(0)0lmlnmlnmnlahdeded(0)(0)(1)(1)(2)()llnm llm lnm lllaeeahe

20、 =05.1 5.1 非簡(jiǎn)并定態(tài)微擾理論非簡(jiǎn)并定態(tài)微擾理論（續(xù)（續(xù)8 8） )0()0() 1 () 1 () 1 ()0()0()2(1nmmnmlllmnmeeaehaeea(0)(0)(1)(1)(1)(2)()mmnlm lmnlaeea ha e mlhml (0)(0)(0)0()lnmleedmlchapter 5. perturbation theorychapter 5. perturbation theory14 (0)(0)(0)(0)(0)(0) 2()()()m ll nnnm nlnmnlnmhhhheeeeee(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0) 2(

21、)()()mllnmnn nmmmlmnmnlnmh hh heeeeee (2)(2)(0)nmmma5.1 5.1 非簡(jiǎn)并定態(tài)微擾理論非簡(jiǎn)并定態(tài)微擾理論（續(xù)（續(xù)9 9） 不能判別級(jí)數(shù)是否收斂，因不知級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不能判別級(jí)數(shù)是否收斂，因不知級(jí)數(shù)的一般項(xiàng), ,故要求后項(xiàng)故要求后項(xiàng)遠(yuǎn)小于前項(xiàng)，即遠(yuǎn)小于前項(xiàng)，即四、微擾理論適用的條件四、微擾理論適用的條件1(0)(0)mnnmhee(0)(0)()nmeechapter 5. perturbation theorychapter 5. perturbation theory15 微擾適用條件表明微擾適用條件表明： （1 1）微擾矩陣元）微擾矩陣元

22、要小；要?。?mnh（2 2）要大，即能級(jí)間距要寬。）要大，即能級(jí)間距要寬。 (0)(0)nmee例如：在庫侖場(chǎng)中，體系能量（能級(jí)）例如：在庫侖場(chǎng)中，體系能量（能級(jí)） 與量子數(shù)與量子數(shù) 成反比成反比?？梢?，當(dāng)可見，當(dāng) 大時(shí)，能級(jí)間距變小，因大時(shí)，能級(jí)間距變小，因此微擾理論不適用于計(jì)算高能級(jí)（此微擾理論不適用于計(jì)算高能級(jí)（ 大）的修正，而只適用大）的修正，而只適用于計(jì)算低能級(jí)（于計(jì)算低能級(jí)（ ?。┑男拚?。小）的修正。22212 32snz een, , ,n2nnnn5.1 5.1 非簡(jiǎn)并定態(tài)微擾理論非簡(jiǎn)并定態(tài)微擾理論（續(xù)（續(xù)1010） chapter 5. perturbation theor

23、ychapter 5. perturbation theory16 （2 2）展開系數(shù)）展開系數(shù) 表明第表明第 個(gè)未擾動(dòng)態(tài)個(gè)未擾動(dòng)態(tài) 對(duì)對(duì) 第第 個(gè)擾動(dòng)態(tài)矢?jìng)€(gè)擾動(dòng)態(tài)矢 的貢獻(xiàn)有多大。展開系數(shù)反比于擾動(dòng)的貢獻(xiàn)有多大。展開系數(shù)反比于擾動(dòng)前狀態(tài)間的能量間隔，所以能量最接近的態(tài)前狀態(tài)間的能量間隔，所以能量最接近的態(tài) 貢獻(xiàn)貢獻(xiàn)的也的也越強(qiáng)。因此波函數(shù)一階修正無須計(jì)算無限多項(xiàng)。越強(qiáng)。因此波函數(shù)一階修正無須計(jì)算無限多項(xiàng)。(1)(0)(0)lnlnlhaeel 0lnn 0l（3 3）由可知，擾動(dòng)后體系能量是由擾動(dòng)前）由可知，擾動(dòng)后體系能量是由擾動(dòng)前第態(tài)能量加上微擾哈密頓量第態(tài)能量加上微擾哈密頓量 在未微擾態(tài)

24、中在未微擾態(tài)中的平均值組成。該值可能是正或負(fù)，引起原來能級(jí)上移或的平均值組成。該值可能是正或負(fù)，引起原來能級(jí)上移或下移。下移。 0nnnneehn 0neh 0n五討論五討論(0)(0)(0)(0)lnnnll nnlhee（1 1）在一階近似下：在一階近似下： 5.1 5.1 非簡(jiǎn)并定態(tài)微擾理論非簡(jiǎn)并定態(tài)微擾理論（續(xù)（續(xù)1111） chapter 5. perturbation theorychapter 5. perturbation theory17 哈密頓量哈密頓量 2022122phmxm本征函數(shù)本征函數(shù) 2 21(0)2( )()xnnnxn ehx設(shè)一維諧振子受到設(shè)一維諧振子受到

25、 的微擾（為實(shí)參數(shù)，且的微擾（為實(shí)參數(shù)，且 ), ), 用微擾法求能量和波函數(shù)的一級(jí)修正。用微擾法求能量和波函數(shù)的一級(jí)修正。2hx15.1 5.1 非簡(jiǎn)并定態(tài)微擾理論非簡(jiǎn)并定態(tài)微擾理論（續(xù)（續(xù)1212） 六實(shí)例六實(shí)例21!2nnnnm2solve: 11( ) 2( ) 2( )0nnnhhnh() x 能量一級(jí)修正能量一級(jí)修正(1)(0)*(0)(0)*2(0)nnnnnehdxxdx由厄米多項(xiàng)式由厄米多項(xiàng)式遞推關(guān)系遞推關(guān)系可導(dǎo)出波函數(shù)的可導(dǎo)出波函數(shù)的遞推關(guān)系遞推關(guān)系，即即(0)( )nx由波函數(shù)的由波函數(shù)的遞推關(guān)系得到遞推關(guān)系得到111( )2( )( ) 0nnnnxxxnx chapt

26、er 5. perturbation theorychapter 5. perturbation theory18 22221( )12( )21( )1( )2nnnnxxnnxnxn nx(1)(0)*22212( )21( )1( )2nnnnnennxnxn nx dx于是于是212122nnm波函數(shù)的一級(jí)修正：波函數(shù)的一級(jí)修正： )()()0()0()0() 1 (xeehxmmnmnmn(0)*(0)(0)*2(0)( )( )( )( )mnmnmnhx hx dxx xx dx)(nm(0)*222( )12( )21( )1( )2mnnnxnnxnxn nx dx,2,22

27、1212m nm nnnn n5.1 5.1 非簡(jiǎn)并定態(tài)微擾理論非簡(jiǎn)并定態(tài)微擾理論（續(xù)（續(xù)1313） chapter 5. perturbation theorychapter 5. perturbation theory19 5.1 5.1 非簡(jiǎn)并定態(tài)微擾理論非簡(jiǎn)并定態(tài)微擾理論（續(xù)（續(xù)1414） (1)(0),2,22(0)(0)1121( )2nmnmnmmnmxnnn nxee(0)(0)222(0)(0)(0)(0)22121( )( )2nnnnnnnnn nxxeeee)()2)(1()() 1(4)0(2)0(22xnnxnnmnn討論討論：實(shí)事上本題可精確求解實(shí)事上本題可精確求

28、解h2222122phmxxm(0)h222122pmxm這是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的一維線性諧振子的能量算符這是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的一維線性諧振子的能量算符222m 本征函數(shù)本征函數(shù) 2 212( )()xnnnxn ehxmchapter 5. perturbation theorychapter 5. perturbation theory20 5.1 5.1 非簡(jiǎn)并定態(tài)微擾理論非簡(jiǎn)并定態(tài)微擾理論（續(xù)（續(xù)1515） 2112122nennm本征本征能量能量22222241121mmm因因故故 223111222 2nennnmm有微擾時(shí)，有微擾時(shí)，能量的一能量的一級(jí)級(jí)修正修正無微擾諧無微擾諧振子能量振子能量能量

29、的二能量的二級(jí)修正級(jí)修正 chapter 5. perturbation theorychapter 5. perturbation theory21 若若 為度簡(jiǎn)并，則有個(gè)本征函數(shù)為度簡(jiǎn)并，則有個(gè)本征函數(shù)滿足方程滿足方程)0(nekkk,21inieh)0()0(1, 2,)ikijjid*且正交歸一且正交歸一根據(jù)迭加原理，這個(gè)本征函數(shù)的任意線性組合根據(jù)迭加原理，這個(gè)本征函數(shù)的任意線性組合仍是仍是 屬于屬于 本征值的本征函數(shù)本征值的本征函數(shù). .因而因而, ,可由可由這這 個(gè)個(gè)本征函數(shù)線性組合構(gòu)成零級(jí)近似波函數(shù)：本征函數(shù)線性組合構(gòu)成零級(jí)近似波函數(shù)：k 0h)0(nekkiiinc1)0()0

30、(（）（）5.2 5.2 簡(jiǎn)并情況下的微擾理論簡(jiǎn)并情況下的微擾理論將將（）（）代入微擾理論的基本方程：代入微擾理論的基本方程：)0()1 ()1 ()0()0()()(nnnneheh問題是零級(jí)近似波問題是零級(jí)近似波函數(shù)如何??？函數(shù)如何??？chapter 5. perturbation theorychapter 5. perturbation theory22 左乘后，再積分左乘后，再積分 *l 1(0)(0)(0)(1)1()()knniniiheche 得到：得到： 1(0)(0)(0)(1)1() klnnilinliihedchded0iilinliceh0)()0() 1 (（3

31、3）(1)(0)111211(1)(0)212222(1)(0)120 nknkkkkknkhehhchhehchhhec （）（）排列成矩陣形式排列成矩陣形式（2 2）*lilihhd l i5.2 5.2 簡(jiǎn)并情況下的微擾理論簡(jiǎn)并情況下的微擾理論（續(xù)（續(xù)1 1）chapter 5. perturbation theorychapter 5. perturbation theory23 方程組方程組(3)(3)有非零解的條件是系數(shù)行列式等于零有非零解的條件是系數(shù)行列式等于零, ,即即(1)11121(1)21222(1)120 nknkkkkknhehhhhehhhhe （）（）)1(nje

32、由由(2)(2)式分別求出式分別求出 ，代入久期方程（，代入久期方程（5 5）式，可求）式，可求得得 的根的根 ，此即為能量的一級(jí)，此即為能量的一級(jí)修正。修正。lih)1(ne), 2 , 1(kjk) 0(nenkenje2ne1ne能量的一級(jí)近似：能量的一級(jí)近似：)1()0(njnnjeee（6 6）5.2 5.2 簡(jiǎn)并情況下的微擾理論簡(jiǎn)并情況下的微擾理論（續(xù)（續(xù)2 2）能能級(jí)級(jí)分分裂裂chapter 5. perturbation theorychapter 5. perturbation theory24 (1). (1). 若若 的的 個(gè)根個(gè)根 都不相等，則一級(jí)微擾都不相等，則一級(jí)微

33、擾將簡(jiǎn)并度完全消除；如果要求二級(jí)修正，再應(yīng)用非將簡(jiǎn)并度完全消除；如果要求二級(jí)修正，再應(yīng)用非簡(jiǎn)并微擾方法進(jìn)行。簡(jiǎn)并微擾方法進(jìn)行。 1ne(1)njek (2). (2). 若若 的的 個(gè)根部分相等，則簡(jiǎn)并度部分解除，個(gè)根部分相等，則簡(jiǎn)并度部分解除，這時(shí)須再次利用簡(jiǎn)并微擾法考慮能量二級(jí)修正才有可這時(shí)須再次利用簡(jiǎn)并微擾法考慮能量二級(jí)修正才有可能進(jìn)一步解除簡(jiǎn)并，依次進(jìn)行下去，直到簡(jiǎn)并度完全能進(jìn)一步解除簡(jiǎn)并，依次進(jìn)行下去，直到簡(jiǎn)并度完全消除。消除。 1nek ( ().).若若 的的 個(gè)根完全相等，則一級(jí)微擾不能消個(gè)根完全相等，則一級(jí)微擾不能消除簡(jiǎn)并，必須繼續(xù)利用簡(jiǎn)并微擾法考慮高階修正。除簡(jiǎn)并，必須繼續(xù)

34、利用簡(jiǎn)并微擾法考慮高階修正。 1nek求零級(jí)近似波函數(shù)求零級(jí)近似波函數(shù) 討論討論 將能量一級(jí)修正將能量一級(jí)修正 的的 個(gè)根分別代回方程（個(gè)根分別代回方程（4 4） 1nek5.2 5.2 簡(jiǎn)并情況下的微擾理論簡(jiǎn)并情況下的微擾理論（續(xù)（續(xù)3 3）chapter 5. perturbation theorychapter 5. perturbation theory25 00njjiiic(7)即即(1)(0)111211(1)(0)212222(1)(0)120 n jkjn jkjkkk kn jk jhehhchhehchhhec 由此分別求得由此分別求得 組組 的值，即可求得零級(jí)近似波函數(shù)

35、的值，即可求得零級(jí)近似波函數(shù)k 0ijc而這組而這組 中，至少有一個(gè)要用歸一化條件求得中，至少有一個(gè)要用歸一化條件求得)0(jic(0)*(0)(0)*(0)*11ffninjijdccd (0)*(0)iji jcc(0)*(0)ijijcc(8)5.2 5.2 簡(jiǎn)并情況下的微擾理論簡(jiǎn)并情況下的微擾理論（續(xù)（續(xù)4 4）chapter 5. perturbation theorychapter 5. perturbation theory26 在沒有外場(chǎng)作用的情況下，氫原子中的電子受原子在沒有外場(chǎng)作用的情況下，氫原子中的電子受原子核球?qū)ΨQ庫侖場(chǎng)的作用，其哈米頓算符、能級(jí)和本征核球?qū)ΨQ庫侖場(chǎng)的作

36、用，其哈米頓算符、能級(jí)和本征函數(shù)為：函數(shù)為：2222ehmr 42222nme zen ( , , )( )( , )nlmnllmrrr y 這里能級(jí)由主量子數(shù)決定，與和無關(guān)，第這里能級(jí)由主量子數(shù)決定，與和無關(guān)，第個(gè)能級(jí)個(gè)能級(jí) 是是 度簡(jiǎn)并度簡(jiǎn)并的的。2nnenlmn19131913年德國(guó)物理學(xué)家斯塔克發(fā)現(xiàn)，處于外電場(chǎng)中年德國(guó)物理學(xué)家斯塔克發(fā)現(xiàn)，處于外電場(chǎng)中的原子，其光譜發(fā)生分裂。不難理解：的原子，其光譜發(fā)生分裂。不難理解：譜線分裂是由譜線分裂是由于能級(jí)分裂引起，而能級(jí)的分裂是由于系統(tǒng)的某種對(duì)于能級(jí)分裂引起，而能級(jí)的分裂是由于系統(tǒng)的某種對(duì)稱性受到破壞的結(jié)果。稱性受到破壞的結(jié)果。5.3 5.3

37、 氫原子的一級(jí)斯塔克效應(yīng)氫原子的一級(jí)斯塔克效應(yīng)chapter 5. perturbation theorychapter 5. perturbation theory27 設(shè)外電場(chǎng)設(shè)外電場(chǎng) 是均勻的，方向沿是均勻的，方向沿 軸。由于一般外場(chǎng)軸。由于一般外場(chǎng)強(qiáng)度在強(qiáng)度在 伏伏/ /米，而原子內(nèi)的場(chǎng)強(qiáng)約為米，而原子內(nèi)的場(chǎng)強(qiáng)約為 伏伏/ /米，故米，故外電場(chǎng)可視為微擾，則外電場(chǎng)可視為微擾，則: :7101110z 0hhh 22022ehmr coshere ze r 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， （波爾半徑）（波爾半徑） 2n0224)0(288aemee202ame對(duì)應(yīng)四個(gè)狀態(tài)：對(duì)應(yīng)四個(gè)狀態(tài)：5.3 5.3

38、氫原子的一級(jí)斯塔克效應(yīng)氫原子的一級(jí)斯塔克效應(yīng)（續(xù)（續(xù)1 1）chapter 5. perturbation theorychapter 5. perturbation theory28 將零級(jí)近似波函數(shù)將零級(jí)近似波函數(shù) 作展開作展開(0)2（5.3-4） 0000322120000322221000322321100322421 10011() (2),4 211() ()cos ,4 211() ()sin,811() ()sin.8rararairaireaareaareeaareeaa4(0)(0)21iiic5.3 5.3 氫原子的一級(jí)斯塔克效應(yīng)氫原子的一級(jí)斯塔克效應(yīng)（續(xù)（續(xù)2 2）c

39、hapter 5. perturbation theorychapter 5. perturbation theory29 由由 算得的不為零的矩陣元算得的不為零的矩陣元*jijihhd *122112hhhd032000112coscossin32rarreerrdrd daaa 002024040sincos2320dddreraraear040400223232dreraraear03e a10!:naxnnx edxa公式其余矩陣元均為零。其余矩陣元均為零。5.3 5.3 氫原子的一級(jí)斯塔克效應(yīng)氫原子的一級(jí)斯塔克效應(yīng)（續(xù)（續(xù)3 3）chapter 5. perturbation the

40、orychapter 5. perturbation theory30 將以上矩陣元代入代數(shù)方程組將以上矩陣元代入代數(shù)方程組(1)(0)2()0ijijiihec并寫成矩陣形式：并寫成矩陣形式：5.3 5.3 氫原子的一級(jí)斯塔克效應(yīng)氫原子的一級(jí)斯塔克效應(yīng)（續(xù)（續(xù)4 4）有久期有久期方程方程: :(1)20(1)02(1)2(1)23003000000000ee ae aeee(1)(0)201(1)(0)022(1)(0)23(1)(0)243003000000000ee ace aececec（）（）chapter 5. perturbation theorychapter 5. pertu

41、rbation theory31 (1)2(1)22220()()(3)0eee a得到四個(gè)根：得到四個(gè)根：(1)2.1(1)2.2(1)2.300(1)2.43300ee aee aee 5.3 5.3 氫原子的一級(jí)斯塔克效應(yīng)氫原子的一級(jí)斯塔克效應(yīng)（續(xù)（續(xù)5 5）(0)(0)212(0)(0)222(0)(0)23240(0)(1)2220(0)233eee aeeeeee aeee能級(jí)一級(jí)近似能級(jí)一級(jí)近似能級(jí)能級(jí)分裂分裂導(dǎo)致導(dǎo)致譜線譜線分裂分裂(0)1e(0)2e(0)203eeea(0)203eeea(0)2e(0)1echapter 5. perturbation theorychap

42、ter 5. perturbation theory32 5.3 5.3 氫原子的一級(jí)斯塔克效應(yīng)氫原子的一級(jí)斯塔克效應(yīng)（續(xù)（續(xù)6 6）再將再將 的四個(gè)根分別代入上的四個(gè)根分別代入上（）（）式：式：)1(2e（1 1）當(dāng)）當(dāng) 時(shí)，有：時(shí)，有： (1)(1)22.103eee a)0(2)0(1cc0)0(4)0(3 cc則與能級(jí)則與能級(jí) 對(duì)應(yīng)的零級(jí)近似波函數(shù)為對(duì)應(yīng)的零級(jí)近似波函數(shù)為 0)0(23aee(0)(0)(0)(0)(0)2.111221200210()iiicccc（2 2）當(dāng)時(shí)）當(dāng)時(shí) ，有，有(1)(1)22.203eee a )0(2)0(1cc0)0(4)0(3cc則與能級(jí)則與能

43、級(jí) 對(duì)應(yīng)的零級(jí)近似波函數(shù)為：對(duì)應(yīng)的零級(jí)近似波函數(shù)為：(0)203ee a)(210200)0(1)0(2 . 2 cchapter 5. perturbation theorychapter 5. perturbation theory33 則與能級(jí)則與能級(jí) 對(duì)應(yīng)的零級(jí)近似波函數(shù)為：對(duì)應(yīng)的零級(jí)近似波函數(shù)為：(0)2e11 . 2)0(4211)0(34)0(43)0(3)0(4 . 2)0(3 . 2cccc0)0(2)0(1 cc（3 3）當(dāng)時(shí)）當(dāng)時(shí) ，有，有(1)(1)(1)22.32.40eee而而 和和 不同時(shí)為零不同時(shí)為零)0(4c)0(3c說明說明iicd1|2)0()0(2*)0

44、(21 1正交歸一化條件正交歸一化條件 5.3 5.3 氫原子的一級(jí)斯塔克效應(yīng)氫原子的一級(jí)斯塔克效應(yīng)（續(xù)（續(xù)7 7）chapter 5. perturbation theorychapter 5. perturbation theory34 (0)2.1200210(0)2.2200210(0)(0)(0)2.33211421 1(0)2.41(),21(),2.cc電矩平行電矩平行于外電場(chǎng)于外電場(chǎng)電矩反平行電矩反平行于外電場(chǎng)于外電場(chǎng)z z y y z z y y zy電矩垂直電矩垂直于外電場(chǎng)于外電場(chǎng)cos3cos0eaddh相當(dāng)于一電偶極矩位于電場(chǎng)中相當(dāng)于一電偶極矩位于電場(chǎng)中2 2氫原子電偶

45、極矩特性氫原子電偶極矩特性 5.3 5.3 氫原子的一級(jí)斯塔克效應(yīng)氫原子的一級(jí)斯塔克效應(yīng)（續(xù)（續(xù)8 8）chapter 5. perturbation theorychapter 5. perturbation theory35 1.1.當(dāng)當(dāng) 與與 方向相反，方向相反， d, cos103eah 即是即是)0(1 . 20 , cos103eah)0(2 .2即是即是 2.2.當(dāng)當(dāng) 與與 方向相同，方向相同， d/ 2 , cos00h即是即是 或或)0(3 . 2)0(4 .23.3.當(dāng)當(dāng) 與與 相互垂直相互垂直， d3 3氫原子中電子幾率角分布圖象繞氫原子中電子幾率角分布圖象繞z z軸旋轉(zhuǎn)

46、軸旋轉(zhuǎn)5.3 5.3 氫原子的一級(jí)斯塔克效應(yīng)氫原子的一級(jí)斯塔克效應(yīng)（續(xù)（續(xù)9 9）(0)2.3(0)2.4(0)2.2(0)2.1chapter 5. perturbation theorychapter 5. perturbation theory36 從純數(shù)學(xué)角度，變分法是一種求泛函極值的方法。在經(jīng)典從純數(shù)學(xué)角度，變分法是一種求泛函極值的方法。在經(jīng)典力學(xué)中用于求作用量的極值，在光學(xué)中用于求光程極值。這力學(xué)中用于求作用量的極值，在光學(xué)中用于求光程極值。這里我們將用于求微觀體系能量的極值里我們將用于求微觀體系能量的極值 基態(tài)能量?；鶓B(tài)能量。 設(shè)設(shè) 是歸一化波函數(shù)，按體系能量算符的本征函數(shù)系展開

47、是歸一化波函數(shù)，按體系能量算符的本征函數(shù)系展開nnna5.4 5.4 變分法變分法 首先證明：用描寫體系狀態(tài)的任意波函數(shù)首先證明：用描寫體系狀態(tài)的任意波函數(shù) 所算出的能量所算出的能量算符算符 的平均值，總是不小于體系的基態(tài)能量，只有當(dāng)?shù)钠骄担偸遣恍∮隗w系的基態(tài)能量，只有當(dāng) 恰恰是體系的基態(tài)本征函數(shù)是體系的基態(tài)本征函數(shù) 時(shí)，時(shí)， 的平均值才等于基態(tài)能量的平均值才等于基態(tài)能量h0h0e體系能量的體系能量的平均值為平均值為*ha d nmnmnmdhaa,*,mnnmnm na a ed *2|m nn mnnnmnna a eae0neenna1|2chapter 5. perturbatio

48、n theorychapter 5. perturbation theory36 從純數(shù)學(xué)角度，變分法是一種求泛函極值的方法。在經(jīng)典從純數(shù)學(xué)角度，變分法是一種求泛函極值的方法。在經(jīng)典力學(xué)中用于求作用量的極值，在光學(xué)中用于求光程極值。這力學(xué)中用于求作用量的極值，在光學(xué)中用于求光程極值。這里我們將用于求微觀體系能量的極值里我們將用于求微觀體系能量的極值 基態(tài)能量。基態(tài)能量。 設(shè)設(shè) 是歸一化波函數(shù)，按體系能量算符的本征函數(shù)系展開是歸一化波函數(shù)，按體系能量算符的本征函數(shù)系展開nnna5.4 5.4 變分法變分法 首先證明：用描寫體系狀態(tài)的任意波函數(shù)首先證明：用描寫體系狀態(tài)的任意波函數(shù) 所算出的能量所算

49、出的能量算符算符 的平均值，總是不小于體系的基態(tài)能量，只有當(dāng)?shù)钠骄担偸遣恍∮隗w系的基態(tài)能量，只有當(dāng) 恰恰是體系的基態(tài)本征函數(shù)是體系的基態(tài)本征函數(shù) 時(shí)，時(shí)， 的平均值才等于基態(tài)能量的平均值才等于基態(tài)能量h0h0e體系能量的體系能量的平均值為平均值為*ha d nmnmnmdhaa,*,mnnmnm na a ed *2|m nn mnnnmnna a eae0neenna1|2chapter 5. perturbation theorychapter 5. perturbation theory36 從純數(shù)學(xué)角度，變分法是一種求泛函極值的方法。在經(jīng)典從純數(shù)學(xué)角度，變分法是一種求泛函極值的方法

50、。在經(jīng)典力學(xué)中用于求作用量的極值，在光學(xué)中用于求光程極值。這力學(xué)中用于求作用量的極值，在光學(xué)中用于求光程極值。這里我們將用于求微觀體系能量的極值里我們將用于求微觀體系能量的極值 基態(tài)能量?；鶓B(tài)能量。 設(shè)設(shè) 是歸一化波函數(shù)，按體系能量算符的本征函數(shù)系展開是歸一化波函數(shù)，按體系能量算符的本征函數(shù)系展開nnna5.4 5.4 變分法變分法 首先證明：用描寫體系狀態(tài)的任意波函數(shù)首先證明：用描寫體系狀態(tài)的任意波函數(shù) 所算出的能量所算出的能量算符算符 的平均值，總是不小于體系的基態(tài)能量，只有當(dāng)?shù)钠骄?，總是不小于體系的基態(tài)能量，只有當(dāng) 恰恰是體系的基態(tài)本征函數(shù)是體系的基態(tài)本征函數(shù) 時(shí)，時(shí)， 的平均值才等于

51、基態(tài)能量的平均值才等于基態(tài)能量h0h0e體系能量的體系能量的平均值為平均值為*ha d nmnmnmdhaa,*,mnnmnm na a ed *2|m nn mnnnmnna a eae0neenna1|2chapter 5. perturbation theorychapter 5. perturbation theory36 從純數(shù)學(xué)角度，變分法是一種求泛函極值的方法。在經(jīng)典從純數(shù)學(xué)角度，變分法是一種求泛函極值的方法。在經(jīng)典力學(xué)中用于求作用量的極值，在光學(xué)中用于求光程極值。這力學(xué)中用于求作用量的極值，在光學(xué)中用于求光程極值。這里我們將用于求微觀體系能量的極值里我們將用于求微觀體系能量的極

52、值 基態(tài)能量?；鶓B(tài)能量。 設(shè)設(shè) 是歸一化波函數(shù)，按體系能量算符的本征函數(shù)系展開是歸一化波函數(shù)，按體系能量算符的本征函數(shù)系展開nnna5.4 5.4 變分法變分法 首先證明：用描寫體系狀態(tài)的任意波函數(shù)首先證明：用描寫體系狀態(tài)的任意波函數(shù) 所算出的能量所算出的能量算符算符 的平均值，總是不小于體系的基態(tài)能量，只有當(dāng)?shù)钠骄?，總是不小于體系的基態(tài)能量，只有當(dāng) 恰恰是體系的基態(tài)本征函數(shù)是體系的基態(tài)本征函數(shù) 時(shí)，時(shí)， 的平均值才等于基態(tài)能量的平均值才等于基態(tài)能量h0h0e體系能量的體系能量的平均值為平均值為*ha d nmnmnmdhaa,*,mnnmnm na a ed *2|m nn mnnnmnn

53、a a eae0neenna1|2chapter 5. perturbation theorychapter 5. perturbation theory36 從純數(shù)學(xué)角度，變分法是一種求泛函極值的方法。在經(jīng)典從純數(shù)學(xué)角度，變分法是一種求泛函極值的方法。在經(jīng)典力學(xué)中用于求作用量的極值，在光學(xué)中用于求光程極值。這力學(xué)中用于求作用量的極值，在光學(xué)中用于求光程極值。這里我們將用于求微觀體系能量的極值里我們將用于求微觀體系能量的極值 基態(tài)能量?；鶓B(tài)能量。 設(shè)設(shè) 是歸一化波函數(shù)，按體系能量算符的本征函數(shù)系展開是歸一化波函數(shù)，按體系能量算符的本征函數(shù)系展開nnna5.4 5.4 變分法變分法 首先證明：用

54、描寫體系狀態(tài)的任意波函數(shù)首先證明：用描寫體系狀態(tài)的任意波函數(shù) 所算出的能量所算出的能量算符算符 的平均值，總是不小于體系的基態(tài)能量，只有當(dāng)?shù)钠骄担偸遣恍∮隗w系的基態(tài)能量，只有當(dāng) 恰恰是體系的基態(tài)本征函數(shù)是體系的基態(tài)本征函數(shù) 時(shí)，時(shí)， 的平均值才等于基態(tài)能量的平均值才等于基態(tài)能量h0h0e體系能量的體系能量的平均值為平均值為*ha d nmnmnmdhaa,*,mnnmnm na a ed *2|m nn mnnnmnna a eae0neenna1|2chapter 5. perturbation theorychapter 5. perturbation theory36 從純數(shù)學(xué)角度，

55、變分法是一種求泛函極值的方法。在經(jīng)典從純數(shù)學(xué)角度，變分法是一種求泛函極值的方法。在經(jīng)典力學(xué)中用于求作用量的極值，在光學(xué)中用于求光程極值。這力學(xué)中用于求作用量的極值，在光學(xué)中用于求光程極值。這里我們將用于求微觀體系能量的極值里我們將用于求微觀體系能量的極值 基態(tài)能量?；鶓B(tài)能量。 設(shè)設(shè) 是歸一化波函數(shù)，按體系能量算符的本征函數(shù)系展開是歸一化波函數(shù)，按體系能量算符的本征函數(shù)系展開nnna5.4 5.4 變分法變分法 首先證明：用描寫體系狀態(tài)的任意波函數(shù)首先證明：用描寫體系狀態(tài)的任意波函數(shù) 所算出的能量所算出的能量算符算符 的平均值，總是不小于體系的基態(tài)能量，只有當(dāng)?shù)钠骄?，總是不小于體系的基態(tài)能量，

56、只有當(dāng) 恰恰是體系的基態(tài)本征函數(shù)是體系的基態(tài)本征函數(shù) 時(shí)，時(shí)， 的平均值才等于基態(tài)能量的平均值才等于基態(tài)能量h0h0e體系能量的體系能量的平均值為平均值為*ha d nmnmnmdhaa,*,mnnmnm na a ed *2|m nn mnnnmnna a eae0neenna1|2chapter 5. perturbation theorychapter 5. perturbation theory36 從純數(shù)學(xué)角度，變分法是一種求泛函極值的方法。在經(jīng)典從純數(shù)學(xué)角度，變分法是一種求泛函極值的方法。在經(jīng)典力學(xué)中用于求作用量的極值，在光學(xué)中用于求光程極值。這力學(xué)中用于求作用量的極值，在光學(xué)中用

57、于求光程極值。這里我們將用于求微觀體系能量的極值里我們將用于求微觀體系能量的極值 基態(tài)能量?；鶓B(tài)能量。 設(shè)設(shè) 是歸一化波函數(shù)，按體系能量算符的本征函數(shù)系展開是歸一化波函數(shù)，按體系能量算符的本征函數(shù)系展開nnna5.4 5.4 變分法變分法 首先證明：用描寫體系狀態(tài)的任意波函數(shù)首先證明：用描寫體系狀態(tài)的任意波函數(shù) 所算出的能量所算出的能量算符算符 的平均值，總是不小于體系的基態(tài)能量，只有當(dāng)?shù)钠骄?，總是不小于體系的基態(tài)能量，只有當(dāng) 恰恰是體系的基態(tài)本征函數(shù)是體系的基態(tài)本征函數(shù) 時(shí)，時(shí)， 的平均值才等于基態(tài)能量的平均值才等于基態(tài)能量h0h0e體系能量的體系能量的平均值為平均值為*ha d nmnm

58、nmdhaa,*,mnnmnm na a ed *2|m nn mnnnmnna a eae0neenna1|2chapter 5. perturbation theorychapter 5. perturbation theory36 從純數(shù)學(xué)角度，變分法是一種求泛函極值的方法。在經(jīng)典從純數(shù)學(xué)角度，變分法是一種求泛函極值的方法。在經(jīng)典力學(xué)中用于求作用量的極值，在光學(xué)中用于求光程極值。這力學(xué)中用于求作用量的極值，在光學(xué)中用于求光程極值。這里我們將用于求微觀體系能量的極值里我們將用于求微觀體系能量的極值 基態(tài)能量?；鶓B(tài)能量。 設(shè)設(shè) 是歸一化波函數(shù)，按體系能量算符的本征函數(shù)系展開是歸一化波函數(shù)，按

59、體系能量算符的本征函數(shù)系展開nnna5.4 5.4 變分法變分法 首先證明：用描寫體系狀態(tài)的任意波函數(shù)首先證明：用描寫體系狀態(tài)的任意波函數(shù) 所算出的能量所算出的能量算符算符 的平均值，總是不小于體系的基態(tài)能量，只有當(dāng)?shù)钠骄担偸遣恍∮隗w系的基態(tài)能量，只有當(dāng) 恰恰是體系的基態(tài)本征函數(shù)是體系的基態(tài)本征函數(shù) 時(shí)，時(shí)， 的平均值才等于基態(tài)能量的平均值才等于基態(tài)能量h0h0e體系能量的體系能量的平均值為平均值為*ha d nmnmnmdhaa,*,mnnmnm na a ed *2|m nn mnnnmnna a eae0neenna1|2chapter 5. perturbation theoryc

60、hapter 5. perturbation theory36 從純數(shù)學(xué)角度，變分法是一種求泛函極值的方法。在經(jīng)典從純數(shù)學(xué)角度，變分法是一種求泛函極值的方法。在經(jīng)典力學(xué)中用于求作用量的極值，在光學(xué)中用于求光程極值。這力學(xué)中用于求作用量的極值，在光學(xué)中用于求光程極值。這里我們將用于求微觀體系能量的極值里我們將用于求微觀體系能量的極值 基態(tài)能量?；鶓B(tài)能量。 設(shè)設(shè) 是歸一化波函數(shù)，按體系能量算符的本征函數(shù)系展開是歸一化波函數(shù)，按體系能量算符的本征函數(shù)系展開nnna5.4 5.4 變分法變分法 首先證明：用描寫體系狀態(tài)的任意波函數(shù)首先證明：用描寫體系狀態(tài)的任意波函數(shù) 所算出的能量所算出的能量算符算符