概率統(tǒng)計第四章隨機變量的數(shù)字特征_-修改

1、概率統(tǒng)計第四章概率統(tǒng)計第四章隨機變量的數(shù)字隨機變量的數(shù)字特征特征主要內容 數(shù)學期望 方差與標準差 協(xié)方差和相關系數(shù) 其它數(shù)字特征 兩個不等式 例1. 設隨機變量XB（5，p），已知 E（X）=1.6，求參數(shù)p. 例2.設隨機變量 ，已知 XEXpXp求,2211 PX P=0.32E(X)=4連續(xù)型隨機變量均勻分布 指數(shù)分布 正態(tài)分布 2:,baXEbaR 1:XEE常用分布的期望XEN:,2隨機變量函數(shù)的期望 584320dxxxdxxxfXEX 15814)(102dyyyydyyyfYEY9164,2)2(220220 dyyxdxdxdyyxfxyXYEx20（2，1） 例4試分別求下

2、列分布的 22XE2XEPX baRX, EX 2,NX3222babaXE222XE222XE數(shù)學期望的性質 性質（3),（4）可以推廣到任意有限個隨機變量上去。nXXXX21（1）設隨機變量 ，則 （2）設隨機變量 , 則 nXEXEXEXE211122nnYk Xk Xk Xc 1122nnE Yk E Xk E Xk E Xc 例5證明二項分布的數(shù)學期望 證: (),1,2,iE Xpin npXEXEXEXEn21nXXXX21npXEpnBX:,1pBXi且相互獨立, XYE(X)=0, E(y）=1E(3X-2Y)=3E(X)-2E(Y)=-2X-1 0 1p1/3 1/3 1/

3、3Y1 0 2p1/3 1/3 1/3例7. 設X，Y相互獨立，X參數(shù)為2的指數(shù)分布， Y參數(shù)為3的指數(shù)分布， 求E（2X+3Y），E（XY）。答：E （2X+3Y）=2E(X)+3E(Y)=2*1/2+3*1/3=2 E（XY）=E(X) E(Y)=1/6例8. 設X，Y相互獨立，XR（2，6）， YR（-1,3） 求E（2X-3Y+3），E（2XY），E(X2).答：由已知可得 E（X）=4， E（Y）=1， E（2X-3Y+3）=2E（X）-3E（Y）+3=8； E（2XY）=2E(X) E(Y)=8； E(X2).=（a2+ab+b2)/3 =（4+12+36）/3=52/3二方差與標

4、準差 定義 常見分布方差 性質 2XEXEXD 22XEXEXD常用分布方差離散型隨機變量連續(xù)型隨機變量 1均勻分布 2指數(shù)分布 3正態(tài)分布 ,R a b2()12baD XE21()D X2,N 2()D X方差性質 2D XYD XD YEXEXYEY（3） 性質（3）、（4）可以推廣到任意有限個相互獨立的隨機變量上去 設 相互獨立，則nXXX,21NoImageniiniiXDXD11211nniiiiiiDk Xck DX解：設 X B（n,p）, 則X=X1+X2+Xn ，XiB(1,p)且相互 立，D（Xi)=p(1-p), 由性質得 D（X）=D (X1)+D(X2)+D(Xn)

5、 =np(1-p)， 例12 設X，Y相互獨立，XR（0，3）， Y參數(shù)為2的指數(shù)分布， 求D（X+Y）,E(X2Y2). 解： D(X+Y)= D(X)+ D(Y) = 3/4 + 1/4= 1 由X，Y相互獨立可推得X2，Y2相互獨立， 因此 E(X2Y2)= E(X2) E(Y2) = D(X) + E(X)2 D(Y)+ E(Y)2 = 3/4 + 9/4 1/4 +1/4 = 3/2例13 設X，Y相互獨立， XN（1,4），YN(0,1) ， 1). 求E(X-2Y), D（X-2Y）, 2). 求Z=X-2Y的密度函數(shù)解： E(X-2Y)=1 D（X-2Y）=D(X)+4D(Y)

6、=4+4=8 Z=X-2YN(1,8) zezfzZ,1611612三 協(xié)方差和相關系數(shù) 協(xié)方差定義 協(xié)方差性質 相關系數(shù)定義 相關系數(shù)性質協(xié)方差定義 例15 試證cov(X+Y,X-Y)=D(X)-D(Y) 證： cov(X+Y,X-Y) =cov(X,X)-cov(X,Y)+cov(Y,X)- cov(Y,Y) =D(X)-D(Y).（2，1）我們已有 E(X)=8/5,E(Y)=8/15,E(XY)=8/9因此,Cov(X,Y)=8/9-8/58/15=8/22502Y=x/2 E（X）=0， E（Y）=1， E（XY）=-1/3，可以推出cov（X,Y） =-1/3求cov（X，Y） XY相關系數(shù)定義 YDXDyXYDXDYXD,2 Z- 0 P0.3 0.4 0.3 例18、設Z的概率函數(shù)為 設X=cosZ, Y=sinZ 可檢驗X，Y不相關，但X，Y不相互獨立。22X-1 0 1p0.3 0.4 0.3 ,.E XE YD XD YCov X YX Y求 應用上例的結