第八講_有限元法(8)

1、等效積分形式：與原有微分方程和定解條件完全等價。加權(quán)余量法：對場函數(shù)進行近似，令加權(quán)余量等于零。伽遼金法：加權(quán)函數(shù)與場函數(shù)的試探函數(shù)（基函數(shù)、形函數(shù)）相同。小結(jié)：伽遼金法是有限元法中使用最為普遍的。（5）伽遼金法簡單地說，將近似解的試探函數(shù)作為權(quán)函數(shù)。更簡潔的形式：伽遼金法的一般表達式引入變分等效積分形式8/9/20133靜態(tài)線彈性有限元定解問題,()()0iij jiiijjiVSuf dVunT dS,0ij jif0ijjinTiu真實位移的變分，連續(xù)可導(dǎo)。在給定位移的邊界上，0iu虛應(yīng)變高斯定律張量形式矩陣形式等效積分形式：與原有微分方程和定解條件完全等價。加權(quán)余量法：對場函數(shù)進行近似

2、，令加權(quán)余量等于零。伽遼金法：加權(quán)函數(shù)與場函數(shù)的試探函數(shù)（基函數(shù)、形函數(shù)）相同。小結(jié)：伽遼金法是有限元法中使用最為普遍的。 基本概念 偏微分方程和偏微分方程組： 一個未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)組成的方程叫偏微分方程，兩個以上未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)組成的方程組叫偏微分方程組。方程組中未知函數(shù)和方程個數(shù)相等，叫封閉的偏微分方程組（或完全的）。 偏微分方程的階和偏微分方程組的階： 方程中偏導(dǎo)數(shù)的最高階次叫偏微分方程的階; 偏微分方程組的階是方程組中各偏微分方程的階數(shù)之和。 線性、非線性和擬線性偏微分方程: a) 方程中所有出現(xiàn)未知函數(shù)或其偏導(dǎo)數(shù)的項都是未知函數(shù)的一次式的方程叫線性方程 b) 未知函數(shù)項或未知函數(shù)

3、偏導(dǎo)數(shù)項不是一次式的方程叫非線性方程； c) 非線性方程中所有未知函數(shù)的最高階偏導(dǎo)數(shù)是一次式的方程叫擬線性方程。 齊次和非齊次偏微分方程 偏微分方程分類： Auxx+2B uxy+Cuyy+D ux+Euy +f =0 （=B2 AC） 0：雙曲型，波動方程. （= B2 AC）= 0：拋物型，熱傳導(dǎo)方程. （= B2 AC） 0：橢圓型， 位勢方程. 定解問題：偏微分方程+ 定解條件（邊界條件+ 初始條件） a) 初值問題 n階方程有n個初始條件，初始條件偏導(dǎo)數(shù)的最高階次是n 1. b) 邊值問題 i: 第一類邊界條件（Dirichlet）, ii: 第二類邊界條件（Neuman）, iii

4、: 第三類邊界條件（Robin）. 偏微分方程的解 a) 解：使偏微分方程兩端恒等的有定義的函數(shù)叫偏微分方程的解. b) 通解: 對于n 階方程，未知函數(shù)有m個自變量，其通解由n個獨立的滿足一定可微要求的函數(shù)組成，且每個函數(shù)有m 1個自變量. uxyz = 0, u = f1(x, y)+ f2 (x, z)+ f3 (y, z) utt c2 uxx= 0, u = f1(x+ct)+ f2 (x ct). c) 定解問題的解：滿足邊界條件和初始條件的通解. 線性疊加原理 解的存在、唯一性和穩(wěn)定性 解的性質(zhì) a） 橢圓形方程的極值只能在邊界達到。解在內(nèi)部沒有弱間斷，解在邊界上間斷，在內(nèi)部也是

5、充分光滑的，邊界條件是封閉的. b） 雙曲型方程沒有像橢圓形方程那樣的極值原理，解在內(nèi)部可以有弱間斷，邊界條件不是封閉的。 泛函與變分（Functional and variation）1 泛函函數(shù)的函數(shù) a) 兩端固定的曲線長度： b) 彈性桿的總勢能： c) 溫度場泛函： 式中f, u, T叫做泛函的容許函數(shù)：滿足一定邊界條件和連續(xù)性的所有函數(shù)有限元法的基本原理有限元法的基本原理曲線長度總勢能溫度場泛函 變分定義 a)容許函數(shù)的變分有限元法的基本原理有限元法的基本原理i） 泛函的值由1個自變量的函數(shù)確定ii）泛函的值由有3個自變量的函數(shù)確定iii）泛函的值由有3個自變量的2個函數(shù)確定d）變

6、分運算 3變分問題 a) 函數(shù)的極值問題（無約束和約束） b) 變分問題：求泛函的極值函數(shù) c) 泛函極值函數(shù)的必要條件d) 歐拉方程 有限元法的基本原理 e) 定解問題與變分問題此式即桿的平衡方程，它就是變分的歐拉方程。有限元法的基本原理i） 固定邊界變分問題與基本邊界條件兩端約束的彈性桿問題：ii ）非固定邊界變分問題與自然邊界條件邊界條件：泛函：此式即桿的平衡方程( ) ( )bx babx baFFI uuu dxq uuug xuEu u dxq u一端約束（指定位移）的彈性桿解法1：Lagrange 乘子法構(gòu)造新泛函 iii ）含有約束條件的變分問題*( )()bx bx ax a

7、aFFIuuu dxq uuuuuu*( )( )() ()bx bx ax aabx bx ax aaIug xuEu u dxq uuuuuuEugudxEquuuEuxx Lagrange 乘子法與原定解問題完全等效，代價就是引入了新的求解變量 解法2：罰函數(shù)法 構(gòu)造新泛函 有限元法的基本原理*( )( ) bx bx aabx bx ax aaIug xuEu u dxq uk uuuuuEugudxEquk uuEuxx 當(dāng)k無窮大時，則滿足第一類邊界條件。不引入新的求解變量。小結(jié)：1.定解問題（微分方程加定解條件）等價于相應(yīng)泛函取極值。0I2. 泛函取極值就是有限元方法的理論基礎(chǔ)，

8、將微分形式變成了積分形式。3. 不是所有的定解問題都存在相應(yīng)的泛函。4. 不存在泛函的定解問題，可以直接用更廣義的加權(quán)余量法。泛函的變分彈性長桿的定解問題0Eug0 x aux buEqx微分方程定解條件對應(yīng)泛函近似函數(shù)表示的微分方程的殘差邊界條件的殘差其思想是使由近似函數(shù)表示的微分方程的殘差和邊界條件的殘差的加權(quán)積分為零 2加權(quán)余量法 直接從微分方程出發(fā)的一種積分方法。假設(shè)未知函數(shù)采用近似函數(shù)表達：1niiiuuN aNa有限元法的基本原理伽遼金加權(quán)余量法弱形式與變分結(jié)果一致。()0bx bauwEw AdxqwAxx分部積分伽遼金加權(quán)余量法 3加權(quán)余量法弱形式：加權(quán)余量法弱形式： 泛函取極

9、值變分等于零可以看出， 取加權(quán)函數(shù)的試探函數(shù)與近似解的試探函數(shù)相同 加遼金有限元法解題過程 1） 構(gòu)造加權(quán)殘差積分方程 2） 離散化 3） 單元分析 4） 總體分析 5） 建立和求解有限元方程組4加遼金加權(quán)余量法 弱形式 1） 構(gòu)造加權(quán)余量積分方程b）單元的總體節(jié)點編號和局部節(jié)點編號，單元e=I， 總體節(jié)點編號：1，2，局部節(jié)點編號：1，2；單元e=III，總體節(jié)點編號：3，4，局部節(jié)點編號： 1，2。2） 離散化a) 在自然坐標(biāo)系中構(gòu)造單元近似解：b） 構(gòu)造加權(quán)函數(shù)c） 單元坐標(biāo)：3） 單元分析 加權(quán)函數(shù)、近似解試探函數(shù)、坐標(biāo)插值函數(shù)的類型一致d）單元平衡方程a） 建立選擇矩陣：4） 總體分析 b) 組集單元剛度矩陣c) 組集等效節(jié)點載荷d） 解以節(jié)點為未知量的方程組 T12() ()22eeeeeAlAlAqxAqxF熱傳導(dǎo)問題的有限元方法 1）傅里葉定律 熱傳導(dǎo)方程1. 一維問題 熱流密度與溫度梯度成正比。q: 單位時間、單位面積流