2022版新教材高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第4章三角函數(shù)與解三角形第2節(jié)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式學(xué)案含解析新人教B版

1、第2節(jié)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式一、教材概念結(jié)論性質(zhì)重現(xiàn)1同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系：sin2cos21(r)(2)商數(shù)關(guān)系：tan .(1)平方關(guān)系的作用：實(shí)現(xiàn)同角的正弦值與余弦值之間的轉(zhuǎn)化，利用該公式求值，要注意確定角的終邊所在的象限，從而判斷三角函數(shù)值的符號(2)商數(shù)關(guān)系的作用：切化弦，弦切互化(3)掌握變形公式：sin21cos2，cos21sin2，sin tan cos ，sin2，cos2.2誘導(dǎo)公式公式sin(k2)sin ，cos(k2)cos ，tan(k2)tan ，其中kz公式sin()sin ，cos()cos ，tan()tan 公式sin()sin

2、 ，cos()cos ，tan()tan 公式sin()sin ，cos()cos ，tan()tan 公式sincos ，cossin 公式sincos ，cossin (1)誘導(dǎo)公式可簡記為：奇變偶不變，符號看象限“奇”“偶”指的是“k(kz)”中的k是奇數(shù)還是偶數(shù)“變”與“不變”是指函數(shù)的名稱的變化若k是奇數(shù)，則正、余弦互變；若k為偶數(shù)，則函數(shù)名稱不變“符號看象限”指的是在“k(kz)”中，將看成銳角時，“k(kz)”的終邊所在的象限(2)利用誘導(dǎo)公式把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)的步驟：也就是：“負(fù)化正，去周期，大化小，全化銳”二、基本技能思想活動體驗(yàn)1判斷下列說法的正誤，對的打

3、“”，錯的打“”(1)對任意角，sin23cos231都成立( )(2)誘導(dǎo)公式中的角可以是任意角( )(3)若cos(n)(nz)，則cos .( )(4)已知sin ，cos ，其中，則m5或m3.( )2若tan ，則sin4cos4的值為()abcdd解析：因?yàn)閠an ，所以sin4cos4(sin2cos2)(sin2cos2).故選d.3已知cos 31a，則sin 239tan 149的值是()a bcdb解析：sin 239tan 149sin (27031)tan(18031)cos 31(tan 31)sin 31.4若sin ，則tan _.解析：因?yàn)?，所以cos ，所以

4、tan .5化簡sin()cos(2)的結(jié)果為_sin2解析：原式(sin )cos sin2.考點(diǎn)1同角三角函數(shù)基本關(guān)系的應(yīng)用應(yīng)用性考向1知弦求切(2020福州一模)已知3sin tan 80，則tan _.2解析：因?yàn)?sin tan 80，所以80，整理可得3cos28cos 30，解得cos 或cos 3(舍去)所以sin .所以tan 2.若本例的條件改為“2，”求tan 的值解：因?yàn)?，所以sin 22cos .兩邊平方，得sin248cos 4cos2，即1cos248cos 4cos2，整理得，5cos28cos 30，解得cos 1或cos .當(dāng)cos 1時，1cos 0，無

5、意義；當(dāng)cos 時，sin ，所以tan .本例為已知sin ，cos ，tan 中的一個求另外兩個的值解決此類問題時，直接套用公式sin2cos21及tan 即可，但要注意的取值范圍，即三角函數(shù)值的符號考向2知切求弦已知1，求下列各式的值：(1)；(2)sin2sin cos 2.解：由已知得tan .(1).(2)sin2sin cos 2222.利用“切弦互化”的技巧(1)弦化切：把正弦、余弦化成正切的結(jié)構(gòu)形式，統(tǒng)一為正切的表達(dá)式，進(jìn)行求值常見的結(jié)構(gòu)：sin ，cos 的齊次式(如asin2bsin cos ccos2)；sin ，cos 的齊次分式.(2)切化弦：利用公式tan ，把式

6、子中的正切化成正弦或余弦一般單獨(dú)出現(xiàn)正切、余切時，采用此技巧考向3“sin cos ，sin cos ”之間的關(guān)系已知x0，sin xcos x，求sin xcos x的值解：由已知，得sin xcos x，兩邊平方得sin2x2sin xcos xcos2x，整理得2sin xcos x.因?yàn)?sin xcos x)212sin xcos x，所以sin xcos x.由x0知，sin x0，又sin xcos x0.所以sin xcos x0.故sin xcos x.本例中若將條件“x0”改為“0x”，求sin xcos x的值解：因?yàn)?x0，cos x0，故sin xcos x.“sin

7、 cos ，sin cos ”關(guān)系的應(yīng)用sin cos 與sin cos 通過平方關(guān)系聯(lián)系到一起，即(sin cos )212sin cos ，sin cos ，sin cos .因此在解題時已知一個可求另外兩個1已知(0，)，cos ，則tan ()ab cdd解析：因?yàn)閏os 且(0，)，所以sin ，所以tan .故選d.2已知sin xcos x，x(0，)，則tan x()a b cdd解析：因?yàn)閟in xcos x，且x(0，)，所以12sin xcos x1，所以2sin xcos x0，所以x為鈍角，所以sin xcos x，結(jié)合已知解得sin x，cos x，則tan x.3

8、(2020化州二模)已知曲線f(x)x3在點(diǎn)(1，f(1)處的切線的傾斜角為，則的值為_解析：由f(x)x3得f(x)2x2，所以f(1)2，故tan 2.所以.考點(diǎn)2誘導(dǎo)公式的應(yīng)用基礎(chǔ)性(1)(多選題)在abc中，下列關(guān)系恒成立的是()atan(ab)tan c bcos(2a2b)cos 2ccsinsin dsincosbd解析：對于a，由于tan(ab)tan(c)tan c，故a錯誤；對于b，由于cos(2a2b)cos 2(c)cos 2c，故b正確；對于c，sinsincos，故c錯誤，d正確(2)已知cosa，則cossin的值是_0解析：因?yàn)閏oscoscosa，sinsin

9、 cosa，所以cossin0.(1)利用誘導(dǎo)公式解題的一般思路化絕對值大的角為銳角；角中含有的整數(shù)倍時，用公式去掉的整數(shù)倍(2)常見的互余和互補(bǔ)的角互余的角與；與；與互補(bǔ)的角與；與提醒：對給定的式子進(jìn)行化簡或求值時，要注意給定的角之間存在的特定關(guān)系，充分利用給定的關(guān)系結(jié)合誘導(dǎo)公式將角進(jìn)行轉(zhuǎn)化特別要注意每一個角的終邊所在的象限，防止三角函數(shù)值的符號及三角函數(shù)名稱出錯1已知sin()，則tan()a2b2 cd2d解析：因?yàn)閟in()，所以sin ，cos ，所以tan2.故選d.2(2020北京卷)已知，r，則“存在kz使得k(1)k”是“sin sin ”的()a充分而不必要條件 b必要而不

10、充分條件c充要條件 d既不充分也不必要條件c解析：當(dāng)存在kz使得k(1)k時，若k為偶數(shù)，則sin sin(k)sin ；若k為奇數(shù)，則sin sin(k)sin(k1)sin()sin ，充分性成立；當(dāng)sin sin 時，2n或2n，nz，即k(1)k(k2n)或k(1)k(k2n1)，亦即存在kz使得k(1)k，必要性成立所以，“存在kz使得k(1)k”是“sin sin ”的充要條件故選c.已知3cos x4sin x5，求tan x的值四字程序讀想算思求tan x的值1.同角的正弦、余弦和正切有什么關(guān)系？23cos x4sin x的最大值是多少？3由已知條件聯(lián)想點(diǎn)a(cos x，sin

11、 x)在哪條直線上1.求sin x和cos x；2輔助角公式1.方程思想；2數(shù)形結(jié)合；3轉(zhuǎn)化與化歸3cos x4sin x51.sin2xcos2x1，tan x；23cos x4sin x的最大值為5；3點(diǎn)a(cos x，sin x)在直線3x4y5上1.聯(lián)立3cos x4sin x5與sin2xcos2x1；23cos x4sin x5sin(x)1.tan x可看作直線的斜率；2將已知條件變?yōu)閏os xsin x1思路參考：解方程組解：由消去cos x，整理得(5sin x4)20.解得sin x，cos x.故tan x.思路參考：注意到3cos x4sin x的最大值為5，利用輔助角

12、公式推出x與輔助角的關(guān)系解：3cos x4sin x55sin(x)5，其中cos ，sin .所以tan .所以x2k(kz)于是tan xtan.思路參考：令tan xt，借助已知條件用t表示sin x和cos x.解：令tan xt，即tcos xsin x，代入3cos x4sin x5，得3cos x4tcos x5，所以cos x，sin x.再代入sin2xcos2x1，得221，解得t，即tan x.思路參考：設(shè)p(m，n)為角x終邊上任意一點(diǎn)，r，利用三角函數(shù)的定義解：設(shè)p(m，n)為角x終邊上任意一點(diǎn)，點(diǎn)p到原點(diǎn)o的距離為r，則r.把sin x，cos x代入已知等式得34

13、5.即(3m4n)2(5r)225(m2n2)整理得(4m3n)20，所以4m3n.顯然m0，故tan x.思路參考：設(shè)點(diǎn)a(cos x，sin x)是直線3x4y5與單位圓x2y21的切點(diǎn)，而tan xkoa.解：由3cos x4sin x5可知點(diǎn)a(cos x，sin x)在直線3x4y5上，同時也在單位圓x2y21上，所以點(diǎn)a為直線3x4y5與單位圓的切點(diǎn)由于直線3x4y5的斜率為，所以oa的斜率為，即tan x.思路參考：m(cos x，sin x)，n，證明mn.解：因?yàn)閏os xsin x1，不妨令m(cos x，sin x)，n，可知|m|1，|n|1.所以m，n均為單位向量，且mn1.由|m|n|mn|，等號成立的條件為mn，則有cos xsin x，即tan x.1基于課程標(biāo)準(zhǔn)，解答本題一般需要熟練掌握運(yùn)算求解能力，轉(zhuǎn)化與化歸的能力，體現(xiàn)數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)2基