周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分解

1、3.2周期信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)分析三角函數(shù)形式的傅氏級(jí)數(shù)三角函數(shù)形式的傅氏級(jí)數(shù) 指數(shù)函數(shù)形式的傅氏級(jí)數(shù)指數(shù)函數(shù)形式的傅氏級(jí)數(shù)兩種傅氏級(jí)數(shù)的關(guān)系兩種傅氏級(jí)數(shù)的關(guān)系 頻譜圖頻譜圖函數(shù)的對(duì)稱性與傅里葉級(jí)數(shù)的關(guān)系函數(shù)的對(duì)稱性與傅里葉級(jí)數(shù)的關(guān)系x3.2.1 三角函數(shù)形式的傅氏級(jí)數(shù)三角函數(shù)形式的傅氏級(jí)數(shù) tntn111 sin,cos, 是一個(gè)完備的正交函數(shù)集是一個(gè)完備的正交函數(shù)集t在一個(gè)周期內(nèi)，在一個(gè)周期內(nèi)，n=1,. 由積分可知由積分可知 )0()0(2)(0)cos()cos(1111100nmtnmtnmdttntmttt )0(2)(0)sin()sin(111100nmtnmdttntmttt),(

2、, 0)sin()cos(10011為為任任意意整整數(shù)數(shù)nmdttntmttt 1 1、三角級(jí)數(shù)、三角級(jí)數(shù)x 1112 , , tttf 基波角頻率為基波角頻率為周期為周期為周期信號(hào)周期信號(hào)在滿足在滿足狄氏條件狄氏條件時(shí)，可展成時(shí)，可展成 1 sincos)(1110 nnntnbtnaatf 直流分量直流分量 100d)(110tttttfta余弦分量的幅度余弦分量的幅度 100dcos)(211tttnttntfta正弦分量的幅度正弦分量的幅度 100dsin)(211tttnttntftb稱為三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)，其系數(shù)稱為三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)，其系數(shù)2 2級(jí)數(shù)形式級(jí)數(shù)形式x3 3、其他

3、形式、其他形式00aa 22nnnbaa nnnabarctan nnnaa cosnnnab sin余弦形式余弦形式正弦形式正弦形式00ad nnnabarctan nnnda sin nnndb cos 110sin)(nnntnddtf 22nnnbad 2 cos)(110 nnntnaatfx：關(guān)系曲線稱為幅度頻譜圖；：關(guān)系曲線稱為幅度頻譜圖；：關(guān)系曲線稱為相位頻譜圖。：關(guān)系曲線稱為相位頻譜圖?？僧嫵隹僧嫵鲱l譜圖頻譜圖。周期信號(hào)頻譜具有周期信號(hào)頻譜具有離散性、諧波性、收斂性離散性、諧波性、收斂性 。 na n4 4、幅度頻率特性和相位頻率特性、幅度頻率特性和相位頻率特性的線性組合。的

4、線性組合。基波角頻率的整數(shù)倍）基波角頻率的整數(shù)倍）（）和各次諧波）和各次諧波，基波（，基波（周期信號(hào)可分解為直流周期信號(hào)可分解為直流:11 nx3.2.2指數(shù)函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)指數(shù)函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)1 1復(fù)指數(shù)正交函數(shù)集復(fù)指數(shù)正交函數(shù)集 2, 1, 0 e1j ntn )()(0)(1*10011nmtnmdteettttjntjm正交性如下：正交性如下：x2 2級(jí)數(shù)形式級(jí)數(shù)形式3 3系數(shù)系數(shù) 111110jj0jdeede)(ttntnttnntttff 4 e)(1jtnnnftf 5 de )(1110j1 ttnttft利用利用復(fù)變函數(shù)的正交特性復(fù)變函數(shù)的正交特性x說(shuō)明說(shuō)明 變變換

5、換對(duì)對(duì)。式式是是一一對(duì)對(duì)、惟惟一一確確定定，則則如如給給出出)5()4(tffn 的線性組合。的線性組合。區(qū)間上的指數(shù)信號(hào)區(qū)間上的指數(shù)信號(hào)周期信號(hào)可分解為周期信號(hào)可分解為tn1je, 4 e)(1jtnnnftf 5 de)(1110j ttnnttftfx兩種系數(shù)之間的關(guān)系兩種系數(shù)之間的關(guān)系 110j1de )(1ttnnttftf 11011011dsin)(1jdcos)(1ttttntftttntft njnnneaba 21j21 11011011dsin)(1jdcos)(1ttnttntftttntftf000aaf njnnneaba 21j21x 的的奇奇函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)于于的的

6、偶偶函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)于于取取正正值值）的的奇奇函函數(shù)數(shù)（實(shí)實(shí)際際關(guān)關(guān)于于取取正正值值）的的偶偶函函數(shù)數(shù)（實(shí)實(shí)際際關(guān)關(guān)于于 1nfnbnannnx3.2.3函數(shù)的對(duì)稱性與傅里葉級(jí)數(shù)的關(guān)系函數(shù)的對(duì)稱性與傅里葉級(jí)數(shù)的關(guān)系偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇諧函數(shù)奇諧函數(shù)偶諧函數(shù)偶諧函數(shù)x1偶函數(shù)為為實(shí)實(shí)函函數(shù)數(shù)。項(xiàng)項(xiàng)。項(xiàng)項(xiàng)，只只含含直直流流項(xiàng)項(xiàng)和和余余弦弦傅傅里里葉葉級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)中中不不含含正正弦弦nf信號(hào)波形相對(duì)于縱軸是對(duì)稱的信號(hào)波形相對(duì)于縱軸是對(duì)稱的)()(tftf )(tfottet 0 nb 201110dcos)(4tnttntfta nnnnabanff21j21)(1 0 n x)(tft0e21t21

7、t1t1t)5cos(251)3cos(91)cos(42)(1112 ttteetfx2奇函數(shù))()(tftf 對(duì)對(duì)稱稱的的：波波形形相相對(duì)對(duì)于于縱縱坐坐標(biāo)標(biāo)是是反反)(tfottt 11 為為虛虛函函數(shù)數(shù)。量量，傅傅里里葉葉級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)中中無(wú)無(wú)余余弦弦分分nf 0= d)(1 221011 ttttfta 0dcos)(2221111 ttnttntfta 1011dsin)(2tnttntftb nnnnbbanffj21j21)(1 201110dsin)(4tttntftx)(tft02e21t21t1t1t)5sin(51)3sin(31)2sin(21)sin()(1111tttte

8、tf x0 6 , 4 , 2 nnban時(shí)時(shí)3奇諧函數(shù) 20111dcos)(4 5 , 3 , 1tnttntftan時(shí)時(shí) 20111dsin)(4tnttntftbf(t)的傅氏級(jí)數(shù)偶次諧波為零，只含有奇次諧波。的傅氏級(jí)數(shù)偶次諧波為零，只含有奇次諧波。)(tfottt 2t 2)(ttftf若波形沿時(shí)間軸平移半個(gè)周若波形沿時(shí)間軸平移半個(gè)周期并相對(duì)于該軸上下反轉(zhuǎn)，期并相對(duì)于該軸上下反轉(zhuǎn)，此時(shí)波形并不發(fā)生變化：此時(shí)波形并不發(fā)生變化：00 ax)(tft0e21t21te1t1t)5cos(251)3cos(91)cos(4)(1112 tttetf)5sin(51)3sin(31)sin(2111 tttex 21ttftf112t 4偶諧函數(shù) 20111dsin)(4tnttntftb 0 5 , 3 , 1 nnban時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 20111dcos)(4 6 , 4 , 2tnttntftan 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)f(t)的傅氏級(jí)數(shù)奇次諧波為零，只有偶次諧波分