線性代數(shù)試題及答案

1、第一部分 選擇題 (共28分)一、 單項(xiàng)選擇題（本大題共14小題，每小題2分，共28分）在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請將其代碼填在題后的括號內(nèi)。錯(cuò)選或未選均無分。1.設(shè)行列式=m，=n，則行列式等于（ ） a. m+nb. -(m+n) c. n-md. m-n2.設(shè)矩陣a=，則a-1等于（ ） a. b. c. d. 3.設(shè)矩陣a=，a*是a的伴隨矩陣，則a *中位于（1，2）的元素是（ ） a. 6b. 6 c. 2d. 24.設(shè)a是方陣，如有矩陣關(guān)系式ab=ac，則必有（ ） a. a =0b. bc時(shí)a=0 c. a0時(shí)b=cd. |a|0時(shí)b=c5.已知34矩陣

2、a的行向量組線性無關(guān)，則秩（at）等于（ ） a. 1b. 2 c. 3d. 46.設(shè)兩個(gè)向量組1，2，s和1，2，s均線性相關(guān)，則（ ） a.有不全為0的數(shù)1，2，s使11+22+ss=0和11+22+ss=0 b.有不全為0的數(shù)1，2，s使1（1+1）+2（2+2）+s（s+s）=0 c.有不全為0的數(shù)1，2，s使1（1-1）+2（2-2）+s（s-s）=0 d.有不全為0的數(shù)1，2，s和不全為0的數(shù)1，2，s使11+22+ss=0和11+22+ss=07.設(shè)矩陣a的秩為r，則a中（ ） a.所有r-1階子式都不為0b.所有r-1階子式全為0 c.至少有一個(gè)r階子式不等于0d.所有r階子式

3、都不為08.設(shè)ax=b是一非齊次線性方程組，1，2是其任意2個(gè)解，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ） a.1+2是ax=0的一個(gè)解b.1+2是ax=b的一個(gè)解 c.1-2是ax=0的一個(gè)解d.21-2是ax=b的一個(gè)解9.設(shè)n階方陣a不可逆，則必有（ ） a.秩(a)nb.秩(a)=n-1 c.a=0d.方程組ax=0只有零解10.設(shè)a是一個(gè)n(3)階方陣，下列陳述中正確的是（ ） a.如存在數(shù)和向量使a=，則是a的屬于特征值的特征向量 b.如存在數(shù)和非零向量，使(e-a)=0，則是a的特征值 c.a的2個(gè)不同的特征值可以有同一個(gè)特征向量 d.如1，2，3是a的3個(gè)互不相同的特征值，1，2，3依次是a的

4、屬于1，2，3的特征向量，則1，2，3有可能線性相關(guān)11.設(shè)0是矩陣a的特征方程的3重根，a的屬于0的線性無關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)為k，則必有（ ） a. k3b. k312.設(shè)a是正交矩陣，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ） a.|a|2必為1b.|a|必為1 c.a-1=atd.a的行（列）向量組是正交單位向量組13.設(shè)a是實(shí)對稱矩陣，c是實(shí)可逆矩陣，b=ctac.則（ ） a.a與b相似 b. a與b不等價(jià) c. a與b有相同的特征值 d. a與b合同14.下列矩陣中是正定矩陣的為（ ） a.b. c.d.第二部分 非選擇題（共72分）二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）不寫解答過程，

5、將正確的答案寫在每小題的空格內(nèi)。錯(cuò)填或不填均無分。15. .16.設(shè)a=，b=.則a+2b= .17.設(shè)a=(aij)33，|a|=2，aij表示|a|中元素aij的代數(shù)余子式（i,j=1,2,3）,則(a11a21+a12a22+a13a23)2+(a21a21+a22a22+a23a23)2+(a31a21+a32a22+a33a23)2= .18.設(shè)向量（2，-3，5）與向量（-4，6，a）線性相關(guān)，則a= .19.設(shè)a是34矩陣，其秩為3，若1，2為非齊次線性方程組ax=b的2個(gè)不同的解，則它的通解為 .20.設(shè)a是mn矩陣，a的秩為r(n)，則齊次線性方程組ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系中含

6、有解的個(gè)數(shù)為 .21.設(shè)向量、的長度依次為2和3，則向量+與-的內(nèi)積（+，-）= .22.設(shè)3階矩陣a的行列式|a|=8，已知a有2個(gè)特征值-1和4，則另一特征值為 .23.設(shè)矩陣a=，已知=是它的一個(gè)特征向量，則所對應(yīng)的特征值為 .24.設(shè)實(shí)二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩為4，正慣性指數(shù)為3，則其規(guī)范形為 .三、計(jì)算題（本大題共7小題，每小題6分，共42分）25.設(shè)a=，b=.求（1）abt；（2）|4a|.26.試計(jì)算行列式.27.設(shè)矩陣a=，求矩陣b使其滿足矩陣方程ab=a+2b.28.給定向量組1=，2=，3=，4=.試判斷4是否為1，2，3的線性組合；若是，則求出組合系

7、數(shù)。29.設(shè)矩陣a=.求：（1）秩（a）；（2）a的列向量組的一個(gè)最大線性無關(guān)組。30.設(shè)矩陣a=的全部特征值為1，1和-8.求正交矩陣t和對角矩陣d，使t-1at=d.31.試用配方法化下列二次型為標(biāo)準(zhǔn)形 f(x1,x2,x3)=，并寫出所用的滿秩線性變換。四、證明題（本大題共2小題，每小題5分，共10分）32.設(shè)方陣a滿足a3=0，試證明e-a可逆，且（e-a）-1=e+a+a2.33.設(shè)0是非齊次線性方程組ax=b的一個(gè)特解，1，2是其導(dǎo)出組ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系.試證明（1）1=0+1，2=0+2均是ax=b的解； （2）0，1，2線性無關(guān)。答案：一、單項(xiàng)選擇題（本大題共14小題，每小

8、題2分，共28分）1.d2.b3.b4.d5.c6.d7.c8.a9.a10.b11.a12.b13.d14.c二、填空題（本大題共10空，每空2分，共20分）15. 616. 17. 418. 1019. 1+c(2-1)（或2+c(2-1)），c為任意常數(shù)20. n-r21. 522. 223. 124. 三、計(jì)算題（本大題共7小題，每小題6分，共42分）25.解（1）abt=.（2）|4a|=43|a|=64|a|，而|a|=.所以|4a|=64（-2）=-12826.解 =27.解 ab=a+2b即（a-2e）b=a，而（a-2e）-1=所以 b=(a-2e)-1a=28.解一 所以4

9、=21+2+3，組合系數(shù)為（2，1，1）.解二 考慮4=x11+x22+x33，即 方程組有唯一解（2，1，1）t，組合系數(shù)為（2，1，1）.29.解 對矩陣a施行初等行變換a=b.（1）秩（b）=3，所以秩（a）=秩（b）=3.（2）由于a與b的列向量組有相同的線性關(guān)系，而b是階梯形，b的第1、2、4列是b的列向量組的一個(gè)最大線性無關(guān)組，故a的第1、2、4列是a的列向量組的一個(gè)最大線性無關(guān)組。（a的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）30.解 a的屬于特征值=1的2個(gè)線性無關(guān)的特征向量為1=（2，-1，0）t， 2=（2，0，1）t.經(jīng)正交標(biāo)準(zhǔn)化，得1=，2=.=-8的一個(gè)特征向量為3=，經(jīng)單位化得3=所求正交矩陣為 t=.對角矩陣 d=（也可取t=.）31.解 f(x1，x2，x3)=（x1+2x2-2x3）2-2x22+4x2x3-7x32=（x1+2x2-2x3）2-2（x2-x3）2-5x32.設(shè)， 即，因其系數(shù)矩陣c=可逆，故此線性變換滿秩。經(jīng)此變換即得f(x1，x2，x3)的標(biāo)準(zhǔn)形 y12-2y22-5y32 .四、證明題（本大題共2小題，每小題5分，共10分）32.證 由于（e-a）（e+a+a2）=e-a3=e，所以e-a可逆，且（e-a）-1= e+a+a2 .33.證 由假設(shè)a0=b，a1=0，a2=0.（1）a1=a（0+1）=a0+