線性代數(shù)復(fù)習(xí)提綱

1、線性代數(shù)復(fù)習(xí)提綱第一章 行列式本章重點是行列式的計算，對于階行列式的定義只需了解其大概的意思。要注重學(xué)會利用行列式的各條性質(zhì)及按行（列）展開等基本方法來簡化行列式的計算，對于計算行列式的技巧毋需作過多的探索。1、行列式的性質(zhì)（1）行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即。（2）互換行列式的兩行（列），行列式變號。（3）行列式中如有兩行（列）相同或成比例，則此行列式為零。（4）行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一數(shù)，等于用數(shù)乘此行列式；換句話說，若行列式的某一行（列）的各元素有公因子，則可提到行列式記號之外。（5）把行列式某一行（列）的各元素乘以同一數(shù)，然后加到另一行（列）上，行列式的值不變。（6）若

2、行列式的某一行（列）的各元素均為兩項之和，則此行列式等于兩個行列式之和。2、行列式的按行（按列）展開（1）代數(shù)余子式：把階行列式中元所在的第行和第列劃掉后所剩的階行列式稱為元的余子式，記作；記，則稱為元的代數(shù)余子式。（2）按行（列）展開定理：階行列式等于它的任意一行（列）的各元素與對應(yīng)于它們的代數(shù)余子式的乘積之和，即可按第行展開：也可按第列展開：（3）行列式中任意一行（列）的各元素與另一行的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即；或。3、克拉默法則：，其中是把中第列元素用方程右端項替代后所得到的行列式。4、常用的行列式上（下）三角形行列式等于其主對角線上的元素的乘積；特別，（主）對角行列式等于

3、其對角線上各元素的乘積。學(xué)會利用行列式各性質(zhì)將行列式化為三角形，以方便計算。第二章 矩陣及其運算了解矩陣的加法、數(shù)乘、矩陣與矩陣相乘、矩陣的轉(zhuǎn)置和方陣的行列式等概念。本章重點是要熟練掌握矩陣的線性運算（加法與數(shù)乘）、矩陣與矩陣的乘法、矩陣的轉(zhuǎn)置、方陣的行列式及其運算規(guī)律；掌握可逆矩陣的概念以及矩陣可逆的充要條件；理解伴隨矩陣的概念，會用伴隨矩陣求矩陣的逆陣。1、矩陣的運算（1）矩陣加法滿足（a)（b)（2）數(shù)乘矩陣滿足（a)（b)（c)（3）矩陣與矩陣相乘滿足（前面矩陣的列數(shù)=后面矩陣的行數(shù)）（a)（b)（c)注意：（a) 一般情況下，；若，則稱是可交換的。（b) 即便，可以都不是零矩陣。（4

4、）矩陣的轉(zhuǎn)置滿足（a)（b)（c)（d)（e)（5）方陣的冪（為正整數(shù)，）（a) （均為正整數(shù)）。（b) 若方陣是不可交換的，則。（6）方陣的行列式（均為方陣）滿足（a) 。（b)（c)2、逆矩陣（1）定義：設(shè)，若有，使得（單位陣），則稱矩陣是可逆的，是的逆陣，記作。（2）方陣可逆有，使有，使。（3）逆陣的性質(zhì)（a) 若可逆，則也可逆，且（b) 若可逆，則也可逆，且（c) 若可逆，則也可逆，且（d) 若均可逆，則也可逆，且（4）伴隨矩陣：設(shè)，的伴隨陣定義為，（其中是中元的代數(shù)余子式。伴隨陣的性質(zhì)：（a)（b) 若，則（c) 若，則（d)（e)3、克拉默法則的矩陣表示若，則方程組有唯一解。第三章

5、 矩陣的初等變換與線性方程組本章重點是要熟練掌握用初等行變換把矩陣化成行階梯形和行最簡形的方法，并熟練掌握用矩陣初等行變換求解線性方程組的方法。理解矩陣的秩的概念，并掌握用矩陣初等變換求矩陣的秩的方法。理解非齊次線性方程組無解、有唯一解或無窮多解的充要條件和齊次線性方程組有非零解的充要條件。1、定義初等行變換：；初等列變換：；初等變換：，即與等價，秩相等。2、矩陣的秩（1）矩陣的最高階非零子式的階數(shù)，稱為矩陣的秩，記作。（2）的最簡形含個非零行的標(biāo)準形。（3）矩陣的秩的性質(zhì)：（a) 。（b) 。（c) 。（d) 若可逆，則。（e) 特別，當(dāng)時，有。（f) 。（g) 。（h) 若，則。3、線性方

6、程組理論（1）元非齊次線性方程組有解的充要條件是，當(dāng)時有唯一解；當(dāng)時有無窮多解；無解的充要條件是。（2）元齊次線性方程組有非零解的充要條件是；只有零解的充要條件是。（3）矩陣方程有解的充要條件是。第四章 向量組的線性相關(guān)性在本章學(xué)習(xí)中，要特別注意方程語言、矩陣語言、幾何語言三者之間的轉(zhuǎn)換，突出的典型問題是對所作的解釋：矩陣語言：是與的乘積矩陣；方程語言：是矩陣方程的一個解；幾何語言：向量組能由向量組線性表示，是這一表示的系數(shù)矩陣。理解向量組線性組合以及一個向量（或向量組）能由一個向量組線性表示的概念，特別地，要熟悉這些概念和線性方程組的聯(lián)系。理解向量組線性相關(guān)和線性無關(guān)的概念，并熟悉它們與齊次

7、線性方程組的聯(lián)系。理解向量組的最大無關(guān)組和向量組的秩的概念，會用矩陣的初等變換求向量組的最大無關(guān)組和秩。本章的另一個重點是理解齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系的概念，并能熟練地求出基礎(chǔ)解系，理解齊次與非齊次線性方程組通解的構(gòu)造。1、維向量、向量組個有次序的數(shù)構(gòu)成的有序數(shù)組稱為維向量，記作與分別稱為列向量和行向量，也就是列矩陣和行矩陣。若干個同維數(shù)的列（行）向量所組成的集合叫做向量組。含有有限個向量的向量組可以構(gòu)成一個矩陣。2、線性組合與線性表示（1）向量能由向量組線性表示方程組有解 （定理1）（2）向量組能由向量組線性表示矩陣方程有解 （定理2）（3）向量組與向量組等價（能相互線性表示）（4）若向量組

8、能由向量組線性表示，則。 （定理3）3、線性相關(guān)與線性無關(guān)向量組線性相關(guān)齊次線性方程組有非零解 （定理4）向量組線性相關(guān)的充要條件是存在某個向量，它能由其它個向量線性表示。4、向量組線性相關(guān)性的重要結(jié)論（1）向量組線性相關(guān)，則向量組也線性相關(guān)。（定理5-1）（2）個維向量組成的向量組，當(dāng)，即個數(shù)大于維數(shù)時一定線性相關(guān)。（定理5-2）（3）設(shè)向量組線性無關(guān)，而向量組線性相關(guān)，則向量必能由向量組線性表示，且表示式是唯一的。（定理5-3）5、向量組的最大無關(guān)組與向量組的秩（1）定義：如果在向量組中能選出個向量，滿足（a) 向量組線性無關(guān)；（b) 向量組中任意個向量都線性相關(guān)，那么稱向量組是向量組的一

9、個最大無關(guān)組；最大無關(guān)組所含向量個數(shù)稱為向量組的秩，記作。只含零向量的向量組沒有最大無關(guān)組，規(guī)定它的秩為0。（c) 上述條件（b）可改為：向量組中任一向量都能由向量組線性表示。（2）只含有限個向量的向量組構(gòu)成矩陣，矩陣的秩等于向量組的秩，即。 （定理6）6、齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系與通解 設(shè)元齊次線性方程組的解集為，則；解集的一個最大無關(guān)組稱為齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，其中含個解向量。設(shè)為齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，則其通解為7、非齊次線性方程組的通解設(shè)非齊次線性方程組的一個解為，對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系為，則非齊次方程組的通解為。8、向量空間（1）設(shè)是維向量的集合，如果非空，且對向量的線

10、性運算封閉，那么就稱為向量空間。向量空間的最大無關(guān)組稱為的基，向量空間的秩稱為的維，若，則稱為維向量空間。設(shè)維向量空間的一個基為，則任一向量，總有唯一的一組有序數(shù)，使，有序數(shù)組就稱為向量在基下的坐標(biāo)。（2）給定維向量組，集合是一個向量空間，稱為由向量組所生成的向量空間。向量組與向量組等價，則由它們所生成的向量空間相等。第五章 相似矩陣及二次型本章的重點特征值與特征向量的計算與矩陣的對角化，特別是對稱矩陣的對角化。而求得正交矩陣，使，既是相似，又是合同。學(xué)好本章的關(guān)鍵是掌握對稱矩陣正交相似對角化的原理和步驟，其它概念如向量的內(nèi)積、正交、施密特正交化方法、正交矩陣、特征值和特征向量等都圍繞正交相似

11、對角化這一中心議題。要熟練地掌握特征值和特征向量的求法以及它們和正交矩陣的關(guān)系。1、 向量的內(nèi)積、長度及正交性（1）設(shè)有n維向量 則 被稱為向量與的內(nèi)積。（2）非負實數(shù) 被稱為向量的長度（或范數(shù)）。當(dāng)時，稱為單位向量。（3）當(dāng)時，稱向量與正交。零向量與任何向量都正交。2、正交向量組：一組兩兩正交的非零向量稱為正交向量組。正交向量組一定線性無關(guān)。 給定一個線性無關(guān)的向量組，尋求一個與等價的正交向量組，稱為把向量組正交化。施密特正交化過程：設(shè)向量組：線性無關(guān)，令；則向量組兩兩正交，且與組等價。設(shè)n維向量是向量空間（）的一個基，如果兩兩正交，且都是單位向量，則稱為的一個規(guī)范正交基。3、正交矩陣如果n

12、階矩陣滿足 ，則稱為正交矩陣，簡稱正交陣。（1）；（2）可逆，且；（3）的行（列）向量組兩兩正交，且都是單位向量。4、特征值與特征向量（1）設(shè)是階矩陣, 若有數(shù)和n維非零向量使關(guān)系式，則稱為方陣的特征值, 非零向量稱為的對應(yīng)于特征值的特征向量。（2）的次多項式 稱為階矩陣的特征多項式，稱為矩陣的特征方程，特征方程的根就是的特征值。在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)恒有解，階矩陣有個特征值（重根按重數(shù)計算）。設(shè)方陣的特征值為，則有 1）；2）3）若是方陣的特征值，則是的特征值；是矩陣多項式的特征值（其中；）。（3）設(shè)是方陣的一個特征值，則齊次方程的全部非零解就是方陣對應(yīng)于特征值的全部特征向量，而該齊次方程的基礎(chǔ)解系就

13、是對應(yīng)于特征值的全體特征向量的最大無關(guān)組。（4）設(shè)是方陣的個特征值，對應(yīng)的特征向量依次為，如果各不相等，則線性無關(guān)。5、相似矩陣（1） 對于階矩陣和, 若有可逆矩陣，使得,則稱與相似,把化成的運算，稱為對進行相似變換，可逆矩陣稱為把變成的相似變換矩陣。若矩陣與相似，則與的特征多項式相同，從而有相同的特征值。（2） 若矩陣與對角陣相似（此時，稱矩陣能相似對角化），即若有可逆矩陣，使得,則1）是的個特征值；2）的第個列向量是的對應(yīng)于的特征向量；3）矩陣能相似對角化的充分必要條件是有個線性無關(guān)的特征向量。6、對稱矩陣的對角化（1）對稱矩陣的性質(zhì)1) 對稱矩陣的特征值都是實數(shù)；2) 對應(yīng)不同特征值的特

14、征向量正交；3) 給定對稱陣，存在正交陣，使。（2）對稱陣對角化的步驟1) 求出的全部互不相等的特征值，它們的重數(shù)依次為。2) 對每個重特征值，求方程的基礎(chǔ)解系，得個線性無關(guān)的特征向量。再把它們規(guī)范正交化，得個兩兩正交的單位特征向量。因，故總共得到個兩兩正交的單位特征向量。3) 把這個兩兩正交的單位特征向量構(gòu)成正交陣，便有。7、二次型化標(biāo)準形（1）二次齊次函數(shù) 稱為二次型。令,，把二次型記作，對稱矩陣稱為二次型的矩陣, 并規(guī)定二次型的秩為矩陣的秩。（2）二次型研究的主要問題是：尋求可逆變換, 使 這種只含平方項的二次型，稱為二次型的標(biāo)準形（法式）。當(dāng)時，則稱上式為二次型的規(guī)范形。（3）對于階矩陣和, 若有可逆矩陣使得,則稱矩陣與合同。把化為的變換稱為合同變換。 對二次型作可逆變換，相當(dāng)于對對稱矩陣作合同變換，把二次型化成標(biāo)準形相當(dāng)于把對稱矩陣用合同變換化為對角陣（稱為把對稱矩陣合同對角化），即尋求可逆矩陣，使。（4）給定二次型，存在正交變換，使其中為對稱矩陣的個特征值