211隨機(jī)變量及其分布

1、ch2 ch2 隨機(jī)變量的分布和數(shù)字特征隨機(jī)變量的分布和數(shù)字特征2.1 2.1 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布引例引例: :.,:)(觀觀察察其其出出現(xiàn)現(xiàn)的的點(diǎn)點(diǎn)數(shù)數(shù)擲擲一一顆顆骰骰子子11 e,6543211.:)(數(shù)數(shù)位位時(shí)時(shí)間間內(nèi)內(nèi)收收到到的的呼呼喚喚次次某某地地區(qū)區(qū)電電話(huà)話(huà)交交換換臺(tái)臺(tái)在在單單22 e,32102.,:)(測(cè)測(cè)試試它它的的壽壽命命只只在在一一批批燈燈泡泡中中任任意意取取一一33 e03tt.,:)(的的情情況況觀觀察察其其正正面面和和反反面面出出現(xiàn)現(xiàn)拋拋一一枚枚均均勻勻硬硬幣幣44 e,反面反面正面正面4)(x出現(xiàn)正面出現(xiàn)正面出現(xiàn)反面出現(xiàn)反面10.,:)(直直到到首首

2、次次出出現(xiàn)現(xiàn)正正面面為為止止拋拋一一枚枚均均勻勻硬硬幣幣55 e),( ,),(),( ,正正反反反反正正反反反反正正反反正正52.1.1 2.1.1 隨機(jī)變量的概念隨機(jī)變量的概念.)(.)(,.,:一一個(gè)個(gè)實(shí)實(shí)值值函函數(shù)數(shù)上上的的是是定定義義在在則則與與之之對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)都都有有唯唯一一的的實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)如如果果對(duì)對(duì)于于每每一一個(gè)個(gè)是是其其樣樣本本空空間間是是一一個(gè)個(gè)隨隨機(jī)機(jī)試試驗(yàn)驗(yàn)設(shè)設(shè)xxxedef.,)(xx簡(jiǎn)簡(jiǎn)記記為為為為隨隨機(jī)機(jī)變變量量那那么么我我們們稱(chēng)稱(chēng)這這種種變變量量)(x000100101143210001001011.,個(gè)個(gè)基基本本特特征征具具有有變變異異性性和和隨隨機(jī)機(jī)性性?xún)蓛杀肀硎臼?/p>

3、或或隨隨機(jī)機(jī)變變量量常常用用zyx例例1 1:.:連續(xù)進(jìn)行兩次射擊連續(xù)進(jìn)行兩次射擊隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn)e.)(.,),(),(),(),(表表示示擊擊中中目目標(biāo)標(biāo)的的次次數(shù)數(shù)表表示示擊擊中中目目標(biāo)標(biāo)表表示示未未擊擊中中目目標(biāo)標(biāo)其其中中樣樣本本空空間間x10110110004321)(x211043211.1.定義定義例例2 2:,:個(gè)球個(gè)球中任取中任取個(gè)白球個(gè)白球和和個(gè)黑球個(gè)黑球從含有從含有隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn)33232121bbbaae.)(,個(gè)個(gè)球球中中所所含含黑黑球球個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)表表示示取取出出樣樣本本空空間間310321x)(x)(x),(1211baa),(2212baa),(3213baa),

4、(2114bba),(3115bba),(3216bba),(2127bba),(3128bba),(3229bba),(32110bbb2221111110)( ,)(,11xxxx可記為可記為可記為可記為一般的一般的,:10542黑黑球球取取出出的的球球中中最最多多有有一一個(gè)個(gè)事事件件中中如如例例a)(1xa)(y)(y),(1211baa),(2212baa),(3213baa),(2114bba),(3115bba),(3216bba),(2127bba),(3128bba),(3229bba),(32110bbb1112222223注1.1.隨機(jī)試驗(yàn)的隨機(jī)變量并不是唯一的隨機(jī)試驗(yàn)的隨

5、機(jī)變量并不是唯一的, ,是人為定義是人為定義的的.2.2.隨機(jī)變量把試驗(yàn)的每一個(gè)結(jié)果可唯一對(duì)應(yīng)一隨機(jī)變量把試驗(yàn)的每一個(gè)結(jié)果可唯一對(duì)應(yīng)一個(gè)實(shí)數(shù)個(gè)實(shí)數(shù), ,但是一個(gè)實(shí)數(shù)并不對(duì)應(yīng)唯一的試驗(yàn)結(jié)果但是一個(gè)實(shí)數(shù)并不對(duì)應(yīng)唯一的試驗(yàn)結(jié)果. .)(,也也是是一一個(gè)個(gè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量則則球球個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)表表示示所所取取出出球球中中所所含含白白若若令令同同理理yy變異性與變異性與隨機(jī)性隨機(jī)性2. 2. 隨機(jī)變量的分類(lèi)隨機(jī)變量的分類(lèi).:)(個(gè)個(gè)值值是是有有限限個(gè)個(gè)或或無(wú)無(wú)窮窮可可列列隨隨機(jī)機(jī)變變量量的的所所有有可可能能取取離離散散型型1.,:)2(是是連連續(xù)續(xù)型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量其其中中最最簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單的的列列舉舉所所有有可

6、可能能取取值值不不能能一一一一非非離離散散型型.,:甚甚至至于于整整個(gè)個(gè)實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)軸軸上上的的某某個(gè)個(gè)區(qū)區(qū)間間其其取取值值可可能能充充滿(mǎn)滿(mǎn)實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)軸軸連連續(xù)續(xù)型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量2.1.2 2.1.2 離散型隨機(jī)變量的概率分布離散型隨機(jī)變量的概率分布.,:.為為離離散散型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量則則稱(chēng)稱(chēng)個(gè)個(gè)或或無(wú)無(wú)窮窮可可列列個(gè)個(gè)的的所所有有可可能能取取值值是是有有限限如如果果隨隨機(jī)機(jī)變變量量定定義義xx1).(,), 2 , 1(,:. 2列列簡(jiǎn)簡(jiǎn)稱(chēng)稱(chēng)分分布布律律的的概概率率分分布布又又稱(chēng)稱(chēng)的的概概率率函函數(shù)數(shù)為為稱(chēng)稱(chēng)可可能能取取的的一一切切值值為為設(shè)設(shè)離離散散型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量概概率率函函數(shù)數(shù)的

7、的定定義義xxkpxxpxxkkkxpkxxx21kppp21.,些些值值時(shí)時(shí)的的概概率率一一切切可可能能取取值值以以及及取取這這的的就就是是要要找找出出量量的的分分布布律律要要求求一一個(gè)個(gè)離離散散型型隨隨機(jī)機(jī)變變從從定定義義可可知知x: )(概率分布表概率分布表式式也可以寫(xiě)成如下表格形也可以寫(xiě)成如下表格形例例3 3:.的概率分布的概率分布中隨機(jī)變量中隨機(jī)變量求例求例x2.,:個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)這這的的可可能能取取值值為為基基本本事事件件總總數(shù)數(shù)為為解解321035xc210335332332,:,.,kccckxpxcckkxkkkk的的概概率率分分布布為為所所以以個(gè)個(gè)基基本本事事件件則則含含有有個(gè)個(gè)

8、黑黑球球個(gè)個(gè)球球中中有有表表示示取取出出的的事事件件103106101210px:其其概概率率分分布布表表為為3. 3.離散型隨機(jī)變量概率分布的性質(zhì)離散型隨機(jī)變量概率分布的性質(zhì))()()(,)(:歸一性歸一性非負(fù)性非負(fù)性基本性質(zhì)基本性質(zhì)122101nnnnpnxxpp.,隨隨機(jī)機(jī)變變量量的的概概率率分分布布散散型型則則一一定定可可以以成成為為一一個(gè)個(gè)離離滿(mǎn)滿(mǎn)足足上上面面兩兩式式若若某某一一數(shù)數(shù)列列反反之之np例例4 4:.,.,概概率率分分布布這這個(gè)個(gè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量的的求求取取到到球球上上號(hào)號(hào)碼碼反反比比的的概概率率與與球球上上的的號(hào)號(hào)碼碼成成假假定定取取到到各各個(gè)個(gè)球球從從中中任任取取一一

9、個(gè)個(gè)的的球球若若干干個(gè)個(gè)袋袋中中有有標(biāo)標(biāo)號(hào)號(hào)為為x4321),(,:04321144321nnnxppxn則則個(gè)值個(gè)值共共可取可取解解2512112251432141,:,:解得解得即即質(zhì)質(zhì)則由概率函數(shù)的基本性則由概率函數(shù)的基本性nnp:,的的概概率率分分布布表表如如下下得得到到中中代代入入到到將將xpn251225325425625124321px的概率？的概率？碼不超過(guò)碼不超過(guò)思考：取到的球上的號(hào)思考：取到的球上的號(hào)3252225425625123213xpxpxpxp大部分情況，我們往往關(guān)注隨機(jī)變量的取值落入某一范大部分情況，我們往往關(guān)注隨機(jī)變量的取值落入某一范圍的概率，尤其對(duì)于連續(xù)型隨

10、機(jī)變量（因?yàn)椴豢蓴?shù)）圍的概率，尤其對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量（因?yàn)椴豢蓴?shù)）.2.1.3 2.1.3 隨機(jī)變量的分布函數(shù)隨機(jī)變量的分布函數(shù)1.1.分布函數(shù)的定義分布函數(shù)的定義.)()(,:為隨機(jī)變量的分布函數(shù)為隨機(jī)變量的分布函數(shù)則稱(chēng)函數(shù)則稱(chēng)函數(shù)是任意一個(gè)隨機(jī)變量是任意一個(gè)隨機(jī)變量設(shè)設(shè)xxpxfrxxdef易見(jiàn)，離散型隨機(jī)變量概率函數(shù)與分布函數(shù)的關(guān)系易見(jiàn)，離散型隨機(jī)變量概率函數(shù)與分布函數(shù)的關(guān)系xxkkpxxpxf)(例例5 5:.的分布函數(shù)的分布函數(shù)中隨機(jī)變量中隨機(jī)變量求例求例x2:中中求求出出的的分分布布律律已已在在例例解解3x103106101210px21211071010100 xxxxxxpxf

11、x)(:的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為則則110721101x)(xfp41.,反反之之亦亦成成立立時(shí)時(shí)的的概概率率跳跳躍躍度度是是取取值值為為的的可可能能取取值值是是其其跳跳躍躍點(diǎn)點(diǎn)數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)是是右右連連續(xù)續(xù)的的階階梯梯函函離離散散型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量的的分分布布kkkpxxx例例6 6:.)(的概率分布的概率分布求求的分布函數(shù)的分布函數(shù)設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量xxxxxxxfx2120210210325515021102101512025px解解：2. 2. 分布函數(shù)的性質(zhì)分布函數(shù)的性質(zhì))()(,:.21211xfxfxx則則若若單調(diào)不減性單調(diào)不減性)()()()(:,:212121xfbpapx

12、fbaxxxxbxxapr由概率的性質(zhì)由概率的性質(zhì)則則若若記記事實(shí)上事實(shí)上10102)(lim)(,)(lim)(,)(.xffxffxfxx且且)()(lim)(,:.,)(:.xfyfxfrxxfxy003即即續(xù)續(xù)的的且且在在其其間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)處處是是右右連連有有至至多多可可列列個(gè)個(gè)間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)右右連連續(xù)續(xù)性性.,),(,機(jī)變量的分布函數(shù)機(jī)變量的分布函數(shù)則一定可以稱(chēng)為某個(gè)隨則一定可以稱(chēng)為某個(gè)隨條性質(zhì)條性質(zhì)若滿(mǎn)足上述若滿(mǎn)足上述一個(gè)實(shí)值函數(shù)一個(gè)實(shí)值函數(shù)反之反之條性質(zhì)條性質(zhì)有上述有上述隨機(jī)變量的分布函數(shù)具隨機(jī)變量的分布函數(shù)具33rxxf)()(afaxpaxp112)()(axpafaxp3)()(0114afaxpaxp例例7 7:.,),()(34210xpxpxxfxxnn及及求求的正整數(shù)求和的正整數(shù)求和一切不大于一切不大于其中求和是對(duì)其中求和是對(duì)如圖如圖的分布函數(shù)的分布函數(shù)已知隨機(jī)變量已知隨機(jī)變量4321321)()()(afbfaxpbxpbxap13. 3.由分布