桿件橫截面上的應力

1、第一節(jié) 基本概念第二節(jié) 軸向拉壓桿的應力應力應變胡克定律橫截面上的應力斜截面上的應力應力應力:桿件截面上的分布內力集度桿件截面上的分布內力集度AFp平均應力平均應力AFAFpAddlim0p正應力正應力切應力切應力應力特征應力特征 :（1）必須明確截面及點的位置）必須明確截面及點的位置;（2）是矢量）是矢量,1)正應力正應力: 拉為正拉為正, 2) 切應力切應力順時針為正順時針為正;（3）單位）單位:Pa(帕帕)和和MPa(兆帕兆帕) 1MPa=106PaF AF 桿原長為桿原長為l,直徑為直徑為d。受一對軸向拉力。受一對軸向拉力F的作用的作用,發(fā)生變發(fā)生變形。變形后桿長為形。變形后桿長為l1

2、,直徑為直徑為d1。其中其中:拉應變拉應變?yōu)檎秊檎?壓應變壓應變?yōu)樨?。為負?lllll1軸向軸向(縱向縱向)應變應變： 研究一點的線應變研究一點的線應變:取單元體積為取單元體積為xyzxxxxxxddlim0該點沿該點沿x軸方向的線應變?yōu)檩S方向的線應變?yōu)? x方向原長為方向原長為x,變形變形后其長度改變量為后其長度改變量為x應變應變Oxyzx橫向應變橫向應變： ddddd1胡克定律胡克定律 實驗表明實驗表明,在比例極限內在比例極限內,桿的軸向變形桿的軸向變形l與外力與外力F及桿長及桿長l成正比成正比,與橫截面積與橫截面積A成反成反比。即比。即:AFll 引入比例常數(shù)引入比例常數(shù)E,有有:EA

3、lFEAFllN-胡克定律胡克定律其中其中:E-彈性模量彈性模量,單位為單位為Pa; EA-桿的抗拉（壓）剛度。桿的抗拉（壓）剛度。 胡克定律的另一形式胡克定律的另一形式:E 實驗表明實驗表明,橫向應變與縱向應變之比為一常數(shù)橫向應變與縱向應變之比為一常數(shù)-稱為稱為橫橫向變形系數(shù)（泊松比）向變形系數(shù)（泊松比）|EG G-切變模量切變模量FF1122112 2 假設假設: 平面假設平面假設 橫截面上各橫截面上各點處僅存在正應點處僅存在正應力并沿截面均勻力并沿截面均勻分布分布。AFAFN拉應力拉應力為為正正,壓壓應力應力為為負負。 對于等直桿對于等直桿 當有多段軸力時當有多段軸力時,最大軸力所對應的

4、最大軸力所對應的截面截面-危險截面危險截面。 危險截面上的正應力危險截面上的正應力-最大工作應力最大工作應力AFmax,NmaxFNFFNF拉壓桿橫截面上的應力拉壓桿橫截面上的應力FN:橫截面上的軸力橫截面上的軸力A:橫截面的面積橫截面的面積橫截面橫截面-是指垂直桿軸線方向的截面是指垂直桿軸線方向的截面;斜截面斜截面-是指任意方位的截面。是指任意方位的截面。FFFNFppcoscos0AFp2coscos p2sin2sin0 p全應力全應力:正應力正應力:切應力切應力:1） =00時時, max2）450時時, max=/2 拉壓桿斜截面上的應力拉壓桿斜截面上的應力 試計算圖示桿件1-1、2

5、-2、和3-3截面上正應力.已知橫截面面積A=2103mm220KN20KN40KN40KN33221120kN40kNMPa1011 022 MPa2033 試求圖示結構AB桿橫截面上的正應力。已知F=30KN,A=400mm2FDBCAaaaFNAB02aFaFABNFFNAB2MPaAFNAB150 圖示直桿,其抗拉剛度為EA,試求桿件的軸向變形L,B點的位移B和C點的位移CFBCALLFEAFLLABB EAFLBC 梁彎曲時橫截面上的正應力與切應力梁彎曲時橫截面上的正應力與切應力,分別稱分別稱為為彎曲正應力彎曲正應力與與彎曲切應力彎曲切應力。MSFMFSFSM 純彎曲時梁橫截面上的正

6、應力純彎曲時梁橫截面上的正應力 純彎曲:梁受力彎曲后,如其橫截面上只有彎矩而無剪力,這種彎曲稱為純彎曲。 純彎曲時梁橫截面上的正應力純彎曲時梁橫截面上的正應力aFACaFBDFFFa實驗現(xiàn)象:1 1、變形前互相平行的縱向直線、變形前互相平行的縱向直線、變形后變成弧線變形后變成弧線, ,且凹邊纖維縮短、且凹邊纖維縮短、凸邊纖維伸長。凸邊纖維伸長。2 2、變形前垂直于縱向線的橫向、變形前垂直于縱向線的橫向線線, ,變形后仍為直線變形后仍為直線, ,且仍與彎曲了且仍與彎曲了的縱向線正交的縱向線正交, ,但兩條橫向線間相但兩條橫向線間相對轉動了一個角度。對轉動了一個角度。中性軸中性軸: : 中性層與橫

7、截面的交線稱中性層與橫截面的交線稱為中性軸。為中性軸。平面假設平面假設: : 變形前桿件的橫截面變形后仍變形前桿件的橫截面變形后仍為平面。為平面。mmnnFF中性層中性軸m1onn2omzzIyMMMZ Z: :橫截面上的彎矩橫截面上的彎矩y y: :到中性軸的距離到中性軸的距離I IZ Z: :截面對中性軸的慣性矩截面對中性軸的慣性矩dxmmnnozyoMM中性軸yzdA zWxMmaxM中性軸MzzWMmax橫截面上正應橫截面上正應力的畫法力的畫法: M min maxM min max 線彈性范圍線彈性范圍正應力小于比例極限正應力小于比例極限 p; 精確適用于純彎曲梁精確適用于純彎曲梁;

8、 對于橫力彎曲的細長梁對于橫力彎曲的細長梁(跨度與截面高度比跨度與截面高度比L/h5),上述公上述公式的誤差不大式的誤差不大,但公式中的但公式中的M應為所研究截面上的彎矩應為所研究截面上的彎矩,即為截即為截面位置的函數(shù)。面位置的函數(shù)。zzEIxMxIyxM)()(1)(，公式適用范圍公式適用范圍:三種典型截面對中性軸的慣性矩三種典型截面對中性軸的慣性矩IbhZ312IdZ464IDdDZ()()444464641CL8TU6,WbhZ26,WdZ332WDZ34321 () 長為l的矩形截面懸臂梁,在自由端作用一集中力F,已知b120mm,h180mm、l2m，F(xiàn)1.6kN，試求B截面上a、b

9、、c各點的正應力。2lF2lABCbh6h2habcFLFLMB21123bhIZZaBaIyM123213bhhFLMPa65. 10bZcBcIyM122213bhhFLMPa47. 2（壓） 圖示T形截面簡支梁在中點承受集中力F32kN,梁的長度L2m。T形截面的形心坐標yc96.4mm,橫截面對于z軸的慣性矩Iz1.02108mm4。求彎矩最大截面上的最大拉應力和最大壓應力。2l2lABF4maxFLMkNm164 .9650200maxymm6 .153mmy4 .96maxzy.96ZIMymaxmaxMPa09.24ZIMymaxmaxMPa12.15如

10、圖所示懸臂梁如圖所示懸臂梁,自由端承受集中載荷自由端承受集中載荷F=15kN作用。試計算截面作用。試計算截面B-B的最大彎曲拉應力與最大彎曲壓應力。的最大彎曲拉應力與最大彎曲壓應力。 解解: 1確定截面形心位置確定截面形心位置 選參考坐標系選參考坐標系zoy如圖示如圖示,將截面分解為將截面分解為I和和II兩部分兩部分,形心形心C的縱坐標為的縱坐標為: m045. 012. 002. 002. 012. 006. 002. 012. 002. 001. 002. 012. 0cy46231m1002. 301. 0045. 002. 012. 012)02. 0(12. 0zI2計算截面慣性矩計

11、算截面慣性矩2012020120單位：單位：mmIIIzzyCcyFmm400BB46232m1082. 5045. 008. 012. 002. 012)12. 0(02. 0zI4-6-66m108.84105.081002. 3zI3 計算最大彎曲正應力計算最大彎曲正應力 截面截面BB的彎矩為的彎矩為:mN60004 . 0 FMB 在截面在截面B的上、下邊緣的上、下邊緣,分別作用有最大拉應力和最大壓應力分別作用有最大拉應力和最大壓應力,其值分其值分別為別為:MPa5 .64Pa1045. 61084. 8045. 002. 012. 06000MPa5 .30Pa1005. 31084

12、. 8045. 0600076-max,76-max,clxdydtxyzxytd)d(yxtd)d( 在相互垂直的兩個平面上,切應力必然成對存在,且數(shù)值相等,兩者都垂直于兩個平面的交線，方向則共同指向或共同背離這一交線。 切應力互等定理:一、矩形截面梁的切應力一、矩形截面梁的切應力假設假設:1、橫截面上的方向與FS平行2、沿截面寬度是均勻分布的zyFs 7-5梁橫截面上的切應力byyz2h2hFaadA1yA1NF2NFxdx112212aayyMdMM yaa12dxb0*1*2bdxFFyNN*1*1ANdAF*1AzdAIMy*1AzdAyIM*2*2ANdAF*1AzdAIydMMb

13、dxdAyIdMyAz*1zSdxdMbISzzy*bISFzzs*bhz式中符號意義式中符號意義: :截面上距中性軸截面上距中性軸y處的剪應力處的剪應力 ：y以外面積對中性軸的靜矩以外面積對中性軸的靜矩*zS ：整個截面對中性軸的慣性矩：整個截面對中性軸的慣性矩zIb:y處的寬度處的寬度y對于矩形對于矩形:czyAS*cyc22)2(yhyyhb)4(222yhbbISFzzS3121bhIz而而 因此矩形截面梁橫截面上因此矩形截面梁橫截面上的切應力的大小沿著梁的高度的切應力的大小沿著梁的高度按按拋物線拋物線規(guī)律分布。規(guī)律分布。在上下邊緣處在上下邊緣處:;0,2hy32S4123hybhFb

14、hFSmax23y = 0,AFS23zbh max圖示矩形截面簡支梁受均布荷載作用,分別求最大剪力所在的截面上a,b,c三點處的切應力。（1）作出剪力圖 （2）各點處的切應力44331058321218012012mmbhIZMPabIQSZZa252012010583270401201025543.)(.*MPabIQSZZb365012010583245901201025543.)(.*MPabIQSZZc0120105832001201025543)(.*矩形截面簡支梁,加載于梁中點C,如圖示。求max , max 。F2l2lhb4maxFLM62bhWZZWMmaxmax2614b

15、hFL223bhFL2maxFFsAFs23maxbhF223bhF43maxmaxbhFbhFL43232hL2maxmin二、工字形截面梁的切應力二、工字形截面梁的切應力 橫截面上的切應力(95-97)由腹板承擔,而翼緣僅承擔了(3-5) ,且翼緣上的切應力情況又比較復雜.為了滿足實際工程中計算和設計的需要僅分析腹板上的切應力.dISFZzs*zdbhh0t*maxZZSI三、圓形和圓環(huán)形截面梁的最大切應力三、圓形和圓環(huán)形截面梁的最大切應力zydAFS34max42dADdAFS2maxA為圓環(huán)形截面面積 圖示外伸梁,荷載、T形截面對中性軸的慣性矩IZ 及形心位置已標在圖上,試求梁的最大切

16、應力。 解解 （1）作剪力圖,可知危險截面在BC梁段上, （2）梁的最大切應力發(fā)生在梁段任意截面的中性軸處kNQ20MPadIQSZ86. 1501020420)5 .9719550(102043max*maxT形梁尺寸及所受荷載如圖所示形梁尺寸及所受荷載如圖所示, 已知已知 y=100MPa,yc=17.5mm,Iz=18.2104mm4。求。求:1)C左側截面左側截面E點點的正應力、切應力的正應力、切應力;CABm1kN1kN/m1m1m140401010yczE1FS0.250.75(kN)_+M(kN.m)0.250.5+_kN75. 1kN25. 0) 1CAFF，求支座反力：解：m

17、kN25. 0mkN5 . 0kN1kN75. 0)2,BCCSCSSMMFFMF，圖如右：、作梁的右左平面應力狀態(tài)的應力分析平面應力狀態(tài)的應力分析 主應力主應力一、公式推導:ax y cx b ay c n x yyx 0 F 0 nFdAcoscosdAxsincosdAxcossindAysinsindAy0dAsincosdAxcoscosdAxsinsindAycossindAy022cos1cos222cos1sin2yx xy 22cos2yx2sinx 2sin2yx2cosx二、符號規(guī)定: 由由x x正向逆時針轉到正向逆時針轉到n n正正向者為正向者為正; ;反之為負。反之為

18、負。nx正正 應應 力力yx拉應力為正拉應力為正x壓應力為負壓應力為負切切 應應 力力 yx 使單元體或其局部順使單元體或其局部順時針方向轉動為正時針方向轉動為正; ;反之為反之為負。負。 某單元體應力如圖所示,其鉛垂方向和水平方向各平面上的應力已知,互相垂直的二斜面ab和bc的外法線分別與x軸成300和600角,試求此二斜面ab和bc上的應力。MPa20MPa103MPa30abc1n xy 22cos2yx2sinx23010030060cos23010060sin20MPa32. 2 2sin2yx2cosx03060sin230100060cos20MPa33. 12n23010060

19、0120cos230100120sin20MPa32.42060120sin2301000120cos20MPa33. 1006030yxMPa40在二向應力狀態(tài)下,任意兩個垂直面上,其的和為一常數(shù)。主應力及最大切應力主應力及最大切應力 切應力等于零的截面稱為主平面切應力等于零的截面稱為主平面 由主平面定義由主平面定義,令令 =0可求出兩個相差可求出兩個相差90o的的 0值值,對應兩個互相垂直主平面。對應兩個互相垂直主平面。令令0dd220tan得：得：即主平面上的正應力取得所有方向上的即主平面上的正應力取得所有方向上的極值極值。 主應力大小主應力大小: 223122由由 、 、0按代數(shù)值大小

20、排序得出按代數(shù)值大小排序得出: 10 0 3 0222cossin極值切應力極值切應力: 231max可求出兩個相差可求出兩個相差90o 的的 1,代表兩個相互垂直的極值切應力方代表兩個相互垂直的極值切應力方位。位。0dd102tg12tg (極值切應力平面與主平面成極值切應力平面與主平面成45o)221tan02sin22cos 令令: 7 應力集中的概念Dd/2d/2rmax nom Ddrmax nom 構件幾何形狀不連續(xù)應力集中:幾何形狀不連續(xù)處應力局部增大的現(xiàn)象。應力集中 與桿件的尺寸和所用的材料無關,僅取決于截面突變處幾何參數(shù)的比值。drdrDdor 應力集中程度與外形的驟變程度直接相關應力集中程度與外形的驟變程度直接相關,驟變越劇驟變越劇烈烈,應力集中程度越劇烈。應力集中程度越劇烈。 靜載下靜載下,塑性材料塑性材料可不考慮可不考慮,脆性材料脆性材料（除特殊的（除特殊的,如鑄如鑄鐵）應考慮。鐵）