CADCAM技術(shù)基礎(chǔ)-計算機輔助工程分析-文檔資料

1、12010. 09CAD/CAMCAD/CAM技術(shù)基礎(chǔ)技術(shù)基礎(chǔ)CAD/CAM Technology BaseCAD/CAM Technology Base2第五章第五章 計算機輔助工程分析計算機輔助工程分析 Computer Aided EngineeringComputer Aided Engineering3引引 例例 有限元法、邊界元法及結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計技術(shù)等計算力學(xué)方法 4引引 例例過程概 念 設(shè) 計產(chǎn) 品 設(shè) 計模 具 設(shè) 計開 模試 模生 產(chǎn)修 改5引引 例例計算機輔助工程概 念 設(shè) 計產(chǎn) 品 設(shè) 計模 具 設(shè) 計開 模試 模生 產(chǎn)6內(nèi)內(nèi) 容容 75.1.1 有限元分析方法概述有限元分

2、析方法概述 l Finite Element Analysis l是一種用于求解各類工程實際問題的數(shù)值計算方法 ，廣泛應(yīng)用于解決力學(xué)問題和場問題 。l簡稱為FEA8有限元分析的思路和方法：有限元分析的思路和方法： 5.1.1 有限元分析方法概述有限元分析方法概述 9l將某個工程結(jié)構(gòu)離散為由各種單元（每種單元可以是一維、二維或三維的情況）組成的計算模型，這一步稱作單元剖分。l離散后單元與單元之間利用單元的節(jié)點相互連結(jié)起來。l單元節(jié)點的設(shè)置、性質(zhì)、數(shù)目等應(yīng)根據(jù)問題的性質(zhì)、描述變形形態(tài)的需要和計算精度而定(一般情況，單元劃分越細則描述變形情況越精確，即越接近實際變形，但計算量越大)。 5.1.1 有

3、限元分析方法概述有限元分析方法概述 10l 選擇位移模式：可選擇節(jié)點位移作為基本未知量；可選擇節(jié)點力作為基本未知量；亦可取一部分節(jié)點力和一部分節(jié)點位移作為基本未知量。l 分析單元的力學(xué)性質(zhì)：根據(jù)單元的材料性質(zhì)、形狀、尺寸、節(jié)點數(shù)目、位置及其含義等，找出單元節(jié)點力和節(jié)點位移的關(guān)系式。l 計算等效節(jié)點力：用等效的節(jié)點力來替代所有作用在單元上的力。5.1.1 有限元分析方法概述有限元分析方法概述 115.1.1 有限元分析方法概述有限元分析方法概述 l利用結(jié)構(gòu)力的平衡條件和邊界條件把各個單元按原來的結(jié)構(gòu)重新聯(lián)接起來，形成整體的有限元方程 (5.1)K是整體結(jié)構(gòu)的剛度矩陣；q是節(jié)點位移列陣；F是載荷列

4、陣。FKq 125.1.1 有限元分析方法概述有限元分析方法概述 l解有限元方程式得出位移。這里，可以根據(jù)方程組的具體特點來選擇合適的計算方法。l有限元法的基本思想是“一分一合”，“分”是為了進行單元分析，“合”則是為了對整體結(jié)構(gòu)進行綜合分析。135.1.2 有限元分析方法中單元特性的導(dǎo)出方法有限元分析方法中單元特性的導(dǎo)出方法l直接方法。l虛功原理法。l能量變分原理方法14 圖中所示是xoy平面中的簡支梁彎曲簡圖，EI為梁的抗彎剛度?，F(xiàn)在，以它為例用直接方法建立單元的剛度矩陣。圖5.1 平面簡支梁和它的計算模型5.1.2 有限元分析方法中單元特性的導(dǎo)出方法有限元分析方法中單元特性的導(dǎo)出方法15

5、 梁在橫向外載荷(可以是集中力或力矩或分布載荷等)作用下產(chǎn)生彎曲變形，對于平面彎曲問題，每個點(包括支承點)處的位移有兩個，即撓度和傾角；相應(yīng)地也有兩個節(jié)點力，即與撓度對應(yīng)的剪力和與傾角對應(yīng)的彎矩。我們規(guī)定撓度和剪力向上為正，傾角和彎矩逆時針方向為正。 為使問題簡化，把圖示的梁看成是一個單元。當令左支承點為節(jié)點i，右支承點為節(jié)點j時，則節(jié)點位移和節(jié)點力可以分別寫成Vi、zi、Vj、zj和Fyi、Mzi、Fyj、Mzj。也可寫成矩陣形式 zjjziivvq zjyjziyiMFMFF 5.1.2 有限元分析方法中單元特性的導(dǎo)出方法有限元分析方法中單元特性的導(dǎo)出方法16 梁的節(jié)點力和節(jié)點位移是有聯(lián)

6、系的。在彈性小位移范圍內(nèi)，這種聯(lián)系是線性的。zjjziizjyjziyivvkkkkkkkkkkkkkkkkMFMF44434241343332312423222114131211即 qKF它代表了單元的載荷與位移之間(或力與變形之間)的聯(lián)系，稱為單元的有限元方程。式中 K稱為單元剛陣，它是單元的特性矩陣。（5.2）5.1.2 有限元分析方法中單元特性的導(dǎo)出方法有限元分析方法中單元特性的導(dǎo)出方法17 單元剛度矩陣中任一元素kij表示j號節(jié)點的單位位移對i號節(jié)點力的貢獻。如 K中第1列各元素就分別代表當在i節(jié)點處撓度方向產(chǎn)生單位位移i=1時，它們對其他各位移(包括vi)方向上引起的節(jié)點力Fyi，

7、Mzi，F(xiàn)yj，Mzj的貢獻。由功的互等定理有kij = kji，所以單元剛度矩陣是對稱的。對于梁單元平面彎曲問題，可以計算出各系數(shù)kij的數(shù)值。5.1.2 有限元分析方法中單元特性的導(dǎo)出方法有限元分析方法中單元特性的導(dǎo)出方法18 假設(shè)0, 1zjjziivv則梁變形情況如圖所示：1zi0zjjivv圖5.2 梁變形圖圖5.3 梁變形圖5.1.2 有限元分析方法中單元特性的導(dǎo)出方法有限元分析方法中單元特性的導(dǎo)出方法19 這時，平面彎曲梁單元的剛度矩陣或單元特性矩陣為： 2222346266126122646612612lllllllllllllEIK（5.3）5.1.2 有限元分析方法中單元特

8、性的導(dǎo)出方法有限元分析方法中單元特性的導(dǎo)出方法20 解題基本步驟：l設(shè)定位移函數(shù)l由位移函數(shù)求應(yīng)變l根據(jù)虎克定律，通過應(yīng)變求應(yīng)力l由虛功原理求單元的剛度矩陣5.1.2 有限元分析方法中單元特性的導(dǎo)出方法有限元分析方法中單元特性的導(dǎo)出方法21 以平面問題中的三角形單元為例，說明其方法步驟。圖5.4 三角形單元5.1.2 有限元分析方法中單元特性的導(dǎo)出方法有限元分析方法中單元特性的導(dǎo)出方法22 Tyxvyxuyxd,當單元很小時，單元內(nèi)一點的位移可以通過節(jié)點的位移數(shù)值來表示。假設(shè)單元內(nèi)位移為x, y的線性函數(shù)，即：yaxaayxu321,yaxaayxv654,設(shè)三節(jié)點三角形單元內(nèi)的位移函數(shù)為：5

9、.1.2 有限元分析方法中單元特性的導(dǎo)出方法有限元分析方法中單元特性的導(dǎo)出方法23 寫成矩陣形式： aSaaaaaayxyxvud65432110000001（5.4）5.1.2 有限元分析方法中單元特性的導(dǎo)出方法有限元分析方法中單元特性的導(dǎo)出方法24 同理，單元的三個節(jié)點i，j，k上的位移也可用它來表示： acaaaaaayxyxyxyxyxyxvuvuvuqkkkkjjjjiiiikkjjii654321100000011000000110000001即 qca15.1.2 有限元分析方法中單元特性的導(dǎo)出方法有限元分析方法中單元特性的導(dǎo)出方法25 其中 kjikjikjikjikjikji

10、cccbbbaaacccbbbaaaAc000000000000000000211式中A是三角形面積5.1.2 有限元分析方法中單元特性的導(dǎo)出方法有限元分析方法中單元特性的導(dǎo)出方法26 kjjkjkjikkjjiiyyxxyyxxyxyxyxA1112jkkjiyxyxakiikjyxyxaijjikyxyxakjiyybikjyybjikyybjkixxckijxxcijkxxc（5.5）5.1.2 有限元分析方法中單元特性的導(dǎo)出方法有限元分析方法中單元特性的導(dǎo)出方法27 kkjjiikjikjikjikjikjikjivuvuvucccbbbaaacccbbbaaayxyxAvu00000

11、000000000000010000001215.1.2 有限元分析方法中單元特性的導(dǎo)出方法有限元分析方法中單元特性的導(dǎo)出方法28 上式相乘后，可寫成kkjjiikkjjiivNvNvNyxvuNuNuNyxu,也可簡寫成 qNd 此式即為單元內(nèi)某點的位移用節(jié)點位移插值表示的多項式。稱N為形狀函數(shù)。（5.6）（5.6a）5.1.2 有限元分析方法中單元特性的導(dǎo)出方法有限元分析方法中單元特性的導(dǎo)出方法29 由彈性力學(xué)知 qBvuvuvubcbcbccccbbbAkkjjiikkjjiikjikji00000021（5.7）5.1.2 有限元分析方法中單元特性的導(dǎo)出方法有限元分析方法中單元特性的導(dǎo)

12、出方法30 根據(jù)虎克定律，對于平面問題，有 qBDD其中 D對于平面問題為 2100010112ED（5.8）（5.9）5.1.2 有限元分析方法中單元特性的導(dǎo)出方法有限元分析方法中單元特性的導(dǎo)出方法31 根據(jù)虛功原理，當結(jié)構(gòu)受載荷作用處于平衡狀態(tài)時，在任意給出的節(jié)點虛位移下，外力(節(jié)點力)F及內(nèi)力所做的虛功之和應(yīng)等于零，即0AAF5.1.2 有限元分析方法中單元特性的導(dǎo)出方法有限元分析方法中單元特性的導(dǎo)出方法32 經(jīng)推導(dǎo)得平面應(yīng)力問題三角形單元剛度矩陣為：srsrsrsrsrsrsrsrrsbbcccbbcbcbbccbbAEtK21212121142kjiskjir,;,（5.16）5.1

13、.2 有限元分析方法中單元特性的導(dǎo)出方法有限元分析方法中單元特性的導(dǎo)出方法335.1.3 有限元法的解題步驟1 單元剖分和插值函數(shù)的確定根據(jù)構(gòu)件的幾何特性、載荷情況及所要求的變形點，建立由各種單元所組成的計算模型。再按單元的性質(zhì)和精度要求，寫出表示單元內(nèi)任意點的位移函數(shù)u(x,y,z)，v(x,y,z)， w(x,y,z)或d =S(x,y,z) a。 qNqCSd1上式是用節(jié)點位移表示單元體內(nèi)任意點位移的插值函數(shù)式。345.1.3 有限元法的解題步驟2 單元特性分析根據(jù)位移插值函數(shù)，由彈性力學(xué)中給出應(yīng)變和位移關(guān)系，計算出應(yīng)變。由物理關(guān)系，得應(yīng)變與應(yīng)力的關(guān)系式。由虛位移原理，可得單元的有限元方

14、程，或力與位移之間的關(guān)系式，即 qKF式中，K是單元特性，即剛度矩陣355.1.3 有限元法的解題步驟3 單元組集把各單元按節(jié)點組集成與原結(jié)構(gòu)相似的整體結(jié)構(gòu)，得到整體結(jié)構(gòu)的節(jié)點與節(jié)點位移的關(guān)系：KqF 式中，K是整體結(jié)構(gòu)的剛度矩陣；F是總的載荷列陣；q是整體結(jié)構(gòu)所有節(jié)點的位移列陣。4 解有限元方程可采用不同的計算方法解有限元方程，得出各節(jié)點的移。5 計算應(yīng)力36 5.2.1 機械優(yōu)化設(shè)計問題的數(shù)學(xué)模型1 設(shè)計變量一個設(shè)計方案可以用一組基本參數(shù)的數(shù)值來表示。對某個具體的優(yōu)化設(shè)計問題，并不是要求對所有的基本參數(shù)都用優(yōu)化方法進行修改調(diào)整。一些參數(shù)，可以根據(jù)已有的經(jīng)驗預(yù)先取為定值。這樣，對這個設(shè)計方案

15、來說，它們就成為設(shè)計常數(shù)。而除此之外的基本參數(shù)，則需要在優(yōu)化設(shè)計過程中不斷進行修改、調(diào)整，這些基本參數(shù)稱為設(shè)計變量，又叫做優(yōu)化參數(shù)。37 5.2.1 機械優(yōu)化設(shè)計問題的數(shù)學(xué)模型1 設(shè)計變量設(shè)計變量的全體實際上是一組變量，可用一個列向量表示Tnxxxx 21稱作設(shè)計變量向量。向量中分量的次序完全是任意的可以根據(jù)使用的方便任意選取。一旦規(guī)定了這樣一種向量的組成，則其中任意一個特定的向量都可以是一個“設(shè)計”。 38 5.2.1 機械優(yōu)化設(shè)計問題的數(shù)學(xué)模型2 約束條件一個可行設(shè)計必須滿足某些設(shè)計限制條件，這些限制條件稱作約束條件，簡稱約束。在工程問題中，根據(jù)約束的性質(zhì)可以把它們分成性能約束和側(cè)面約束兩

16、大類，針對性能要求而提出的限制條件稱作性能約束。不是針對性能要求，只是對設(shè)計變量的取值范圍加以限制的約束稱作側(cè)面約束。39 5.2.1 機械優(yōu)化設(shè)計問題的數(shù)學(xué)模型3 目標函數(shù)倘若需要優(yōu)化的性質(zhì)可以表示成設(shè)計變量的一個可計算函數(shù)，這個用來使設(shè)計得以優(yōu)化的函數(shù)就稱作目標函數(shù)。建立目標函數(shù)是整個優(yōu)化設(shè)計過程中重要的問題。當對某一個性能有特定的要求，而這個要求又很難滿足時，則若針對這一性能進行優(yōu)化將會取得滿意的效果。但在某些設(shè)計問題中，可能存在兩個或兩個以上需要優(yōu)化的指標，這將是多目標函數(shù)的問題。40 5.2.1 機械優(yōu)化設(shè)計問題的數(shù)學(xué)模型4 優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型是實際優(yōu)化設(shè)計問題的數(shù)

17、學(xué)抽象。在明確設(shè)計變量、約束條件、目標函數(shù)之后，優(yōu)化設(shè)計問題就可以表示成一般數(shù)學(xué)形式。在實際優(yōu)化問題中，對目標函數(shù)一般有兩種要求形式：目標函數(shù)極小化f(x)min或目標函數(shù)級大化f(x)max。由于求f(x)的極大化與求-f(x)極小化等價，所以優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)表達一般采用目標函數(shù)極小化形式。41 5.2.2 機械優(yōu)化設(shè)計問題的基本解法1 解析解法與數(shù)值解法解析解法就是把所研究的對象用數(shù)學(xué)方程(數(shù)學(xué)模型)描述出來，然后再用數(shù)學(xué)解析方法(如微分方法)求出優(yōu)化解。但是，在很多情況下，優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)描述比較復(fù)雜因而不便于其至不可能用解析方法求解。數(shù)值解法不僅可用于求解復(fù)雜函數(shù)的優(yōu)化解，也可以用于處理沒

18、有數(shù)學(xué)解析表達式的優(yōu)化設(shè)計問題。因此，它是實際問題中常用的方法。42 5.2.2 機械優(yōu)化設(shè)計問題的基本解法2 優(yōu)化準則法與數(shù)學(xué)規(guī)劃法優(yōu)化準則法是從一個初始設(shè)計xk出發(fā)，著眼于在每次迭代中滿足的優(yōu)化條件，按著迭代公式kkkxCx1得到一個改進的xk+1，而無需再考慮目標函數(shù)和約束條件的信息狀態(tài)數(shù)學(xué)規(guī)劃法是從一個初始設(shè)計xk出發(fā)，對結(jié)構(gòu)進行分析，但是按照如下迭代公式kkkxxx1得到一個改進的設(shè)計xk+1（5.20）（5.21）43 5.2.2 機械優(yōu)化設(shè)計問題的基本解法3 迭代終止條件準則1：當相鄰兩設(shè)計點的移動距離已達到充分小時，即：11kkxx準則2：當函數(shù)值的下降量已達到充分小時，即：3

19、1)(kkxfxf準則3：當某次迭代點的目標函數(shù)梯度已達到充分小時，即： 5kxf采用哪種收斂準則，可視具體問題而定。44 例題：平面四連桿機構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計。 圖5.5所示是一個曲柄搖桿機構(gòu)。圖中x1,x2,x3,x4分別是曲柄AB、連桿BC、搖桿CD和機架AD的長度。是曲柄輸入角，0是搖桿輸出的起始位置角。這里，規(guī)定0為搖桿的右極限位置角為0時的曲柄起始位置角，它們可以由x1,x2,x3,x4確定。通常規(guī)定曲柄長度x1=1，而在這里x4是給定的，并設(shè)x4=5，所以只有x2和x3是設(shè)計變量。圖5.5 曲柄搖桿機構(gòu)45 例題：平面四連桿機構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計。在給定最大和最小傳動角的前提下，當曲柄從0位置

20、轉(zhuǎn)到0+90時，要求搖桿的輸出角最優(yōu)地實現(xiàn)一個給定的運動規(guī)律f0()。要求 200032 f對于這樣的設(shè)計問題，可以取機構(gòu)的期望輸出角=f0()和實際輸出角j=fj()的平方誤差積分準則作為目標函數(shù)，使 2200dxfj最小。46 例題：平面四連桿機構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計。當把輸入角取s個點進行數(shù)值計算時，目標函數(shù)可以化簡為 sijiixxfxf0243,最小相應(yīng)的約束條件有：（1）曲柄與機架共線位置時的傳動角最大傳動角 max135 最小傳動角 min45對本問題可以計算出47 例題：平面四連桿機構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計。322322max236arccosxxxx322322min216arccosxxxx所以有01645cos2036135cos2322322322322xxxxxxxx（2）曲柄存在條件321441